AMIGOS PARA SIEMPRE: GEOMETRÍA DINÁMICA

sábado, 2 de marzo de 2019

GEOMETRÍA DINÁMICA

Elipse como envolvente de línea.

Sea c un círculo centrado en O y A un punto dentro de él.
Dibuje la línea AD a un punto variable D del círculo y en D dibuje la línea ortogonal DE a AD.
- La línea DE envuelve una elipse.
- La elipse tiene el círculo como su círculo auxiliar y lo toca en los puntos diametral con la línea AO.
- El punto de contacto E de la línea DE es la proyección en él del cuarto armónico G = F (A, C), donde F es la intersección de AB con DE.
- La generación análoga es válida también para hipérbolas. La única diferencia está en tomar A para estar fuera del círculo.
Las pruebas siguen inmediatamente de la discusión en Ellipse.html .

2. Generalización

El punto E se desliza en el círculo B (BE). El punto H se toma en AE (A fijo, dentro del círculo) de modo que AH / AE = k (constante).
La línea HU se toma para que sea ortogonal en H a AE.
La línea HU envuelve una elipse.
El círculo auxiliar de la elipse es homotético al círculo B (BE) wr a A y en relación k a él.
Las elipsis que resultan para varias k son todas homotéticas entre sí.
El punto de contacto U de la línea HU con la elipse es la proyección en HU de T, que es el cuarto armónico de K (A, S), donde K es la intersección de HU con la línea de centros AB.
La figura aquí es simplemente una imagen homotética de la figura anterior.

Cáustica elíptica

Dado es un punto fijo A y un punto C que se mueve en una elipse fija. Para cada posición de C, consideramos la B simétrica de A, con respecto a la normal de la elipse en C. Consideramos también la línea CB, simétrica de AC, con respecto a la normal.

Para C moviéndose en la elipse, el lugar geométrico del punto B es la línea roja (omotética con relación 2 del [pedal normal] de A con respecto a la elipse). La envolvente de las líneas BC se llama [cáustica] de la elipse, con respecto al punto A.

Para obtener una imagen de los pedales (tangencial y normal) de la elipse, consulte el archivo: Pedals.html .

Caracterización cónica a través de una función racional, elipse - parábola.

Se dan dos vectores independientes { E, e } y una función racional de la forma.
f (t) = (en + b) / (ct ² + dt + e).
El conjunto de puntos S = {f (t) ( E + t e )} describe paramétricamente un paso cónico a través del origen de las coordenadas.
A la inversa, cada cónica que pasa por el origen de las coordenadas y cada conjunto de dos vectores independientes { E, e } define dicha función f (t) de modo que el conjunto S correspondiente coincida con la cónica original.

Esto ha sido probado en ConicCharacterization.html. Si el denominador no tiene una o una raíz real, entonces la cónica correspondiente es respectivamente una elipse o una parábola .
En el primer caso, al absorber algunos multiplicadores en vectores ( e, E ), la función se puede llevar a la forma f (t) = (ta) / ((tb) ² + c ² ).
En el segundo caso, simplemente c = 0, obteniendo así f (t) = (ta) / (tb) ² .
Existe una degeneración posible cuando c = 0, b = a, en cuyo caso, f (t) = 1 / (ta).
Luego, el conjunto S coincide con el conjunto de puntos de la línea x-ay = 1 cuya dirección es la de la tangente en O y pasa por e .