GEOMETRÍA DINÁMICA

Construcción elipse

Considere dos círculos concéntricos c1 (O, a = OE) y c2 (O, b = OF). Luego un punto de movimiento J en el círculo exterior. Sea G el punto de intersección del círculo interior con el radio OJ. Desde J y G dibuje paralelos a los lados de un ángulo w respectivamente. Luego, el punto de intersección K de estos paralelos se mueve a lo largo de una elipse (e).

En el caso de que el ángulo w sea el correcto, esto es una consecuencia de la discusión en Auxiliary.html . En ese caso, se aplica la relación JL / KL = a / b y los resultados de la referencia. 
En los otros casos, se puede usar la afinidad que representa el mapa de J a K. De hecho, suponiendo que r = b / a se pueden calcular las coordenadas de K (x ', y') en términos de las de J (x, y) (tomando las líneas OL, ON como ejes de coordenadas) y muestra que x '= x + ((1-r) / tan (w)) * y, y' = r * y es decir, la transformación es de hecho una afinidad. La afinidad mapea el círculo c1 a la elipse (e). Observe que (e) está contenido en la tira entre las tangentes en el círculo c2 en los puntos diametral D, N. 

En el archivo EllipseGeneration.html se describe un mecanismo de engranaje de enlace relacionado que genera una elipse .

Construcción elipse

Considere un círculo c (A, a) y un punto E que se mueve sobre él. Proyecte E a un punto F en una línea d = (CD). Defina el punto G en e = (EF) st la relación de longitud GF / EF es igual a b / a, ba constante 0 Luego G describe una elipse (e) con los ejes ay b.

La declaración es una consecuencia de la discusión en Auxiliary.html . Allí se prueba la propiedad para la ubicación especial de la línea CD en la que coincide con un diámetro del círculo. Para el caso general, dibuje una línea d 'paralela a d, pasando por el centro A. Entonces el requisito GF / EF = b / a => GF = EF * (b / a) = (EH + HF) * (b / a) = EH * (b / a) + HF * (b / a) = EH * (b / a) + m, donde m = HF * (b / a) es independiente de la ubicación de E. En el otro el lado EH * (b / a) define en HE un punto de la elipse (e ') con ejes a, b, que tiene el gran eje a lo largo de d'. La elipse (e) es una traducción de (e ') a través del vector constante m. 


Una construcción relacionada de la elipse se describe en el archivo Ellipse_Construction.html .

Cambie a la herramienta [Seleccionar en contorno] (CTRL + 2) y seleccione el punto G para ver cómo cambia la forma de la elipse, dependiendo de la posición de G en EF. 
Mire Foci_on_ellipse.html para ver el lugar de los puntos focales de las diversas elipses, a medida que G se mueve en la línea EF.

Círculos Oscilantes De Elipse

Dada la elipse (e) con los ejes a, b (a> b) y la ecuación x² / a² + y² / b² = 1. El círculo (c) con el centro en el origen y el radio d = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (2 * b ^ 2 + c ^ 2) se llama el círculo [Director] de la elipse (ver Director .html ). Es el lugar de los puntos que ven la elipse bajo un ángulo recto. Jacob Steiner (Werke Bd. II, p. 341) ofrece una interesante aplicación de esto a la determinación del [círculo oscilante] de un punto A de la elipse. La receta para construir el radio del círculo oscilante es la siguiente: 
1) Encuentre el punto de intersección E de la normal en A con el p polar de A wr al círculo (c). 
2) Tome la simetría A * de E con respecto a A. Este es el centro de curvatura requerido en el punto A, siendo el radio igual a R = | A * A |, la curvatura de (e) siendo k = 1 / R.

Un cálculo fácil para el punto de curvatura A * (x *, y *) en términos de A (x, y) da la siguiente ecuación:

La figura de arriba muestra el círculo (f) que pasa por A y F, que es el inverso de A wr a (c), por lo tanto ortogonal a él. Muestra también el locus de A * [Ellipse Evolute], que es la envoltura de las normales de la elipse.

Elipse de circulos

Dados dos círculos A (R), B (r) de modo que sus centros están a una distancia [d Ellipse.html ] cuyos puntos C están a distancias iguales de los dos círculos. Su eje principal (a) es la suma de los radios de los círculos, (c) es | AB | / 2 y b² = c²-a².

Cambie a la herramienta [Seleccionar en el contorno] (Ctrl + 2) para capturar y mover C. Los círculos se controlan mediante la herramienta [Selección] (Ctrl + 1) y los puntos A, L, B y K. Mire el archivo ConicsFromCir .html para el caso general.