Los filtros de k constantes , también los filtros de tipo k , son un tipo de filtro electrónico diseñado con el método de imagen . Son los filtros originales y más simples producidos por esta metodología y consisten en una redde escalera de secciones idénticas de componentes pasivos . Históricamente, son los primeros filtros que podrían acercarse a la respuesta de frecuencia de filtro ideal dentro de cualquier límite prescrito con la adición de un número suficiente de secciones. Sin embargo, rara vezson considerados para un diseño moderno, los principios detrás de ellos han sido reemplazados por otras metodologías Los cuales son más precisos en su predicción de respuesta de filtro.
Historia [ editar ]
Los filtros k constantes fueron inventados por George Campbell . Publicó su trabajo en 1922, [1] pero había inventado claramente los filtros un tiempo antes, [2] ya que su colega de AT&T Co , Otto Zobel , ya estaba haciendo mejoras en el diseño en este momento. Los filtros de Campbell eran muy superiores a los circuitos de un solo elemento más simples que se habían usado anteriormente. Campbell llamó a sus filtros filtros de onda eléctrica, pero este término más tarde llegó a significar cualquier filtro que pase ondas de algunas frecuencias pero no de otras. Muchas nuevas formas de filtro de onda fueron inventadas posteriormente; Una variación temprana (e importante) fue el filtro derivado de mpor Zobel, quien acuñó el término constante k para el filtro Campbell con el fin de distinguirlos. [3]
La gran ventaja que los filtros de Campbell tenían sobre el circuito RL y otros filtros simples de la época era que podían diseñarse para cualquier grado deseado de rechazo de banda de detención o pendiente de transición entre banda de paso y banda de parada. Solo fue necesario agregar más secciones de filtro hasta obtener la respuesta deseada. [4]
Los filtros fueron diseñados por Campbell con el propósito de separar los canales telefónicos multiplexados en las líneas de transmisión , pero su uso posterior ha sido mucho más generalizado que eso. Las técnicas de diseño utilizadas por Campbell han sido superadas en gran medida. Sin embargo, la topología de escalerautilizada por Campbell con la constante k todavía se usa en la actualidad con implementaciones de diseños de filtros modernos como el filtro Tchebyscheff . Campbell dio diseños k constantes para de paso bajo , de paso altoy de paso de banda filtros. También son posibles filtros de parada de banda y de banda múltiple. [5]
Terminología [ editar ]
Algunos de los términos de impedancia y los términos de sección utilizados en este artículo se muestran en el diagrama a continuación. La teoría de la imagen define las cantidades en términos de una cascada infinita de secciones de dos puertos y, en el caso de los filtros que se analizan, una red de escalera infinita de secciones en L. Aquí "L" no debe confundirse con la inductancia L - en la topología del filtro electrónico , "L" se refiere a la forma específica del filtro que se asemeja a la letra invertida "L".
Las secciones del filtro infinito hipotético están hechos de elementos de la serie que tienen impedancia 2 Zelementos y derivación con admitancia 2 Y. El factor de dos se introduce por conveniencia matemática, ya que es habitual trabajar en términos de medias secciones donde desaparece. La impedancia de imagen del puerto de entrada y salida de una sección generalmente no será la misma. Sin embargo, para una sección de la serie media (es decir, una sección desde la mitad de un elemento de la serie hasta la mitad del siguiente elemento de la serie) tendrá la misma impedancia de imagen en ambos puertos debido a la simetría. Esta impedancia de imagen se designa debido a la topología " " de una sección de series medias. Asimismo, la impedancia de imagen de un
ZiTTLa sección de derivación media se designa debido a la topología " ". La mitad de dicha sección o sección se denomina media sección , que también es una sección en L, pero con la mitad de los valores de los elementos de la sección en L completa. La impedancia de imagen de la media sección es diferente en los puertos de entrada y salida: en el lado que presenta el elemento de la serie es igual a la serie media , pero en el lado que presenta el elemento de derivación es igual a la derivación media . Por lo tanto, hay dos formas diferentes de utilizar una media sección.ZiΠΠ"T""Π"ZiTZiΠ- Partes de este artículo o sección se basan en el conocimiento del lector de la compleja representación de impedancia de los condensadores e inductores y en el conocimiento de la representación de señales en el dominio de la frecuencia .
Derivación [ editar ]
El bloque de construcción de filtros de k constante es la sección media de red "L", compuesto de una serie de impedancia Z , y una derivación admitancia Y . La "k" en "constante k" es el valor dado por, [6]
Por lo tanto, k tendrá unidades de impedancia, es decir, ohmios . Es fácilmente evidente que para que k para que sea constante, Y debe ser el doble de impedancia de Z . Una interpretación física de k se puede dar observando que k es el valor límite de Z i, ya que el tamaño de la sección (en términos de valores de sus componentes, como inductancias, capacitancias, etc.) se aproxima a cero, mientras se mantiene k en Su valor inicial. Así, k es la impedancia característica , Z 0.De la línea de transmisión que estaría formada por estas secciones infinitesimalmente pequeñas. También es la impedancia de imagen de la sección en resonancia , en el caso de filtros de paso de banda, o en ω = 0 en el caso de filtros de paso bajo. [7] Por ejemplo, la mitad de la sección de paso bajo ilustrada tiene
- .
Los elementos L y C se pueden hacer arbitrariamente pequeños manteniendo el mismo valor de k . Sin embargo, Z e Y se aproximan a cero, y de las fórmulas (a continuación) para impedancias de imagen,
- .
Impedancia de la imagen [ editar ]
Las impedancias de imagen de la sección están dadas por [8]
y
Dado que el filtro no contiene ningún elemento resistivo, la impedancia de la imagen en la banda de paso del filtro es puramente real y en la banda de parada es puramente imaginaria . Por ejemplo, para la mitad de sección de paso bajo en la foto, [9]
Por encima de la frecuencia de corte, la impedancia de la imagen es imaginaria,
Parámetros de transmisión [ editar ]
y para una cadena de n medias secciones.
Para la sección de forma de L de paso bajo, debajo de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión están dados por [8]
Es decir, la transmisión no tiene pérdidas en la banda de paso y solo cambia la fase de la señal. Por encima de la frecuencia de corte, los parámetros de transmisión son: [8]
Prototipos de transformaciones [ editar ]
Los gráficos presentados de impedancia de imagen, atenuación y cambio de fase corresponden a una sección de filtro de prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ω c = 1 rad / s y una impedancia nominal k = 1 Ω. Esto se produce mediante una media sección de filtro con inductancia L = 1 henry y capacitancia C = 1 faradio . Este prototipo puede ser escalado de impedancia y escala de frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también se puede transformar en tipos de paso alto, paso de banda o parada de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas .[11]
Secciones en cascada [ editar ]
Varias medias secciones en forma de L pueden estar en cascada para formar un filtro compuesto. Al igual que la impedancia siempre se debe enfrentar como en estas combinaciones. Por lo tanto, hay dos circuitos que pueden formarse con dos semisecciones idénticas en forma de l. Cuando un puerto de impedancia de imagen Z se
iTenfrenta a otra ZiT , la sección se denomina Πsección. Donde Z seiΠ enfrenta a Z,iΠ la sección así formada es una sección en T. Las adiciones adicionales de medias secciones a cualquiera de estas secciones forman una red de escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en derivación. [12]
Debe tenerse en cuenta que las características del filtro predicho por el método de imagen solo son precisas si la sección termina con su impedancia de imagen. Esto generalmente no es cierto para las secciones en cada extremo, que generalmente terminan con una resistencia fija. Cuanto más lejos esté la sección del final del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias de terminación están enmascarados por las secciones intermedias.
divisor de corriente es un circuito lineal simple que produce una corriente de salida ( I X ) que es una fracción de su corriente de entrada ( I T ). La división actual se refiere a la división de la corriente entre las ramas del divisor. Las corrientes en las diversas ramas de un circuito de este tipo siempre se dividirán de tal manera que se minimice la energía total gastada.
La fórmula que describe un divisor de corriente tiene una forma similar a la del divisor de voltaje . Sin embargo, la relación que describe la división de corriente coloca la impedancia de las ramas consideradas en el denominador , a diferencia de la división de voltaje donde la impedancia considerada está en el numerador. Esto se debe a que en los divisores de corriente, la energía total gastada se minimiza, lo que da como resultado corrientes que pasan por trayectorias de menor impedancia, por lo tanto, la relación inversa con la impedancia. Por otro lado, el divisor de voltaje se usa para satisfacer la Ley de Voltaje de Kirchhoff . La tensión alrededor de un bucle debe sumar cero, por lo que las caídas de tensión deben dividirse de manera uniforme en una relación directa con la impedancia.
Para ser específicos, si dos o más impedancias están en paralelo, la corriente que ingresa a la combinación se dividirá entre ellas en proporción inversa a sus impedancias (de acuerdo con la ley de Ohm ). También se sigue que si las impedancias tienen el mismo valor, la corriente se divide en partes iguales.
Divisor actual [ editar ]
Una fórmula general para la corriente I X en una resistencia R X que está en paralelo con una combinación de otras resistencias de resistencia total R T es (ver Figura 1):
donde I T es la corriente total que entra en la red combinada de R X en paralelo con R T . Observe que cuando R T se compone de una combinación paralela de resistencias, digamos R 1 , R 2 , ... etc. , entonces se debe agregar el recíproco de cada resistencia para encontrar la resistencia total R T :
Caso general [2] [ editar ]
Aunque el divisor resistivo es el más común, el divisor actual puede estar hecho de impedancias dependientes de la frecuencia . En el caso general la corriente I X viene dada por:
donde Z T se refiere a la impedancia equivalente de todo el circuito.
Usando Admisión [ editar ]
En lugar de usar impedancias , la regla de divisor actual puede aplicarse igual que la regla de divisor de voltaje si se usa la admitancia (la inversa de impedancia).
Tenga en cuenta que Y Total es una adición directa, no la suma de los inversos invertidos (como lo haría para una red resistiva paralela estándar). Para la Figura 1, la corriente I X sería
Ejemplo: combinación RC [ editar ]
La figura 2 muestra un divisor de corriente simple formado por un condensador y una resistencia. Usando la siguiente fórmula, la corriente en la resistencia viene dada por:
El producto τ = CR se conoce como la constante de tiempo del circuito, y la frecuencia para la cual ωCR = 1 se denomina la frecuencia de esquina del circuito. Debido a que el capacitor tiene una impedancia cero en las frecuencias altas y una impedancia infinita en las frecuencias bajas, la corriente en la resistencia permanece en su valor de corriente continua I T para frecuencias hasta la frecuencia de la esquina, con lo cual cae hacia cero para frecuencias más altas a medida que el condensador es realmente corto Circula la resistencia. En otras palabras, el divisor actual es un filtro de paso bajo para la corriente en la resistencia.
Efecto de carga [ editar ]
La ganancia de un amplificador generalmente depende de su fuente y terminaciones de carga. Los amplificadores de corriente y los amplificadores de transconductancia se caracterizan por una condición de salida de cortocircuito, y los amplificadores de corriente y los amplificadores de transresistencia se caracterizan utilizando fuentes de corriente de impedancia infinita ideales. Cuando un amplificador termina en una terminación finita, no cero, y / o es impulsado por una fuente no ideal, la ganancia efectiva se reduce debido al efecto de carga en la salida y / o la entrada, que puede entenderse en términos de la división actual.
La figura 3 muestra un ejemplo de amplificador de corriente. El amplificador (caja gris) tiene entrada de resistencia R en y resistencia de salida R hacia fuera y una ganancia ideales actual A i . Con un controlador de corriente ideal (resistencia infinita de Norton), toda la corriente de fuente i S se convierte en corriente de entrada al amplificador. Sin embargo, para un controlador Norton se formaun divisor actual en la entrada que reduce la corriente de entrada a
que claramente es menor que i S . Del mismo modo, para un cortocircuito en la salida, el amplificador entrega una corriente de salida i o = A i i i al cortocircuito. Sin embargo, cuando la carga es una resistencia no cero R L , la corriente entregada a la carga se reduce por la división de corriente al valor:
Combinando estos resultados, la ganancia de corriente ideal A i se dio cuenta con un controlador ideal y una carga de cortocircuito se reduce a la ganancia cargada A cargada :
Las relaciones de resistencia en la expresión anterior se denominan factores de carga . Para obtener más información sobre la carga en otros tipos de amplificadores, consulte el efecto de carga .
Unilateral versus amplificadores bilaterales [ editar ]
La Figura 3 y la discusión asociada se refieren a un amplificador unilateral . En un caso más general donde el amplificador está representado por dos puertos , la resistencia de entrada del amplificador depende de su carga y la resistencia de salida de la impedancia de la fuente. Los factores de carga en estos casos deben emplear las verdaderas impedancias del amplificador, incluidos estos efectos bilaterales. Por ejemplo, tomando el amplificador de corriente unilateral de la Figura 3, la red bilateral de dos puertos correspondiente se muestra en la Figura 4 en base a los parámetros h . [4] Al realizar el análisis para este circuito, se encuentra que la ganancia de corriente con realimentación A fb es
Es decir, la ganancia de corriente ideal A i se reduce no solo por los factores de carga, sino también por la naturaleza bilateral de los dos puertos por un factor adicional [5] (1 + β (R L / R S ) A cargado ) , que es típico de loscircuitos amplificadores de retroalimentación negativa . El factor β (R L / R S ) es la realimentación de corriente proporcionada por la fuente de retroalimentación de voltaje de ganancia de voltaje β V / V. Por ejemplo, para una fuente de corriente ideal con R S = ∞ Ω, la retroalimentación de voltaje no tiene influencia, y para R L = 0 Ω, hay voltaje de carga cero, deshabilitando nuevamente la retroalimentación.
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