MECÁNICA

La estabilidad de Drucker (también llamados postulados de estabilidad de Drucker ) se refiere a un conjunto de criterios matemáticos que restringen las posibles relaciones de tensión no lineal - tensión que un material sólido puede satisfacer. ^[1] Los postulados llevan el nombre de Daniel C. Drucker . Un material que no satisface estos criterios a menudo se encuentra inestable en el sentido de que la aplicación de una carga a un punto material puede provocar deformaciones arbitrarias en ese punto material a menos que se especifique una escala de tiempo o tiempo adicional en las relaciones constitutivas .

Los postulados de estabilidad de Drucker a menudo se invocan en el análisis de elementos finitos no lineales . Los materiales que satisfacen estos criterios generalmente son adecuados para el análisis numérico, mientras que los materiales que no cumplen con este criterio probablemente presenten dificultades (es decir, no unicidad o singularidad) durante el proceso de solución.

Primer criterio de estabilidad de Drucker [ editar ]

El primer criterio de estabilidad de Drucker (propuesto por primera vez por Rodney Hill y también llamado criterio de estabilidad de Hill ^[2] ) es una condición sólida en la energía interna incremental de un material que establece que la energía interna incremental solo puede aumentar. El criterio se puede escribir como sigue:

$${\ displaystyle {\ text {d}} {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ text {d}} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ geq 0},

donde d σ es el tensor de incremento de tensión asociado con el tensor de incremento de tensión d ε a través de la relación constitutiva.

La estabilidad postulado de Drucker [ editar ]

Postulado de Drucker es aplicable a los materiales elástico-plástico y establece que en un ciclo de plásticodeformación del segundo trabajo de grado plástico es siempre positivo. Este postulado puede ser expresado en forma incremental como

$${\ displaystyle {\ text {d}} {\ boldsymbol {\ sigma}}: {\ text {d}} {\ boldsymbol {\ varepsilon}} _ {p} \ geq 0},

donde d ε _p es el tensor de tensión plástico incremental.

la integral de Duhamel es una forma de calcular la respuesta de sistemas y estructuras lineales a perturbaciones externas arbitrarias que varían en el tiempo.

Introducción [ editar ]

Fondo [ editar ]

La respuesta de un sistema lineal, viscousamente amortiguado de un grado de libertad (SDOF) a una excitación mecánica variable en el tiempo p ( t ) viene dada por la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden

$${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + c {\ frac {dx (t)} {dt}} + kx (t) = p (t )}

donde m es la masa (equivalente), x representa la amplitud de la vibración, t para el tiempo, c para el coeficiente de amortiguamiento viscoso y k para la rigidez del sistema o la estructura.

Si un sistema descansa inicialmente en su posición de equilibrio , desde donde se actúa mediante un impulso unitario en la instancia t = 0, es decir, p ( t ) en la ecuación anterior es una función delta de Dirac δ ( t ),$${\ displaystyle x (0) = \ left. {\ frac {dx} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 0}Luego, al resolver la ecuación diferencial, se puede obtener una solución fundamental(conocida como función de respuesta de impulso unitario ).

{\ displaystyle h (t) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} e ^ {- \ varsigma \ omega _ {n} t} \ sin \ omega _ { d} t, & t> 0 \\ 0, & t <0 cases="" end="" font="">

dónde $${\ displaystyle \ varsigma = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}Se llama la relación de amortiguación del sistema,$${\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}es la frecuencia angularnatural del sistema no amortiguado (cuando c = 0) y$${\ displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {n} {\ sqrt {1- \ varsigma ^ {2}}}}es la frecuencia circular cuando se tiene en cuenta el efecto de amortiguación (cuando$${\ displaystyle c \ neq 0}). Si el impulso ocurre en t = τ en lugar de t = 0, es decir$${\ displaystyle p (t) = \ delta (t- \ tau)}, la respuesta al impulso es

$${\ displaystyle h (t- \ tau) = {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} e ^ {- \ varsigma \ omega _ {n} (t- \ tau)} \ sin [\ omega _ {d} (t- \ tau)]}，$${\ displaystyle t \ geq \ tau}

Conclusión [ editar ]

Con respecto a la excitación que varía arbitrariamente p ( t ) como una superposición de una serie de impulsos:

{\ displaystyle p (t) \ approx \ sum _ {\ tau

entonces se sabe a partir de la linealidad del sistema que la respuesta global también se puede dividir en la superposición de una serie de respuestas de impulso:

{\ displaystyle x (t) \ approx \ sum _ {\ tau

Dejando $${\ displaystyle \ Delta \ tau \ to 0}, y reemplazando la suma por integración , la ecuación anterior es estrictamente válida

$${\ displaystyle x (t) = \ int _ {0} ^ {t} {p (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau}}

Sustituir la expresión de h ( t - τ ) en la ecuación anterior conduce a la expresión general de la integral de Duhamel

$${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {m \ omega _ {d}}} \ int _ {0} ^ {t} {p (\ tau) e ^ {- \ varsigma \ omega _ { n} (t- \ tau)} \ sin [\ omega _ {d} (t- \ tau)] d \ tau}}

La prueba matemática [ editar ]

La ecuación de equilibrio dinámico SDOF anterior en el caso p (t) = 0 es la ecuación homogénea :

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + {\ bar {c}} {\ frac {dx (t)} {dt}} + {\ bar {k}} x (t) = 0}, dónde $${\ displaystyle {\ bar {c}} = {\ frac {c} {m}}, {\ bar {k}} = {\ frac {k} {m}}}

La solución de esta ecuación es:

$${\ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- {\ frac {1} {2}} ({\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c} } ^ {2} -4 \ cdot {\ bar {k}}}}) t} + C_ {2} \ cdot e ^ {{\ frac {1} {2}} (- {\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 \ cdot {\ bar {k}}}) t}}

La sustitución: $${\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} ({\ bar {c}} - {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}}} ), \; B = {\ frac {1} {2}} ({\ bar {c}} + {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}} }), \; P = {\ sqrt {{\ bar {c}} ^ {2} -4 {\ bar {k}}}}, \; P = BA} lleva a:

$${\ displaystyle x_ {h} (t) = C_ {1} e ^ {- B \ cdot t} \; + \; C_ {2} e ^ {- A \ cdot t}}

Una solución parcial de la ecuación no homogénea: $${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + {\ bar {c}} {\ frac {dx (t)} {dt}} + {\ bar {k}} x (t) = {\ bar {p (t)}}}, dónde $${\ displaystyle {\ bar {p (t)}} = {\ frac {p (t)} {m}}}, podría obtenerse mediante el método de Lagrangian para obtener una solución parcial de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas .

Esta solución tiene la forma:

$${\ displaystyle x_ {p} (t) = {\ frac {\ int {{\ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {At} dt} \ cdot e ^ {- At} - \ int {{ \ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {Bt} dt} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}

Ahora sustituyendo:$${\ displaystyle \ int {{\ bar {p (t)}} \ cdot e ^ {En} dt} | _ {t = z} = Q_ {z}, \ int {{\ bar {p (t)} } \ cdot e ^ {Bt} dt} | _ {t = z} = R_ {z}},dónde $${\ displaystyle \ int {x (t) dt} | _ {t = z}}es la primitiva de x (t) calculada en t = z , en el caso de que z = t, esta integral es la primitiva en sí misma, produce:

$${\ displaystyle x_ {p} (t) = {\ frac {Q_ {t} \ cdot e ^ {- En} -R_ {t} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}

Finalmente, la solución general de la ecuación no homogénea anterior se representa como:

$${\ displaystyle x (t) = x_ {h} (t) + x_ {p} (t) = C_ {1} \ cdot e ^ {- Bt} + C_ {2} \ cdot e ^ {- En} + {\ frac {Q_ {t} \ cdot e ^ {- En} -R_ {t} \ cdot e ^ {- Bt}} {P}}}

con tiempo derivado:

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = - Ae ^ {- En} \ cdot C_ {2} -Be ^ {- Bt} \ cdot C_ {1} + {\ frac {1} {P} } [{\ dot {Q_ {t}}} \ cdot e ^ {- At} -AQ_ {t} \ cdot e ^ {- At} - {\ dot {R_ {t}}} \ cdot e ^ {- Bt} + BR_ {t} \ cdot e ^ {- Bt}]}, dónde $${\ displaystyle {\ dot {Q_ {t}}} = p (t) \ cdot e ^ {At}, {\ dot {R_ {t}}} = p (t) \ cdot e ^ {Bt}}

Para encontrar las constantes desconocidas. $${\ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}, se aplicarán cero condiciones iniciales:

$${\ displaystyle x (t) | _ {t = 0} = 0: C_ {1} + C_ {2} + {\ frac {Q_ {0} \ cdot 1-R_ {0} \ cdot 1} {P} } = 0} ⇒ $${\ displaystyle C_ {1} + C_ {2} = {\ frac {R_ {0} -Q_ {0}} {P}}}

$${\ displaystyle \ left. {\ frac {dx} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 0: -A \ cdot C_ {2} -B \ cdot C_ {1} + {\ frac {1 } {P}} \ cdot [-A \ cdot Q_ {0} + B \ cdot R_ {0}] = 0} ⇒ $${\ displaystyle A \ cdot C_ {2} + B \ cdot C_ {1} = {\ frac {1} {P}} \ cdot [B \ cdot R_ {0} -A \ cdot Q_ {0}]}

Ahora combinando ambas condiciones iniciales juntas, se observa el siguiente sistema de ecuaciones:

{\ displaystyle \ left. {\ begin {alignat} {5} C_ {1} && \; + && \; C_ {2} && \; = && \; {\ frac {R_ {0} -Q_ {0} } {P}} & \\ B \ cdot C_ {1} && \; + && \; A \ cdot C_ {2} && \; = && \; {\ frac {1} {P}} \ cdot [B \ cdot R_ {0} -A \ cdot Q_ {0}] \ end {alignat}} \ right | {\ begin {alignat} {5} C_ {1} && \; = && \; {\ frac {R_ { 0}} {P}} & \\ C_ {2} && \; = && \; - {\ frac {Q_ {0}} {P}} \ end {alignat}}}

La sustitución posterior de las constantes. $${\ displaystyle C_ {1}} y $${\ displaystyle C_ {2}}en la expresión anterior para x (t) produce:

$${\ displaystyle x (t) = {\ frac {Q_ {t} -Q_ {0}} {P}} \ cdot e ^ {- A \ cdot t} - {\ frac {R_ {t} -R_ {0 }} {P}} \ cdot e ^ {- B \ cdot t}}

Reemplazo $${\ displaystyle Q_ {t} -Q_ {0}} y $${\ displaystyle R_ {t} -R_ {0}}(la diferencia entre las primitivas en t = t y t = 0 ) con integrales definidas (por otra variable τ ) revelará la solución general con cero condiciones iniciales, a saber:

$${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {P}} \ cdot [\ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p (\ tau)}} \ cdot e ^ {A \ tau} d \ tau} \ cdot e ^ {- At} - \ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p (\ tau)}} \ cdot e ^ {B \ tau} d \ tau} \ cdot e ^ {- Bt}]}

Finalmente sustituyendo $${\ displaystyle c = 2 \ xi \ omega m, \; k = \ omega ^ {2} m}en consecuencia $${\ displaystyle {\ bar {c}} = 2 \ xi \ omega, {\ bar {k}} = \ omega ^ {2}}, donde ξ <1 i=""> produce:

$${\ displaystyle P = 2 \ omega _ {D} i, \; A = \ xi \ omega - \ omega _ {D} i, \; B = \ xi \ omega + \ omega _ {D} i}, dónde $${\ displaystyle \ omega _ {D} = \ omega \ cdot {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}}y yo es la unidad imaginaria .

Sustituir estas expresiones en la solución general anterior con cero condiciones iniciales y usar la fórmula exponencial de Euler llevará a cancelar los términos imaginarios y revela la solución de Duhamel:

$${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ omega _ {D}}} \ int _ {0} ^ {t} {{\ bar {p (\ tau)}} e ^ {- \ xi \ omega (t- \ tau)} sin (\ omega _ {D} (t- \ tau)) d \ tau}}

El equilibrio dinámico es la rama de la mecánica que se ocupa de los efectos de las fuerzas en el movimiento de un cuerpo o sistema de cuerpos, especialmente de las fuerzas que no se originan dentro del propio sistema, que también se denomina cinética . ^{[1] [2] [3]}

El equilibrio dinámico es la capacidad de un objeto para equilibrarse mientras está en movimiento o cambiar de posición.

El balanceo dinámico nos permite medir y calibrar su equipo rotativo antes de que los desequilibrios puedan causar problemas importantes; Es importante recordar que el equilibrio y la alineación correctos son ideales para mejorar el rendimiento y extender la vida útil de su equipo rotativo.