MECÁNICA

El potencial efectivo (también conocido como energía potencial efectiva ) combina efectos múltiples, tal vez opuestos, en un potencial único. En su forma básica, es la suma de la energía potencial centrífuga"opuesta" con la energía potencial de un sistema dinámico . Puede usarse para determinar las órbitas de los planetas (tanto newtonianoscomo relativistas ) y para realizar cálculos atómicos semiclásicos, y con frecuencia permite que los problemas se reduzcan a menos dimensiones.

Graficar el potencial efectivo. E> 0 hipérbola, E = 0 parábola, E <0 elipse.="" font="" nbsp="">Los puntos A1, ..., A4 se denominan puntos de rotación.

Definición [ editar ]

La forma básica de potencial efectivo. $${\ displaystyle U _ {\ text {eff}}} Se define como:

$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + U (\ mathbf {r})},

dónde

L es el momento angular

r es la distancia entre las dos masas

μ es la masa reducida de los dos cuerpos (aproximadamente igual a la masa del cuerpo en órbita si una masa es mucho más grande que la otra); y

U (r) es la forma general del potencial .

La fuerza efectiva, entonces, es el gradiente negativo del potencial efectivo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {F} _ {\ text {eff}} & = - \ nabla U _ {\ text {eff}} (\ mathbf {r}) \\ & = {\ frac { L ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} - \ nabla U (\ mathbf {r}) \ end {alineado}}} dónde $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}} Denota un vector unitario en la dirección radial.

Propiedades importantes [ editar ]

Hay muchas características útiles del potencial efectivo, tales como

$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ leq E}.

Para encontrar el radio de una órbita circular, simplemente minimice el potencial efectivo con respecto a $${\ displaystyle r}, o establecer de manera equivalente la fuerza neta a cero y luego resolver para $${\ displaystyle r_ {0}}:

$${\ displaystyle {\ frac {dU _ {\ text {eff}}} {dr}} = 0}

Después de resolver para $${\ displaystyle r_ {0}}, conecta esto de nuevo en $${\ displaystyle U _ {\ text {eff}}} Para encontrar el máximo valor del potencial efectivo. $${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ^ {\ text {max}}}.

La frecuencia de pequeñas oscilaciones, utilizando el análisis hamiltoniano básico , es

$${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {eff}} ''} {m}}}},

donde el doble primo indica la segunda derivada del potencial efectivo con respecto a $${\ displaystyle r}.

Potencial gravitacional [ editar ]

Visualización del potencial efectivo en un plano que contiene la órbita (modelo de hoja de goma gris con contornos púrpuras de igual potencial), los puntos lagrangianos (rojo) y un planeta (azul) que orbita una estrella (amarillo) ^[1]

Considere una partícula de masa m en órbita un objeto mucho más pesado de la masa M . Supongamos que la mecánica newtoniana es clásica y no relativista. La conservación de la energía y el momento angular dan dos constantes E y L , que tienen valores

$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right ) - {\ frac {GmM} {r}},}

$${\ displaystyle L = mr ^ {2} {\ dot {\ phi}} \,}

cuando el movimiento de la masa mayor es despreciable. En estas expresiones,

$${\ displaystyle {\ dot {r}}} es la derivada de r con respecto al tiempo,

$${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}es la velocidad angular de la masa  m ,

G es la constante gravitacional ,

E es la energía total, y

L es el momento angular .

Solo se necesitan dos variables, ya que el movimiento se produce en un plano. Sustituyendo la segunda expresión en la primera y reorganizando da

$${\ displaystyle m {\ dot {r}} ^ {2} = 2E - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} + {\ frac {2GmM} {r}} = 2E- {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ left ({\ frac {L ^ {2}} {m}} - 2GmMr \ right),}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} = E-U _ {\ text {eff}} (r),}

dónde

$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - {\ frac {GmM} {r}}}

Es el potencial efectivo. ^{[Nota 1]} El problema original de dos variables se ha reducido a un problema de una variable. Para muchas aplicaciones, el potencial efectivo puede tratarse exactamente como la energía potencial de un sistema unidimensional: por ejemplo, un diagrama de energía que usa el potencial efectivo determina los puntos de inflexión y las ubicaciones de equilibrios estables e inestables . Se puede usar un método similar en otras aplicaciones, por ejemplo, determinar órbitas en una métrica de Schwarzschild relativista general .

Los potenciales efectivos se usan ampliamente en varios subcampos de materia condensada, por ejemplo, el potencial del núcleo de Gauss (Likos 2002, Baeurle 2004) y el potencial de Coulomb analizado (Likos 2001).

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Inestabilidad elástica de una viga rígida soportada por un resorte angular.

La inestabilidad elástica es una forma de inestabilidad que se produce en los sistemas elásticos, como el pandeo de vigas y placas sometidas a grandes cargas de compresión.

Hay muchas formas de estudiar este tipo de inestabilidad. Una de ellas es utilizar el método de deformaciones incrementales basadas en la superposición de una pequeña perturbación en una solución de equilibrio.

Un solo grado de libertad-sistemas [ editar ]

Considere como ejemplo simple un haz rígido de longitud L , articulado en un extremo y libre en el otro, y que tiene un resorte angular unido al extremo articulado. La viga se carga en el extremo libre por una fuerza F queactúa en la dirección axial de compresión de la viga, vea la figura a la derecha.

Condición de equilibrio de momentos [ editar ]

Suponiendo una deflexión angular en sentido horario $${\ displaystyle \ theta}, el momento en el sentido de las agujas del reloj se convierte en$${\ displaystyle M_ {F} = FL \ sin \ theta}. La ecuación de equilibrio de momento viene dada por

$${\ displaystyle FL \ sin \ theta = k _ {\ theta} \ theta}

dónde $${\ displaystyle k _ {\ theta}}es la constante de resorte del resorte angular (Nm / radián). Asumiendo$${\ displaystyle \ theta}es lo suficientemente pequeño, implementando la expansión de Taylor de la función seno y manteniendo los dos rendimientos de los primeros términos

$${\ displaystyle FL {\ Bigg (} \ theta - {\ frac {1} {6}} \ theta ^ {3} {\ Bigg)} \ approx k _ {\ theta} \ theta}

La que tiene tres soluciones, la trivial. $${\ displaystyle \ theta = 0}y

$${\ displaystyle \ theta \ approx \ pm {\ sqrt {6 {\ Bigg (} 1 - {\ frac {k _ {\ theta}} {FL}} {\ Bigg)}}}}

que es imaginario (es decir, no físico) para{\ displaystyle FL y real de lo contrario. Esto implica que para pequeñas fuerzas de compresión, el único estado de equilibrio está dado por$${\ displaystyle \ theta = 0}, mientras que si la fuerza supera el valor $${\ displaystyle k _ {\ theta} / L} De repente hay otro modo de deformación posible.

Método de energía [ editar ]

El mismo resultado se puede obtener considerando las relaciones energéticas . La energía almacenada en el resorte angular es

$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {spring}} = \ int k _ {\ theta} \ theta \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {1} {2}} k _ {\ theta} \ theta ^ {2} }

y el trabajo realizado por la fuerza es simplemente la fuerza multiplicada por el desplazamiento vertical del extremo de la viga, que es $${\ displaystyle L (1- \ cos \ theta)}. Así,

$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {force}} = \ int {F \ mathrm {d} x = FL (1- \ cos \ theta)}}

La condición de equilibrio energético. $${\ displaystyle E _ {\ mathrm {spring}} = E _ {\ mathrm {force}}} ahora cede $${\ displaystyle F = k _ {\ theta} / L} como antes (además de lo trivial). $${\ displaystyle \ theta = 0}).

Estabilidad de las soluciones [ editar ]

Alguna solución $${\ displaystyle \ theta}Es estable si hay un pequeño cambio en el ángulo de deformación.$${\ displaystyle \ Delta \ theta}resulta en un momento de reacción que intenta restaurar el ángulo original de deformación. El momento neto en el sentido de las agujas del reloj que actúa sobre la viga es

$${\ displaystyle M (\ theta) = FL \ sin \ theta -k _ {\ theta} \ theta}

Un cambio infinitesimal en el sentido de las agujas del reloj del ángulo de deformación.$${\ displaystyle \ theta} resultados en un momento

$${\ displaystyle M (\ theta + \ Delta \ theta) = M + \ Delta M = FL (\ sin \ theta + \ Delta \ theta \ cos \ theta) -k _ {\ theta} (\ theta + \ Delta \ theta) }

el cual puede ser reescrito como

$${\ displaystyle \ Delta M = \ Delta \ theta (FL \ cos \ theta -k _ {\ theta})}

ya que $${\ displaystyle FL \ sin \ theta = k _ {\ theta} \ theta}Debido a la condición de equilibrio del momento. Ahora, una solución$${\ displaystyle \ theta} es estable si un cambio en el sentido de las agujas del reloj {\ displaystyle \ Delta \ theta> 0} resulta en un cambio de momento negativo {\ displaystyle \ Delta M <0 font="">y viceversa. Así, la condición para la estabilidad se convierte en

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta M} {\ Delta \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} \ theta}} = FL \ cos \ theta -k _ {\ theta} <0 font="">

La solución $${\ displaystyle \ theta = 0} es estable solo para {\ displaystyle FL , lo que se espera. Al expandir el término coseno en la ecuación, se obtiene la condición de estabilidad aproximada:

{\ displaystyle | \ theta |> {\ sqrt {2 {\ Bigg (} 1 - {\ frac {k _ {\ theta}} {FL}} {\ Bigg)}}}}

para {\ displaystyle FL> k _ {\ theta}}, que las otras dos soluciones satisfacen. Por lo tanto, estas soluciones son estables.

Múltiples grados de libertad-sistemas [ editar ]

Inestabilidad elástica, 2 grados de libertad.

Al unir otra viga rígida al sistema original por medio de un resorte angular, se obtiene un sistema de dos grados de libertad. Supongamos por simplicidad que las longitudes del haz y los resortes angulares son iguales. Las condiciones de equilibrio se convierten en.

$${\ displaystyle FL (\ sin \ theta _ {1} + \ sin \ theta _ {2}) = k _ {\ theta} \ theta _ {1}}

$${\ displaystyle FL \ sin \ theta _ {2} = k _ {\ theta} (\ theta _ {2} - \ theta _ {1})}

dónde $${\ displaystyle \ theta _ {1}} y $${\ displaystyle \ theta _ {2}}Son los ángulos de los dos rayos. Linealización asumiendo que estos ángulos son pequeños rendimientos.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} FL-k {\ theta} & FL \\ k _ {\ theta} & FL-k _ {\ theta} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ theta _ {1} \ \\ theta _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

Las soluciones no triviales del sistema se obtienen al encontrar las raíces del determinante de la matriz del sistema , es decir, para

$${\ displaystyle {\ frac {FL} {k _ {\ theta}}} = {\ frac {3} {2}} \ mp {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ approx \ left \ { {\ begin {matrix} 0.382 \\ 2.618 \ end {matrix}} \ right.}

Por lo tanto, para los dos grados de sistema de libertad hay dos valores críticos para la fuerza F aplicada . Estos corresponden a dos modos diferentes de deformación que se pueden calcular desde el espacio nulode la matriz del sistema. Dividiendo las ecuaciones por$${\ displaystyle \ theta _ {1}} rendimientos

{\ displaystyle {\ frac {\ theta _ {2}} {\ theta _ {1}}} {\ Big |} _ {\ theta _ {1} \ neq 0} = {\ frac {k _ {\ theta} } {FL}} - 1 \ approx \ left \ {{\ begin {matrix} 1.618 & {\ text {for}} FL / k _ {\ theta} \ approx 0.382 \\ - 0.618 & {\ text {for}} FL / k _ {\ theta} \ approx 2.618 \ end {matrix}} \ right.}

Para la fuerza crítica más baja, la relación es positiva y las dos vigas se desvían en la misma dirección, mientras que para la fuerza más alta forman una forma de "banana". Estos dos estados de deformación representan las formas de modo de pandeo del sistema.

modelado electromecánico es modelar y simular un sistema electromecánico , de modo que sus parámetros físicos puedan examinarse antes de que se construya el sistema real. La estimación de parámetros y la realización física de todo el sistema es el principal objetivo de diseño del modelado electromecánico. El modelo matemático basado en la teoría se puede usar o aplicar a otro sistema para juzgar el rendimiento del sistema conjunto como un todo. Esta es una técnica bien conocida y probada para el diseño de sistemas de control de gran tamaño para sistemas industriales, así como complejos académicos multidisciplinarios. Esta técnica también se está empleando en la tecnología MEMS recientemente.

Los diferentes tipos de modelado matemático [ editar ]

El modelado de sistemas puramente mecánicos se basa principalmente en el lagrangiano, que es una función de las coordenadas generalizadas y las velocidades asociadas. Si todas las fuerzas son derivables de un potencial, entonces el comportamiento del tiempo de los sistemas dinámicos está completamente determinado. Para sistemas mecánicos simples, el Lagrangiano se define como la diferencia de la energía cinética y la energía potencial.

Existe un enfoque similar para el sistema eléctrico. Por medio de la co-energía eléctrica y las cantidades de potencia bien definidas, las ecuaciones de los movimientos se definen de manera única. Las corrientes de los inductores y las caídas de voltaje a través de los condensadores desempeñan el papel de las coordenadas generalizadas. Todas las restricciones, por ejemplo causadas por las leyes de Kirchhoff, se eliminan de las consideraciones. Después de eso, se derivará una función de transferencia adecuada de los parámetros del sistema que eventualmente gobiernan el comportamiento del sistema.

En consecuencia, tenemos cantidades (energía cinética y potencial, fuerzas generalizadas) que determinan la parte mecánica y cantidades (co-energía, potencias) para la descripción de la parte eléctrica. Esto ofrece una combinación de las partes mecánicas y eléctricas por medio de un enfoque de energía. Como resultado, se produce un formato Lagrangiano extendido.