MECÁNICA

La carga crítica es la carga máxima (unidad: Newton, es una fuerza) que una columna puede soportar mientras se mantiene recta. Está dada por la fórmula : ^[1]

Fig. 1: Factores de longitud efectiva de columna para la carga crítica de Euler. En el diseño práctico, se recomienda aumentar los factores como se muestra arriba.

$${\ displaystyle P_ {cr} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {(KL) ^ {2}}}}

dónde

$${\ displaystyle P_ {cr}} = Carga crítica de Euler (carga de compresión longitudinal en columna),

$${\ displaystyle E}= módulo de elasticidad del material de la columna,

$${\ displaystyle I}= área mínima momento de inercia de la sección transversal de la columna,

$${\ displaystyle L}= longitud de columna no admitida,

$${\ displaystyle K}= factor de longitud efectiva de la columna

Esta fórmula fue derivada en 1757 , por el matemático suizo Leonhard Euler . La columna permanecerá recta para cargas menores que la carga crítica. La "carga crítica" es la carga más grande que no causará deflexión lateral (pandeo). Para cargas mayores que la carga crítica, la columna se desviará lateralmente. La carga crítica pone a la columna en un estado de equilibrio inestable . Una carga más allá de la carga crítica hace que la columna falle al doblarse . A medida que aumenta la carga más allá de la carga crítica, las desviaciones laterales aumentan, hasta que puede fallar en otros modos, como el rendimiento del material. La carga de columnas más allá de la carga crítica no se aborda en este artículo.

Alrededor de 1900, JB Johnson demostró que a bajas proporciones de esbeltez debería usarse una fórmula alternativa .

Suposiciones del modelo [ editar ]

Se hacen los siguientes supuestos al derivar la fórmula de Euler: ^[2]

1. El material de la columna es homogéneo e isotrópico .
2. La carga de compresión sobre la columna es solo axial.
3. La columna está libre de estrés inicial .
4. El peso de la columna se descuida.
5. La columna es inicialmente recta (sin excentricidad de la carga axial).
6. Las uniones de los pasadores son sin fricción (sin restricción de momento) y los extremos fijos son rígidos (sin desviación de rotación).
7. La sección transversal de la columna es uniforme en toda su longitud.
8. La tensión directa es muy pequeña en comparación con la tensión de flexión (el material se comprime solo dentro del rango elástico de las deformaciones).
9. La longitud de la columna es muy grande en comparación con las dimensiones de la sección transversal de la columna.
10. La columna falla solo por pandeo. Esto es cierto si el esfuerzo de compresión en la columna no excede el límite elástico. $${\ displaystyle \ sigma _ {y}} (ver figura 2):
    
    

    Fig. 2: Relación entre tensión crítica y esbeltez para acero, para E = 200GPa, resistencia de rendimiento = 240MPa
    {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {P_ {cr}} {A}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {(L_ {e} / r) ^ {2}}} <\ sigma _ {y}}

Para columnas delgadas, la tensión crítica suele ser menor que la tensión de rendimiento y en el rango elástico. Una columna robusta tendría, en contraste, una tensión crítica de pandeo mayor que el rendimiento, es decir, produce un acortamiento antes del inicio del pandeo elástico virtual.

Dónde:

$${\ displaystyle L_ {e} / r} - Proporción de esbeltez

$${\ displaystyle L_ {e}} - La longitud efectiva, $${\ displaystyle L_ {e} = KL}

$${\ displaystyle r} - Radio de giro, $${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ operatorname {I} \! \ over \ operatorname {A} \!}}}

$${\ displaystyle I} - Momento de inercia

$${\ displaystyle A} - Sección transversal del área.

Derivación matemática: Pin terminado columna [ editar ]

El siguiente modelo se aplica a las columnas simplemente soportadas en cada extremo ($${\ displaystyle K = 1}).

En primer lugar, pondremos atención al hecho de que no hay reacciones en los extremos articulados, por lo que tampoco tenemos fuerza de corte en ninguna sección transversal de la columna. La razón para que no haya reacciones puede obtenerse a partir de la simetría (por lo que las reacciones deben ser en la misma dirección) y desde el momento del equilibrio (por lo que las reacciones deben ser en direcciones opuestas).

Usando el diagrama de cuerpo libre en el lado derecho de la figura 3, y haciendo una suma de momentos sobre el punto A:

$${\ displaystyle \ Sigma M = 0 \ Rightarrow M (x) + Pw = 0}

donde w es la deflexión lateral.

De acuerdo con la teoría del haz de Euler-Bernoulli , la desviación de un haz se relaciona con su momento de flexión mediante:

$${\ displaystyle M = -EI {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}},

asi que:

Fig. 3: Columna con pines bajo el efecto de la carga de pandeo

$${\ displaystyle EI {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} + Pw = 0}

Dejar $${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}}, asi que:

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} + \ lambda ^ {2} w = 0}

Obtenemos una ecuación diferencial ordinaria homogénea clásica de segundo orden .

Las soluciones generales de esta ecuación son: $${\ displaystyle w (x) = A \ cos (\ lambda x) + B \ sin (\ lambda x)}, dónde $${\ displaystyle A} y $${\ displaystyle B}Las constantes están determinadas por condiciones de contorno , que son:

• Extremo izquierdo clavado $${\ displaystyle \ rightarrow w (0) = 0 \ rightarrow A = 0}
• Extremo derecho clavado $${\ displaystyle \ rightarrow w (l) = 0 \ rightarrow B \ sin (\ lambda l) = 0}

Fig. 4: Primeros tres modos de pandeo de cargas.

Si $${\ displaystyle B = 0}, no existe momento de flexión y obtenemos la solución trivial de$${\ displaystyle w (x) = 0}.

Sin embargo, desde la otra solución $${\ displaystyle \ sin (\ lambda l) = 0}obtenemos $${\ displaystyle \ lambda _ {n} l = n \ pi}, para $${\ displaystyle n = 0,1,2 ...}

Juntos con $${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}} como se definió anteriormente, las diferentes cargas críticas son:

$${\ displaystyle P_ {n} = {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} EI} {l ^ {2}}}}, para $${\ displaystyle n = 0,1,2 ...}

y dependiendo del valor de $${\ displaystyle n}, se producen diferentes modos de pandeo ^[3] como se muestra en la figura 4. La carga y el modo para n = 0 son el modo sin frenos.

Teóricamente, cualquier modo de pandeo es posible, pero en el caso de una carga aplicada lentamente solo es probable que se produzca la primera forma modal.

La carga crítica de Euler para una columna con pines es por lo tanto:

$${\ displaystyle P_ {cr} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {l ^ {2}}}}

y la forma obtenida de la columna abrochada en el primer modo es:

$${\ displaystyle w (x) = B \ sin {\ Bigl (} {\ pi \ sobre l} x {\ Bigr)}}.

Derivación matemática: Enfoque general [ editar ]

Fig. 5: fuerzas y momentos actuando sobre una columna.

La ecuación diferencial del eje de una viga ^[4] es:

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} w} {dx ^ {4}}} + {\ frac {P} {EI}} {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2} }} = {\ frac {q} {EI}}}

Para una columna con carga axial solamente, la carga lateral. $${\ displaystyle q (x)}desaparece y sustituye $${\ displaystyle \ lambda ^ {2} = {\ frac {P} {EI}}} , obtenemos:

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} w} {dx ^ {4}}} + \ lambda ^ {2} {\ frac {d ^ {2} w} {dx ^ {2}}} = 0 }

Esta es una ecuación diferencial homogénea de cuarto orden y su solución general es $${\ displaystyle w (x) = A \ sin (\ lambda x) + B \ cos (\ lambda x) + Cx + D}

Las cuatro constantes $${\ displaystyle A, B, C, D} están determinadas por las condiciones de contorno (restricciones finales) en $${\ displaystyle w (x)}, en cada extremo. Hay tres casos:

1. Fin fijado: $${\ displaystyle w = 0} y $${\ displaystyle M = 0 \ rightarrow {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = 0}
2. Fin fijo: $${\ displaystyle w = 0} y $${\ displaystyle {dw \ over dx} = 0}
3. Final libre: $${\ displaystyle M = 0 \ rightarrow {d ^ {2} w \ over dx ^ {2}} = 0} y $${\ displaystyle V = 0 \ rightarrow {d ^ {3} w \ over dx ^ {3}} + \ lambda ^ {2} {dw \ over dx} = 0}

Usando cada vez que se obtiene una combinación diferente de estos BC, se obtienen problemas de valor propio . Resolviéndolos, obtenemos los valores de la carga crítica de Euler para cada uno de los casos presentados en la Figura 1.

El método de elemento finito extendido ( XFEM ) es una técnica numérica basada en el método de elemento finito generalizado ( GFEM ) y el método de partición de unidad ( PUM ). Amplía el enfoque del método de elementos finitos (FEM) clásico al enriquecer el espacio de solución para soluciones a ecuaciones diferenciales con funciones discontinuas.

Malla 2D FEM , los triángulos son los elementos, los vértices son los nodos . El método de elementos finitos( FEM ) ha sido la herramienta elegida desde que el ingeniero civil Ray W. Clough en 1940 derivó la matriz de rigidez de un elemento finito triangular de 3 nodos (y acuñó el nombre). Los precursores de FEM fueron elementos construidos a partir de barras ( Hrennikoff , Argyris , Turner) y un enfoque de variación conceptual sugerido por R. Courant . Hoy en día, el FEM se utiliza para modelar una gama mucho más amplia de fenómenos físicos.

Historia [ editar ]

El método de elementos finitos extendidos (XFEM) fue desarrollado en 1999 por Ted Belytschko y colaboradores, ^[1] para ayudar a aliviar las deficiencias del método de elementos finitos y se ha utilizado para modelar la propagación de varias discontinuidades: fuerte ( fisuras ) y débil (material interfaces). La idea detrás de XFEM es retener la mayoría de las ventajas de los métodos de meshfree mientras se alivian sus aspectos negativos.

Justificación [ editar ]

El método de elementos finitos extendidos fue desarrollado para aliviar las dificultades en la resolución de problemas con características localizadas que no se resuelven de manera eficiente mediante el refinamiento de malla. Una de las aplicaciones iniciales fue el modelado de fracturas en un material. En esta implementación original, las funciones de base discontinua se agregan a las funciones de base polinomial estándar para los nodos que pertenecen a elementos que se intersecan con una grieta para proporcionar una base que incluye desplazamientos de apertura de grieta. Una ventaja clave de XFEM es que, en tales problemas, la malla de elementos finitos no necesita actualizarse para rastrear la ruta de la grieta. Investigaciones posteriores han ilustrado el uso más general del método para problemas que involucran singularidades., interfaces de materiales, mallas regulares de características microestructurales como vacíos y otros problemas en los que una característica localizada puede describirse mediante un conjunto apropiado de funciones básicas.

Principio [ editar ]

Los métodos de elementos finitos enriquecidos amplían, o enriquecen, el espacio de aproximación de modo que sea capaz de reproducir naturalmente la característica desafiante asociada con el problema de interés: la discontinuidad, la singularidad , la capa límite , etc. Se demostró que para algunos problemas, tal la incorporación de la característica del problema en el espacio de aproximación puede mejorar significativamente las tasas de convergencia y la precisión. Además, el tratamiento de problemas con discontinuidades con métodos de elementos finitos extendidos suprime la necesidad de unir y remover las superficies de discontinuidad, aliviando así los costos computacionales y los errores de proyección asociados con los métodos de elementos finitos convencionales, al costo de restringir las discontinuidades a los bordes de malla.

Códigos XFEM existentes [ editar ]

Existen varios códigos de investigación que implementan esta técnica en diversos grados.

• GetFEM ++
• xfem ++
• openxfem ++
• Dynaflow

XFEM también se ha implementado en código como Altair Radioss , ASTER, Morfeo y Abaqus . Cada vez más, está siendo adoptado por otro software comercial de elementos finitos, con algunos complementos e implementaciones de núcleo reales disponibles ( ANSYS , SAMCEF , OOFELIE , etc.).