MECÁNICA

La dinámica de contacto se ocupa del movimiento de sistemas multicuerpo sometidos a contactos unilateralesy fricción . Tales sistemas son omnipresentes en muchas aplicaciones de dinámica de multicuerpos. Considere por ejemplo

• Contactos entre ruedas y suelo en dinámica de vehículos.
• Chirrido de los frenos debido a las oscilaciones inducidas por la fricción.
• Movimiento de muchas partículas, esferas que caen en un embudo, procesos de mezcla (medios granulares)
• Mecanismos de relojería
• Maquinas para caminar
• Máquinas arbitrarias con paradas límite, fricción.

A continuación se discute cómo se pueden modelar tales sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción y cómo se puede obtener la evolución temporal de tales sistemas por integración numérica . Además, se dan algunos ejemplos.

Modelado [ editar ]

Los dos enfoques principales para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción son el enfoque regularizado y el enfoque no uniforme. A continuación, se presentan los dos enfoques utilizando un ejemplo simple. Considere un bloque que puede deslizarse o pegarse a una mesa (vea la figura 1a). El movimiento del bloque se describe mediante la ecuación de movimiento, mientras que la fuerza de fricción es desconocida (ver figura 1b). Para obtener la fuerza de fricción, se debe especificar una ley de fuerza separada que vincule la fuerza de fricción a la velocidad asociada del bloque.

Figura 1: Bloque que puede deslizarse o adherirse a una mesa. La figura a) muestra el modelo, la figura b) la ecuación de movimiento con una fuerza de fricción desconocida

Enfoque no lisa [ editar ]

Un enfoque más sofisticado es el enfoque no uniforme, que utiliza leyes de fuerza de valor establecido para modelar sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Considere nuevamente el bloque que se desliza o se pega en la mesa. La ley de fricción de valor de conjunto asociada del tipo Sgn se muestra en la figura 3. Con respecto a la caja deslizante, se proporciona la fuerza de fricción. Con respecto al caso de adherencia, la fuerza de fricción tiene un valor establecido y se determina de acuerdo con una restricciónalgebraica adicional .

Figura 3: Ley de fuerza de valor nominal para fricción

Para concluir, el enfoque no uniforme cambia la estructura matemática subyacente si es necesario y conduce a una descripción adecuada de los sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Como consecuencia de la estructura matemática cambiante, pueden producirse impactos , y ya no se puede suponer que las evoluciones en el tiempo de las posiciones y las velocidades sean suaves . Como consecuencia, deben definirse ecuaciones de impacto adicionales y leyes de impacto. Para manejar la estructura matemática cambiante, las leyes de fuerza de valores establecidos se escriben comúnmente como problemas de desigualdad o inclusión . La evaluación de estas desigualdades / inclusiones se realiza comúnmente mediante la resolución de problemas de complementariedad lineal (o no lineal) , medianteProgramación cuadrática o transformando los problemas de desigualdad / inclusión en ecuaciones proyectivas que pueden resolverse iterativamente mediante las técnicas de Jacobi o Gauss-Seidel . El enfoque no uniforme proporciona un nuevo enfoque de modelado para sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción, que incorpora también toda la mecánica clásica sujeta a restricciones bilaterales. El enfoque está asociado a la teoría clásica de DAE y conduce a esquemas de integración robustos.

La integración numérica [ editar ]

La integración de modelos regularizados se puede realizar mediante solucionadores rígidos estándar para ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, pueden ocurrir oscilaciones inducidas por la regularización. Teniendo en cuenta los modelos no fluidos de sistemas mecánicos con contactos y fricción unilaterales, existen dos clases principales de integradores, los eventos basados ​​en eventos y los llamados integradores de paso del tiempo.

Integradores impulsada por eventos [ editar ]

Los integradores controlados por eventos distinguen entre partes suaves del movimiento en las que la estructura subyacente de las ecuaciones diferenciales no cambia, y en los eventos o los llamados puntos de conmutación en los que cambia esta estructura, es decir, instantes de tiempo en los que se cierra un contacto unilateral o se produce la transición de deslizamiento de palo. En estos puntos de conmutación, las leyes de fuerza de valor establecido (y el impacto adicional) se evalúan para obtener una nueva estructura matemática subyacente en la que se puede continuar la integración. Los integradores controlados por eventos son muy precisos pero no son adecuados para sistemas con muchos contactos.

Integradores de paso del tiempo [ editar ]

Los llamados integradores de pasos en el tiempo son esquemas numéricos dedicados para sistemas mecánicos con muchos contactos. El primer integrador de cambio de tiempo fue presentado por JJ Moreau. Los integradores no pretenden resolver puntos de conmutación y, por lo tanto, son muy robustos en su aplicación. Como los integradores trabajan con la integral de las fuerzas de contacto y no con las fuerzas en sí, los métodos pueden manejar tanto el movimiento no impulsivo como los eventos impulsivos como los impactos. Como inconveniente, la precisión de los integradores de paso de tiempo es baja. Esta falta puede solucionarse utilizando un refinamiento de tamaño de paso en los puntos de conmutación. Las partes suaves del movimiento se procesan con pasos más grandes y se pueden utilizar métodos de integración de orden superior para aumentar el orden de integración.

Ejemplos [ editar ]

Esta sección da algunos ejemplos de sistemas mecánicos con contactos unilaterales y fricción. Los resultados se han obtenido mediante un enfoque no uniforme utilizando integradores de paso de tiempo.

Materiales granulares [ editar ]

Los métodos de paso del tiempo son especialmente adecuados para la simulación de materiales granulares. La figura 4 muestra la simulación de mezclar 1000 discos.

Figura 4: Mezclando mil discos.

Billar [ editar ]

Considere dos esferas en colisión en una obra de billar. La figura 5a muestra algunas instantáneas de dos esferas en colisión, la figura 5b muestra las trayectorias asociadas.

Figura 5: a) Instantánea. b) Trayectorias de las dos esferas.

De una moto [ editar ]

Si una moto se acelera demasiado rápido, hace un wheelie. La figura 6 muestra algunas instantáneas de una simulación.

Figura 6: Wheely de una moto.

Movimiento del juguete carpintero [ editar ]

El juguete carpintero es un problema de referencia bien conocido en la dinámica de contacto. El juguete consiste en un palo, una manga con un orificio que es ligeramente más grande que el diámetro del palo, un resorte y el cuerpo del pájaro carpintero. En funcionamiento, el pájaro carpintero se mueve hacia abajo en el polo realizando algún tipo de movimiento de lanzamiento, que está controlado por el manguito. La figura 7 muestra algunas instantáneas de una simulación.

Figura 7: Simulación del juguete carpintero.

Se puede encontrar una simulación y visualización en https://github.com/gabyx/Woodpecker .

pareja se refiere a dos fuerzas paralelas que son iguales en magnitud, opuestas en sentido y no comparten una línea de acción.

Un término mejor es fuerza par o momento puro . Su efecto es crear rotación sin traslación , o más generalmente sin ninguna aceleración del centro de masa . En la mecánica de cuerpos rígidos, las parejas de fuerza son vectores libres , lo que significa que sus efectos en un cuerpo son independientes del torque . Esto no debe confundirse con el término par, tal como se utiliza en física, donde es simplemente un sinónimo de momento. ^[1] En cambio, el par es un caso especialde momento El par tiene propiedades especiales que el momento no tiene, en particular la propiedad de ser independiente del punto de referencia, como se describe a continuación.

Pareja sencilla [ editar ]

Definición

Una pareja es un par de fuerzas, de igual magnitud, dirigidas en sentido contrario y desplazadas por distancia o momento perpendicular.

El tipo de pareja más simple consiste en dos fuerzas iguales y opuestas cuyas líneas de acción no coinciden. Esto se llama una "pareja simple". ^[2] Las fuerzas tienen un efecto de giro o un momento llamado par alrededor de un eje que es normal (perpendicular) al plano de las fuerzas. La unidad SI para el par de torsión de la pareja es newton meter .

Si las dos fuerzas son F y −F , entonces la magnitud del par viene dada por la siguiente fórmula:

$${\ displaystyle \ tau = Fd \,}

dónde

$${\ displaystyle \ tau} es el momento de la pareja

F es la magnitud de la fuerza

d es la distancia perpendicular (momento) entre las dos fuerzas paralelas

La magnitud del par es igual a F d , con la dirección del par dado por el vector unitario $${\ displaystyle {\ hat {e}}}, que es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y positivo es una pareja en sentido contrario a las agujas del reloj. Cuando dse toma como un vector entre los puntos de acción de las fuerzas, entonces el par es el producto cruzado de d y F , es decir,

$${\ displaystyle \ mathbf {\ tau} = | \ mathbf {d} \ times \ mathbf {F} |.}

Independencia del punto de referencia [ editar ]

El momento de una fuerza solo se define con respecto a un cierto punto P (se dice que es el "momento sobre P"), y en general cuando se cambia P , el momento cambia. Sin embargo, el momento (par) de una pareja es independiente del punto de referencia P : cualquier punto dará el mismo momento. ^[2] En otras palabras, un vector de par, a diferencia de cualquier otro vector de momento, es un "vector libre".

(Este hecho se denomina Teorema del segundo momento de Varignon ). ^[3]

La prueba de esta afirmación es la siguiente: Supongamos que hay un conjunto de vectores de fuerza F ₁ , F ₂ , etc. que forman una pareja, con vectores de posición (sobre algún origen P ) r ₁ , r ₂ , etc., respectivamente. El momento sobre P es

$${\ displaystyle M = \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

Ahora elegimos un nuevo punto de referencia P ' que difiere de P por el vector r . El nuevo momento es

$${\ displaystyle M '= (\ mathbf {r} _ {1} + \ mathbf {r}) \ times \ mathbf {F} _ {1} + (\ mathbf {r} _ {2} + \ mathbf {r }) \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots}

Ahora la propiedad distributiva del producto cruzado implica

$${\ displaystyle M '= \ left (\ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right) + \ mathbf {r} \ times \ left (\ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots \ right).}

Sin embargo, la definición de una pareja de fuerza significa que

$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = 0.}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle M '= \ mathbf {r} _ {1} \ times \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {r} _ {2} \ times \ mathbf {F} _ {2} + \ cdots = M}

Esto demuestra que el momento es independiente del punto de referencia, que es una prueba de que una pareja es un vector libre.

Fuerzas y parejas [ editar ]

Una fuerza F aplicada a un cuerpo rígido a una distancia d del centro de masa tiene el mismo efecto que la misma fuerza aplicada directamente al centro de masa y una pareja Cℓ = Fd . La pareja produce una aceleración angular del cuerpo rígido en ángulos rectos al plano de la pareja. ^[4] La fuerza en el centro de la masa acelera el cuerpo en la dirección de la fuerza sin cambio de orientación. Los teoremas generales son: ^[4]

Una fuerza única que actúa en cualquier punto O ' de un cuerpo rígido puede reemplazarse por una fuerza igual y paralela F queactúa en cualquier punto O y una pareja con fuerzas paralelas a Fcuyo momento es M = Fd , d es la separación de O y O ′ . A la inversa, una pareja y una fuerza en el plano de la pareja pueden ser reemplazadas por una sola fuerza, localizada apropiadamente.

Cualquier pareja puede ser reemplazada por otra en el mismo plano de la misma dirección y momento, con cualquier fuerza deseada o cualquier brazo deseado. ^[4]

Aplicaciones [ editar ]

Las parejas son muy importantes en ingeniería mecánica y ciencias físicas. Algunos ejemplos son:

• Las fuerzas que ejerce la mano sobre un destornillador.
• Las fuerzas ejercidas por la punta de un destornillador en la cabeza de un tornillo.
• Fuerzas de arrastre que actúan sobre una hélice giratoria.
• Fuerzas sobre un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme.
• El sistema de control de reacción en una nave espacial.
• Fuerza ejercida por las manos sobre el volante.

En un cristal líquido , es la rotación de un eje óptico llamado director que produce la funcionalidad de estos compuestos. Como explicó Jerald Ericksen

A primera vista, puede parecer que es la óptica o la electrónica lo que está involucrado, en lugar de la mecánica. En realidad, los cambios en el comportamiento óptico, etc. están asociados con cambios en la orientación. A su vez, estos son producidos por parejas. Más o menos, es similar a doblar un alambre, aplicando parejas.