MECÁNICA

La fricción de la correa es un término que describe las fuerzas de fricción entre una correa y una superficie, como una correa envuelta alrededor de un bolardo . Cuando se tira de un extremo de la correa, solo una parte de esta fuerza se transmite al otro extremo envuelto alrededor de una superficie. La fuerza de fricción aumenta con la cantidad de envoltura alrededor de una superficie y lo hace así que la tensión en la correa puede ser diferente en ambos extremos de la correa. La fricción de la correa puede ser modelada por la ecuación de fricción de la correa . ^[1]

En la práctica, la tensión teórica que actúa sobre la correa o cuerda calculada por la ecuación de fricción de la correa puede compararse con la tensión máxima que la correa puede soportar. Esto ayuda a un diseñador de tal plataforma a saber cuántas veces debe enrollarse la correa o la cuerda alrededor de la polea para evitar que se resbale. Los escaladores de montaña y las tripulaciones de navegación demuestran un conocimiento estándar de la fricción de la banda al realizar tareas básicas.

Ecuación [ editar ]

Artículo principal: Ecuación del cabrestante.

La ecuación utilizada para modelar la fricción de la correa es, asumiendo que la correa no tiene masa y su material es una composición fija: ^[2]

$${\ displaystyle T_ {2} = T_ {1} e ^ {\ mu _ {s} \ beta} \,}

dónde $${\ displaystyle T_ {2}} es la tensión del lado tirando, $${\ displaystyle T_ {1}} es la tensión del lado resistente, $${\ displaystyle \ mu _ {s}}es el coeficiente de fricción estática , que no tiene unidades, y$${\ displaystyle \ beta}Es el ángulo, en radianes , formado por los puntos primero y último en que la correa toca la polea, con el vértice en el centro de la polea. ^[3]

La tensión en el lado de tracción de la correa y la polea tiene la capacidad de aumentar exponencialmente ^[1] si la magnitud del ángulo de la correa aumenta (por ejemplo, se enrolla alrededor del segmento de la polea varias veces).

La generalización de una cuerda tendida en una superficie ortótropo arbitraria [ editar ]

Si una cuerda se encuentra en equilibrio bajo fuerzas tangenciales en una superficie ortotrópica rugosa, se cumplen tres condiciones siguientes (todas ellas):

1. No hay separación - reacción normal $${\ displaystyle N} es positivo para todos los puntos de la curva de la cuerda:

{\ displaystyle N = -k_ {n} T> 0}, dónde $${\ displaystyle k_ {n}} Es una curvatura normal de la curva de la cuerda.

2. Coeficiente de fricción de fricción. $${\ displaystyle \ mu _ {g}} y el ángulo $${\ displaystyle \ alpha} Satisfacen los siguientes criterios para todos los puntos de la curva.

{\ displaystyle - \ mu _ {g} <\ tan \ alpha <+ \ mu _ {g}}

3. Valores límite de las fuerzas tangenciales:

Las fuerzas en ambos extremos de la cuerda. $${\ displaystyle T} y $${\ displaystyle T_ {0}} están satisfaciendo la siguiente desigualdad

$${\ displaystyle T_ {0} e ^ {- \ int _ {s} \ omega ds} \ leq T \ leq T_ {0} e ^ {\ int _ {s} \ omega ds}}

con $${\ displaystyle \ omega = \ mu _ {\ tau} {\ sqrt {k_ {n} ^ {2} - {\ frac {k_ {g} ^ {2}} {\ mu _ {g} ^ {2} }}}} = \ mu _ {\ tau} k {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ alpha - {\ frac {\ sin ^ {2} \ alpha} {\ mu _ {g} ^ {2} }}}}},

Donde $${\ displaystyle k_ {g}}Es una curvatura geodésica de la curva de cuerda. $${\ displaystyle k} Es una curvatura de una curva de cuerda. $${\ displaystyle \ mu _ {\ tau}}Es un coeficiente de fricción en la dirección tangencial.

Si $${\ displaystyle \ omega = const} entonces $${\ displaystyle T_ {0} e ^ {- \ mu _ {\ tau} ks \, {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ alpha - {\ frac {\ sin ^ {2} \ alpha} {\ mu _ {g} ^ {2}}}}}} \ leq T \ leq T_ {0} e ^ {\ mu _ {\ tau} ks \, {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ alpha - {\ frac {\ sin ^ {2} \ alpha} {\ mu _ {g} ^ {2}}}}}}.

Esta generalización ha sido obtenida por Konyukhov A., ^[4] [5]

Coeficiente de fricción [ editar ]

Hay ciertos factores que ayudan a determinar el valor del coeficiente de fricción . Estos factores determinantes son: ^[6]

• Material de cinturón utilizado: la antigüedad del material también juega un papel importante, ya que el material desgastado y más viejo puede volverse más áspero o suave, cambiando la fricción de deslizamiento.
• Construcción del sistema de la polea motriz: implica la resistencia y la estabilidad del material utilizado, como la polea, y la forma en que se opondrá al movimiento de la correa o cuerda.
• Condiciones bajo las cuales operan la correa y las poleas - La fricción entre la correa y la polea puede disminuir sustancialmente si la correa está sucia o húmeda, ya que puede actuar como un lubricante entre las superficies. Esto también se aplica a condiciones extremadamente secas o cálidas que evaporarán cualquier agua que se encuentre naturalmente en la correa, lo que nominalmente aumenta la fricción.
• Diseño general de la configuración: la configuración incluye las condiciones iniciales de la construcción, como el ángulo con el que se enrolla la correa y la geometría del sistema de la correa y la polea.

Aplicaciones [ editar ]

La comprensión de la fricción del cinturón es esencial para los equipos de navegación y los escaladores de montañas. ^[1] Sus profesiones requieren poder comprender la cantidad de peso que una cuerda con una cierta capacidad de tensión puede soportar en comparación con la cantidad de vueltas alrededor de una polea. Demasiadas revoluciones alrededor de una polea hacen que sea ineficiente retraer o soltar la cuerda, y muy pocas pueden hacer que la cuerda se resbale. Juzgar erróneamente la capacidad de un sistema de cuerda y cabrestante para mantener las fuerzas de fricción adecuadas puede provocar fallas y lesiones.

momento es una medida del efecto de giro de una fuerza sobre algún punto en el espacio. En la mayoría de los ejemplos prácticos, los momentos son el resultado de fuerzas que actúan a cierta distancia del punto de interés. El estrés en el cuerpo sobre el que actúa la fuerza es simétrico . Si el momento es el resultado de una fuerza corporal fuerte , como la producida en un material magnético en un campo magnético fuerte , el tensor de tensión no es simétrico.

curva de brachistochrone (del griego antiguo βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) , que significa 'tiempo más corto'), ^[1] o curva del descenso más rápido, es la que se encuentra en el plano entre un punto A y un punto inferior B , donde B no está directamente debajo de A , en el que un cordón se desliza sin fricciónbajo la influencia de un campo gravitacional uniforme hasta un punto final determinado en el menor tiempo. El problema fue planteado por Johann Bernoulli en 1696.

La curva de braquistócrona tiene la misma forma que la curva de tautocrona ; ambos son cicloides . Sin embargo, la porción del cicloide utilizada para cada uno de los dos varía. Más específicamente, la braquistocrona puede usar hasta una rotación completa del cicloide (en el límite cuando A y B están en el mismo nivel), pero siempre comienza en una cúspide. Por el contrario, el problema de la tautocrona solo puede usarse hasta la primera mitad de rotación, y siempre termina en la horizontal. ^[2] El problema se puede resolver utilizando herramientas del cálculo de variaciones y el control óptimo . ^[3]

La curva es independiente tanto de la masa del cuerpo de prueba como de la fuerza de gravedad local. Sólo se elige un parámetro de modo que la curva se ajusta el punto de partida A y el punto final B . ^[4] Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A , o si se tiene en cuenta la fricción, entonces la curva que minimiza el tiempo diferirá de la curva de tautocrona .

La solución al problema de la braquistocrona no es una línea recta o alguna combinación de las mismas, sino un cicloide.

Historia [ editar ]

Johann Bernoulli planteó el problema de la braquistócrona a los lectores de Acta Eruditorum en junio de 1696. ^[5] [6] Dijo:

Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para las personas inteligentes que un problema honesto y desafiante, cuya posible solución otorgará fama y permanecerá como un monumento duradero. Siguiendo el ejemplo establecido por Pascal, Fermat, etc., espero obtener la gratitud de toda la comunidad científica al poner ante los mejores matemáticos de nuestro tiempo un problema que pondrá a prueba sus métodos y la fuerza de su intelecto. Si alguien me comunica la solución del problema propuesto, lo declararé públicamente digno de alabanza.

Bernoulli escribió la declaración del problema como:

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cuál es la curva trazada por un punto actuado solo por la gravedad, que comienza en A y llega a B en el menor tiempo ?

Johann y su hermano Jakob Bernoulli obtuvieron la misma solución, pero la derivación de Johann fue incorrecta, y trató de pasar la solución de Jakob como propia. ^[7] Johann publicó la solución en la revista en mayo del año siguiente y señaló que la solución es la misma curva que la curva de tautocrona de Huygens . Después de derivar la ecuación diferencial de la curva por el método que se presenta a continuación, continuó mostrando que sí produce un cicloide. ^[8] [9] Sin embargo, su prueba se ve empañada por el uso de una constante constante en lugar de las tres constantes, v _m , 2g y D , a continuación.

Bernoulli concedió seis meses para las soluciones, pero no se recibió ninguna durante este período. A petición de Leibniz, el plazo se amplió públicamente durante un año y medio. ^[10] A las 4 pm del 29 de enero de 1697, cuando llegó a casa de la Casa de la Moneda Real, Isaac Newton encontró el desafío en una carta de Johann Bernoulli. ^[11] Newton se quedó despierto toda la noche para resolverlo y envió la solución de forma anónima en la siguiente publicación. Al leer la solución, Bernoulli reconoció de inmediato a su autor, exclamando que "reconoce a un león de su marca de garra". Esta historia da una idea del poder de Newton, ya que Johann Bernoulli tardó dos semanas en resolverlo. ^[4] [12]Newton también escribió: "No me encantan que me mienten [molestan] y se burlan de ellos por cosas matemáticas ...", y Newton ya había resuelto el problema de resistencia mínima de Newton , que se considera el primero del tipo en el cálculo de variaciones .

Al final, cinco matemáticos respondieron con soluciones: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz , Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital . Cuatro de las soluciones (excluyendo l'Hôpital's) se publicaron en la misma edición de la revista que Johann Bernoulli's. En su artículo, Jakob Bernoulli dio una prueba de la condición por el menor tiempo similar al que se muestra a continuación, antes de demostrar que su solución es un cicloide. ^[8] Según el erudito newtoniano Tom Whiteside , en un intento por superar a su hermano, Jakob Bernoulli creó una versión más difícil del problema de la braquistócrona. Al resolverlo, desarrolló nuevos métodos que fueron refinados por Leonhard Euler.en lo que este último llamó (en 1766) el cálculo de variaciones . Joseph-Louis Lagrange hizo un trabajo adicional que resultó en el cálculo infinitesimal moderno .

Anteriormente, en 1638, Galileo había tratado de resolver un problema similar para el camino del descenso más rápido desde un punto a una pared en sus Dos nuevas ciencias . Extrae la conclusión de que el arco de un círculo es más rápido que cualquier número de sus acordes, ^[13]

De lo anterior es posible inferir que el camino más rápido de todo [lationem omnium velocissimam], de un punto a otro, no es el camino más corto, es decir, una línea recta, sino el arco de un círculo.

...

En consecuencia, cuanto más cerca esté el polígono inscrito de un círculo, más corto será el tiempo requerido para descender de A a C. Lo que se ha demostrado para el cuadrante es válido también para arcos más pequeños; El razonamiento es el mismo.

Justo después del teorema 6 de Dos nuevas ciencias , Galileo advierte sobre posibles falacias y la necesidad de una "ciencia superior". En este diálogo Galileo repasa su propia obra. La solución real al problema de Galileo es la mitad de un cicloide. Galileo estudió el cicloide y le dio su nombre, pero la conexión entre él y su problema tuvo que esperar los avances en matemáticas.

La solución de Johann Bernoulli [ editar ]

Método directo [ editar ]

En una carta a Henri Basnage, celebrada en la Biblioteca Pública de la Universidad de Basilea, fechada el 30 de marzo de 1697, Johann Bernoulli declaró que había encontrado 2 métodos (siempre referidos como "directos" e "indirectos") para demostrar que Brachistochrone era el "Cicloide común", también llamado la "ruleta". Siguiendo el consejo de Leibniz, solo incluyó el método indirecto en Acta Eruditorum Lipsidae de mayo de 1697. Escribe que esto se debe en parte a que creía que era suficiente para convencer a cualquiera que dudara de la conclusión, en parte porque también resolvió dos problemas famosos en la óptica. que "el difunto Sr. Huygens" había planteado en su tratado sobre la luz. En la misma carta critica a Newton por ocultar su método.

Además de su método indirecto, también publicó las otras cinco respuestas al problema que recibió.

El método directo de Johann Bernoulli es históricamente importante ya que fue la primera prueba de que la braquistocrona es el cicloide. El método es determinar la curvatura de la curva en cada punto. Todas las demás pruebas, incluida la de Newton (que no se reveló en ese momento) se basan en encontrar el gradiente en cada punto.

Fue solo en 1718 que Bernoulli explicó cómo resolvió el problema de la braquistocrona mediante su método directo. ^[14] [15]

Explicó que no lo había publicado en 1697, por razones que ya no se aplicaban en 1718. Este documento fue ignorado en gran medida hasta 1904, cuando C. Carathéodory reconoció por primera vez la profundidad del método, y afirmó que muestra que el cicloide es La única curva posible de descenso más rápido. Según él, las otras soluciones simplemente implicaban que el tiempo de descenso es estacionario para el cicloide, pero no necesariamente el mínimo posible.

Solución analítica [ editar ]

Se considera que un cuerpo se desliza a lo largo de cualquier arco circular pequeño Ce entre los radios KC y Ke, con el centro K fijo. La primera etapa de la prueba consiste en encontrar el arco circular particular, Mm, que el cuerpo atraviesa en el tiempo mínimo.

La línea KNC intersecta AL en N, y la línea Kne la intersecta en n, y forman un pequeño ángulo CKe en K. Deje NK = a, y defina un punto variable, C en KN extendido. De todos los arcos circulares Ce posibles, se requiere encontrar el arco Mm que requiere el tiempo mínimo para deslizarse entre los 2 radios, KM y Km. Para encontrar a Mm Bernoulli argumenta lo siguiente.

Sea MN = x. Define m para que MD = mx, y n para que Mm = nx + na y anota que x es la única variable y que m es finita yn es infinitamente pequeña. El pequeño tiempo para viajar a lo largo de arco Mm es$${\ displaystyle {\ frac {Mm} {MD ^ {\ frac {1} {2}}}} = {\ frac {n (x + a)} {(mx) ^ {\ frac {1} {2} }}}}que tiene que ser un mínimo ('un plus petit'). No explica que, dado que Mm es tan pequeña, se puede asumir que la velocidad a lo largo de la misma es la velocidad en M, que es como la raíz cuadrada de MD, la distancia vertical de M debajo de la línea horizontal AL.

De ello se deduce que, cuando se diferencie esto se debe dar.

$${\ displaystyle {\ frac {(xa) dx} {2x ^ {\ frac {3} {2}}}} = 0} de modo que x = a.

Esta condición define la curva por la que se desliza el cuerpo en el menor tiempo posible. Para cada punto, M en la curva, el radio de curvatura, MK se corta en 2 partes iguales por su eje AL. Esta propiedad, que Bernoulli dice que se conocía desde hace mucho tiempo, es exclusiva del cicloide.

Por último, considera el caso más general en el que la velocidad es una función arbitraria X (x), por lo que el tiempo que se debe minimizar es $${\ displaystyle {\ frac {(x + a)} {X}}}. La condición mínima entonces se convierte en $${\ displaystyle X = {\ frac {(x + a) dX} {dx}}}que escribe como:$${\ displaystyle X = (x + a) \ Delta x} y que da MN (= x) en función de NK (= a). A partir de esto, la ecuación de la curva se podría obtener del cálculo integral, aunque no lo demuestra.

Solución sintética [ editar ]

Luego continúa con lo que llamó su Solución sintética, que era una prueba geométrica clásica, de que solo hay una curva que un cuerpo puede deslizar hacia abajo en el tiempo mínimo, y esa curva es el cicloide.

Supongamos que AMmB es la parte de la unión de cicloides A a B, que el cuerpo desliza hacia abajo en el tiempo mínimo. Permita que ICcJ sea parte de una curva diferente que une A a B, que puede estar más cerca de AL que AMmB. Si el arco Mm subtiende el ángulo MKm en su centro de curvatura, K, deje que el arco en IJ que subtiende el mismo ángulo sea Cc. El arco circular a través de C con centro K es Ce. El punto D en AL está verticalmente por encima de M. Unir K a D y el punto H es donde CG cruza KD, extendido si es necesario.

Dejar $${\ displaystyle \ tau} y t son los tiempos que tarda el cuerpo en caer a lo largo de Mm y Ce respectivamente.

$${\ displaystyle \ tau \ propto {\ frac {Mm} {MD ^ {\ frac {1} {2}}}}}, $${\ displaystyle t \ propto {\ frac {Ce} {CG ^ {\ frac {1} {2}}}}},

Extender CG al punto F donde, $${\ displaystyle CF = {\ frac {CH ^ {2}} {MD}}} y desde $${\ displaystyle {\ frac {Mm} {Ce}} = {\ frac {MD} {CH}}}, resulta que

$${\ displaystyle {\ frac {\ tau} {t}} = {\ frac {Mm} {Ce}}. \ left ({\ frac {CG} {MD}} \ right) ^ {\ frac {1} { 2}} = \ left ({\ frac {CG} {CF}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

Desde MN = NK, para el cicloide:

$${\ displaystyle GH = {\ frac {MD.HD} {DK}} = {\ frac {MD.CM} {MK}}}, $${\ displaystyle CH = {\ frac {MD.CK} {MK}} = {\ frac {MD. (MK + CM)} {MK}}}y $${\ displaystyle CG = CH + GH = {\ frac {MD. (MK + 2CM)} {MK}}}

Si Ce está más cerca de K que de Mm entonces

$${\ displaystyle CH = {\ frac {MD. (MK-CM)} {MK}}} y $${\ displaystyle CG = CH-GH = {\ frac {MD. (MK-2CM)} {MK}}}

En cualquier caso,

{\ displaystyle CF = {\ frac {CH ^ {2}} {MD}}> CG}, y se deduce que {\ displaystyle \ tau

Si el arco, Cc subtendido por el ángulo infinitesimal MKm en IJ no es circular, debe ser mayor que Ce, ya que Cec se convierte en un triángulo rectángulo en el límite cuando el ángulo MKm se aproxima a cero.

Tenga en cuenta, Bernoulli prueba que CF> CG por un argumento similar pero diferente.

A partir de esto, concluye que un cuerpo atraviesa la AMB cicloide en menos tiempo que cualquier otra curva ACB.

Método indirecto [ editar ]

De acuerdo con el principio de Fermat , el camino real entre dos puntos tomados por un haz de luz es el que toma menos tiempo. En 1697, Johann Bernoulli utilizó este principio para derivar la curva de braquistocrona al considerar la trayectoria de un haz de luz en un medio donde la velocidad de la luz aumenta luego de una aceleración vertical constante (la de la gravedad g ). ^[dieciséis]

Por la conservación de la energía , la velocidad instantánea de un cuerpo v después de caer una altura y en un campo gravitacional uniforme viene dada por:

$${\ displaystyle v = {\ sqrt {2gy}}},

La velocidad de movimiento del cuerpo a lo largo de una curva arbitraria no depende del desplazamiento horizontal.

Bernoulli observó que la ley de refracción da una constante del movimiento para un haz de luz en un medio de densidad variable:

$${\ displaystyle {\ frac {\ sin {\ theta}} {v}} = {\ frac {1} {v}} {\ frac {dx} {ds}} = {\ frac {1} {v_ {m }}}},

donde v _m es la constante y$${\ displaystyle \ theta} Representa el ángulo de la trayectoria respecto a la vertical.

Las ecuaciones anteriores llevan a dos conclusiones:

1. Al comienzo, el ángulo debe ser cero cuando la velocidad de la partícula es cero. Por lo tanto, la curva de braquistocrona es tangente a la vertical en el origen.
2. La velocidad alcanza un valor máximo cuando la trayectoria se vuelve horizontal y el ángulo θ = 90 °.

Suponiendo por simplicidad que la partícula (o el haz) con coordenadas (x, y) se aleja del punto (0,0) y alcanza la velocidad máxima después de caer una distancia vertical D :

$${\ displaystyle v_ {m} = {\ sqrt {2gD}}}.

La reorganización de los términos en la ley de refracción y cuadratura da:

$${\ displaystyle v_ {m} ^ {2} dx ^ {2} = v ^ {2} ds ^ {2} = v ^ {2} (dx ^ {2} + dy ^ {2})}

que se puede resolver para dx en términos de dy :

$${\ displaystyle dx = {\ frac {v \, dy} {\ sqrt {v_ {m} ^ {2} -v ^ {2}}}}}.

Sustituir de las expresiones v y v _m anteriores da:

$${\ displaystyle dx = {\ sqrt {\ frac {y} {Dy}}} \, dy}

que es la ecuación diferencial de un invertida cicloide generada por un círculo de diámetro D .

La solución de Jakob Bernoulli [ editar ]

El hermano de Johann, Jakob, mostró cómo se pueden usar los 2dos diferenciales para obtener la condición por el menor tiempo. Una versión modernizada de la prueba es la siguiente. Si hacemos una desviación insignificante de la trayectoria del menor tiempo, entonces, para el triángulo diferencial formado por el desplazamiento a lo largo de la trayectoria y los desplazamientos horizontal y vertical,

$${\ displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}.

En la diferenciación con dy fix conseguimos,

$${\ displaystyle 2ds \ d ^ {2} s = 2dx \ d ^ {2} x}.

Y finalmente reordenar los términos da,

$${\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} d ^ {2} x = d ^ {2} s = v \ d ^ {2} t}

donde la última parte es el desplazamiento para un cambio dado en el tiempo para los 2dos diferenciales. Ahora considere los cambios a lo largo de los dos caminos vecinos en la figura a continuación para los cuales la separación horizontal entre los caminos a lo largo de la línea central es d ² x (lo mismo para los triángulos diferenciales superiores e inferiores). A lo largo de los caminos antiguos y nuevos, las partes que difieren son,

$${\ displaystyle d ^ {2} t_ {1} = {\ frac {1} {v_ {1}}} {\ frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} d ^ {2} x}

$${\ displaystyle d ^ {2} t_ {2} = {\ frac {1} {v_ {2}}} {\ frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} d ^ {2} x}

Para la ruta de los tiempos mínimos, estos tiempos son iguales, por la diferencia que obtenemos,

$${\ displaystyle d ^ {2} t_ {2} -d ^ {2} t_ {1} = 0 = {\ bigg (} {\ frac {1} {v_ {2}}} {\ frac {dx_ {2 }} {ds_ {2}}} - {\ frac {1} {v_ {1}}} {\ frac {dx_ {1}} {ds_ {1}}} {\ bigg)} d ^ {2} x }

Y la condición para el menor tiempo es,

$${\ displaystyle {\ frac {1} {v_ {2}}} {\ frac {dx_ {2}} {ds_ {2}}} = {\ frac {1} {v_ {1}}} {\ frac { dx_ {1}} {ds_ {1}}}}

La solución de Newton [ editar ]

Introducción [ editar ]

En junio de 1696, Johann Bernoulli propuso un desafío matemático en el Acta Eruditorum Lipsidae para encontrar la forma de la curva que une 2 puntos fijos en que una masa se deslizará hacia abajo en el tiempo mínimo. La solución fue originalmente presentada dentro de 6 meses. A sugerencia de Leibniz, extendió el desafío hasta la Pascua de 1697, mediante un texto impreso, llamado "Programma", publicado en Groningen , Países Bajos.

El Programa está fechado el día de Año Nuevo, 1 de enero de 1697, en el calendario gregoriano. Esto fue el 22 de diciembre de 1696 en el calendario juliano, en uso en Gran Bretaña. Newton, dijo que no había estado al tanto del desafío hasta que lo vio por primera vez a las 4 pm del 29 de enero, unas cinco semanas después de su publicación.

Además, afirma que lo resolvió a las 4 am de la mañana siguiente, y su solución está fechada el 30 de enero. Parece muy sospechoso que llevara tanto tiempo llegar a Londres una comunicación de Groningen. El relato de Newton debe verse con escepticismo, ya que no siempre fue sincero acerca de sus logros, especialmente cuando se trata de sus tratos con Leibniz y sus asociados.

La solución de Newton fue que la curva era el cicloide, aunque nunca demostró públicamente su método de prueba. Bernoulli, escribiendo a Henri Basnage en marzo de 1697, reconoció que aunque el autor, "por un exceso de modestia" no había revelado su nombre, incluso por los escasos detalles proporcionados, sabía que era del Sr. Newton, como el león por su garra ".

Incluso es posible que Newton haya tenido conocimiento previo del desafío. Su profesor, Wallis en Oxford, quien tenía 80 años, se enteró de ello en septiembre de 1696, por el hermano más joven de Bernoulli, Hieronymus, y pasó tres meses intentando una solución antes de pasárselo a David Gregory en diciembre, quien tampoco logró resolverlo. . Después de que Newton había enviado su solución, Gregory le pidió los detalles y tomó notas de su conversación. Estos se pueden encontrar en la Biblioteca de la Universidad de Edimburgo, manuscrito A$${\ displaystyle 78 ^ {1}}, de fecha 7 de marzo de 1697.

O bien Gregory no entendió el argumento de Newton, o la explicación de Newton fue muy breve. Sin embargo, es posible, con un alto grado de confianza, construir la prueba de Newton a partir de las notas de Gregory, por analogía con su método para determinar el sólido de resistencia mínima (Principia, Libro 2, Proposición 34, Scholium 2). Una descripción detallada de su solución de este último problema se incluye en el borrador de una carta en 1694, también a David Gregory.

Tenga en cuenta que gran parte de la información aquí se tomó de No. 737 Bulletin De L'Union Des Physiciens, 'Chute d'une bille le long d'une gouttière cycloïdale; Tautochrone et brachistochrone; Propriétés et historique. ', Páginas 1251 - 1289, vol. 85, octubre de 1991 - Jacques Dubois, 37000 Tours, Francia

Además del problema de la curva de tiempo mínimo, había un segundo problema que Newton también resolvió al mismo tiempo. Ambas soluciones aparecieron de forma anónima en Transacciones filosóficas de la Royal Society, para enero de 1697.

El problema de Brachistochrone [ editar ]

La figura 1 muestra el diagrama de Gregory (excepto que la línea adicional IF está ausente y Z, el punto de inicio se ha agregado). La curva ZVA es un cicloide y CHV es su círculo generador. Dado que parece que el cuerpo se está moviendo hacia arriba de e a E, se debe asumir que un cuerpo pequeño se libera de Z y se desliza a lo largo de la curva hacia A, sin fricción, bajo la acción de la gravedad.

Considere un arco pequeño eE que el cuerpo está ascendiendo. Supongamos que atraviesa la línea recta eL hasta el punto L, desplazado horizontalmente desde E una pequeña distancia, o, en lugar del arco eE. Tenga en cuenta que eL no es la tangente en e, y que o será negativo cuando L esté entre B y E. Dibuje la línea a través de E paralela a CH, cortando eL en n. Desde una propiedad del cicloide, En es la normal a la tangente en E, y de manera similar, la tangente en E es paralela a VH.

Dado que el desplazamiento, EL es pequeño, difiere poco en la dirección de la tangente en E, de modo que el ángulo EnL está cerca de un ángulo recto. En el límite a medida que el arco eE se aproxima a cero, eL se vuelve paralelo a VH, siempre que o sea pequeño en comparación con eE haciendo que los triángulos EnL y CHV sean similares.

También se acerca a la longitud de la cuerda eE, y al aumento de la longitud, $${\ displaystyle eL-eE = nL = {\ frac {o.CH} {CV}}}, ignorando términos en $${\ displaystyle o ^ {2}} y superior, que representan el error debido a la aproximación de que eL y VH son paralelos

La velocidad a lo largo de eE o eL se puede tomar como la de E, proporcional a $${\ displaystyle {\ sqrt {CB}}} que es como CH, ya que $${\ displaystyle CH = {\ sqrt {CB.CV}}}

Esto parece ser todo lo que contiene la nota de Gregory.

Sea t el tiempo adicional para alcanzar L,

$${\ displaystyle t \ propto {\ frac {nL} {\ sqrt {CB}}} = {\ frac {o.CH} {CV. {\ sqrt {CB}}}} = {\ frac {o} {\ sqrt {CV}}}}

Por lo tanto, el aumento en el tiempo para atravesar un pequeño arco desplazado en un punto final depende solo del desplazamiento en el punto final y es independiente de la posición del arco. Sin embargo, según el método de Newton, esta es la condición requerida para atravesar la curva en el tiempo mínimo posible. Por lo tanto, concluye que la curva mínima debe ser el cicloide.

Argumenta lo siguiente.

Suponiendo ahora que la Fig. 1 es la curva mínima aún no determinada, con el eje vertical CV y ​​el círculo CHV eliminado, y la Fig. 2 muestra parte de la curva entre el arco infinitesimal eE y otro arco infinitesimal Ff una distancia finita a lo largo del curva. El tiempo adicional, t, para atravesar eL (en lugar de eE) es nL dividido por la velocidad en E (proporcional a √ CB ), ignorando los términos en$${\ displaystyle o ^ {2}} y más alto:

$${\ displaystyle t \ propto {\ frac {o.DE} {eE. {\ sqrt {CB}}}}},

En L, la partícula continúa a lo largo de una trayectoria LM, paralela al EF original, hasta algún punto arbitrario M. Como tiene la misma velocidad en L que en E, el tiempo para atravesar LM es el mismo que habría sido a lo largo del camino original. curva EF. En M vuelve a la ruta original en el punto f. Por el mismo razonamiento, la reducción en el tiempo, T, para alcanzar f desde M en lugar de desde F es

$${\ displaystyle T \ propto {\ frac {o.FG} {Ff. {\ sqrt {CI}}}}}

La diferencia (t - T) es el tiempo adicional que toma a lo largo de la ruta eLMf en comparación con el eEFf original:

$${\ displaystyle (tT) \ propto \ left ({\ frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}}} - {\ frac {FG} {Ff {\ sqrt {CI}}}} \ right). o} más términos en $${\ displaystyle o ^ {2}} y más alto (1)

Debido a que eEFf es la curva mínima, (t - T) debe ser mayor que cero, si o es positivo o negativo. De ello se deduce que el coeficiente de o en (1) debe ser cero:

$${\ displaystyle {\ frac {DE} {EE {\ sqrt {CB}}}} = {\ frac {FG} {Ff {\ sqrt {CI}}}}} (2) en el límite a medida que eE y fF se aproximan a cero. Tenga en cuenta que, dado que eEFf es la curva mínima, debe suponerse que el coeficiente de$${\ displaystyle o ^ {2}} es mayor que cero

Claramente, tiene que haber 2 desplazamientos iguales y opuestos, o el cuerpo no volverá al punto final, A, de la curva.

Si e es fijo, y si f se considera un punto variable más arriba en la curva, entonces para todos esos puntos, f, $${\ displaystyle {\ frac {FG} {Ff {\ sqrt {CI}}}}} es constante (igual a $${\ displaystyle {\ frac {DE} {EE {\ sqrt {CB}}}}}). Manteniendo f fija y haciendo e variable es claro que$${\ displaystyle {\ frac {DE} {EE {\ sqrt {CB}}}}}También es constante.

Pero, como los puntos, e y f son arbitrarios, la ecuación (2) solo puede ser verdadera si $${\ displaystyle {\ frac {DE} {EE {\ sqrt {CB}}}} = constante}, en todas partes, y esta condición caracteriza la curva que se busca. Esta es la misma técnica que usa para encontrar la forma del sólido de menor resistencia.

Para el cicloide, $${\ displaystyle {\ frac {DE} {eE}} = {\ frac {BH} {VH}} = {\ frac {CH} {CV}}} , así que eso $${\ displaystyle {\ frac {DE} {EE {\ sqrt {CB}}}} = {\ frac {CH} {CV. {\ sqrt {CB}}}}} que se mostró arriba como constante, y la Brachistochrone es el cicloide.

Newton no da ninguna indicación de cómo descubrió que el cicloide satisfacía esta última relación. Puede haber sido por prueba y error, o puede haber reconocido de inmediato que implicaba que la curva era el cicloide.