Arquímedes de Siracusa
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| Nombre nativo |
Ρχιμήδης
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| Nacido | do. 287 aC |
| Murió | do. 212 a . C. (de alrededor de 75 años) |
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Arquímedes de Siracusa ( / ˌ ɑr k ɪ m i d i z / ; [2] griego : Ἀρχιμήδης ; c. 287 - c. 212 BC ) era un griego matemático , físico, ingeniero , inventor , y astrónomo . [3] Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado como uno de los principales científicos de la antigüedad clásica.. Generalmente considerado como el matemático más grande de la antigüedad y uno de los más grandes de todos los tiempos, [4] [5] [6] [7] [8] [9] Arquímedes anticipó el cálculo y el análisis modernos aplicando conceptos de infinitesimales y el método de agotamiento para derivar y probar rigurosamente un rango de teoremas geométricos , que incluyen el área de un círculo , el área de la superficie y el volumen de una esfera , y el área debajo de una parábola . [10]
Otros logros matemáticos incluyen derivar una aproximación precisa de pi , definir e investigar la espiral que lleva su nombre y crear un sistema que use exponenciación para expresar números muy grandes. También fue uno de los primeros en aplicar las matemáticas a los fenómenos físicos, fundando la hidrostática y la estática , incluida una explicación del principio de la palanca . Se le atribuye el diseño de máquinas innovadoras , como su bomba de tornillo , poleas compuestas y máquinas de guerra defensivas para proteger a su Syracuse natal de la invasión.
Arquímedes murió durante el Sitio de Siracusa cuando fue asesinado por un soldado romano a pesar de las órdenes de que no se le hiciera daño. Cicerón describe la visita a la tumba de Arquímedes, que estaba coronada por una esfera y un cilindro , que Arquímedes había pedido que se colocara en su tumba para representar sus descubrimientos matemáticos.
A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos de Arquímedes eran poco conocidos en la antigüedad. Los matemáticos de Alejandría lo leyeron y lo citaron, pero la primera compilación completa no se realizó hasta c. 530 dC por Isidore of Miletus en Constantinopla bizantina , mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI dC las abrieron por primera vez a lectores más amplios. Las relativamente pocas copias del trabajo escrito de Arquímedes que sobrevivieron durante la Edad Media fueron una fuente influyente de ideas para los científicos durante el Renacimiento , [11]mientras que el descubrimiento en 1906 de obras previamente desconocidas de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha proporcionado nuevos conocimientos sobre cómo obtuvo los resultados matemáticos.
Biografía
Arquímedes nació c. 287 aC en la ciudad portuaria de Siracusa, Sicilia , en ese momento una colonia autónoma en Magna Graecia , ubicada a lo largo de la costa del sur de Italia . La fecha de nacimiento se basa en una declaración del historiador griego bizantino John Tzetzes de que Arquímedes vivió durante 75 años. [13] En The Sand Reckoner , Arquímedes le da a su padre el nombre de Fidias, un astrónomo del que no se sabe nada más. Plutarco escribió en sus Vidas paralelas que Arquímedes estaba relacionada con el rey Hiero II , el gobernante de Siracusa.[14] Una biografía de Arquímedes fue escrita por su amigo Heracleides, pero este trabajo se ha perdido, dejando los detalles de su vida oscuros. [15] Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó o tuvo hijos. Durante su juventud, Arquímedes pudo haber estudiado en Alejandría , Egipto , donde Conon de Samos yEratóstenes de Cirene eran contemporáneos. Se refirió a Conon de Samos como su amigo, mientras que dos de sus trabajos ( El método de los teoremas mecánicos y el problema del ganado ) tienen presentaciones dirigidas a Eratóstenes. [una]
Arquímedes murió c. 212 aC durante la Segunda Guerra Púnica , cuando las fuerzas romanas bajo el mando del general Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad de Siracusa después de un asedio dedos años . Según el relato popular dado por Plutarco , Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue capturada. Un soldado romano le ordenó que viniera y se encontrara con el general Marcelo, pero él se negó, diciendo que tenía que terminar de trabajar en el problema. El soldado se enfureció por esto, y mató a Arquímedes con su espada. Plutarco también da un nombre menos conocido.cuenta de la muerte de Arquímedes, lo que sugiere que puede haber sido asesinado mientras intentaba rendirse a un soldado romano. Según esta historia, Arquímedes llevaba instrumentos matemáticos y fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos valiosos. Según informes, el general Marcelo se enojó por la muerte de Arquímedes, ya que lo consideraba un valioso activo científico y ordenó que no se le hiciera daño. [17] Marcelo llamó a Arquímedes "un Briareus geométrico ". [18]
Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes son "No molestar a mis círculos", una referencia a los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando fue perturbado por el soldado romano. Esta cita se da a menudo en latín como " Noli turbare circulos meos ", pero no hay evidencia confiable de que Arquímedes haya pronunciado estas palabras y no aparezcan en el relato dado por Plutarco. Valerius Maximus , escribiendo en Memorable Doings and Sayings en el siglo I d. C., da la frase como " ... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare' " - "... pero protegiendo el polvo con su Manos, dijo: 'Te lo ruego, no molestes esto ' .Katharevousa en griego como "μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε!" ( Mē mou tous kuklous taratte!). [17]
La tumba de Arquímedes llevaba una escultura que ilustra su prueba matemática favorita, que consiste en una esfera y un cilindro de la misma altura y diámetro. Arquímedes había demostrado que el volumen y el área de superficie de la esfera son dos tercios del cilindro, incluidas sus bases. En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romano Cicerón actuaba como cuestor en Sicilia.. Había oído historias sobre la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los lugareños pudo darle la ubicación. Finalmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigentine en Siracusa, en una condición descuidada y cubierta de arbustos. Cicerón hizo limpiar la tumba, y pudo ver la talla y leer algunos de los versos que se habían agregado como una inscripción. [19] Se afirmó que una tumba descubierta en el patio del Hotel Panorama en Siracusa a principios de la década de 1960 era la de Arquímedes, pero no había pruebas convincentes de esto y se desconoce la ubicación de su tumba hoy. [20]
Las versiones estándar de la vida de Arquímedes fueron escritas mucho después de su muerte por los historiadores de la Antigua Roma. El relato del sitio de Siracusa dado por Polibio en Sus Historias se escribió alrededor de setenta años después de la muerte de Arquímedes, y fue utilizado posteriormente como fuente por Plutarco y Livio . Arroja poca luz sobre Arquímedes como persona, y se centra en las máquinas de guerra que se dice que construyó para defender la ciudad. [21]
Descubrimientos e invenciones.
Principio de Arquimedes
La anécdota más conocida sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. Según Vitruvio , se había hecho una corona votiva para un templo para el rey Hiero II de Siracusa , quien había suministrado el oro puro para ser utilizado, y se le pidió a Arquímedes que determinara si el orfebre deshonesto había sustituido algo de plata . [22] Arquímedes tuvo que resolver el problema sin dañar la corona, por lo que no pudo fundirlo en un cuerpo de forma regular para calcular su densidad.. Mientras se bañaba, notó que el nivel del agua en la bañera subió cuando entró, y se dio cuenta de que este efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Por razones prácticas, el agua es incompresible, [23] por lo que la corona sumergida desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. Esta densidad sería menor que la del oro si se hubieran agregado metales más baratos y menos densos. Arquímedes luego salió desnudo a las calles, tan emocionado por su descubrimiento que se había olvidado de vestirse, gritando " ¡ Eureka !" ( Griego : "εὕρηκα, heúrēka", que significa" ¡Lo encontré! "). [22] La prueba se realizó con éxito, demostrando que la plata sí se había mezclado. [24]
La historia de la corona de oro no aparece en las obras conocidas de Arquímedes. Además, la practicidad del método que describe ha sido cuestionada, debido a la extrema precisión con la que uno tendría que medir el desplazamiento del agua. [25] Arquímedes pudo haber buscado una solución que aplicara el principio conocido en hidrostática como el principio de Arquímedes , que describe en su tratado Sobre cuerpos flotantes . Este principio establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de flotación igual al peso del fluido que desplaza. [26]Usando este principio, habría sido posible comparar la densidad de la corona con la del oro puro al equilibrar la corona en una escala con una muestra de referencia de oro puro del mismo peso, y luego sumergir el aparato en agua. La diferencia de densidad entre las dos muestras causaría que la escala se incline en consecuencia. Galileo lo consideró "probable que este método sea el mismo que siguió Arquímedes, ya que, además de ser muy preciso, se basa en demostraciones encontradas por el propio Arquímedes". [27] En un texto del siglo XII titulado Mappae clavicula hay instrucciones sobre cómo realizar los pesajes en el agua para calcular el porcentaje de plata utilizada, y así resolver el problema. [28] [29]El poema latino Carmen de ponderibus et mensuris del siglo 4 o 5 describe el uso de un equilibrio hidrostático para resolver el problema de la corona y atribuye el método a Arquímedes. [28]
tornillo de Arquímedes
Una gran parte del trabajo de Arquímedes en ingeniería surgió del cumplimiento de las necesidades de su ciudad natal, Siracusa. El escritor griego Ateneo de Naucratis describió cómo el rey Hiero II encargó a Arquímedes el diseño de un enorme barco, el Syracusia , que podría utilizarse para viajes de lujo, transporte de suministros y como un buque de guerra naval. Se dice que Syracusia ha sido la nave más grande construida en la antigüedad clásica. [30] Según Athenaeus, era capaz de llevar a 600 personas e incluía decoraciones de jardín, un gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita entre sus instalaciones. Dado que una nave de este tamaño filtraría una cantidad considerable de agua a través del casco, elEl tornillo de Arquímedes fue desarrollado supuestamente para eliminar el agua de sentina. La máquina de Arquímedes era un dispositivo con una cuchilla giratoria en forma de tornillo dentro de un cilindro. Se giró a mano y también podría usarse para transferir agua de un cuerpo de agua de poca altura a canales de irrigación. El tornillo de Arquímedes todavía se usa para bombear líquidos y sólidos granulados como el carbón y el grano. El tornillo de Arquímedes descrito en la época romana por Vitruvio pudo haber sido una mejora en una bomba de tornillo que se utilizó para irrigar los Jardines Colgantes de Babilonia . [31] [32] [33] El primer barco de vapor marítimo con una hélice de tornillo fue elSS Arquímedes , que se lanzó en 1839 y recibió su nombre en honor a Arquímedes y su trabajo sobre el tornillo. [34]
Garra de arquimedes
La Garra de Arquímedes es un arma que se dice que diseñó para defender la ciudad de Siracusa. También conocida como "el agitador de barcos", la garra consistía en un brazo con forma de grúa del cual se suspendía un gran gancho de agarre metálico. Cuando la garra se dejaba caer sobre un barco atacante, el brazo se balanceaba hacia arriba, levantando el barco fuera del agua y posiblemente hundiéndolo. Ha habido experimentos modernos para probar la viabilidad de la garra, y en 2005 un documental televisivo titulado Superweapons of the Ancient World construyó una versión de la garra y concluyó que era un dispositivo viable. [35] [36]
Rayo de calor
Arquímedes puede haber usado espejos actuando colectivamente como un reflector parabólico para quemar barcos que atacan a Syracuse . El autor del siglo II DC, Lucian, escribió que durante el Sitio de Siracusa (c. 214–212 aC), Arquímedes destruyó las naves enemigas con fuego. Siglos más tarde, Anthemius of Tralles menciona los anteojos ardientescomo el arma de Arquímedes. [37] El dispositivo, a veces llamado "rayo de calor de Arquímedes", se usó para enfocar la luz solar en los barcos que se aproximaban, lo que provocó que se incendiaran. En la era moderna, se han construido dispositivos similares que pueden denominarse heliostatos o hornos solares . [38]
Esta supuesta arma ha sido objeto de un debate en curso sobre su credibilidad desde el Renacimiento. René Descartes lo rechazó como falso, mientras que los investigadores modernos han intentado recrear el efecto utilizando solo los medios que habría estado disponible para Arquímedes. [39] Se ha sugerido que una gran variedad de escudos de bronce o cobre muy pulidos que actúan como espejos podrían haberse empleado para enfocar la luz solar en un barco.
Una prueba del rayo de calor de Arquímedes se llevó a cabo en 1973 por el científico griego Ioannis Sakkas. El experimento tuvo lugar en la base naval de Skaramagas, en las afueras de Atenas . En esta ocasión, se utilizaron 70 espejos, cada uno con un revestimiento de cobre y un tamaño de alrededor de cinco por tres pies (1,5 por 1 m). Los espejos apuntaban a una maqueta de madera contrachapada de un buque de guerra romano a una distancia de unos 160 pies (50 m). Cuando los espejos se enfocaron con precisión, la nave estalló en llamas en unos pocos segundos. El barco de madera contrachapada tenía una capa de pintura de alquitrán , que puede haber ayudado a la combustión. [40] Una capa de alquitrán hubiera sido un lugar común en los barcos en la era clásica. [re]
En octubre de 2005, un grupo de estudiantes del Instituto de Tecnología de Massachusetts llevó a cabo un experimento con 127 azulejos cuadrados de un pie (30 cm), enfocados en un barco de madera de maqueta a una distancia de unos 100 pies (30 m). Las llamas estallaron en un parche de la nave, pero solo después de que el cielo se hubo despejado y la nave permaneció inmóvil durante unos diez minutos. Se concluyó que el dispositivo era un arma factible en estas condiciones. El grupo del MIT repitió el experimento para el programa de televisión MythBusters , utilizando un barco de pesca de madera en San Francisco como objetivo. De nuevo, se produjeron algunas carbonataciones, junto con una pequeña cantidad de llama. Para poder incendiarse, la madera necesita alcanzar su temperatura de autoignición., que es alrededor de 300 ° C (570 ° F). [41] [42]
Cuando MythBusters transmitió el resultado del experimento de San Francisco en enero de 2006, la reclamación se colocó en la categoría de "reventado" (o fallido) debido a la cantidad de tiempo y las condiciones climáticas ideales requeridas para que se produzca la combustión. También se señaló que, dado que Siracusa mira al mar hacia el este, la flota romana habría tenido que atacar durante la mañana para obtener la luz óptima en los espejos. MythBusters también señaló que el armamento convencional, como las flechas en llamas o los rayos de una catapulta, habría sido una forma mucho más fácil de prender fuego a un barco a corta distancia. [43]
En diciembre de 2010, MythBusters volvió a analizar la historia del rayo de calor en una edición especial titulada "El desafío del presidente". Se llevaron a cabo varios experimentos, entre ellos una prueba a gran escala con 500 escolares que apuntaban a los espejos en una maqueta de un velero romano a 400 pies (120 m) de distancia. En todos los experimentos, la vela no logró alcanzar los 210 ° C (410 ° F) necesarios para incendiarse, y el veredicto fue nuevamente "destruido". El espectáculo concluyó que un efecto más probable de los espejos hubiera sido cegador, deslumbrante o distraer a la tripulación de la nave. [44]
Otros descubrimientos e invenciones.
Mientras que Arquímedes no inventó la palanca , dio una explicación del principio involucrado en su trabajo En el equilibrio de los planos . Las descripciones anteriores de la palanca se encuentran en la escuela peripatética de los seguidores de Aristóteles , y algunas veces se atribuyen a los arquitas . [45] [46] Según Pappus of Alexandria , el trabajo de Arquímedes en las palancas le hizo comentar: "Dame un lugar en el que pararme y moveré la Tierra". ( Griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) [47] Plutarch describe cómo Arquímedes diseñó la polea de bloque y aparejo sistemas, que permiten a los marineros utilizar el principio de apalancamiento para levantar objetos que de otra forma hubieran sido demasiado pesados para moverlos. [48] Arquímedes también ha sido acreditado con la mejora del poder y la precisión de la catapulta , y con la invención del odómetro durante la Primera Guerra Púnica . El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranaje que dejó caer una bola en un contenedor después de cada milla recorrida. [49]
Cicerón (106–43 aC) menciona a Arquímedes brevemente en su diálogo De re publica , que describe una conversación ficticia que tuvo lugar en el 129 a. Después de la captura de Siracusa c. 212 AC, se dice que el general Marco Claudio Marcelo ha devuelto a Roma dos mecanismos, construidos por Arquímedes y utilizados como ayudas en la astronomía, que mostraban el movimiento del Sol, la Luna y cinco planetas. Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Thales of Miletus y Eudoxus of Cnidus . El diálogo dice que Marcelo mantuvo uno de los dispositivos como su único botín personal de Siracusa y donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. El mecanismo de Marcelo fue demostrado, según Cicerón, porGaius Sulpicius Gallus a Lucius Furius Philus , quien lo describió así:
Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus en otro ílebre die diebus en ipso caelo succederet, ex quo et en caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, e incideret luna tum en eam metam quae esset umbra terrae, cum e e .
Cuando Gallus movió el globo terráqueo, sucedió que la Luna siguió al Sol tantas veces como en el arte de bronce que en el cielo mismo, desde donde también en el cielo el globo del Sol tenía ese mismo eclipse, y la Luna llegó entonces a esa posición que era su sombra en la Tierra, cuando el Sol estaba en línea. [50] [51]
Esta es una descripción de un planetario u orrery . Pappus de Alejandría declaró que Arquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) sobre la construcción de estos mecanismos titulado Sobre la fabricación de esferas . La investigación moderna en esta área se ha centrado en el mecanismo de Antikythera , otro dispositivo construido c. 100 aC que probablemente fue diseñado para el mismo propósito. [52] La construcción de mecanismos de este tipo habría requerido un conocimiento sofisticado de engranajes diferenciales . [53]Se pensaba que esto estaba más allá del alcance de la tecnología disponible en la antigüedad, pero el descubrimiento del mecanismo Antikythera en 1902 ha confirmado que los antiguos griegos conocían este tipo de dispositivos. [54] [55]
Matemáticas
Si bien a menudo se lo considera un diseñador de dispositivos mecánicos, Arquímedes también hizo contribuciones al campo de las matemáticas. Plutarch escribió: "Colocó todo su afecto y ambición en esas especulaciones más puras donde no puede haber ninguna referencia a las necesidades vulgares de la vida". [56] Arquímedes pudo usar infinitesimales de manera similar al cálculo integral moderno . A través de la prueba por la contradicción ( reductio ad absurdum ), pudo dar respuestas a los problemas con un grado arbitrario de precisión, al tiempo que especificaba los límites dentro de los cuales se encontraba la respuesta. Esta técnica se conoce como el método de agotamiento , y la empleó para aproximar el valor de π. EnAl medir un círculo , hizo esto dibujando un hexágono regular más grandefuera de un círculo y un hexágono regular más pequeño dentro del círculo, y duplicando progresivamente el número de lados de cada polígono regular, calculando la longitud de un lado de cada polígono en cada paso. A medida que aumenta el número de lados, se convierte en una aproximación más precisa de un círculo. Después de cuatro de dichos pasos, cuando los polígonos tenían 96 lados cada uno, que fue capaz de determinar que el valor de π se extendía entre 317 (aproximadamente 3,1429) y 31071 (aproximadamente 3,1408), en consonancia con su valor real de aproximadamente 3.1416. [57] También probó que el áreade un círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo (πr 2 ). En En la Esfera y el Cilindro , Arquímedes postula que cualquier magnitud cuando se agrega a sí misma suficientes veces superará cualquier magnitud dada. Esta es la propiedad arquimediana de los números reales. [58]
En Sobre la medida del círculo , Arquímedes da el valor de la raíz cuadrada de 3 como que se extiende entre 265153 (aproximadamente 1,7320261) y 1 351780(aproximadamente 1,7320512). El valor real es aproximadamente 1.7320508, lo que hace que esta sea una estimación muy precisa. Introdujo este resultado sin ofrecer ninguna explicación de cómo lo había obtenido. Este aspecto del trabajo de Arquímedes hizo que John Wallis comentara que él era: "ya que tenía el propósito establecido de haber ocultado las huellas de su investigación como si hubiera regañado a la posteridad con el secreto de su método de investigación mientras deseaba extorsionarlo". De ellos asienten a sus resultados ". [59]Es posible que haya usado un procedimiento iterativo para calcular estos valores. [60]
En La cuadratura de la parábola , Arquímedes demostró que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 43 veces el área de un inscrito correspondiente triángulo como se muestra en la figura de la derecha. Se expresó la solución al problema como una infinita serie geométrica con la razón común 14 :
Si el primer término en esta serie es el área del triángulo, entonces el segundo es la suma de las áreas de dos triángulos cuyas bases son las dos líneas secantes más pequeñas , y así sucesivamente. Esta prueba utiliza una variación de la serie 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · que resume a 13 .
En The Sand Reckoner , Arquímedes se propuso calcular el número de granos de arena que el universo podría contener. Al hacerlo, desafió la idea de que la cantidad de granos de arena era demasiado grande para ser contada. Escribió: "Hay algunos, el rey Gelo (Gelo II, hijo de Hiero II ), que piensan que el número de la arena es infinito en la multitud, y me refiero a la arena no solo a la que existe sobre Siracusa y el resto de Sicilia, sino también lo que se encuentra en cada región, ya sea habitada o deshabitada ". Para resolver el problema, Arquímedes ideó un sistema de conteo basado en la miríada . La palabra es del griego μυριάς murias, para el número 10,000. Propuso un sistema numérico utilizando los poderes de una miríada de miríadas (100 millones) y concluyó que la cantidad de granos de arena necesarios para llenar el universo sería de 8 vigintillones , o 8 × 10 63 . [61]
Escritos
Las obras de Arquímedes fueron escritas en griego dórico , el dialecto de la antigua Siracusa . [62] El trabajo escrito de Arquímedes no ha sobrevivido tan bien como el de Euclides , y se sabe que siete de sus tratados han existido solo a través de referencias hechas por otros autores. Pappus of Alexandria menciona On Sphere-Making y otro trabajo sobre poliedros , mientras que Theon of Alexandria cita un comentario sobre la refracciónde la ahora perdida Catoptrica . [b] Durante su vida, Arquímedes dio a conocer su trabajo a través de la correspondencia con los matemáticos enAlejandría . Los escritos de Arquímedes fueron recopilados por primera vez por el arquitecto griego bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 dC), mientras que los comentarios sobre las obras de Arquímedes escritas por Eutocio en el siglo VI dC ayudaron a llevar su obra a un público más amplio. El trabajo de Arquímedes fue traducido al árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 dC), y en latín por Gerard de Cremona (c. 1114–1187 dC). Durante el Renacimiento , Editio Princeps (Primera Edición) fue publicado en Basilea en 1544 por Johann Herwagen con las obras de Arquímedes en griego y latín. [63] Alrededor del año 1586 Galileo Galilei.inventó un balance hidrostático para pesar metales en el aire y el agua después de haber sido inspirado aparentemente por el trabajo de Arquímedes. [64]
Obras sobrevivientes
- Sobre el equilibrio de los planos (dos volúmenes).
- El primer libro está en quince proposiciones con siete postulados , mientras que el segundo libro está en diez proposiciones. En este trabajo, Arquímedes explica la Ley de la Palanca , al afirmar que "las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos".
- Arquímedes utiliza los principios derivados para calcular las áreas y centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluidos triángulos , paralelogramos y parábolas . [sesenta y cinco]
- Este es un trabajo corto que consta de tres proposiciones. Está escrito en la forma de una correspondencia con Dositheus of Pelusium, quien fue alumno de Conon de Samos . En la Propuesta II, Arquímedes da una aproximación del valor de pi ( π ), demostrando que es mayor que 22371 y menos de 227 .
- Este trabajo de 28 proposiciones también está dirigido a Dositheus. El tratado define lo que ahora se llama la espiral arquimediana . Es el lugar de los puntos correspondientes a las ubicaciones a lo largo del tiempo de un punto que se aleja de un punto fijo con una velocidad constante a lo largo de una línea que gira con una velocidad angular constante . De manera equivalente, en coordenadas polares ( r , θ ) se puede describir mediante la ecuación
- con números reales a y b . Este es un ejemplo temprano de una curva mecánica (una curva trazada por un punto en movimiento ) considerada por un matemático griego.
- En la esfera y el cilindro (dos volúmenes)
- En este tratado dirigido a Dositheus, Arquímedes obtiene el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito de la misma altura y diámetro . El volumen es 43 π r 3 para la esfera, y 2 π r 3 para el cilindro. El área de superficie es 4 π r 2 para la esfera y 6 π r 2 para el cilindro (incluidas sus dos bases), donde r es el radio de la esfera y el cilindro. La esfera tiene un volumen de dos tercios.El del cilindro circunscrito. De manera similar, la esfera tiene un área de dos tercios del cilindro (incluidas las bases). Una esfera esculpida y un cilindro fueron colocados en la tumba de Arquímedes a petición suya.
- Este es un trabajo en 32 proposiciones dirigidas a Dositheus. En este tratado, Arquímedes calcula las áreas y volúmenes de secciones de conos , esferas y paraboloides.
- En cuerpos flotantes (dos volúmenes)
- En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los fluidos y demuestra que el agua adoptará una forma esférica alrededor de un centro de gravedad. Esto pudo haber sido un intento de explicar la teoría de los astrónomos griegos contemporáneos, como Eratóstenes, de que la Tierra es redonda. Los fluidos descritos por Arquímedes no son auto-gravitantes, ya que asume la existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas para derivar la forma esférica.
- En la segunda parte, calcula las posiciones de equilibrio de las secciones de paraboloides. Esta fue probablemente una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base debajo del agua y la cumbre sobre el agua, similar a la forma en que flotan los icebergs. El principio de flotabilidad de Arquímedes se da en el trabajo, que se establece a continuación:
- En este trabajo de 24 proposiciones dirigidas a Dositheus, Arquímedes demuestra mediante dos métodos que el área encerrada por una parábola y una línea recta es 4/3 multiplicada por el área de un triángulo con igual base y altura. Se logra esto mediante el cálculo del valor de una serie geométrica que resume hasta el infinito con la relación de 14 .
- Este es un rompecabezas de disección similar a un Tangram , y el tratado que lo describe se encontró en forma más completa en el Palimpsesto de Arquímedes . Arquímedes calcula las áreas de las 14 piezas que se pueden ensamblar para formar un cuadrado . La investigación publicada por el Dr. Reviel Netz de la Universidad de Stanford en 2003 argumentó que Arquímedes estaba tratando de determinar de cuántas formas se podrían ensamblar las piezas en forma de un cuadrado. El Dr. Netz calcula que las piezas se pueden convertir en un cuadrado de 17.152 formas. [66] El número de arreglos es de 536 cuando se han excluido las soluciones que son equivalentes por rotación y reflexión. [67]El rompecabezas representa un ejemplo de un problema temprano en combinatoria .
- El origen del nombre del rompecabezas no está claro, y se ha sugerido que está tomado de la palabra griega antigua para garganta o garganta, stomachos ( στόμαχος ). [68]Ausonio se refiere al rompecabezas como Ostomachion , una palabra griega compuesta que se forma a partir de las raíces de ὀστέον ( osteón , hueso) y μάχη (machē, lucha). El rompecabezas también se conoce como el Loculus de Arquímedes o la Caja de Arquímedes. [69]
- Este trabajo fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que consta de un poema de 44 líneas, en la Biblioteca Herzog August de Wolfenbüttel , Alemania, en 1773. Está dirigido a Eratóstenes y los matemáticos de Alejandría. Arquímedes los desafía a contar la cantidad de ganado en la Manada del Sol al resolver varias ecuaciones diofánticas simultáneas . Hay una versión más difícil del problema en la que algunas de las respuestas deben ser números cuadrados . Esta versión del problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor [70] en 1880, y la respuesta es un número muy grande, aproximadamente 7.760271 × 10 206 544. [71]
- En este tratado, Arquímedes cuenta la cantidad de granos de arena que caben dentro del universo. Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta por Aristarco de Samos , así como las ideas contemporáneas sobre el tamaño de la Tierra y la distancia entre varios cuerpos celestes. Al usar un sistema de números basado en los poderes de la miríada , Arquímedes concluye que el número de granos de arena necesarios para llenar el universo es 8 × 10 63 en notación moderna. La carta de presentación establece que el padre de Arquímedes era un astrónomo llamado Fidias. La arena Reckoner o PsammitesEs el único trabajo que sobrevive en el que Arquímedes discute sus puntos de vista sobre la astronomía. [72]
- Este tratado se pensó perdido hasta el descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes en 1906. En este trabajo, Arquímedes usa infinitesimales , y muestra cómo dividir una figura en un número infinito de partes infinitamente pequeñas se puede usar para determinar su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado que este método carecía de rigor formal, por lo que también usó el método del agotamiento para obtener los resultados. Al igual que con El problema del ganado , el método de los teoremas mecánicos se escribió en forma de una carta a Eratóstenes en Alejandría .
Trabajos apócrifos
El Libro de Lemmas de Arquímedes o Liber Assumptorum es un tratado con quince proposiciones sobre la naturaleza de los círculos. La primera copia conocida del texto está en árabe . Los estudiosos TL Heath y Marshall Clagett argumentaron que no puede haber sido escrito por Arquímedes en su forma actual, ya que cita a Arquímedes, sugiriendo la modificación de otro autor. Los Lemmas pueden estar basados en un trabajo anterior de Arquímedes que ahora está perdido. [73]
También se ha afirmado que la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados era conocida por Arquímedes. [c] Sin embargo, la primera referencia confiable a la fórmula la da Herón de Alejandría en el siglo I d. [74]
Arquimedes palimpsesto
El documento más importante que contiene el trabajo de Arquímedes es el Palimpsesto de Arquímedes . En 1906, el profesor danés Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó un pergamino de oraciones de piel de cabra de 174 páginas escrito en el siglo XIII. Descubrió que era un palimpsesto , un documento con texto que se había escrito sobre un trabajo anterior borrado. Los palimpsestos se crearon raspando la tinta de las obras existentes y reutilizándolas, lo que era una práctica común en la Edad Media, ya que la vitela era costosa. Los trabajos más antiguos en el palimpsesto fueron identificados por los estudiosos como copias del siglo X dC de tratados previamente desconocidos por Arquímedes. [75]El pergamino pasó cientos de años en una biblioteca del monasterio en Constantinopla antes de ser vendido a un coleccionista privado en la década de 1920. El 29 de octubre de 1998 se vendió en una subasta a un comprador anónimo por $ 2 millones en Christie's en Nueva York. [76] El palimpsesto contiene siete tratados, incluida la única copia sobreviviente de On Floating Bodies en el griego original. Es la única fuente conocida de El método de los teoremas mecánicos , mencionada por Suidas y se cree que se ha perdido para siempre. Stomachion también se descubrió en el palimpsesto, con un análisis más completo del rompecabezas que el que se había encontrado en textos anteriores. El palimpsesto ahora se almacena en elMuseo de Arte Walters en Baltimore , Maryland , donde ha sido sometido a una serie de pruebas modernas, como el uso de luz ultravioleta y de rayos x de luz para leer el texto sobrescrito. [77]
Los tratados en el Palimpsesto de Arquímedes son:
- " Sobre el equilibrio de los planos "
- " En espirales "
- " Medida de un círculo "
- " Sobre la esfera y el cilindro "
- " En cuerpos flotantes "
- " El método de los teoremas mecánicos "
- " Estomago "
- Discursos del siglo IV aC político Hypereides.
- Un comentario sobre Aristóteles 's Categorías de Alejandro de Afrodisia
- Otros trabajos
Legado
- Galileo elogió a Arquímedes muchas veces y se refirió a él como un "sobrehumano". [78] Leibniz dijo: "El que entienda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres más importantes de los últimos tiempos". [79]
- Hay un cráter en la Luna llamado Arquímedes (29.7 ° N, 4.0 ° W) en su honor, así como una cordillera lunar, los Montes Arquímedes (25.3 ° N, 4.6 ° W). [80]
- La Medalla Fields por logros sobresalientes en matemáticas lleva un retrato de Arquímedes, junto con una talla que ilustra su prueba en la esfera y el cilindro. La inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita que se le atribuye y que se lee en latín: "Transire suum pectus mundoque potiri" (Levántate por encima de ti mismo y toma el mundo). [81]
- Arquímedes ha aparecido en sellos postales emitidos por Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia(1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982) y España (1963). [82]
- La exclamación de Eureka! atribuido a Arquímedes es el lema del estado de California . En este caso, la palabra se refiere al descubrimiento de oro cerca de Sutter's Mill en 1848, lo que provocó la fiebre del oro de California . [83]
Ver también
Portal de arquimedes- Arbelos
- Axioma de arquímedes
- Numero de arquimedes
- Paradoja de arquimedes
- Sólido arquimediano
- Círculos gemelos de Arquímedes
- Diocles
- Lista de cosas que llevan el nombre de Arquímedes
- Métodos de computación de raíces cuadradas.
- Pseudo-arquímedes
- Salinon
- Cañon de vapor
- Zhang Heng
Notas
a. ^ En el prefacio de On Spirals dirigido a Dositheus of Pelusium, Archimedes dice que "han pasado muchos años desde la muerte de Conon". Vivió el conon de samos c. 280-220 a . C. , lo que sugiere que Arquímedes pudo haber sido un hombre mayor al escribir algunas de sus obras.
segundo. ^ Los tratados de Arquímedes que se sabe que existen solo a través de referencias en las obras de otros autores son: Sobre la creación de esferas y un trabajo sobre poliedros mencionado por Pappus de Alejandría; Catoptrica , un trabajo sobre óptica mencionado por Theon of Alexandria ; Principios , dirigidos a Zeuxippus y explicando el sistema numérico utilizado en The Sand Reckoner ; En balanzas y palancas ; En los centros de gravedad ; En el calendario . De las obras sobrevivientes de Arquímedes, TL Heath ofrece la siguiente sugerencia en cuanto al orden en que fueron escritas: En el equilibrio de los planos I ,La cuadratura de la parábola , sobre el equilibrio de los planos II , sobre la esfera y el cilindro I, II , sobre espirales , sobre conoides y esferoides , sobre cuerpos flotantes I, II , sobre la medida de un círculo , The Sand Reckoner .
do. ^ Boyer, Carl Benjamin Una historia de las matemáticas (1991) ISBN 0-471-54397-7 "Los eruditos árabes nos informan que la fórmula del área familiar para un triángulo en términos de sus tres lados, generalmente conocida como fórmula de Heron - k = √ s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) , donde s es el semiperímetro, fue conocido por Arquímedes varios siglos antes de que viviera Heron. Los eruditos árabes también atribuyen a Arquímedes el teorema sobre el acorde roto'... Los árabes informan que Arquímedes ha dado varias pruebas del teorema ".
re. ^ "Era habitual manchar las costuras o incluso todo el casco con brea o con brea y cera". En Νεκρικοὶ Διάλογοι ( Diálogos de los muertos ), Lucian se refiere a recubrir las costuras de un esquife con cera, una referencia a la brea (alquitrán) o cer
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