La teoría de conjuntos [ editar ]
El comienzo de la teoría de conjuntos como una rama de las matemáticas a menudo está marcado por la publicación del artículo de Cantor de 1874 , [32] "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales") . [40] Este documento fue el primero en proporcionar una prueba rigurosa de que había más de un tipo de infinito. Anteriormente, se había asumido implícitamente que todas las colecciones infinitas eran equinuméricas (es decir, de "el mismo tamaño" o que tenían el mismo número de elementos). [41] Cantor demostró que la recopilación de números reales y la recopilación de enterospositivos no son equinosos. En otras palabras, los números reales no sonnumerable . Su prueba difiere del argumento diagonal que dio en 1891. [42] El artículo de Cantor también contiene un nuevo método para construir números trascendentales . Los números trascendentales fueron construidos por primera vez por Joseph Liouville en 1844. [43]
Cantor estableció estos resultados utilizando dos construcciones. Su primera construcción muestra cómo escribir los números algebraicos reales [44] como una secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... En otras palabras, los números algebraicos reales son contables. Cantor comienza su segunda construcción con cualquier secuencia de números reales. Usando esta secuencia, construye intervalos anidados cuya intersecciónContiene un número real que no está en la secuencia. Dado que cada secuencia de números reales se puede usar para construir un real que no esté en la secuencia, los números reales no se pueden escribir como una secuencia, es decir, los números reales no son contables. Al aplicar su construcción a la secuencia de números algebraicos reales, Cantor produce un número trascendental. Cantor señala que sus construcciones prueban más, es decir, proporcionan una nueva prueba del teorema de Liouville: cada intervalo contiene infinitos números trascendentales. [45] El siguiente artículo de Cantor contiene una construcción que prueba que el conjunto de números trascendentales tiene el mismo "poder" (ver más abajo) que el conjunto de números reales. [46]
Entre 1879 y 1884, Cantor publicó una serie de seis artículos en Mathematische Annalen que juntos formaron una introducción a su teoría de conjuntos. Al mismo tiempo, hubo una creciente oposición a las ideas de Cantor, lideradas por Leopold Kronecker, quien admitió los conceptos matemáticos solo si podían construirse en un número finito de pasos de los números naturales, que tomó como intuitivamente dados. Para Kronecker, la jerarquía de infinitos de Cantor era inadmisible, ya que aceptar el concepto de infinito real abriría la puerta a las paradojas que desafiarían la validez de las matemáticas en su conjunto. [47] Cantor también introdujo el conjunto de Cantor durante este período.
El quinto artículo de esta serie, " Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (" Fundamentos de una teoría general de agregados" ), publicado en 1883, [48] fue el más importante de los seis y también se publicó como una monografía aparte . Contenía la respuesta de Cantor a sus críticos y mostraba cómo los números transfinitos eran una extensión sistemática de los números naturales. Comienza definiendo conjuntos bien ordenados . Los números ordinales se introducen como tipos de orden de conjuntos bien ordenados. Entonces Cantor define la suma y multiplicación del cardenal.y números ordinales. En 1885, Cantor extendió su teoría de los tipos de orden para que los números ordinales simplemente se convirtieran en un caso especial de tipos de orden.
En 1891, publicó un artículo que contenía su elegante "argumento diagonal" para la existencia de un conjunto incontable. Se aplica la misma idea para demostrar el teorema de Cantor : la cardinalidad del conjunto potencia de un conjunto A es estrictamente mayor que la cardinalidad de A . Esto estableció la riqueza de la jerarquía de conjuntos infinitos y de la aritmética cardinal y ordinal que Cantor había definido. Su argumento es fundamental en la solución del problema de Halting y en la prueba del primer teorema de incompletitud de Gödel . Cantor escribió sobre la conjetura de Goldbach en 1894.
En 1895 y 1897, Cantor publicó un artículo de dos partes en Mathematische Annalen bajo la dirección de Felix Klein ; Estos fueron sus últimos trabajos significativos sobre la teoría de conjuntos. [49] El primer documento comienza con la definición de conjunto, subconjunto , etc., de manera que ahora sería ampliamente aceptable. Se revisan la aritmética cardinal y ordinal. Cantor quería que el segundo documento incluyera una prueba de la hipótesis del continuo, pero tuvo que conformarse con exponer su teoría de conjuntos bien ordenados y números ordinales. Cantor intenta probar que si A y B son conjuntos con A equivalente a un subconjunto de B y Bequivalente a un subconjunto de A , entonces A y B son equivalentes. Ernst Schröder había expresado este teorema un poco antes, pero su prueba, así como la de Cantor, era errónea. Félix Bernstein presentó una prueba correcta en su tesis doctoral de 1898; De ahí el nombre de teoror de Cantor-Bernstein-Schröder .
Correspondencia uno a uno [ editar ]
El papel Crelle de Cantor de 1874 fue el primero en invocar la noción de una correspondencia 1 a 1 , aunque no usó esa frase. Luego comenzó a buscar una correspondencia de 1 a 1 entre los puntos de la unidad cuadrada y los puntos de un segmento de línea de unidad . En una carta de 1877 a Richard Dedekind, Cantor demostró ser un resultado mucho más fuerte : para cualquier entero n positivo , existe una correspondencia de 1 a 1 entre los puntos en el segmento de línea de la unidad y todos los puntos en un espacio n -dimensional . Sobre este descubrimiento, Cantor le escribió a Dedekind: " Je le vois, mais je ne le crois pas! " ("¡Lo veo, pero no lo creo!") [50]El resultado que encontró tan sorprendente tiene implicaciones para la geometría y la noción de dimensión .
En 1878, Cantor presentó otro artículo al Crelle's Journal, en el que definió con precisión el concepto de una correspondencia 1 a 1 e introdujo la noción de " poder " (un término que tomó de Jakob Steiner ) o "equivalencia" de conjuntos: dos conjuntos son equivalentes (tienen la misma potencia) si existe una correspondencia de 1 a 1 entre ellos. Cantor definió los conjuntos contables (o conjuntos numerables) como conjuntos que pueden ponerse en una correspondencia de 1 a 1 con los números naturales , y demostró que los números racionales son numerables. También demostró que el espacio euclidiano n- dimensional R n tiene el mismo poder que los números reales R , Al igual que un infinito numerable producto de copias de R . Si bien hizo uso libre de la contabilidad como concepto, no escribió la palabra "contable" hasta 1883. Cantor también habló sobre su forma de pensar acerca de la dimensión , destacando que su mapeo entre el intervalo de la unidad y el cuadrado de la unidad no era continuo .
Este artículo disgustó a Kronecker y Cantor quería retirarlo; sin embargo, Dedekind lo convenció de que no lo hiciera y Karl Weierstrass apoyó su publicación. [51] Sin embargo, Cantor nunca volvió a presentar nada a Crelle.
Continuum hipótesis [ editar ]
Cantor fue el primero en formular lo que luego se conoció como la hipótesis del continuo o CH: no existe ningún conjunto cuyo poder sea mayor que el de los naturales y menor que el de los reales (o, de manera equivalente, la cardinalidad de los reales es exactamente aleph-uno, en lugar de al menos aleph-uno). Cantor creía que la hipótesis del continuo era verdadera y trató durante muchos años de demostrarla , en vano. Su incapacidad para probar la hipótesis del continuo le causó una ansiedad considerable. [10]
La dificultad que Cantor tuvo para probar la hipótesis del continuo ha sido resaltada por desarrollos posteriores en el campo de las matemáticas: un resultado de 1940 por Kurt Gödel y uno de 1963 por Paul Cohen juntos implican que la hipótesis del continuo no se puede probar ni refutar utilizando el estándar Zermelo– Fraenkel establece la teoría más el axioma de elección (la combinación denominada "ZFC"). [52]
Infinito absoluto, teorema bien ordenado, y paradojas [ editar ]
En 1883, Cantor dividió el infinito en tres categorías: el infinito potencial, [53] el transfinito y el absoluto [54] El infinito potencial está representado por una cantidad que puede crecer indefinidamente, tendiendo al infinito como su propio límite matemático, [ 53] y difiere del infinito real en que solo el segundo ya existe en el espacio-tiempo, mientras que una entidad matemática puede alcanzar su realidad en una mente pensante (como el hombre o Dios el Creador [53] ), no siempre ser correspondido por un objeto medible, y con la condición única de no originar ninguna paradoja racional. [53]
Lo transfinito es de magnitud incrementable, mientras que lo absoluto es irrenunciable. Por ejemplo, un ordinal α es transfinito porque puede aumentarse a α + 1. Por otro lado, los ordinales forman una secuencia absolutamente infinita que no puede incrementarse en magnitud porque no hay ordinales más grandes que agregar. [55] En 1883, Cantor también introdujo el principio de buen ordenamiento "cada conjunto puede estar bien ordenado" y declaró que es una "ley del pensamiento". [56]
Entre los números transfinitos, Cantor distinguió los números aleph : aleph-zero (el conjunto discreto infinito de los números enteros ), aleph-one (el conjunto infinito continuo de los números reales, o en geometría el conjunto de puntos de un segmento ), y más otros.
Entre los números transfinitos, Cantor distinguió los números aleph : aleph-zero (el conjunto discreto infinito de los números enteros ), aleph-one (el conjunto infinito continuo de los números reales, o en geometría el conjunto de puntos de un segmento ), y más otros.
Cantor extendió su trabajo en el infinito absoluto usándolo en una prueba. Alrededor de 1895, comenzó a considerar su principio de ordenamiento como un teorema y trató de probarlo. En 1899, envió a Dedekind una prueba del teorema de aleph equivalente: la cardinalidad de cada conjunto infinito es un aleph . [57] Primero, definió dos tipos de multiplicidades: multiplicidades consistentes (conjuntos) y multiplicidades inconsistentes (multiplicidades absolutamente infinitas). Luego asumió que los ordinales forman un conjunto, probó que esto conduce a una contradicción y concluyó que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. Utilizó esta multiplicidad inconsistente para probar el teorema de aleph. [58] En 1932, Zermelo criticó la construcción en la prueba de Cantor. [59]
Cantor evitó las paradojas al reconocer que hay dos tipos de multiplicidades. En su teoría de conjuntos, cuando se asume que los ordinales forman un conjunto, la contradicción resultante solo implica que los ordinales forman una multiplicidad inconsistente. Por otro lado, Bertrand Russell trató todas las colecciones como conjuntos, lo que lleva a paradojas. En la teoría de conjuntos de Russell, los ordinales forman un conjunto, por lo que la contradicción resultante implica que la teoría es inconsistente . De 1901 a 1903, Russell descubrió tres paradojas lo que implica que su teoría de conjuntos es inconsistente: la paradoja Burali-Forti (que se acaba de mencionar), la paradoja de Cantor , y la paradoja de Russell . [60]Russell nombró paradojas después de Cesare Burali-Forti y Cantor, aunque ninguno de ellos creyó haber encontrado paradojas. [61]
En 1908, Zermelo publicó su sistema de axiomas para la teoría de conjuntos . Tenía dos motivaciones para desarrollar el sistema de axiomas: eliminar las paradojas y asegurar su prueba del teorema del buen ordenamiento . [62] Zermelo había probado este teorema en 1904 usando el axioma de elección , pero su prueba fue criticada por una variedad de razones. [63] Su respuesta a la crítica incluyó su sistema de axiomas y una nueva prueba del teorema de buen ordenamiento. Sus axiomas apoyan esta nueva prueba y eliminan las paradojas al restringir la formación de conjuntos. [64]
En 1923, John von Neumann desarrolló un sistema de axiomas que elimina las paradojas utilizando un enfoque similar al de Cantor, es decir, identificando colecciones que no son conjuntos y tratándolas de manera diferente. Von Neumann declaró que una clase es demasiado grande para ser un conjunto si se puede poner en una correspondencia individual con la clase de todos los conjuntos. Definió un conjunto como una clase que es miembro de alguna clase y declaró el axioma: Una clase no es un conjunto si y solo si hay una correspondencia uno a uno entre él y la clase de todos los conjuntos. Este axioma implica que estas grandes clases no son conjuntos, lo que elimina las paradojas ya que no pueden ser miembros de ninguna clase. [sesenta y cinco]Von Neumann también usó su axioma para probar el teorema de buen ordenamiento: como Cantor, asumió que los ordinales forman un conjunto. La contradicción resultante implica que la clase de todos los ordinales no es un conjunto. Luego su axioma proporciona una correspondencia uno a uno entre esta clase y la clase de todos los conjuntos. Esta correspondencia ordena bien la clase de todos los conjuntos, lo que implica el teorema de ordenamiento correcto. [66] En 1930, Zermelo definió modelos de teoría de conjuntos que satisfacen el axioma de von Neumann . [67]
Filosofía, religión, literatura y las matemáticas de Cantor [ editar ]
El concepto de la existencia de un infinito real fue una importante preocupación compartida dentro de los ámbitos de las matemáticas, la filosofía y la religión. Preservar la ortodoxia de la relación entre Dios y las matemáticas, aunque no en la misma forma en que lo sostuvieron sus críticos, fue durante mucho tiempo una preocupación de Cantor. [68] Dirigió directamente esta intersección entre estas disciplinas en la introducción de su Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, donde enfatizó la conexión entre su visión del infinito y la filosófica. [69]Para Cantor, sus puntos de vista matemáticos estaban intrínsecamente vinculados a sus implicaciones filosóficas y teológicas: identificó al Infinito Absolutocon Dios, [70] y él consideró que su trabajo sobre números transfinitos le había sido comunicado directamente a él por Dios, quien había elegido a Cantor para revelarlo al mundo. [5]
El debate entre los matemáticos surgió de puntos de vista opuestos en la filosofía de las matemáticas conrespecto a la naturaleza del infinito real. Algunos sostuvieron la opinión de que el infinito era una abstracción que no era matemáticamente legítima y negaba su existencia. [71] Matemáticos de tres escuelas de pensamiento principales (el constructivismo y sus dos ramificaciones, el intuicionismo y el finitismo ) se opusieron a las teorías de Cantor en esta materia. Para los constructivistas como Kronecker, este rechazo del infinito real se deriva de un desacuerdo fundamental con la idea de que las pruebas no constructivas como el argumento diagonal de Cantor son pruebas suficientes de que algo existe, sosteniendo en cambio queSe requieren pruebas constructivas . El intuicionismo también rechaza la idea de que el infinito real es una expresión de cualquier tipo de realidad, pero llega a la decisión a través de una ruta diferente a la del constructivismo. En primer lugar, el argumento de Cantor se basa en la lógica para probar la existencia de números transfinitos como una entidad matemática real, mientras que los intuicionistas sostienen que las entidades matemáticas no pueden reducirse a proposiciones lógicas, originándose en cambio en las intuiciones de la mente. [72] En segundo lugar, la noción de infinito como expresión de la realidad en sí misma no está permitida en el intuicionismo, ya que la mente humana no puede construir intuitivamente un conjunto infinito. [73] Matemáticos como L. E. J. Brouwer y especialmente Henri Poincaré adoptaron unaPostura intuicionista contra la obra de Cantor. Finalmente, los ataques de Wittgenstein fueron finitistas: creía que el argumento diagonal de Cantor combinaba la intención de un conjunto de números cardinales o reales con su extensión , combinando así el concepto de reglas para generar un conjunto con un conjunto real. [9]
Algunos teólogos cristianos vieron la obra de Cantor como un desafío a la singularidad del infinito absoluto en la naturaleza de Dios. [6] En particular, los pensadores neo-tomistas vieron la existencia de un infinito real que consistía en algo distinto a Dios que ponía en peligro "el reclamo exclusivo de Dios del infinito supremo". [74]Cantor creía firmemente que esta visión era una mala interpretación del infinito, y estaba convencido de que la teoría de conjuntos podría ayudar a corregir este error: [75] "... las especies transfinitas están igualmente a disposición de las intenciones del Creador y su absoluta voluntad ilimitada como son los números finitos ". [76]
Cantor también creía que su teoría de los números transfinitos era contraria tanto al materialismo como al determinismo , y se sorprendió cuando se dio cuenta de que era el único miembro de la facultad en Halle que no tenía creencias filosóficas deterministas. [77]
En 1888, Cantor publicó su correspondencia con varios filósofos sobre las implicaciones filosóficas de su teoría de conjuntos. En un extenso intento de persuadir a otros pensadores y autoridades cristianos para que adoptaran sus puntos de vista, Cantor mantuvo correspondencia con filósofos cristianos como Tilman Pesch y Joseph Hontheim , [78] , así como con teólogos como el cardenal Johann Baptist Franzelin , quien una vez respondió al comparar Teoría de los números transfinitos con panteísmo . [7] Cantor incluso envió una carta directamente al Papa León XIII , y le dirigió varios folletos. [75]
La filosofía de Cantor sobre la naturaleza de los números lo llevó a afirmar su creencia en la libertad de las matemáticas para postular y probar conceptos aparte del reino de los fenómenos físicos, como expresiones dentro de una realidad interna. Las únicas restricciones en este sistema metafísico son que todos los conceptos matemáticos deben estar desprovistos de contradicciones internas, y que se derivan de definiciones, axiomas y teoremas existentes. Esta creencia se resume en su afirmación de que "la esencia de las matemáticas es su libertad". [79] Estas ideas son paralelas a las de Edmund Husserl , a quien Cantor había conocido en Halle. [80]
Mientras tanto, el propio Cantor se oponía ferozmente a los infinitesimales , describiéndolos como una "abominación" y "el bacilo del cólera de las matemáticas". [37]
El documento de Cantor de 1883 revela que era muy consciente de la oposición con la que se encontraban sus ideas: "... Me doy cuenta de que en esta empresa me coloco en una cierta oposición a las opiniones generalizadas sobre el infinito matemático y a las opiniones frecuentemente defendidas sobre la naturaleza. de números ". [81]
Por lo tanto, dedica mucho espacio a justificar su trabajo anterior, afirmando que los conceptos matemáticos pueden introducirse libremente siempre que estén libres de contradicción y definidos en términos de conceptos previamente aceptados. También cita a Aristóteles, René Descartes , George Berkeley , Gottfried Leibniz y Bernard Bolzano en el infinito.
Ascendencia de Cantor [ editar ]
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Los abuelos paternos de Cantor eran de Copenhague y huyeron a Rusia de la interrupción de las Guerras Napoleónicas . Hay muy poca información directa sobre sus abuelos. [82] Cantor fue a veces llamado judío en su vida, [83] pero también fue llamado ruso, alemán y danés.
Jakob Cantor, el abuelo de Cantor, dio a sus hijos los nombres de los santos cristianos . Además, varios de los familiares de su abuela estaban en el servicio civil zarista, que no aceptaría a los judíos, a menos que se convirtieran al cristianismo. El padre de Cantor, Georg Waldemar Cantor, fue educado en la misión luterana en San Petersburgo, y su correspondencia con su hijo muestra a ambos como devotos luteranos. Muy poco se sabe con seguridad sobre el origen o la educación de George Woldemar. [84] Su madre, Maria Anna Böhm, era una austrohúngara nacida en San Petersburgo y bautizada católica romana ; ella se convirtió al protestantismosobre el matrimonio Sin embargo, hay una carta del hermano de Cantor, Louis, a su madre que dice:
("Incluso si fuéramos descendientes de judíos diez veces, y aunque en principio pueda estar completamente a favor de la igualdad de derechos para los hebreos, en la vida social prefiero a los cristianos ..."), lo que podría interpretarse para implicar que Ella era de ascendencia judía. [85]
Hubo declaraciones documentadas, durante la década de 1930, que pusieron en duda esta ascendencia judía:
También se dice más tarde en el mismo documento:
(el resto de la cita se termina con la primera cita anterior). En Men of Mathematics , Eric Temple Bell describió a Cantor como "de ascendencia judía pura en ambos lados", aunque ambos padres fueron bautizados. En un artículo de 1971 titulado "Hacia una biografía de Georg Cantor", menciona el historiador británico de matemáticas Ivor Grattan-Guinness ( Annals of Science 27, pp. 345–391, 1971) que no pudo encontrar evidencia de la ascendencia judía. (También afirma que la esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judía).
En una carta escrita por Georg Cantor a Paul Tannery en 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, París, 1934, p. 306), Cantor afirma que sus abuelos paternos eran miembros de la comunidad judía sefardí de Copenhague. Específicamente, Cantor declara al describir a su padre: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde ..." ("Nació en Copenhague de padres judíos (lit:" Israelite ") del local Comunidad judeo-portuguesa. ") [86]
Además, el tío abuelo materno de Cantor [87], un violinista húngaro Josef Böhm , ha sido descrito como judío [88], lo que puede implicar que la madre de Cantor era al menos en parte descendiente de la comunidad judía húngara. [89]
En una carta a Bertrand Russell, Cantor describió su ascendencia y autopercepción de la siguiente manera:
Biografías [ editar ]
Hasta la década de 1970, las principales publicaciones académicas sobre Cantor eran dos monografías cortas de Arthur Moritz Schönflies (1927), en gran parte la correspondencia con Mittag-Leffler, y Fraenkel (1930). Ambos estaban en segunda y tercera mano; Tampoco tuvo mucho en su vida personal. La diferencia fue en gran parte ocupado por Eric Temple Bell 's de los hombres de Matemáticas (1937), que uno de los biógrafos modernos de Cantor describe como 'quizás el libro más leído moderna en la historia de las matemáticas '; y como "uno de los peores". [91] Bell presenta la relación de Cantor con su padre como Edipo., Las diferencias de Cantor con Kronecker como una disputa entre dos judíos, y la locura de Cantor como una desesperación romántica por su fracaso en ganar la aceptación de sus matemáticas. Grattan-Guinness (1971) encontró que ninguna de estas afirmaciones era cierta, pero pueden encontrarse en muchos libros del período intermedio, debido a la ausencia de cualquier otra narrativa. Existen otras leyendas, independientes de Bell, entre ellas una que marca al fundador del padre de Cantor como un envolvente, enviado a San Petersburgo por padres desconocidos. [92] Una crítica del libro de Bell está contenida en la biografía de Joseph Dauben . [93] Escribe Dauben:
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