Georg Cantor
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| Nacido |
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
3 de marzo de 1845 |
| Murió | 6 de enero de 1918 (72 años) |
| Residencia |
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| Nacionalidad | alemán |
| alma mater | |
| Conocido por | Teoría de conjuntos |
| Esposos) |
Vally Guttmann ( m. 1874)
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| Premios | Medalla Sylvester (1904) |
| Carrera cientifica | |
| Campos | Matemáticas |
| Instituciones | Universidad de halle |
| Tesis | De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867) |
| Consejero doctoral | |
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( / k æ n t ɔr / KAN -tor ; alemán: [ɡeɔɐ̯k fɛɐ̯dinant luːtvɪç fɪlɪp kantɔɐ̯] ; de marzo de 3 Ordenar por [ OS de febrero de 19] 1845 - 06 de enero 1918 [1] ) fue un matemático alemán . Creó la teoría de conjuntos , que se ha convertido en una teoría fundamental en matemáticas. Cantor estableció la importancia de la correspondencia uno a uno entre los miembros de dos conjuntos, definió conjuntos infinitos y bien ordenados , y demostró queLos números reales son más numerosos que los números naturales . De hecho, el método de prueba de Cantor de este teorema implica la existencia de una " infinidad de infinitos". Definió los números cardinales y ordinales y su aritmética. La obra de Cantor es de gran interés filosófico, un hecho del que era consciente. [2]
La teoría de Cantor sobre los números transfinitos fue considerada originalmente como tan poco intuitiva, incluso chocante, que encontró resistencia de los contemporáneos matemáticos como Leopold Kronecker y Henri Poincaré [3] y más tarde de Hermann Weyl y L. E. J. Brouwer , mientras que Ludwig Wittgenstein planteó objeciones filosóficas . Cantor, un devoto luterano , [4] creía que la teoría le había sido comunicada por Dios. [5] Algunos teólogos cristianos (particularmente los neo-escolásticos) vio el trabajo de Cantor como un desafío a la singularidad del infinito absoluto en la naturaleza de Dios [6] , en una ocasión que equipara la teoría de los números transfinitos con el panteísmo [7] , una proposición que Cantor rechazó vigorosamente.
Las objeciones al trabajo de Cantor eran en ocasiones feroces: la oposición pública y los ataques personales de Leopold Kroneckerincluían describir a Cantor como un "charlatán científico", un "renegado" y un "corruptor de la juventud". [8] Kronecker se opuso a las pruebas de Cantor de que los números algebraicos son contables y que los números trascendentales son incontables, los resultados ahora se incluyen en un plan de estudios estándar de matemáticas. Al escribir décadas después de la muerte de Cantor, Wittgenstein lamentó que las matemáticas están "montadas en los perniciosos modismos de la teoría de conjuntos", que descartó como "completamente sin sentido", que son "irrisorias" e "incorrectas". [9] [ contexto necesario ]Los recurrentes episodios de depresión de Cantor desde 1884 hasta el final de su vida han sido atribuidos a la actitud hostil de muchos de sus contemporáneos, [10] aunque algunos explicaron estos episodios como posibles manifestaciones de un trastorno bipolar . [11]
La dura crítica ha sido igualada por elogios posteriores. En 1904, la Royal Society otorgó a Cantor su Medalla Sylvester , el mayor honor que puede otorgar para el trabajo en matemáticas. [12] David Hilbert lo defendió de sus críticos declarando: "Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado".
La vida de Georg Cantor [ editar ]
Jóvenes y los estudios [ editar ]
Georg Cantor nació en 1845 en la colonia de comerciantes occidentales de San Petersburgo , Rusia, y se crió en la ciudad hasta los once años. Georg, el mayor de seis hijos, fue considerado como un destacado violinista. Su abuelo Franz Böhm (1788–1846) (el hermano del violinista Joseph Böhm ) era un conocido músico y solista en una orquesta imperial rusa. [15] El padre de Cantor había sido miembro de la bolsa de valores de San Petersburgo ; cuando se enfermó, la familia se mudó a Alemania en 1856, primero a Wiesbaden , luego a Frankfurt , en busca de inviernos más suaves que los de San Petersburgo. En 1860, Cantor se graduó con distinción de la Realschule enDarmstadt ; Se destacaron sus excepcionales habilidades en matemáticas, la trigonometría en particular. En 1862, Cantor entró en el Politécnico Federal Suizo . Después de recibir una importante herencia tras la muerte de su padre en junio de 1863, [16] Cantor cambió sus estudios a la Universidad de Berlín , asistiendo a conferencias de Leopold Kronecker , Karl Weierstrass y Ernst Kummer . Pasó el verano de 1866 en la Universidad de Göttingen , y luego y más tarde un centro de investigación matemática. Cantor era un buen estudiante y recibió su doctorado en 1867. [16] [17]
Profesor e investigador [ editar ]
Cantor presentó su tesis sobre teoría de números en la Universidad de Berlín en 1867. Después de enseñar brevemente en una escuela de niñas de Berlín, Cantor tomó una posición en la Universidad de Halle , donde pasó toda su carrera. Se le otorgó la habilitación necesaria para su tesis, también sobre teoría de los números, que presentó en 1869 tras su nombramiento en la Universidad de Halle . [17] [18]
En 1874, Cantor se casó con Vally Guttmann. Tuvieron seis hijos, el último (Rudolph) nació en 1886. Cantor pudo mantener a una familia a pesar del modesto salario académico, gracias a su herencia de su padre. Durante su luna de miel en las montañas de Harz , Cantor pasó mucho tiempo en discusiones matemáticas con Richard Dedekind , a quien había conocido dos años antes mientras estaba de vacaciones en Suiza.
Cantor fue ascendido a profesor extraordinario en 1872 y se convirtió en profesor titular en 1879. [17] [16] Alcanzar este último puesto a la edad de 34 años fue un logro notable, pero Cantor deseaba una cátedra en una universidad más prestigiosa, en particular en Berlín, en ese momento la universidad alemana líder. Sin embargo, su trabajo encontró demasiada oposición para que eso fuera posible. [19] Kronecker, quien dirigió las matemáticas en Berlín hasta su muerte en 1891, se sintió cada vez más incómodo con la posibilidad de tener a Cantor como colega, [20] lo percibió como un "corruptor de la juventud" por enseñar sus ideas a una generación más joven de los matemáticos [21]Peor aún, Kronecker, una figura bien establecida dentro de la comunidad matemática y el ex profesor de Cantor, discrepó fundamentalmente con el empuje del trabajo de Cantor desde que retrasó intencionalmente la publicación de la primera publicación importante de Cantor en 1874. [17]Kronecker, ahora visto como uno de los fundadores del punto de vista constructivo en matemáticas , rechazó gran parte de la teoría de conjuntos de Cantor porque afirmaba la existencia de conjuntos que satisfacían ciertas propiedades, sin dar ejemplos específicos de conjuntos cuyos miembros sí satisfacían esas propiedades. Siempre que Cantor solicitó un puesto en Berlín, fue rechazado, y generalmente involucraba a Kronecker, [17] por lo que Cantor llegó a creer que Kronecker '
En 1881, el colega de Cantor en Halle, Eduard Heine , murió, creando una silla vacía. Halle aceptó la sugerencia de Cantor de que se ofreciera a Dedekind, Heinrich M. Weber y Franz Mertens , en ese orden, pero cada uno rechazó la silla después de que se la ofrecieran. Friedrich Wangerin fue nombrado finalmente, pero nunca estuvo cerca de Cantor.
En 1882, la correspondencia matemática entre Cantor y Dedekind llegó a su fin, aparentemente como resultado de que Dedekind rechazó la silla en Halle. [22] Cantor también comenzó otra correspondencia importante, con Gösta Mittag-Leffler en Suecia, y pronto comenzó a publicar en la revista Acta Mathematica de Mittag-Leffler . Pero en 1885, Mittag-Leffler estaba preocupado por la naturaleza filosófica y la nueva terminología en un artículo que Cantor había presentado a Acta . [23] Le pidió a Cantor que retirara el papel de Acta.mientras estaba en prueba, escribió que era "... unos cien años demasiado pronto". Cantor obedeció, pero luego recortó su relación y correspondencia con Mittag-Leffler y escribió a un tercero: "Si Mittag-Leffler se hubiera salido con la suya, tendría que esperar hasta el año 1984, lo que para mí era demasiado exigente. .. Pero, por supuesto, nunca quiero volver a saber nada sobre Acta Mathematica ". [24]
Cantor sufrió su primer episodio conocido de depresión en mayo de 1884. [16] [25] La crítica de su trabajo pesaba en su mente: cada una de las cincuenta y dos cartas que escribió a Mittag-Leffler en 1884 mencionaba a Kronecker. Un pasaje de una de estas cartas revela el daño a la autoconfianza de Cantor:
Esta crisis lo llevó a aplicar a una conferencia sobre filosofía en lugar de matemáticas. También comenzó un intenso estudio de la literatura isabelina pensando que podría haber evidencia de que Francis Bacon escribió las obras atribuidas a William Shakespeare (consulte la pregunta sobre la autoría de Shakespeare ); esto finalmente resultó en dos folletos, publicados en 1896 y 1897. [27]
Cantor se recuperó poco después, y posteriormente realizó otras contribuciones importantes, incluido su argumento diagonal y su teorema . Sin embargo, nunca más alcanzó el alto nivel de sus notables papeles de 1874–84, incluso después de la muerte de Kronecker el 29 de diciembre de 1891. [17] Finalmente buscó y logró una reconciliación con Kronecker. Sin embargo, persistieron los desacuerdos filosóficos y las dificultades para dividirlos.
En 1889, Cantor contribuyó decisivamente a la fundación de la Sociedad Matemática Alemana [17] y presidió su primera reunión en Halle en 1891, donde introdujo por primera vez su argumento diagonal ; Su reputación era lo suficientemente fuerte, a pesar de la oposición de Kronecker a su trabajo, para garantizar que fuera elegido como el primer presidente de esta sociedad. Dejando de lado la animosidad que Kronecker había mostrado hacia él, Cantor lo invitó a dirigirse a la reunión, pero Kronecker no pudo hacerlo porque su esposa se estaba muriendo por las lesiones sufridas en un accidente de esquí en ese momento. Georg Cantor también contribuyó a la creación del primer Congreso Internacional de Matemáticos , que se celebró en Zúrich, Suiza, en 1897. [17]
Años posteriores y muerte [ editar ]
Después de la hospitalización de Cantor en 1884, no hay constancia de que estuviera en un sanatorionuevamente hasta 1899. [25] Poco después de esa segunda hospitalización, el hijo menor de Cantor, Rudolph, murió repentinamente el 16 de diciembre (Cantor estaba dando una conferencia sobre sus puntos de vista sobre la teoría baconiana y William Shakespeare ), y esta tragedia agotó a Cantor de gran parte de su pasión por las matemáticas. [28] Cantor fue hospitalizado nuevamente en 1903. Un año después, fue indignado y agitado por un artículo presentado por Julius König en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticos. El artículo intentó probar que los principios básicos de la teoría de conjuntos transfinitos eran falsos. Dado que el periódico había sido leído frente a sus hijas y colegas, Cantor se percibía a sí mismo como humillado públicamente. [29] Aunque Ernst Zermelo demostró menos de un día después que la prueba de König había fallado, Cantor se mantuvo conmovido y cuestionó momentáneamente a Dios. [12] Cantor sufrió de depresión crónica por el resto de su vida, por lo que fue excusado de enseñar en varias ocasiones y confinado varias veces en varios sanatorios. Los eventos de 1904 precedieron a una serie de hospitalizaciones a intervalos de dos o tres años. [30] Sin embargo, no abandonó completamente las matemáticas, dando conferencias sobre las paradojas de la teoría de conjuntos (Paradoja Burali-Forti , la paradoja de Cantor , y la paradoja de Russell ) a una reunión de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung en 1903, y participar en el Congreso Internacional de Matemáticos en Heidelberg en 1904.
En 1911, Cantor fue uno de los distinguidos académicos extranjeros invitados a asistir al 500 aniversario de la fundación de la Universidad de St. Andrews en Escocia. Cantor asistió, con la esperanza de conocer a Bertrand Russell , cuyos Principia Mathematica recientemente publicados citaron repetidamente el trabajo de Cantor, pero esto no sucedió. Al año siguiente, St. Andrews le otorgó a Cantor un doctorado honorario, pero la enfermedad le impidió recibir el título en persona.
Cantor se retiró en 1913, viviendo en la pobreza y sufriendo de desnutrición durante la Primera Guerra Mundial . [31] La celebración pública de su 70 cumpleaños fue cancelada debido a la guerra. En junio de 1917, ingresó a un sanatorio por última vez y continuamente le escribió a su esposa pidiéndole que le permitiera irse a su casa. Georg Cantor tuvo un ataque cardíaco fatal el 6 de enero de 1918 en el sanatorio donde había pasado el último año de su vida. [dieciséis]
Trabajo matemático [ editar ]
El trabajo de Cantor entre 1874 y 1884 es el origen de la teoría de conjuntos . [32] Antes de este trabajo, el concepto de conjunto era bastante elemental y se había utilizado implícitamente desde el principio de las matemáticas, que se remonta a las ideas de Aristóteles . Nadie se había dado cuenta de que la teoría de conjuntos tenía un contenido no trivial. Antes de Cantor, solo existían conjuntos finitos (que son fáciles de entender) y "el infinito" (que se consideraba un tema para discusión filosófica, en lugar de matemática). Al probar que hay (infinitamente) muchos tamaños posibles para conjuntos infinitos, Cantor estableció que la teoría de conjuntos no era trivial y que debía ser estudiada. La teoría de conjuntos ha llegado a desempeñar el papel de una teoría fundacional.en las matemáticas modernas, en el sentido de que interpreta proposiciones sobre objetos matemáticos (por ejemplo, números y funciones) de todas las áreas tradicionales de las matemáticas (como álgebra , análisis y topología ) en una sola teoría, y proporciona un conjunto estándar de axiomas para probarlos o refutarlos. Los conceptos básicos de la teoría de conjuntos ahora se utilizan a lo largo de las matemáticas. [33]
En uno de sus primeros trabajos, [34] Cantor demostró que el conjunto de números reales es "más numeroso" que el conjunto de números naturales ; Esto demostró, por primera vez, que existen infinitos conjuntos de diferentes tamaños . También fue el primero en apreciar la importancia de las correspondencias uno a uno (en lo sucesivo denominada "correspondencia 1 a 1") en la teoría de conjuntos. Utilizó este concepto para definir conjuntos finitos e infinitos , subdividiendo los últimos en conjuntos enumerables (o infinitamente contables) y en conjuntos no innumerables (conjuntos infinitamente innumerables). [35]
Cantor desarrolló conceptos importantes en topología y su relación con la cardinalidad . Por ejemplo, mostró que el conjunto de Cantor no es denso en ninguna parte , pero tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números reales, mientras que los racionales son densos en todas partes, pero contables. También mostró que todos los órdenes lineales densos contables sin puntos finales son isomorfos para los números racionales .
Cantor introdujo construcciones fundamentales en la teoría de conjuntos, tales como el conjunto potencia de un conjunto A , que es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de A . Más tarde demostró que el tamaño del conjunto de potencias de A es estrictamente mayor que el tamaño de A , incluso cuando A es un conjunto infinito; este resultado pronto se conoció como el teorema de Cantor . Cantor desarrolló toda una teoría y aritmética de conjuntos infinitos , llamados cardenales y ordinales , que extendieron la aritmética de los números naturales. Su notación para los números cardinales fue la letra hebrea.( aleph ) con un subíndice de número natural; para los ordinales empleó la letra griega ω ( omega ). Esta notación todavía está en uso hoy.
La hipótesis del Continuum , presentada por Cantor, fue presentada por David Hilbert como el primero de sus veintitrés problemas abiertos en su discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París. El trabajo de Cantor también atrajo un aviso favorable más allá del célebre encomium de Hilbert. [14] El filósofo estadounidense Charles Sanders Peirce elogió la teoría de conjuntos de Cantor y, tras las conferencias públicas pronunciadas por Cantor en el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en Zurich en 1897, Adolf Hurwitz y Jacques Hadamard.También ambos expresaron su admiración. En ese Congreso, Cantor renovó su amistad y correspondencia con Dedekind. A partir de 1905, Cantor mantuvo correspondencia con su admirador y traductor británico Philip Jourdain sobre la historia de la teoría de conjuntos y sobre las ideas religiosas de Cantor. Esto fue publicado más tarde, al igual que varias de sus obras expositivas.
Teoría de números, series trigonométricas y ordinales [ editar ]
Los primeros diez artículos de Cantor se referían a la teoría de los números , su tesis. A sugerencia de Eduard Heine , el profesor de Halle, Cantor se dedicó al análisis . Heine propuso que Cantor resolviera un problema abierto que se le había escapado a Peter Gustav Lejeune Dirichlet , Rudolf Lipschitz , Bernhard Riemann y al propio Heine: la singularidad de la representación de una función mediante series trigonométricas . Cantor resolvió este problema difícil en 1869. Fue mientras trabajaba en este problema que descubrió ordinales transfinitos, que se produjo como índices n en el n ºconjunto derivado S n de un conjunto S de ceros de una serie trigonométrica. Dada una serie trigonométrica f (x) con S como su conjunto de ceros, Cantor había descubierto un procedimiento que produce otra serie trigonométrica que tenía S 1 como su conjunto de ceros, donde S 1 es el conjunto de puntos límite de S . Si S k + 1 es el conjunto de puntos límite de S k , entonces él podría construir una serie trigonométrica cuyos ceros sean S k + 1 . Debido a que los conjuntos S k estaban cerrados, que contenían sus puntos de límite, y la intersección de la secuencia infinita decreciente de los conjuntos S , S 1 , S 2 , S 3 , ... formó un conjunto de límites, que ahora llamaríamos S ω , y luego notó que S ω también tendría que tener un conjunto de puntos límite S ω + 1 , y así sucesivamente. Tenía ejemplos que continuaban para siempre, y aquí había una secuencia infinita de números infinitos que ocurren naturalmente ω , ω + 1, ω + 2, ... [36]
Entre 1870 y 1872, Cantor publicó más artículos sobre series trigonométricas y también un artículo que define los números irracionales como secuencias convergentes de números racionales . Dedekind, de quien Cantor se hizo amigo en 1872, citó este documento más tarde ese año, en el documento donde expuso por primera vez su célebre definición de números reales por los cortes de Dedekind . Mientras extendía la noción de número por medio de su concepto revolucionario de cardinalidad infinita, Cantor se oponía paradójicamente a las teorías de los infinitesimales de sus contemporáneos Otto Stolz y Paul du Bois-Reymond , describiéndolos como "una abominación" y "un bacilo del cólera". matemáticas". [37]Cantor también publicó una "prueba" errónea de la inconsistencia de los infinitesimales .
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