TRIGONOMETRÍA

Suma de los ángulos y diferencia identidades [ editar ]

Ilustración de fórmulas de adición de ángulos para el seno y el coseno. El segmento enfatizado es de longitud unitaria.

Vea también: § Producto a suma e suma a producto identidades , y Aproximación de ángulo pequeño § Ángulo suma y diferencia

Estos también se conocen como teoremas (o fórmulas ) de suma y resta de ángulos . Las identidades se pueden derivar combinando triángulos rectos, como en el diagrama adyacente, o considerando la invariancia de la longitud de una cuerda en un círculo unitario dado un ángulo central particular. Además, incluso es posible derivar las identidades utilizando la identidad de Euler, aunque este sería un enfoque más oscuro dado que se usan números complejos.

Ilustración de la fórmula de adición de ángulo para la tangente. Los segmentos enfatizados son de longitud unitaria.

Para los ángulos agudos α y β , cuya suma no es obtusa, un diagrama conciso (mostrado) ilustra las fórmulas de suma de ángulos para seno y coseno: El segmento en negrita etiquetado como "1" tiene una longitud unitaria y sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo con ángulo β; las piernas opuestos y adyacentes para este ángulo tienen longitudes respectivas pecado β y cos β . La pierna cos β es en sí misma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un ángulo α ; las piernas de ese triángulo, por lo tanto, tienen longitudes dadas por sin α y cos α , multiplicadas por cos β . lossin β pierna, como hipotenusa de otro triángulo rectángulo con ángulo α , también conduce a segmentos de longitud cos α sin β y sen α sin β . Ahora, observamos que el segmento "1" también es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con un ángulo α + β ; la pierna opuesta a este ángulo necesariamente tiene una longitud sin ( α + β ) , mientras que la pierna adyacente tiene una longitud cos ( α + β ) . En consecuencia, como los lados opuestos del rectángulo exterior del diagrama son iguales, deducimos

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (\ alpha + \ beta) & = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta \\\ cos (\ alpha + \ beta) & = \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta \ end {alineado}}}

Al reubicar uno de los ángulos mencionados, se obtiene una variante del diagrama que muestra las fórmulas de diferencia de ángulo para seno y coseno. ^[11] (El diagrama admite variantes adicionales para acomodar ángulos y sumas mayores que un ángulo recto.) La división de todos los elementos del diagrama por cos α cos β proporciona otra variante (mostrada) que ilustra la fórmula de la suma de ángulos para tangente.

Ilustración de la fórmula de adición de ángulo para la cotangente. El segmento superior derecho es de unidad de longitud.

Seno	$${\ displaystyle \ sin (\ alpha \ pm \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ cos \ alpha \ sin \ beta}[12] [13]
Coseno	$${\ displaystyle \ cos (\ alpha \ pm \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta \ mp \ sin \ alpha \ sin \ beta}[13] [14]
Tangente	$${\ displaystyle \ tan (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ tan \ alpha \ pm \ tan \ beta} {1 \ mp \ tan \ alpha \ tan \ beta}}}[13] [15]
Cotangente	$${\ displaystyle \ cot (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ cot \ alpha \ cot \ beta \ mp 1} {\ cot \ beta \ pm \ cot \ alpha}}}[13] [16]
Arcsine	$${\ displaystyle \ arcsin x \ pm \ arcsin y = \ arcsin \ left (x {\ sqrt {1-y ^ {2}}} \ pm y {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) }[17]
Arccosine	$${\ displaystyle \ arccos x \ pm \ arccos y = \ arccos \ left (xy \ mp {\ sqrt {\ left (1-x ^ {2} \ right) \ left (1-y ^ {2} \ right) }}\Correcto)}[18]
Arctangente	$${\ displaystyle \ arctan x \ pm \ arctan y = \ arctan \ left ({\ frac {x \ pm y} {1 \ mp xy}} \ right)}[19]
atan2	$${\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y_ {1}, x_ {1}) \ pm \ operatorname {atan2} (y_ {2}, x_ {2}) = \ operatorname {atan2} (y_ {1} x_ { 2} \ pm y_ {2} x_ {1}, x_ {1} x_ {2} \ mp y_ {1} y_ {2})}
Arccotangente	$${\ displaystyle \ operatorname {arccot} x \ pm \ operatorname {arccot} y = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {xy \ mp 1} {y \ pm x}} \ right)}

Forma de matriz [ editar ]

Ver también: multiplicación de matrices.

Las fórmulas de suma y diferencia para seno y coseno pueden escribirse en forma de matriz como:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & {} \ quad \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end { array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos \ beta & - \ sin \ beta \\\ sin \ beta & \ cos \ beta \ end {array}} \ right) \\ [12pt] & = \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta & - \ cos \ alpha \ sin \ beta - \ sin \ alpha \ cos \ beta \\ \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta & - \ sin \ alpha \ sin \ beta + \ cos \ alpha \ cos \ beta \ end {array}} \ right) \\ [12pt] & = \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos (\ alpha + \ beta) & - \ sin (\ alpha + \ beta) \\\ sin (\ alpha + \ beta) & \ cos (\ alpha + \ beta) \ end {array}} \ right). \ end {alineado}}}

La matriz inversa para una rotación es la rotación con el negativo del ángulo.

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos \ alpha & - \ sin \ alpha \\\ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {array}} \ right) ^ {- 1} = \ left ({\ begin {array} {rr} \ cos (- \ alpha) & - \ sin (- \ alpha) \\\ sin (- \ alpha) & \ cos (- \ alpha) \ end {array }} \ right = = left ({\ begin {array} {rr} \ cos \ alpha & \ sin \ alpha \\ - \ sin \ alpha & \ cos \ alpha \ end {array}} \ right) \, ,}

que es también la matriz de transposición .

Estas fórmulas muestran que estas matrices forman una representación del grupo de rotación en el plano (técnicamente, el grupo ortogonal especial SO (2) ), ya que la ley de composición se cumple y existen inversos. Además, la multiplicación matricial de la matriz de rotación para un ángulo α con un vector de columna girará el vector de columna en sentido contrario a las agujas del reloj por el ángulo α .

Senos y cosenos de sumas de infinitos ángulos [ editar ]

Cuando la serie $${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {i}} converge absolutamente entonces

$${\ displaystyle \ sin \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {i} \ right) = \ sum _ {{\ text {odd}} \ k \ geq 1} (- 1) ^ {\ frac {k-1} {2}} \ sum _ {\ begin {smallmatrix} A \ subseteq \ {\, 1,2,3, \ dots \, \} \\\ left | A \ right | = k \ end {smallmatrix}} \ left (\ prod _ {i \ en A} \ sin \ theta _ {i} \ prod _ {i \ not \ en A} \ cos \ theta _ {i} \ Correcto)}

$${\ displaystyle \ cos \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {i} \ right) = \ sum _ {{\ text {even}} \ k \ geq 0} ~ ( -1) ^ {\ frac {k} {2}} ~~ \ sum _ {\ begin {smallmatrix} A \ subseteq \ {\, 1,2,3, \ dots \, \} \\\ left | A \ right | = k \ end {smallmatrix}} \ left (\ prod _ {i \ en A} \ sin \ theta _ {i} \ prod _ {i \ not \ en A} \ cos \ theta _ {i} \Correcto)\,.}

Porque la serie $${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ theta _ {i}} converge absolutamente, es necesariamente el caso que $${\ displaystyle \ lim _ {i \ rightarrow \ infty} \ theta _ {i} = 0}, $${\ displaystyle \ lim _ {i \ rightarrow \ infty} \ sin \, \ theta _ {i} = 0}y $${\ displaystyle \ lim _ {i \ rightarrow \ infty} \ cos \ theta _ {i} = 1}. En particular, en estas dos identidades una asimetría parece que no se ve en el caso de sumas de un número finito de ángulos: en cada producto, sólo hay un número finito de factores sinusoidales pero hay cofinitely muchos factores coseno. Los términos con infinitos factores sine serían necesariamente iguales a cero.

Cuando sólo un número finito de los ángulos θ _i son distintos de cero entonces sólo un número finito de los términos en el lado derecho son distintos de cero, porque todos, pero un número finito de factores sinusoidales se desvanecen. Además, en cada término, casi todos los factores del coseno son la unidad.

Tangentes y cotangentes de sumas [ editar ]

Deje e _k (para k  = 0, 1, 2, 3, ...) será el k th-grado polinomio simétrico primaria en las variables

$${\ displaystyle x_ {i} = \ tan \ theta _ {i}}

para i  = 0, 1, 2, 3, ..., es decir,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} e_ {0} & = 1 \\ [6pt] e_ {1} & = \ sum _ {i} x_ {i} && = \ sum _ {i} \ tan \ theta _ {i} \\ [6pt] e_ {2} & = \ sum _ {i

Entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ tan \ left (\ sum _ {i} \ theta _ {i} \ right) & = {\ frac {\ sin \ left (\ sum _ {i} \ theta _ { i} \ right) / \ prod _ {i} \ cos \ theta _ {i}} {\ cos \ left (\ sum _ {i} \ theta _ {i} \ right) / \ prod _ {i} \ cos \ theta _ {i}}} \\ & = {\ frac {\ sum _ {{\ text {odd}} \ k \ geq 1} (- 1) ^ {\ frac {k-1} {2} } \ sum _ {\ begin {smallmatrix} A \ subseteq \ {\, 1,2,3, \ dots \, \} \\\ left | A \ right | = k \ end {smallmatrix}} \ prod _ { i \ in A} \ tan \ theta _ {i}} {\ sum _ {{\ text {even}} \ k \ geq 0} ~ (-1) ^ {\ frac {k} {2}} ~~ \ sum _ {\ begin {smallmatrix} A \ subseteq \ {\, 1,2,3, \ dots \, \} \\ left | A \ right | = k \ end {smallmatrix}} \ prod _ {i \ in A} \ tan \ theta _ {i}}} = {\ frac {e_ {1} -e_ {3} + e_ {5} - \ cdots} {e_ {0} -e_ {2} + e_ { 4} - \ cdots}} \\\ cot \ left (\ sum _ {i} \ theta _ {i} \ right) & = {\ frac {e_ {0} -e_ {2} + e_ {4} - \ cdots} {e_ {1} -e_ {3} + e_ {5} - \ cdots}} \ end {alineado}}}

utilizando las fórmulas de suma de seno y coseno arriba.

El número de términos en el lado derecho depende del número de términos en el lado izquierdo.

Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ tan (\ theta _ {1} + \ theta _ {2}) & = {\ frac {e_ {1}} {e_ {0} -e_ {2}}} = {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {1 \ - \ x_ {1} x_ {2}}} = {\ frac {\ tan \ theta _ {1} + \ tan \ theta _ {2 }} {1 \ - \ \ tan \ theta _ {1} \ tan \ theta _ {2}}}, \\ [8pt] \ tan (\ theta _ {1} + \ theta _ {2} + \ theta _ {3}) & = {\ frac {e_ {1} -e_ {3}} {e_ {0} -e_ {2}}} = {\ frac {(x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}) \ - \ (x_ {1} x_ {2} x_ {3})} {1 \ - \ (x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {2} x_ {3})}}, \\ [8pt] \ tan (\ theta _ {1} + \ theta _ {2} + \ theta _ {3} + \ theta _ {4}) & = {\ frac { e_ {1} -e_ {3}} {e_ {0} -e_ {2} + e_ {4}}} \\ [8pt] & = {\ frac {(x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4}) \ - \ (x_ {1} x_ {2} x_ {3} + x_ {1} x_ {2} x_ {4} + x_ {1} x_ {3} x_ {4 } + x_ {2} x_ {3} x_ {4})} {1 \ - \ (x_ {1} x_ {2} + x_ {1} x_ {3} + x_ {1} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} + x_ {2} x_ {4} + x_ {3} x_ {4}) \ + \ (x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4})}}, \ end {alineado}}}

y así. El caso de solo muchos términos finitos puede ser probado por inducción matemática . ^[20]

Secantes y cosecantes de sumas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sec \ left (\ sum _ {i} \ theta _ {i} \ right) & = {\ frac {\ prod _ {i} \ sec \ theta _ {i}} {e_ {0} -e_ {2} + e_ {4} - \ cdots}} \\ [8pt] \ csc \ left (\ sum _ {i} \ theta _ {i} \ right) & = {\ frac {\ prod _ {i} \ sec \ theta _ {i}} {e_ {1} -e_ {3} + e_ {5} - \ cdots}} \ end {alineado}}}

donde e _k es el polinomio simétrico elemental de grado k en las n variables x _i = tan θ _i , i = 1, ..., n , y el número de términos en el denominador y el número de factores en el producto en el numerador depende del número de términos en la suma de la izquierda. ^[21] El caso de solo muchos términos finitos se puede probar por inducción matemática en el número de dichos términos.

Por ejemplo,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sec (\ alpha + \ beta + \ gamma) & = {\ frac {\ sec \ alpha \ sec \ beta \ sec \ gamma} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta - \ tan \ alpha \ tan \ gamma - \ tan \ beta \ tan \ gamma}} \\ [8pt] \ csc (\ alpha + \ beta + \ gamma) & = {\ frac {\ sec \ alpha \ sec \ beta \ sec \ gamma} {\ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma - \ tan \ alpha \ tan \ beta \ tan \ gamma}}. \ end {alineado}}}

Fórmulas de ángulos múltiples [ editar ]

T n es el n º Chebyshev polinomio	$${\ displaystyle \ cos (n \ theta) = T_ {n} (\ cos \ theta)}  [22]
S n es el polinomio de propagación n th	$${\ displaystyle \ sin ^ {2} (n \ theta) = S_ {n} (\ sin ^ {2} \ theta)}
La fórmula de Moivre , i es la unidad imaginaria.	$${\ displaystyle \ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta) = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n}}    [23]

Fórmulas de ángulo doble, ángulo triple y ángulo medio [ editar ]

Fórmulas de doble ángulo [ editar ]

$${\ displaystyle \ sin (2 \ theta) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta = {\ frac {2 \ tan \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ cos (2 \ theta) = \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 = 1-2 \ sin ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ tan ^ {2} \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ tan (2 \ theta) = {\ frac {2 \ tan \ theta} {1- \ tan ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ cot (2 \ theta) = {\ frac {\ cot ^ {2} \ theta -1} {2 \ cot \ theta}}}

$${\ displaystyle \ sec (2 \ theta) = {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta} {2- \ sec ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ csc (2 \ theta) = {\ frac {\ sec \ theta \ csc \ theta} {2}}}

Fórmulas de triple ángulo [ editar ]

$${\ displaystyle \ sin (3 \ theta) = 3 \ sin \ theta -4 \ sin ^ {3} \ theta = 4 \ sin \ theta \ sin ({\ frac {\ pi} {3}} - \ theta) \ sin ({\ frac {\ pi} {3}} + \ theta)}

$${\ displaystyle \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta = 4 \ cos \ theta \ cos ({\ frac {\ pi} {3}} - \ theta) \ cos ({\ frac {\ pi} {3}} + \ theta)}

$${\ displaystyle \ tan (3 \ theta) = {\ frac {3 \ tan \ theta - \ tan ^ {3} \ theta} {1-3 \ tan ^ {2} \ theta}} = \ tan \ theta \ tan ({\ frac {\ pi} {3}} - \ theta) \ tan ({\ frac {\ pi} {3}} + \ theta)}

$${\ displaystyle \ cot (3 \ theta) = {\ frac {3 \ cot \ theta - \ cot ^ {3} \ theta} {1-3 \ cot ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ sec (3 \ theta) = {\ frac {\ sec ^ {3} \ theta} {4-3 \ sec ^ {2} \ theta}}}

$${\ displaystyle \ csc (3 \ theta) = {\ frac {\ csc ^ {3} \ theta} {3 \ csc ^ {2} \ theta -4}}}

Fórmulas de medio ángulo [ editar ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\&\qquad {\text{where }}\operatorname {sgn} x=\pm 1{\text{ according to whether }}x{\text{ is positive or negative.}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ tan {\ frac {\ theta} {2}} & = \ csc \ theta - \ cot \ theta = \ pm \, {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {1+ \ cos \ theta}}} = {\ frac {\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta}} \\ & = {\ frac {1- \ cos \ theta} {\ sin \ theta}} = {\ frac {-1 \ pm {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ theta}}} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ tan \ theta} {1+ \ sec {\ theta}}} \ end {alineado}}}

$${\ displaystyle \ cot {\ frac {\ theta} {2}} = \ csc \ theta + \ cot \ theta = \ pm \, {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {1- \ cos \ theta}}} = {\ frac {\ sin \ theta} {1- \ cos \ theta}} = {\ frac {1+ \ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}

^[24] [25]

también

$${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ eta + \ theta} {2}} = {\ frac {\ sin \ eta + \ sin \ theta} {\ cos \ eta + \ cos \ theta}}}

$${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) = \ sec \ theta + \ tan \ theta}

$${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}}} = {\ frac {| 1- \ tan {\ frac {\ theta} {2}} |} {| 1+ \ tan {\ frac {\ theta} {2}} |}}}

Tabla [ editar ]

Ver también: Fórmula de medio ángulo tangente.

Estos se pueden mostrar utilizando las identidades de suma y diferencia o las fórmulas de ángulos múltiples.

	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
Fórmulas de doble ángulo[26] [27]	{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (2 \ theta) & = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \ \\ & = {\ frac {2 \ tan \ theta} {1+ \ tan ^ {2 } \ theta}} \ end {alineado}}}	{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ cos (2 \ theta) & = \ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta \\ & = 2 \ cos ^ {2} \ theta -1 \\ & = 1-2 \ sin ^ {2} \ theta \\ & = {\ frac {1- \ tan ^ {2} \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} \ end { alineado}}}	$${\ displaystyle \ tan (2 \ theta) = {\ frac {2 \ tan \ theta} {1- \ tan ^ {2} \ theta}}}	$${\ displaystyle \ cot (2 \ theta) = {\ frac {\ cot ^ {2} \ theta -1} {2 \ cot \ theta}}}
Fórmulas de triple ángulo[22] [28]	{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (3 \ theta) & = - \ sin ^ {3} \ theta +3 \ cos ^ {2} \ theta \ sin \ theta \\ & = - 4 \ sin ^ {3} \ theta +3 \ sin \ theta \ end {alineado}}}	{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ cos (3 \ theta) & = \ cos ^ {3} \ theta -3 \ sin ^ {2} \ theta \ cos \ theta \\ & = 4 \ cos ^ {3 } \ theta -3 \ cos \ theta \ end {alineado}}}	$${\ displaystyle \ tan (3 \ theta) = {\ frac {3 \ tan \ theta - \ tan ^ {3} \ theta} {1-3 \ tan ^ {2} \ theta}}}	$${\ displaystyle \ cot (3 \ theta) = {\ frac {3 \ cot \ theta - \ cot ^ {3} \ theta} {1-3 \ cot ^ {2} \ theta}}}
Fórmulas de medio ángulo[24] [25]	${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}\\[8pt]\tan {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\tan \theta }{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\mbox{for}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$	{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ cot {\ frac {\ theta} {2}} & = \ csc \ theta + \ cot \ theta \\ & = \ pm \, {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ theta} {1- \ cos \ theta}}} \\ [8pt] & = {\ frac {\ sin \ theta} {1- \ cos \ theta}} \\ [8pt] & = {\ frac {1+ \ cos \ theta} {\ sin \ theta}} \ end {alineado}}}

El hecho de que la fórmula de triple ángulo para seno y coseno solo implique los poderes de una sola función permite relacionar el problema geométrico de una brújula y una construcción de regla de la trisección de ángulocon el problema algebraico de resolver una ecuación cúbica , lo que permite probar esa trisección es en general imposible usando las herramientas dadas, por la teoría de campo .

Existe una fórmula para calcular las identidades trigonométricas para el ángulo de un tercio, pero requiere encontrar los ceros de la ecuación cúbica 4 x ³ - 3 x + d = 0 , donde x es el valor de la función de coseno en el tercio ángulo yd es el valor conocido de la función de coseno en el ángulo completo. Sin embargo, el discriminante de esta ecuación es positivo, por lo que esta ecuación tiene tres raíces reales (de las cuales solo una es la solución para el coseno del ángulo de un tercio). Ninguna de estas soluciones es reducible a una expresión algebraica real, ya que utilizan números complejos intermedios debajo de las raíces cúbicas .

Seno, coseno y tangente de ángulos múltiples [ editar ]

Para múltiplos específicos, estos siguen las fórmulas de adición de ángulo, mientras que la fórmula general fue dada por el matemático francés del siglo XVI François Viète .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (n \ theta) & = \ sum _ {k {\ text {odd}}} (- 1) ^ {\ frac {k-1} {2}} {n \ elige k} \ cos ^ {nk} \ theta \ sin ^ {k} \ theta, \\ cos (n \ theta) & = \ sum _ {k {\ text {even}}} (- 1) ^ {\ frac {k} {2}} {n \ elige k} \ cos ^ {nk} \ theta \ sin ^ {k} \ theta \ ,, \ end {alineado}}}

para valores no negativos de k hasta n .

En cada una de estas dos ecuaciones, el primer término entre paréntesis es un coeficiente binomial , y la función trigonométrica final es igual a uno o menos uno o cero, de modo que se eliminan la mitad de las entradas en cada una de las sumas. La proporción de estas fórmulas da

$${\ displaystyle \ tan (n \ theta) = {\ frac {\ sum _ {k {\ text {odd}}} (- 1) ^ {\ frac {k-1} {2}} {n \ elegir k } \ tan ^ {k} \ theta} {\ sum _ {k {\ text {even}}} (- 1) ^ {\ frac {k} {2}} {n \ elige k} \ tan ^ {k } \ theta}} \ ,.}

Método de Chebyshev [ editar ]

El método de Chebyshev es un algoritmo recursivo para encontrar la fórmula de n ángulos múltiples sabiendo los valores de ( n - 1) th y ( n - 2) th. ^[29]

cos ( nx ) se puede calcular a partir de cos (( n - 1) x ) , cos (( n - 2) x ) y cos ( x ) con

cos ( nx ) = 2 · cos x · cos (( n - 1) x ) - cos (( n - 2) x ) .

Esto se puede probar sumando las fórmulas.

cos (( n - 1) x + x ) = cos (( n - 1) x ) cos x - sen (( n - 1) x ) sen x

cos (( n - 1) x - x ) = cos (( n - 1) x ) cos x + sin (( n - 1) x ) sen x .

De manera similar, sin ( nx ) se puede calcular a partir de sin (( n - 1) x ) , sin (( n - 2) x ) y cos ( x ) con

sin ( nx ) = 2 · cos x · sin (( n - 1) x ) - sin (( n - 2) x ) .

Esto se puede probar agregando fórmulas para sin (( n - 1) x + x ) y sin (( n - 1) x - x ) .

Sirviendo a un propósito similar al del método Chebyshev, para la tangente que podemos escribir:

$${\ displaystyle \ tan (nx) = {\ frac {\ tan ((n-1) x) + \ tan x} {1- \ tan ((n-1) x) \ tan x}} \ ,.}

Tangente de un promedio [ editar ]

$${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin \ alpha + \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta }} = - \, {\ frac {\ cos \ alpha - \ cos \ beta} {\ sin \ alpha - \ sin \ beta}}}

Si se establece α o β en 0, se obtienen las fórmulas de semiángulo de la tangente habituales.

El producto infinito de Viète [ editar ]

$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ theta} {4}} \ cdot \ cos {\ frac {\ theta} {8}} \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos {\ frac {\ theta} {2 ^ {n}}} = {\ frac {\ sin \ theta} {\ theta}} = \ operatorname {sinc} \ theta.}

(Refiérase a la función sinc .)