TRIGONOMETRÍA

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Cosenos y senos alrededor del círculo unitario.

Trigonometría
contorno Historia Uso Funciones  ( inverso ) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Mesas Circulo unitario
Leyes y teoremas
Sines Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados
v t mi

En matemáticas , las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para cada valor de las variables que ocurren donde se definen ambos lados de la igualdad. Geométricamente, estas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que potencialmente involucran ángulos, pero también involucran longitudes de lado u otras longitudes de un triángulo .

Estas identidades son útiles cuando las expresiones que involucran funciones trigonométricas necesitan ser simplificadas. Una aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica , y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Notación [ editar ]

Angulos [ editar ]

Signos de funciones trigonométricas en cada cuadrante. El nemotécnico " All S cience T eachers (son) C razy" enumera las funciones básicas ( ' All' , s en, t an, c os) que son positivos de los cuadrantes I a IV. ^[1] Esta es una variación de la mnemotécnica " Todos los estudiantes toman el cálculo ".

Este artículo usa letras griegas como alfa ( α ), beta ( β ), gamma ( γ ) y theta ( θ ) para representar ángulos . Varias unidades diferentes de medida de ángulo son ampliamente utilizadas, incluyendo grados , radianes y gradian ( gons ):

1 círculo completo ( giro ) = 360 grados = 2 π  radian = 400 gon.

Si no está anotado específicamente por (°) por grado o ($${\ displaystyle ^ {\ mathrm {g}}}) para gradian, se supone que todos los valores para ángulos en este artículo se dan en radianes.

La siguiente tabla muestra, para algunos ángulos comunes, sus conversiones y los valores de las funciones trigonométricas básicas:

Conversiones de ángulos comunes.

Giro	La licenciatura	Radián	Gradian	seno	coseno	tangente
$${\ displaystyle 0}	$${\ displaystyle 0 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle 0}	$${\ displaystyle 0 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle 0}	$${\ displaystyle 1}	$${\ displaystyle 0}
$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {12}}}	$${\ displaystyle 30 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ pi} {6}}}	$${\ displaystyle 33 {\ dfrac {1} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}}}
$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {8}}}	$${\ displaystyle 45 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ pi} {4}}}	$${\ displaystyle 50 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle 1}
$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {6}}}	$${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ pi} {3}}}	$${\ displaystyle 66 {\ dfrac {2} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}	$${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}
$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {4}}}	$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ pi} {2}}}	$${\ displaystyle 100 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle 1}	$${\ displaystyle 0}	Indefinido
$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {3}}}	$${\ displaystyle 120 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {2 \ pi} {3}}}	$${\ displaystyle 133 {\ dfrac {1} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {1} {2}}}	$${\ displaystyle - {\ sqrt {3}}}
$${\ displaystyle {\ dfrac {3} {8}}}	$${\ displaystyle 135 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {3 \ pi} {4}}}	$${\ displaystyle 150 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle -1}
$${\ displaystyle {\ dfrac {5} {12}}}	$${\ displaystyle 150 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {5 \ pi} {6}}}	$${\ displaystyle 166 {\ dfrac {2} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 200^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\dfrac {7}{12}}}$	${\displaystyle 210^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {7\pi }{6}}}$	${\displaystyle 233{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {3}}{3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {5}{8}}}$	${\displaystyle 225^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {5\pi }{4}}}$	${\displaystyle 250^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle 240^{\circ }}$	${\displaystyle {\dfrac {4\pi }{3}}}$	${\displaystyle 266{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }}$	${\displaystyle -{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -{\dfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$
${\displaystyle {\dfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle 270^{\circ }}$	$${\ displaystyle {\ dfrac {3 \ pi} {2}}}	$${\ displaystyle 300 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle -1}	$${\ displaystyle 0}	Indefinido
$${\ displaystyle {\ dfrac {5} {6}}}	$${\ displaystyle 300 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {5 \ pi} {3}}}	$${\ displaystyle 333 {\ dfrac {1} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}	$${\ displaystyle - {\ sqrt {3}}}
$${\ displaystyle {\ dfrac {7} {8}}}	$${\ displaystyle 315 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {7 \ pi} {4}}}	$${\ displaystyle 350 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {2}} {2}}}	$${\ displaystyle -1}
$${\ displaystyle {\ dfrac {11} {12}}}	$${\ displaystyle 330 ^ {\ circ}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {11 \ pi} {6}}}	$${\ displaystyle 366 {\ dfrac {2} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {1} {2}}}	$${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}	$${\ displaystyle - {\ dfrac {\ sqrt {3}} {3}}}
$${\ displaystyle 1}	$${\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ}}	$${\ displaystyle 2 \ pi}	$${\ displaystyle 400 ^ {\ mathrm {g}}}	$${\ displaystyle 0}	$${\ displaystyle 1}	$${\ displaystyle 0}

Los resultados para otros ángulos se pueden encontrar en las constantes trigonométricas expresadas en radicales reales . El teorema de Per Niven ,$${\ displaystyle 0, \; 30, \; 90, \; 150, \; 180, \; 210, \; 270, \; 330 (, \; 360)}son los únicos números racionales que, tomados en grados, dan como resultado un valor sinusoidal racional para el ángulo correspondiente dentro del primer giro, lo que puede explicar su popularidad en los ejemplos. ^[2] [3] La condición análoga para el radián unitario requiere que el argumento dividido por π sea ​​racional y arroje las soluciones 0, π / 6, π / 2, 5 π / 6, π , 7 π / 6, 3 π / 2, 11 π / 6 (, 2 π ).

Funciones trigonométricas [ editar ]

Las funciones seno , coseno y tangente de un ángulo a veces se denominan funciones trigonométricas primariaso básicas . Sus abreviaturas habituales son sen ( θ ) , cos ( θ ) y tan ( θ ) , respectivamente, donde θ denota el ángulo. Los paréntesis alrededor del argumento de las funciones a menudo se omiten, por ejemplo, el pecado theta y cos θ , si es una interpretación sin ambigüedad posible.

El seno de un ángulo se define, en el contexto de un triángulo rectángulo , como la proporción de la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por la longitud del lado más largo del triángulo (la hipotenusa ).

$${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {hypotenuse}}}.}

El coseno de un ángulo en este contexto es la relación de la longitud del lado que es adyacente al ángulo dividido por la longitud de la hipotenusa.

$${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ text {adyacente}} {\ text {hypotenuse}}}.}

La tangente de un ángulo en este contexto es la relación de la longitud del lado opuesto al ángulo dividido por la longitud del lado que es adyacente al ángulo. Esto es lo mismo que la relación del seno al coseno de este ángulo, como se puede ver al sustituir las definiciones de pecado y cos desde arriba:

$${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}} = {\ frac {\ text {opuesto}} {\ text {adyacente}}}.

Las funciones trigonométricas restantes secant ( sec ), cosecant ( csc ) y cotangent ( cot ) se definen como las funciones recíprocas de coseno, seno y tangente, respectivamente. En raras ocasiones, estas se llaman funciones trigonométricas secundarias:

$${\ displaystyle \ sec \ theta = {\ frac {1} {\ cos \ theta}}, \ quad \ csc \ theta = {\ frac {1} {\ sin \ theta}}, \ quad \ cot \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}.}

Estas definiciones a veces se denominan identidades de relación .

Funciones inversas [ editar ]

Artículo principal: Funciones trigonométricas inversas.

Las funciones trigonométricas inversas son funciones inversas parciales para las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función inversa para el seno, conocida como seno inverso ( sin- ¹ ) o arcosina ( arcosina o asin ), satisface

$${\ displaystyle \ sin (\ arcsin x) = x \ quad {\ text {for}} \ quad | x | \ leq 1}

y

$${\ displaystyle \ arcsin (\ sin x) = x \ quad {\ text {for}} \ quad | x | \ leq {\ frac {\ pi} {2}}.}

Este artículo utiliza la siguiente notación para las funciones trigonométricas inversas:

Función	pecado	cos	bronceado	segundo	csc	cuna
Inverso	arcos en	arccos	Arctan	arcsec	arccsc	arccot

Identidades pitagóricas [ editar ]

Artículo principal: identidad trigonométrica pitagórica

En trigonometría, la relación básica entre el seno y el coseno está dada por la identidad de Pitágoras:

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1,}

donde el pecado ² θ medios (sin ( θ )) ² y cos ² θ medios (cos ( θ )) ² .

Esto puede verse como una versión del teorema de Pitágoras , y se sigue de la ecuación x ² + y ² = 1 para el círculo unitario . Esta ecuación se puede resolver para el seno o el coseno:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin \ theta & = \ pm {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}, \\ cos \ theta & = \ pm {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}}. \ end {alineado}}}

donde el signo depende del cuadrante de θ .

Dividiendo esta identidad ya sea por sin ² θ o cos ² θ se obtienen las otras dos identidades pitagóricas:

$${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta \ quad {\ text {y}} \ quad 1+ \ cot ^ {2} \ theta = \ csc ^ {2} \ theta.}

Usando estas identidades junto con las identidades de relación, es posible expresar cualquier función trigonométrica en términos de cualquier otra ( hasta un signo más o menos):

Cada función trigonométrica en términos de cada uno de los otros cinco. ^[4]

en términos de	$${\ displaystyle \ sin \ theta}	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle \cot \theta }$
${\displaystyle \sin \theta =}$	${\displaystyle \sin \theta }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \cos \theta =}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$
${\displaystyle \tan \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \tan \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$
${\displaystyle \csc \theta =}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}}$	${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
${\displaystyle \sec \theta =}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ csc \ theta} {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}}	$${\ displaystyle \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} \ theta}} {\ cot \ theta}}}
$${\ displaystyle \ cot \ theta =}	$${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ theta}} {\ sin \ theta}}}	$${\ displaystyle \ pm {\ frac {\ cos \ theta} {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ theta}}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tan \ theta}}}	$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {\ csc ^ {2} \ theta -1}}}	$${\ displaystyle \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta -1}}}}	$${\ displaystyle \ cot \ theta}

Taquigramas históricos [ editar ]

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ se puede construir geométricamente en términos de una unidad de círculo con centro en  O . Muchos de estos términos ya no son de uso común.

La versine , coversine , haversine y exsecant se utilizaron en la navegación. Por ejemplo, la fórmula haversine se utilizó para calcular la distancia entre dos puntos en una esfera. Rara vez se utilizan hoy en día.

Nombre	Abreviatura	Valor [5] [6]
sine versado, versine	$${\ displaystyle \ operatorname {versin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {vers} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {ver} \ theta}	$${\ displaystyle 1- \ cos \ theta}
coseno versado, vercosina	$${\ displaystyle \ operatorname {vercosin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {vercos} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {vcs} \ theta}	$${\ displaystyle 1+ \ cos \ theta}
sine cubierto , coversine	$${\ displaystyle \ operatorname {coversin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {covers} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {cvs} \ theta}	$${\ displaystyle 1- \ sin \ theta}
coseno cubierto ,covercosine	$${\ displaystyle \ operatorname {covercosin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {covercos} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {cvc} \ theta}	$${\ displaystyle 1+ \ sin \ theta}
mitad versado sinusoidal,haversine	$${\ displaystyle \ operatorname {haversin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hav} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {sem} \ theta}	$${\ displaystyle {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}
coseno a la mitad versado, havercosina	$${\ displaystyle \ operatorname {havercosin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {havercos} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hvc} \ theta}	$${\ displaystyle {\ frac {1+ \ cos \ theta} {2}}}
Medio cubierto sine,hacoversine cohaversine	$${\ displaystyle \ operatorname {hacoversin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hacovers} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hcv} \ theta}	$${\ displaystyle {\ frac {1- \ sin \ theta} {2}}}
Medio coseno cubierto ,hacovercosine cohavercosine	$${\ displaystyle \ operatorname {hacovercosin} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hacovercos} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {hcc} \ theta}	$${\ displaystyle {\ frac {1+ \ sin \ theta} {2}}}
secante exterior,exsecante	$${\ displaystyle \ operatorname {exsec} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {exs} \ theta}	$${\ displaystyle \ sec \ theta -1}
cosecante exterior,excosecante	$${\ displaystyle \ operatorname {excosec} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {excsc} \ theta} $${\ displaystyle \ operatorname {exc} \ theta}	$${\ displaystyle \ csc \ theta -1}
acorde	$${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ theta}	$${\ displaystyle 2 \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}

Reflexiones, cambios y periodicidad [ editar ]

Reflejando θ en α = 0 (α = π )

Al examinar el círculo unitario, se pueden establecer las siguientes propiedades de las funciones trigonométricas.

Reflexiones [ editar ]

Cuando una dirección, representada por un ángulo. $${\ displaystyle \ theta}Encerrado con la dirección x , se refleja en una línea con dirección$${\ displaystyle \ alpha,} entonces el ángulo $${\ displaystyle \ theta '} de esta dirección reflejada tiene el valor

$${\ displaystyle \ theta '= 2 \ alpha - \ theta.}

De esta manera, las reflexiones en las direcciones 0 y π radianes ( 0 ° y 180 ° ) generan resultados de aspecto similar (ver imagen). Los valores de las funciones trigonométricas de estos ángulos.$${\ displaystyle \ theta, \; \ theta '} para ángulos específicos $${\ displaystyle \ alpha} satisfacer identidades simples: o son iguales, o tienen signos opuestos, o emplean la función trigonométrica complementaria.

θ reflejado en α  = 0[7] identidades  pares / impares	θ reflejado en α  =  π/4 identidades de co-función [8]	θ reflejado en α  =  π/2	θ reflejado en α  =  π en  comparación con α  = 0
$${\ displaystyle \ sin (- \ theta) = - \ sin \ theta}	$${\ displaystyle \ sin \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ cos \ theta}	$${\ displaystyle \ sin (\ pi - \ theta) = + \ sin \ theta}	$${\ displaystyle \ sin (2 \ pi - \ theta) = - \ sin (\ theta) = \ sin (- \ theta)}
$${\ displaystyle \ cos (- \ theta) = + \ cos \ theta}	$${\ displaystyle \ cos \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ sin \ theta}	$${\ displaystyle \ cos (\ pi - \ theta) = - \ cos \ theta}	$${\ displaystyle \ cos (2 \ pi - \ theta) = + \ cos (\ theta) = \ cos (- \ theta)}
$${\ displaystyle \ tan (- \ theta) = - \ tan \ theta}	$${\ displaystyle \ tan \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ cot \ theta}	$${\ displaystyle \ tan (\ pi - \ theta) = - \ tan \ theta}	$${\ displaystyle \ tan (2 \ pi - \ theta) = - \ tan (\ theta) = \ tan (- \ theta)}
$${\ displaystyle \ csc (- \ theta) = - \ csc \ theta}	$${\ displaystyle \ csc \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ csc (\ pi - \ theta) = + \ csc \ theta}	$${\ displaystyle \ csc (2 \ pi - \ theta) = - \ csc (\ theta) = \ csc (- \ theta)}
$${\ displaystyle \ sec (- \ theta) = + \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ sec \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ csc \ theta}	$${\ displaystyle \ sec (\ pi - \ theta) = - \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ sec (2 \ pi - \ theta) = + \ sec (\ theta) = \ sec (- \ theta)}
$${\ displaystyle \ cot (- \ theta) = - \ cot \ theta}	$${\ displaystyle \ cot \ left ({\ tfrac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ tan \ theta}	$${\ displaystyle \ cot (\ pi - \ theta) = - \ cot \ theta}	$${\ displaystyle \ cot (2 \ pi - \ theta) = - \ cot (\ theta) = \ cot (- \ theta)}

Los cambios y la periodicidad [ editar ]

Al cambiar los argumentos de las funciones trigonométricas por ciertos ángulos, a veces es posible que cambiar el signo o aplicar funciones trigonométricas complementarias exprese resultados particulares de manera más simple. Algunos ejemplos de turnos se muestran a continuación en la tabla.

• Un giro completo , o 360 ° , o 2 π radianes no cambia nada a lo largo del círculo unitario y constituye el intervalo más pequeño para el cual las funciones trigonométricas sin, cos, sec y csc repiten sus valores y, por lo tanto, su período. Los argumentos cambiantes de cualquier función periódica por cualquier múltiplo entero de un período completo preservan el valor de la función del argumento no desplazado.
• Un medio giro , o 180 ° , o π radian es el período de tan ( x ) = sin ( x )/cos ( x ) y cot ( x ) = cos ( x )/sin ( x ) , como se puede ver en Estas definiciones y el periodo de definición de las funciones trigonométricas. Por lo tanto, cambiar los argumentos de tan ( x ) y cot ( x ) por cualquier múltiplo de π , no cambia sus valores de función.

Para las funciones sin, cos, sec y csc con período 2 π, media vuelta es la mitad de su período. Para este cambio cambian el signo de sus valores, como se puede ver desde el círculo unitario nuevamente. Este nuevo valor se repite después de cualquier cambio adicional de 2 π , por lo que todos juntos cambian el signo de un cambio por cualquier múltiplo impar de π , es decir, por (2 k + 1) ⋅ π , con k un entero arbitrario. Por supuesto, cualquier múltiplo de π es solo un período completo, y un desplazamiento hacia atrás por medio período es lo mismo que un desplazamiento hacia atrás por un período completo más un desplazamiento hacia adelante por medio período.

• Un cuarto de vuelta , o 90 ° , o π/2 radianes es un cambio de medio período para tan ( x ) y cot ( x ) con el período π ( 180 ° ), y produce el valor de la función de aplicar la función complementaria al argumento sin cambios . Por el argumento anterior, esto también es válido para un desplazamiento por cualquier múltiplo impar (2 k + 1) π/2 del semestre.

Para las otras cuatro funciones trigonométricas, un cuarto de vuelta también representa un trimestre. Un cambio por un múltiplo arbitrario de un período de un trimestre, que no está cubierto por un múltiplo de la mitad de los períodos, se puede descomponer en un múltiplo entero de períodos, más o menos un período de un cuarto. Los términos que expresan estos múltiplos son (4 k ± 1) ⋅ π/2 . Los desplazamientos hacia adelante / hacia atrás en un período de un cuarto se reflejan en la tabla a continuación. Nuevamente, estos cambios producen valores de función, empleando la función complementaria respectiva aplicada al argumento no desplazado.

Cambiar los argumentos de tan ( x ) y cot ( x ) en su período de trimestre ( π/4 ) no produce resultados tan simples.

Desplazamiento en un cuarto de período	Desplazado en un medio período [9]	Desplazar por períodos completos [10]	Período
$${\ displaystyle \ sin (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}}) = \ pm \ cos \ theta}	$${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi) = - \ sin \ theta}	$${\ displaystyle \ sin (\ theta + k \ cdot 2 \ pi) = + \ sin \ theta}	$${\ displaystyle 2 \ pi}
$${\ displaystyle \ cos (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}}) = \ mp \ sin \ theta}	$${\ displaystyle \ cos (\ theta + \ pi) = - \ cos \ theta}	$${\ displaystyle \ cos (\ theta + k \ cdot 2 \ pi) = + \ cos \ theta}	$${\ displaystyle 2 \ pi}
$${\ displaystyle \ tan (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {4}}) = {\ tfrac {\ tan \ theta \ pm 1} {1 \ mp \ tan \ theta}}}	$${\ displaystyle \ tan (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) = - \ cot \ theta}	$${\ displaystyle \ tan (\ theta + k \ cdot \ pi) = + \ tan \ theta}	$${\ displaystyle \ pi}
$${\ displaystyle \ csc (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}}) = \ pm \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ csc (\ theta + \ pi) = - \ csc \ theta}	$${\ displaystyle \ csc (\ theta + k \ cdot 2 \ pi) = + \ csc \ theta}	$${\ displaystyle 2 \ pi}
$${\ displaystyle \ sec (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {2}}) = \ mp \ csc \ theta}	$${\ displaystyle \ sec (\ theta + \ pi) = - \ sec \ theta}	$${\ displaystyle \ sec (\ theta + k \ cdot 2 \ pi) = + \ sec \ theta}	$${\ displaystyle 2 \ pi}
$${\ displaystyle \ cot (\ theta \ pm {\ tfrac {\ pi} {4}}) = {\ tfrac {\ cot \ theta \ pm 1} {1 \ mp \ cot \ theta}}}	$${\ displaystyle \ cot (\ theta + {\ tfrac {\ pi} {2}}) = - \ tan \ theta}	$${\ displaystyle \ cot (\ theta + k \ cdot \ pi) = + \ cot \ theta}	$${\ displaystyle \ pi}