TRIGONOMETRÍA

Fórmulas de reducción de potencia [ editar ]

Se obtiene resolviendo la segunda y tercera versiones de la fórmula de doble ángulo del coseno.

Seno	Coseno	Otro
$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ cos (2 \ theta)} {2}}}	$${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta = {\ frac {1+ \ cos (2 \ theta)} {2}}}	$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ cos (4 \ theta)} {8}}}
$${\ displaystyle \ sin ^ {3} \ theta = {\ frac {3 \ sin \ theta - \ sin (3 \ theta)} {4}}}	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}}$

y en términos generales de potencias de pecado θ o cos theta lo siguiente es verdadero, y se puede deducir usando la fórmula de De Moivre , la fórmula de Euler y el teorema del binomio ^{[ citación necesaria ]} .

	Coseno	Seno
$${\ displaystyle {\ text {if}} n {\ text {es impar}}}	$${\ displaystyle \ cos ^ {n} \ theta = {\ frac {2} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ frac {n-1} {2}} {\ binom {n} {k}} \ cos {{\ big (} (n-2k) \ theta {\ big)}}}	$${\ displaystyle \ sin ^ {n} \ theta = {\ frac {2} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ frac {n-1} {2}} (- 1 ) ^ {\ left ({\ frac {n-1} {2}} - k \ right)} {\ binom {n} {k}} \ sin {{\ big (} (n-2k) \ theta { \grande )}}}
$${\ displaystyle {\ text {if}} n {\ text {is even}}}	$${\ displaystyle \ cos ^ {n} \ theta = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ binom {n} {\ frac {n} {2}}} + {\ frac {2} {2 ^ {n}}} \ suma _ {k = 0} ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} {\ binom {n} {k}} \ cos {{\ big (} ( n-2k) \ theta {\ big)}}}	$${\ displaystyle \ sin ^ {n} \ theta = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} {\ binom {n} {\ frac {n} {2}}} + {\ frac {2} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} (- 1) ^ {\ left ({\ frac {n} {2}} -k \ right)} {\ binom {n} {k}} \ cos {{\ big (} (n-2k) \ theta {\ big)}}}

Identidades producto-suma y suma-producto [ editar ]

Las identidades de producto a suma o las fórmulas de prótesisa pueden demostrarse expandiendo sus lados derechos utilizando los teoremas de suma de ángulos . Consulte la modulación de amplitud para una aplicación de las fórmulas de producto a suma, y ​​el detector de fase (acústica) y de fase para las aplicaciones de fórmulas de suma a producto.

Producto a suma [30]
$${\ displaystyle 2 \ cos \ theta \ cos \ varphi = {\ cos (\ theta - \ varphi) + \ cos (\ theta + \ varphi)}}
$${\ displaystyle 2 \ sin \ theta \ sin \ varphi = {\ cos (\ theta - \ varphi) - \ cos (\ theta + \ varphi)}}
$${\ displaystyle 2 \ sin \ theta \ cos \ varphi = {\ sin (\ theta + \ varphi) + \ sin (\ theta - \ varphi)}}
$${\ displaystyle 2 \ cos \ theta \ sin \ varphi = {\ sin (\ theta + \ varphi) - \ sin (\ theta - \ varphi)}}
$${\ displaystyle \ tan \ theta \ tan \ varphi = {\ frac {\ cos (\ theta - \ varphi) - \ cos (\ theta + \ varphi)} {\ cos (\ theta - \ varphi) + \ cos ( \ theta + \ varphi)}}}
{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ cos \ theta _ {k} & = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {e \ en S} \ cos (e_ {1} \ theta _ {1} + \ cdots + e_ {n} \ theta _ {n}) \\ [6pt] & {\ text {donde}} S = \ {1 , -1 \} ^ {n} \ end {alineado}}}

Suma a producto [31]
$${\ displaystyle \ sin \ theta \ pm \ sin \ varphi = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta \ pm \ varphi} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta \ mp \ varphi} {2}} \ right)}
$${\ displaystyle \ cos \ theta + \ cos \ varphi = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ theta + \ varphi} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ theta - \ varphi } {2}} \ derecha)}
$${\ displaystyle \ cos \ theta - \ cos \ varphi = -2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta + \ varphi} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {\ theta - \ varphi} {2}} \ derecha)}

Otras identidades relacionadas [ editar ]

• $${\ displaystyle \ sec ^ {2} x + \ csc ^ {2} x = \ sec ^ {2} x \ csc ^ {2} x.}^[32]
• Si x + y + z = π (semicírculo), entonces

  $${\ displaystyle \ sin (2x) + \ sin (2y) + \ sin (2z) = 4 \ sin x \ sin y \ sin z.}

• Identidad triple tangente: si x + y + z = π (semicírculo), entonces

  $${\ displaystyle \ tan x + \ tan y + \ tan z = \ tan x \ tan y \ tan z.}

En particular, la fórmula se mantiene cuando x , y y z son los tres ángulos de cualquier triángulo.

(Si cualquiera de x , y , z es un ángulo recto, uno debe tomar ambos lados para ser ∞ . Esto no es ni + ∞ ni −∞ ; para los propósitos actuales tiene sentido agregar solo un punto en el infinito a la línea real , que es abordado por tan θ como tan theta o bien aumenta a través de los valores positivos o disminuye a través de valores negativos. Esta es una compactación de un punto de la línea real.)

• Identidad triple cotangente: Si x + y + z = π/2 (ángulo recto o cuarto de círculo), entonces

  $${\ displaystyle \ cot x + \ cot y + \ cot z = \ cot x \ cot y \ cot z.}

La identidad de la cotangente de Hermite [ editar ]

Artículo principal: la identidad cotangente de Hermite.

Charles Hermite demostró la siguiente identidad. ^[33] Supongamos que a ₁ , ..., a _n son números complejos , ninguno de los cuales difiere por un múltiplo entero de  π . Dejar

$${\ displaystyle A_ {n, k} = \ prod _ {\ begin {smallmatrix} 1 \ leq j \ leq n \\ j \ neq k \ end {smallmatrix}} \ cot (a_ {k} -a_ {j} )}

(En particular, A _1,1 , al ser un producto vacío , es 1). Entonces

$${\ displaystyle \ cot (z-a_ {1}) \ cdots \ cot (z-a_ {n}) = \ cos {\ frac {n \ pi} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {n} A_ {n, k} \ cot (z-a_ {k}).}

El ejemplo más simple no trivial es el caso  n  = 2 :

$${\ displaystyle \ cot (z-a_ {1}) \ cot (z-a_ {2}) = - 1+ \ cot (a_ {1} -a_ {2}) \ cot (z-a_ {1}) + \ cot (a_ {2} -a_ {1}) \ cot (z-a_ {2}).}

El teorema de Ptolomeo [ editar ]

Artículo principal: teorema de Ptolomeo.

El teorema de Ptolomeo se puede expresar en el lenguaje de la trigonometría moderna como:

Si w + x + y + z = π , entonces:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (w + x) \ sin (x + y) & = \ sin (x + y) \ sin (y + z) & {\ text {(trivial)}} \ \ & = \ sin (y + z) \ sin (z + w) & {\ text {(trivial)}} \\ & = \ sin (z + w) \ sin (w + x) & {\ text { (trivial)}} \\ & = \ sin w \ sin y + \ sin x \ sin z. & {\ text {(significativo)}} \ end {alineado}}}

(Las primeras tres igualaciones son reordenamientos triviales; la cuarta es la sustancia de esta identidad).

Productos finitos de funciones trigonométricas [ editar ]

Para los números enteros coprime n , m

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left (2a + 2 \ cos \ left ({\ frac {2 \ pi km} {n}} + x \ right) \ right) = 2 \ izquierda (T_ {n} (a) + {(- 1)} ^ {n + m} \ cos (nx) \ derecha)}

donde T _n es el polinomio de Chebyshev .

La siguiente relación es válida para la función seno

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin \ left ({\ frac {k \ pi} {n}} \ right) = {\ frac {n} {2 ^ {n- 1}}}.}

Combinaciones lineales [ editar ]

Para algunos propósitos, es importante saber que cualquier combinación lineal de ondas sinusoidales del mismo período o frecuencia pero con diferentes cambios de fase también es una onda sinusoidal con el mismo período o frecuencia, pero un cambio de fase diferente. Esto es útil en sinusoide ajuste de datos , porque los datos medidos u observados están relacionadas linealmente a la una y b incógnitas del componentes en fase y en cuadratura base por debajo, resultando en una simple jacobiano , en comparación a la de c y φ .

Seno y el coseno [ editar ]

La combinación lineal, o adición armónica, de ondas sinusoidales y coseno es equivalente a una sola onda sinusoidal con un desplazamiento de fase y una amplitud escalada, ^{[34] [35] [36]}

$${\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x = c \ sin (x + \ varphi)}

donde el amplitudes original de una y b suma en cuadratura para producir la amplitud combinada c ,

$${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}},}

y, utilizando el atan2 función, el valor inicial del ángulo de fase x + φ se obtiene por

$${\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} \ left (b, a \ right).}

Desplazamiento de fase arbitraria [ editar ]

Más generalmente, para un cambio de fase arbitrario, tenemos

$${\ displaystyle a \ sin x + b \ sin (x + \ theta) = c \ sin (x + \ varphi)}

dónde

$${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + 2ab \ cos \ theta}},}

y

$${\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} \ left (b \, \ sin \ theta, a + b \ cos \ theta \ right).}

Más de dos sinusoides [ editar ]

El caso general dice ^[37]

$${\ displaystyle \ sum _ {i} a_ {i} \ sin (x + \ theta _ {i}) = a \ sin (x + \ theta),}

dónde

$${\ displaystyle a ^ {2} = \ sum _ {i, j} a_ {i} a_ {j} \ cos (\ theta _ {i} - \ theta _ {j})}

y

$${\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sum _ {i} a_ {i} \ sin \ theta _ {i}} {\ sum _ {i} a_ {i} \ cos \ theta _ {i} }}.}

Véase también la adición de Phasor .

Identidades trigonométricas de Lagrange [ editar ]

Estas identidades, que llevan el nombre de Joseph Louis Lagrange , son: ^[38] [39]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin (n \ theta) & = {\ frac {1} {2}} \ cot {\ frac {\ theta} { 2}} - {\ frac {\ cos \ left (\ left (N + {\ frac {1} {2}} \ right) \ theta \ right)} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}} \\ [5pt] \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ cos (n \ theta) & = - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sin \ left (\ left (N + {\ frac {1} {2}} \ right) \ theta \ right)} {2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) }} \ end {alineado}}}

Una función relacionada es la siguiente función de x , denominada kernel de Dirichlet .

$${\ displaystyle 1 + 2 \ cos x + 2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ derecha) x \ derecha)} {\ sin \ izquierda ({\ frac {x} {2}} \ derecha)}}.}

ver prueba .

Otras sumas de funciones trigonométricas [ editar ]

Suma de senos y cosenos con argumentos en progresión aritmética: ^[40] si α ≠ 0 , entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ sin \ varphi + \ sin (\ varphi + \ alpha) + \ sin (\ varphi +2 \ alpha) + \ cdots \\ [8pt] & {} \ qquad \ qquad \ cdots + \ sin (\ varphi + n \ alpha) = {\ frac {\ sin {\ frac {(n + 1) \ alpha} {2}} \ cdot \ sin \ left (\ varphi + {\ frac { n \ alpha} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}} \ quad {\ text {y}} \\ [10pt] & \ cos \ varphi + \ cos (\ varphi + \ alpha) + \ cos (\ varphi +2 \ alpha) + \ cdots \\ [8pt] & {} \ qquad \ qquad \ cdots + \ cos (\ varphi + n \ alpha) = {\ frac {\ sin {\ frac {(n + 1) \ alpha} {2}} \ cdot \ cos \ left (\ varphi + {\ frac {n \ alpha} {2}} \ right)} {\ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}}. \ end {alineado}}}

Para cualquier a y b :

$${\ displaystyle a \ cos x + b \ sin x = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ cos {\ big (} x- \ operatorname {atan2} (b, a) { \grande )}}

donde atan2 ( y , x ) es la generalización de arctan ( y/x ) que cubre todo el rango circular.

$${\ displaystyle \ sec x \ pm \ tan x = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ pm {\ frac {x} {2}} \ right).}

La identidad anterior a veces es conveniente saber cuando se piensa en la función gudermanniana , que relaciona las funciones trigonométricas circulares e hiperbólicas sin recurrir a números complejos .

Si x , y , y z son los tres ángulos de cualquier triángulo, es decir, si x + y + z = π , entonces

$${\ displaystyle \ cot x \ cot y + \ cot y \ cot z + \ cot z \ cot x = 1.}

Ciertas transformaciones fraccionales lineales [ editar ]

Si f ( x ) viene dada por la transformación fraccional lineal.

$${\ displaystyle f (x) = {\ frac {(\ cos \ alpha) x- \ sin \ alpha} {(\ sin \ alpha) x + \ cos \ alpha},}

y de manera similar

$${\ displaystyle g (x) = {\ frac {(\ cos \ beta) x- \ sin \ beta} {(\ sin \ beta) x + \ cos \ beta},}

entonces

$${\ displaystyle f {\ big (} g (x) {\ big)} = g {\ big (} f (x) {\ big)} = {\ frac {{\ big (} \ cos (\ alpha + \ beta) {\ big)} x- \ sin (\ alpha + \ beta)} {{\ big (} \ sin (\ alpha + \ beta) {\ big)} x + \ cos (\ alpha + \ beta) }}.}

Dicho de otro modo, si para todo α dejamos que f _α sea ​​lo que llamamos f arriba, entonces

$${\ displaystyle f _ {\ alpha} \ circ f _ {\ beta} = f _ {\ alpha + \ beta}.}

Si x es la pendiente de una recta, entonces f ( x ) es la pendiente de su rotación a través de un ángulo de - α .

Funciones trigonométricas inversas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ arcsin x + \ arccos x & = {\ dfrac {\ pi} {2}} \\\ arctan x + \ operatorname {arccot} x & = {\ dfrac {\ pi} {2}} \\\ arctan x + \ arctan {\ dfrac {1} {x}} & = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ pi} {2}}, & {\ text {if}} x> 0 \\ - {\ dfrac {\ pi} {2}}, & {\ text {if}} x <0 alineado="" cases="" end="" font="">

$${\ displaystyle \ arctan {\ frac {1} {x}} = \ arctan {\ frac {1} {x + y}} + \ arctan {\ frac {y} {x ^ {2} + xy + 1} }}^[41]

Composiciones de funciones trigonométricas e inversas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (\ arccos x) & = {\ sqrt {1-x ^ {2}}} & \ tan (\ arcsin x) & = {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \\\ sin (\ arctan x) & = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}} & \ tan (\ arccos x) & = {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}} \\ cos (\ arctan x) & = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2} }}} & \ cot (\ arcsin x) & = {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}} \\\ cos (\ arcsin x) & = {\ sqrt {1- x ^ {2}}} & \ cot (\ arccos x) & = {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \ end {alineado}}}

Relación con la función exponencial compleja [ editar ]

Con la unidad del número imaginario i que satisface i ² = −1 ,

$${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x}^[42] ( fórmula de Euler ),

$${\ displaystyle e ^ {- ix} = \ cos (-x) + i \ sin (-x) = \ cos xi \ sin x}

$${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1}( La identidad de Euler ),

$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi i} = 1}

$${\ displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}}}^[43]

$${\ displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}}}^[44]

$${\ displaystyle \ tan x = {\ frac {\ sin x} {\ cos x}} = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {i ({e ^ {ix} + e ^ {- ix}})}} \ ,.}

Estas fórmulas son útiles para probar muchas otras identidades trigonométricas. Por ejemplo, quee ^{i ( θ + φ )} = e ^iθ e ^iφ significa que

cos ( θ + φ ) + i sen ( θ + phi ) = (cos θ + i pecado θ ) (cos φ + i pecado φ ) = (cos θ cos φ - sen θ pecado φ ) + i (cos theta pecado φ + sin θ cos φ ).

Que la parte real del lado izquierdo sea igual a la parte real del lado derecho es una fórmula de adición de ángulo para el coseno. La igualdad de las partes imaginarias da una fórmula de adición de ángulo para el seno.

Fórmulas de productos infinitos [ editar ]

Para aplicaciones a funciones especiales , las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas son útiles: ^[45] [46]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin x & = x \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2}}} \ derecha) \\\ sinh x & = x \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ izquierda (1 + {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2 } n ^ {2}}} \ derecha) \ end {alineado}} \ \, {\ begin {alineado} \ cos x & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}}} \ right) \\\ cosh x & = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right ) ^ {2}}} \ derecha) \ end {alineado}}}