TRIGONOMETRÍA

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Animación de la trayectoria de WMAP .

Vista oblicua

Visto desde la Tierra

   Tierra  · WMAP  

En la mecánica orbital , una órbita de Lissajous ( pronunciada  [li.sa.ʒu] ), nombrada en honor a Jules Antoine Lissajous , es una trayectoria orbital casi periódica que un objeto puede seguir alrededor de un punto lagrangiano de un sistema de tres cuerpos sin necesidad de propulsión alguna. . Las órbitas de Lyapunov alrededor de un punto lagrangiano son trayectorias curvas que se encuentran completamente en el plano de los dos cuerpos primarios. En contraste, las órbitas de Lissajous incluyen componentes en este plano y perpendiculares a él, y siguen una curva de Lissajous . Las órbitas de halo también incluyen componentes perpendiculares al plano, pero son periódicas, mientras que las órbitas de Lissajous no lo son. ^[1]

En la práctica, cualquier órbita alrededor de los puntos Lagrangianos L ₁ , L ₂ o L ₃ es dinámicamente inestable, lo que significa que las pequeñas desviaciones del equilibrio crecen con el tiempo. ^[2] Como resultado, las naves espaciales en estas órbitas de puntos lagrangianos deben usar sus sistemas de propulsión para realizar el mantenimiento de la estación orbital . Aunque no son perfectamente estables, un modesto esfuerzo de mantenimiento de la estación mantiene una nave espacial en una órbita de Lissajous deseada durante mucho tiempo.

En ausencia de otras influencias, las órbitas sobre los puntos Lagrangianos L ₄ y L ₅ son dinámicamente estables siempre que la proporción de las masas de los dos objetos principales sea mayor que aproximadamente 25. ^[3]La dinámica natural mantiene la nave espacial (o Cuerpo celeste) en las proximidades del punto lagrangiano sin usar un sistema de propulsión, incluso cuando está ligeramente perturbado del equilibrio. ^[4] Sin embargo, estas órbitas pueden ser desestabilizadas por otros objetos masivos cercanos. Por ejemplo, las órbitas alrededor de los puntos L ₄ y L ₅ en el sistema Tierra-Luna pueden durar solo unos pocos millones de años en lugar de miles de millones debido a las perturbaciones de los planetas.

Nave espacial utilizando órbitas de Lissajous [ editar ]

Categoría principal: naves espaciales usando órbitas de Lissajous

Varias misiones han utilizado las órbitas de Lissajous: ACE en Sun – Earth L1, ^[6] SOHO en Sun – Earth L1, DSCOVR en Sun – Earth L1, ^[7] WMAP en Sun – Earth L2, ^[8] y también la recolección de la misión GénesisPartículas solares en L1. ^[9] El 14 de mayo de 2009, la Agencia Espacial Europea (ESA) lanzó al espacio los observatorios Herschel y Planck , que utilizan las órbitas de Lissajous en Sun-Earth L2. ^[10] La misión Gaia actual de la ESA también utiliza una órbita de Lissajous en Sun-Earth L2. ^[11] En 2011, la NASA transfirió dos de sus naves espaciales THEMIS de la órbita terrestre a la órbita lunar a través de las órbitas terrestre-lunar L1 y L2 Lissajous. ^[12] En junio de 2018, Queqiao , el satélite de retransmisión de la misión de aterrizaje lunar del Chang'e 4 de China , entró en órbita alrededor de la Tierra-Luna L2. ^[13] [a]

Apariciones de ficción [ editar ]

En el 2005 la ciencia ficción novela Sunstorm por Arthur C. Clarke y Stephen Baxter , un escudo enorme se construye en el espacio a proteger la Tierra de una tormenta solar mortal. Se describe que el escudo estaba en una órbita de Lissajous en L ₁ . En la historia, un grupo de personas adineradas y poderosas se refugia frente al escudo en L ₂ para ser protegido de la tormenta solar por el escudo, la Tierra y la Luna.

lista de integrales ( funciones antiderivadas ) de funciones trigonométricas . Para las antiderivadas que involucran funciones exponenciales y trigonométricas, consulte la Lista de integrales de funciones exponenciales . Para obtener una lista completa de funciones antiderivadas, consulte Listas de integrales . Para las antiderivadas especiales que involucran funciones trigonométricas, vea Integral trigonométrico .

En general, si la función $${\ displaystyle \ sin (x)} es cualquier función trigonométrica, y $${\ displaystyle \ cos (x)} es su derivado,

$${\ displaystyle \ int a \ cos nx \, dx = {\ frac {a} {n}} \ sin nx + C}

En todas las fórmulas, se asume que la constante a es distinta de cero, y C denota la constante de integración .

Integrandos que sólo afecten sine [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ sin ax \, dx = - {\ frac {1} {a}} \ cos ax + C}

$${\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {4a}} \ sin 2ax + C = {\ frac {x } {2}} - {\ frac {1} {2a}} \ sin ax \ cos ax + C}

$${\ displaystyle \ int \ sin ^ {3} {ax} \, dx = {\ frac {\ cos 3ax} {12a}} - {\ frac {3 \ cos ax} {4a}} + C}

$${\ displaystyle \ int x \ sin ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x ^ {2}} {4}} - {\ frac {x} {4a}} \ sin 2ax - {\ frac {1} {8a ^ {2}}} \ cos 2ax + C}

${\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle \int (\sin b_{1}x)(\sin b_{2}x)\,dx={\frac {\sin((b_{2}-b_{1})x)}{2(b_{2}-b_{1})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x\sin ax\,dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\sin ax\,dx&=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\\&=-\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\,dx}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

$${\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1+ \ sin ax}} = {\ frac {x} {a}} \ tan \ left ({\ frac {ax} {2}} - { \ frac {\ pi} {4}} \ derecha) + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ cos \ left ({\ frac {ax} {2}} - { \ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right | + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1- \ sin ax}} = {\ frac {x} {a}} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {ax} {2}} \ derecha) + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - {\ frac {ax} {2}} \ derecha) \ derecha | + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ax \, dx} {1 \ pm \ sin ax}} = \ pm x + {\ frac {1} {a}} \ tan \ left ({\ frac {\ pi } {4}} \ mp {\ frac {ax} {2}} \ derecha) + C}

Integrands que involucran solo coseno [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ cos ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ sin ax + C}

$${\ displaystyle \ int \ cos ^ {2} {ax} \, dx = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {4a}} \ sin 2ax + C = {\ frac {x } {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ sin ax \ cos ax + C}

${\displaystyle \int \cos ^{n}ax\,dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x\cos ax\,dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C}$

${\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\,dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int x^{n}\cos ax\,dx&={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\,dx\\&=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\\&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\cos \left(ax-{\frac {(-1)^{k}+1}{2}}{\frac {\pi }{2}}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{n-k}}{a^{1+k}}}{\frac {n!}{(n-k)!}}\sin \left(ax+k{\frac {\pi }{2}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\,dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\,dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

$${\ displaystyle \ int {\ frac {x \, dx} {1- \ cos ax}} = - {\ frac {x} {a}} \ cot {\ frac {ax} {2}} + {\ frac {2} {a ^ {2}}} \ ln \ left | \ sin {\ frac {ax} {2}} \ right | + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {1+ \ cos ax}} = x - {\ frac {1} {a}} \ tan {\ frac {ax} {2}} + DO}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {1- \ cos ax}} = - x - {\ frac {1} {a}} \ cot {\ frac {ax} {2}} + C}

$${\ displaystyle \ int (\ cos a_ {1} x) (\ cos a_ {2} x) \, dx = {\ frac {\ sin ((a_ {2} -a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} -a_ {1})}} + {\ frac {\ sin ((a_ {2} + a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} + a_ {1})}} + C \ qquad {\ mbox {(for}} | a_ {1} | \ neq | a_ {2} | {\ mbox {)}}}

Integrands que involucran solo tangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ tan ax \ \, dx = - {\ frac {1} {a}} \ ln | \ cos ax | + C = {\ frac {1} {a}} \ ln | \ sec ax | + C}

$${\ displaystyle \ int \ tan ^ {2} {x} \, dx = \ tan {x} -x + C}

$${\ displaystyle \ int \ tan ^ {n} ax \, dx = {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tan ^ {n-1} ax- \ int \ tan ^ {n-2 } ax \, dx \ qquad {\ mbox {(for}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {q \ tan ax + p}} = {\ frac {1} {p ^ {2} + q ^ {2}}} (px + {\ frac {q} { a}} \ ln | q \ sin ax + p \ cos ax |) + C \ qquad {\ mbox {(for}} p ^ {2} + q ^ {2} \ neq 0 {\ mbox {)}} }

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ tan ax \ pm 1}} = \ pm {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax \ pm \ cos ax | + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax \ pm 1}} = {\ frac {x} {2}} \ mp {\ frac {1} {2a}} \ ln | \ sin ax \ pm \ cos ax | + C}

Integrands que involucran solo secante [ editar ]

Ver Integral de la función secante .

$${\ displaystyle \ int \ sec {ax} \, dx = {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ sec {ax} + \ tan {ax} \ right |} + C}

$${\ displaystyle \ int \ sec ^ {2} {x} \, dx = \ tan {x} + C}

$${\ displaystyle \ int \ sec ^ {3} {x} \, dx = {\ frac {1} {2}} \ sec x \ tan x + {\ frac {1} {2}} \ ln | \ sec x + \ tan x | + C.}

$${\ displaystyle \ int \ sec ^ {n} {ax} \, dx = {\ frac {\ sec ^ {n-2} {ax} \ tan {ax}} {a (n-1)}} \, + \, {\ frac {n-2} {n-1}} \ int \ sec ^ {n-2} {ax} \, dx \ qquad {\ mbox {(for}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sec {x} +1}} = x- \ tan {\ frac {x} {2}} + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sec {x} -1}} = - x- \ cot {\ frac {x} {2}} + C}

Integrands que involucran solo cosecant [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ csc {ax} \, dx = - {\ frac {1} {a}} \ ln {\ left | \ csc {ax} + \ cot {ax} \ right |} + C}

$${\ displaystyle \ int \ csc ^ {2} {x} \, dx = - \ cot {x} + C}

$${\ displaystyle \ int \ csc ^ {3} {x} \, dx = - {\ frac {1} {2}} \ csc x \ cot x - {\ frac {1} {2}} \ ln | \ csc x + \ cot x | + C.}

$${\ displaystyle \ int \ csc ^ {n} {ax} \, dx = - {\ frac {\ csc ^ {n-2} {ax} \ cot {ax}} {a (n-1)}} \ , + \, {\ frac {n-2} {n-1}} \ int \ csc ^ {n-2} {ax} \, dx \ qquad {\ mbox {(para}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ csc {x} +1}} = x - {\ frac {2} {\ cot {\ frac {x} {2}} + 1}} + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ csc {x} -1}} = - x + {\ frac {2} {\ cot {\ frac {x} {2}} - 1}} + C}

Integrands que involucran solo cotangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int \ cot ax \, dx = {\ frac {1} {a}} \ ln | \ sin ax | + C}

$${\ displaystyle \ int \ cot ^ {n} ax \, dx = - {\ frac {1} {a (n-1)}} \ cot ^ {n-1} ax- \ int \ cot ^ {n- 2} ax \, dx \ qquad {\ mbox {(for}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1+ \ cot ax}} = \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax + 1}}}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {1- \ cot ax}} = \ int {\ frac {\ tan ax \, dx} {\ tan ax-1}}}

Integrands que involucran tanto seno como coseno [ editar ]

Una integral que es una función racional del seno y el coseno puede evaluarse utilizando las reglas de Bioche .

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ cos ax \ pm \ sin ax}} = {\ frac {1} {a {\ sqrt {2}}}} \ ln \ left | \ tan \ left ( {\ frac {ax} {2}} \ pm {\ frac {\ pi} {8}} \ derecha) \ derecha | + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ cos ax \ pm \ sin ax) ^ {2}}} = {\ frac {1} {2a}} \ tan \ left (ax \ mp {\ frac {\ pi} {4}} \ derecha) + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n}}} = {\ frac {1} {n-1}} \ left ({\ frac {\ sin x- \ cos x} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n-1}}} - 2 (n-2) \ int {\ frac {dx} {(\ cos x + \ sin x) ^ {n-2 }}}\Correcto)}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ax \, dx} {\ cos ax + \ sin ax}} = {\ frac {x} {2}} + {\ frac {1} {2a}} \ ln \ izquierda | \ sin ax + \ cos ax \ right | + C}

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{(\sin ax)(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{(\cos ax)(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C}$

${\displaystyle \int (\sin a_{1}x)(\cos a_{2}x)\,dx=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ^{n}ax)(\cos ax)\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int (\sin ax)(\cos ^{n}ax)\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx&=-{\frac {(\sin ^{n-1}ax)(\cos ^{m+1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int (\sin ^{n-2}ax)(\cos ^{m}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\\&={\frac {(\sin ^{n+1}ax)(\cos ^{m-1}ax)}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int (\sin ^{n}ax)(\cos ^{m-2}ax)\,dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ax)}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n}ax)}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ax)(\cos ^{n-2}ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\sin ^{n}ax)(\cos ax)}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{(\sin ^{n-2}ax)(\cos ax)}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\,dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m-2}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\\-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\,dx}{\cos ^{m}ax}}&{\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\end{cases}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\,dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\,dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}$

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ^ {2} ax \, dx} {\ sin ^ {n} ax}} = - {\ frac {1} {n-1}} \ left ({\ frac {\ cos ax} {a \ sin ^ {n-1} ax}} + \ int {\ frac {dx} {\ sin ^ {n-2} ax}} \ right) \ qquad {\ mbox {(para }} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

{\ displaystyle \ int {\ frac {\ cos ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {m} ax}} = {\ begin {cases} - {\ frac {\ cos ^ {n + 1} ax} {a (m-1) \ sin ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n-m + 2} {m-1}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {m-2} ax}} & {\ mbox {(for}} m \ neq 1 {\ mbox {)}} \\ - {\ frac {\ cos ^ {n-1 } ax} {a (m-1) \ sin ^ {m-1} ax}} - {\ frac {n-1} {m-1}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n-2} ax \, dx} {\ sin ^ {m-2} ax}} & {\ mbox {(for}} m \ neq 1 {\ mbox {)}} \\ {\ frac {\ cos ^ {n-1 } ax} {a (nm) \ sin ^ {m-1} ax}} + {\ frac {n-1} {nm}} \ int {\ frac {\ cos ^ {n-2} ax \, dx } {\ sin ^ {m} ax}} & {\ mbox {(for}} m \ neq n {\ mbox {)}} \ end {cases}}}

Integrands que involucran tanto seno como tangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int (\ sin ax) (\ tan ax) \, dx = {\ frac {1} {a}} (\ ln | \ sec ax + \ tan ax | - \ sin ax) + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {2} ax}} = {\ frac {1} {a (n-1)}} \ tan ^ { n-1} (ax) + C \ qquad {\ mbox {(para}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

Integrand que involucra coseno y tangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ {2} ax}} = {\ frac {1} {a (n + 1)}} \ tan ^ { n + 1} ax + C \ qquad {\ mbox {(para}} n \ neq -1 {\ mbox {)}}}

Integrand que involucra tanto seno como cotangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cot ^ {n} ax \, dx} {\ sin ^ {2} ax}} = - {\ frac {1} {a (n + 1)}} \ cot ^ {n + 1} ax + C \ qquad {\ mbox {(para}} n \ neq -1 {\ mbox {)}}}

Integrand involucra tanto coseno como cotangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int {\ frac {\ cot ^ {n} ax \, dx} {\ cos ^ {2} ax}} = {\ frac {1} {a (1-n)}} \ tan ^ { 1-n} ax + C \ qquad {\ mbox {(for}} n \ neq 1 {\ mbox {)}}}

Integrand que involucra tanto secante como tangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int (\ sec x) (\ tan x) \, dx = \ sec x + C}

Integrand involucra tanto a la cosecante como a la cotangente [ editar ]

$${\ displaystyle \ int (\ csc x) (\ cot x) \, dx = - \ csc x + C}

Integrales en un cuarto de período [ editar ]

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ sin ^ {n} x \, dx = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^ {n} x \, dx = {\ begin {cases} {\ frac {n-1} {n}} \ cdot {\ frac {n-3} {n-2}} \ cdots {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {\ pi} {2}}, & {\ text {if}} n {\ text {es par}} \\ {\ frac {n-1} {n}} \ cdot {\ frac {n-3} {n-2}} \ cdots {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {2} {3}}, & {\ text {if}} n {\ text {es impar y más de 1}} \\ 1, & {\ text {if}} n = 1 \ end {cases}}}

Integrales con límites simétricos [ editar ]

$${\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} \ sin {x} \, dx = 0}

$${\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} \ cos {x} \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {c} \ cos {x} \, dx = 2 \ int _ {- c } ^ {0} \ cos {x} \, dx = 2 \ sin {c}}

$${\ displaystyle \ int _ {- c} ^ {c} \ tan {x} \, dx = 0}

$${\ displaystyle \ int _ {- {\ frac {a} {2}}} ^ {\ frac {a} {2}} x ^ {2} \ cos ^ {2} {\ frac {n \ pi x} {a}} \, dx = {\ frac {a ^ {3} (n ^ {2} \ pi ^ {2} -6)} {24n ^ {2} \ pi ^ {2}}} \ qquad { \ mbox {(para}} n = 1,3,5 ... {\ mbox {)}}}

$${\ displaystyle \ int _ {\ frac {-a} {2}} ^ {\ frac {a} {2}} x ^ {2} \ sin ^ {2} {\ frac {n \ pi x} {a }} \, dx = {\ frac {a ^ {3} (n ^ {2} \ pi ^ {2} -6 (-1) ^ {n})} {24n ^ {2} \ pi ^ {2 }}} = {\ frac {a ^ {3}} {24}} (1-6 {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2} \ pi ^ {2}}}) \ qquad {\ mbox {(para}} n = 1,2,3, ... {\ mbox {)}}}

Integral sobre un círculo completo [ editar ]

$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ {2m + 1} {x} \ cos ^ {2n + 1} {x} \, dx = 0 \! \ qquad n, m \ en \ mathbb {Z}}