TRIGONOMETRÍA

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS - CONTINUACIÓN

Valores algebraicos [ editar ]

El círculo unitario , con algunos puntos etiquetados con su coseno y seno (en este orden), y los ángulos correspondientes en radianes y grados.

Las expresiones algebraicas para pecado (0 °), pecado (30 °), pecado (45 °), pecado (60 °)y pecado (90 °) son

$${\ displaystyle 0, \ quad {\ frac {1} {2}}, \ quad {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, \ quad {\ frac {\ sqrt {3}} {2} }, \ quad 1, \, \!}

respectivamente. Escribiendo los numeradores como raíces cuadradas de números naturales consecutivos ($${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {0}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {1}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {4}} {2}}}) Proporciona una manera fácil de recordar los valores. ^[9] Tales expresiones simples generalmente no existen para otros ángulos que son múltiplos racionales de un ángulo recto.

Para un ángulo que, medido en grados, es un múltiplo de tres, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas , como se muestra a continuación. Estos valores del seno y el coseno pueden ser construidos por regla y compás .

Para un ángulo de un número entero de grados, el seno y el coseno pueden expresarse en términos de raíces cuadradas y la raíz cúbica de un número complejo no real . La teoría de Galois permite probar que, si el ángulo no es un múltiplo de 3 °, las raíces cúbicas no reales son inevitables.

Para un ángulo que, medido en grados, es un número racional , el seno y el coseno son números algebraicos , que pueden expresarse en términos de n raíces . Esto se debe al hecho de que los grupos de Galois de los polinomios ciclotómicos son cíclicos .

Para un ángulo que, medido en grados, no es un número racional, entonces el ángulo o ambos, el seno y el coseno son números trascendentales . Este es un corolario del teorema de Baker , probado en 1966.

Valores explícitos [ editar ]

Artículo principal: Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales.

Las expresiones algebraicas para 15 °, 18 °, 36 °, 54 °, 72 ° y 75 ° son las siguientes:

$${\ displaystyle \ sin 15 ^ {\ circ} = \ cos 75 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {6}} - {\ sqrt {2}}} {4}} \, \!}

$${\ displaystyle \ sin 18 ^ {\ circ} = \ cos 72 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}}}

$${\ displaystyle \ sin 36 ^ {\ circ} = \ cos 54 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}

$${\ displaystyle \ sin 54 ^ {\ circ} = \ cos 36 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {4}} \, \!}

$${\ displaystyle \ sin 72 ^ {\ circ} = \ cos 18 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}} {4}}}

$${\ displaystyle \ sin 75 ^ {\ circ} = \ cos 15 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {6}} + {\ sqrt {2}}} {4}}. \,}

A partir de estos, se pueden calcular las expresiones algebraicas para todos los múltiplos de 3 °. Por ejemplo:

$${\ displaystyle \ sin 3 ^ {\ circ} = \ cos 87 ^ {\ circ} = {\ frac {2 \ left (1 - {\ sqrt {3}} \ right) {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} + \ left (1 + {\ sqrt {3}} \ right) \ left ({\ sqrt {10}} - {\ sqrt {2}} \ right)} {16}} \, \!}

$${\ displaystyle \ sin 6 ^ {\ circ} = \ cos 84 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {30-6 {\ sqrt {5}}}} - {\ sqrt {5}} - 1} {8}} \, \!}

$${\ displaystyle \ sin 9 ^ {\ circ} = \ cos 81 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {10}} + {\ sqrt {2}} - 2 {\ sqrt {5 - {\ sqrt {5}}}}} {8}} \, \!}

$${\ displaystyle \ sin 84 ^ {\ circ} = \ cos 6 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {15}}} {8}}}

$${\ displaystyle \ sin 87 ^ {\ circ} = \ cos 3 ^ {\ circ} = {\ frac {2 \ left (1 + {\ sqrt {3}} \ right) {\ sqrt {5 + {\ sqrt {5}}}} - \ left (1 - {\ sqrt {3}} \ right) \ left ({\ sqrt {10}} - {\ sqrt {2}} \ right)} {16}}.}

Las expresiones algebraicas se pueden deducir para otros ángulos de un número entero de grados, por ejemplo,

$${\ displaystyle \ sin 1 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {z}} - {\ dfrac {1} {\ sqrt [{3}] {z}}}} { 2i}},}

donde z = a + ib , y a y b son las expresiones algebraicas anteriores para, respectivamente, cos 3 ° y sin 3 ° , y la raíz cúbica principal (es decir, la raíz cúbica con la parte real más grande ) debe tomarse .

Definiciones de series [ editar ]

La función sinusoidal (azul) está muy aproximada por su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.

Animación para la aproximación de coseno a través de polinomios de Taylor.

$${\ displaystyle \ cos (x)} Junto con los primeros polinomios de Taylor. $${\ displaystyle p_ {n} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ frac {x ^ {2k}} {(2k)!}}}

Las funciones trigonométricas son funciones analíticas . Usando solo la geometría y las propiedades de los límites , se puede demostrar que la derivada de seno es coseno y la derivada de coseno es la negativa de seno. Luego se puede usar la teoría de la serie de Taylor para mostrar que las siguientes identidades son válidas para todos los números reales x . ^[10] Aquí, y generalmente en cálculo , todos los ángulos se miden en radianes .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin x & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1 }} {(2n + 1)!}} \\\ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ cos x & = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6!}} + \ cdots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n}} {(2n)!}} \ End {alineado}}}

Las series infinitas que aparecen en estas identidades son convergentesen todo el plano complejo y, a menudo, se toman como las definiciones de las funciones seno y coseno de una variable compleja. Otra definición estándar (y equivalente) del seno y el coseno como funciones de una variable compleja es a través de su ecuación diferencial , a continuación.

Se pueden encontrar otras series. ^[11] Para las siguientes funciones trigonométricas:

U _n es el número n arriba / abajo ,

B _n es el número n Bernoulli , y

E _n (abajo) es el n ésimo número de Euler .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ tan x & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {U_ {2n + 1} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} \\ & {} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} \ left (2 ^ {2n } -1 \ derecha) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ & {} = x + {\ frac {1} {3}} x ^ {3} + {\ frac {2} {15}} x ^ {5} + {\ frac {17} {315}} x ^ {7} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} | x | <{\ frac { \ pi} {2}}. \ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ csc x & {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1} 2 \ left (2 ^ {2n -1} -1 \ derecha) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}} \\ & {} = x ^ {- 1} + {\ frac {1} {6}} x + {\ frac {7} {360}} x ^ {3} + {\ frac {31} {15120}} x ^ {5} + \ cdots, \ qquad {\ text {for}} 0 <| x | <\ pi. \ end {alineado}}}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {U_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}}\\&{}=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x^{-1}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-\cdots ,\qquad {\text{for }}0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Cuando las series para las funciones tangente y secante se expresan en una forma en que los denominadores son los factoriales correspondientes, los numeradores, llamados "números tangentes" y "números secantes" respectivamente, tienen una interpretación combinatoria : enumeran permutaciones alternas de finito Conjuntos, de cardinalidad impar para la serie tangente e incluso cardinalidad para la serie secante. ^[12] La serie en sí se puede encontrar mediante una solución de la serie de potencias de la ecuación diferencial mencionada.

De un teorema en el análisis complejo , hay una continuación analítica única de esta función real al dominio de los números complejos. Tienen la misma serie de Taylor, por lo que las funciones trigonométricas se definen en los números complejos utilizando la serie de Taylor anterior.

Hay una representación en serie como expansión de fracciones parciales donde solo se resumen las funciones recíprocas traducidas , de modo que los polos de la función cotangente y las funciones recíprocas coinciden: ^[13]

$${\ displaystyle \ pi \ cdot \ cot (\ pi x) = \ lim _ {N \ a \ infty} \ sum _ {n = -N} ^ {N} {\ frac {1} {x + n}} .}

Esta identidad se puede probar con el truco de Herglotz . ^{[14] La} combinación de la (- n ) th con el término n th conduce a series absolutamente convergentes :

$${\ displaystyle \ pi \ cdot \ cot (\ pi x) = {\ frac {1} {x}} + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {x} {x ^ { 2} -n ^ {2}}} \, \ quad {\ frac {\ pi} {\ sin (\ pi x)}} = {\ frac {1} {x}} + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} \, x} {x ^ {2} -n ^ {2}}}.}

Relación a la función exponencial y números complejos [ editar ]

La fórmula de Euler se ilustra con la hélice tridimensional , comenzando con los componentes ortogonales 2D del círculo unitario , seno y coseno (utilizando θ = t ).

$${\ displaystyle \ cos (\ theta)} y $${\ displaystyle \ sin (\ theta)} son la parte real e imaginaria de $${\ displaystyle e ^ {i \ theta}} respectivamente.

A partir de las definiciones de la serie ^[15]se puede demostrar que las funciones seno y coseno son, respectivamente, las partes imaginarias y reales de la función exponencial de un argumento puramente imaginario. Es decir, si x es real, tenemos

$${\ displaystyle \ cos x = \ operatorname {Re} \ left (e ^ {ix} \ right) \ ,, \ qquad \ sin x = \ operatorname {Im} \ left (e ^ {ix} \ right) \, ,}

y

$${\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x \ ,.}

La última identidad, aunque se establece principalmente para x real , sigue siendo válida para todos los complejos x , y se denomina fórmula de Euler .

La fórmula de Euler se puede usar para derivar la mayoría de las identidades trigonométricas de las propiedades de la función exponencial, escribiendo seno y coseno como:

$${\ displaystyle \ sin x = {\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i}},}

y

$${\ displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} \ ,.}

A veces también es útil expresar las funciones complejas de seno y coseno en términos de las partes reales e imaginarias de sus argumentos.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sin (x + iy) & = \ sin x \ cosh y + i \ cos x \ sinh y \ ,, \\ cos (x + iy) & = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y \,. \ end {alineado}}}

Esto exhibe una relación profunda entre las funciones complejas de seno y coseno y sus contrapartes reales (pecado, cos) e hiperbólicas reales ( sinh , cosh ).

Gráficos complejos [ editar ]

En las siguientes gráficas, el dominio es el plano complejo representado con coloración del dominio , y los valores de rango se indican en cada punto por color. El brillo indica el tamaño (valor absoluto) del valor de rango, con el negro siendo cero. El tono varía con el argumento, o ángulo, medido desde el eje real positivo.

Funciones trigonométricas en el plano complejo.

$${\ displaystyle \ sin z \,}	$${\ displaystyle \ cos z \,}	$${\ displaystyle \ tan z \,}	$${\ displaystyle \ cot z \,}	$${\ displaystyle \ sec z \,}	$${\ displaystyle \ csc z \,}