TRIGONOMETRÍA

Identidades sin variables [ editar ]

En términos de la función arcotangente tenemos ^[41]

$${\ displaystyle \ arctan {\ frac {1} {2}} = \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}.}

La curiosa identidad conocida como ley de Morrie ,

$${\ displaystyle \ cos 20 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 40 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 80 ^ {\ circ} = {\ frac {1} {8}},}

Es un caso especial de una identidad que contiene una variable:

$${\ displaystyle \ prod _ {j = 0} ^ {k-1} \ cos (2 ^ {j} x) = {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {2 ^ {k} \ pecado x}}.}

La misma identidad de coseno en radianes es

$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {9}} \ cos {\ frac {2 \ pi} {9}} \ cos {\ frac {4 \ pi} {9}} = {\ frac {1 } {8}}.}

Similar,

$${\ displaystyle \ sin 20 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 40 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 80 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {3}} {8}}}

Es un caso especial de una identidad con el caso x = 20:

$${\ displaystyle \ sin x \ cdot \ sin (60 ^ {\ circ} -x) \ cdot \ sin (60 ^ {\ circ} + x) = {\ frac {\ sin 3x} {4}}.}

Para el caso x  = 15,

$${\ displaystyle \ sin 15 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 45 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 75 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {2}} {8}},}

$${\ displaystyle \ sin 15 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 75 ^ {\ circ} = {\ frac {1} {4}}.}

Para el caso x  = 10,

$${\ displaystyle \ sin 10 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 50 ^ {\ circ} \ cdot \ sin 70 ^ {\ circ} = {\ frac {1} {8}}.}

La misma identidad de coseno es

$${\ displaystyle \ cos x \ cdot \ cos (60 ^ {\ circ} -x) \ cdot \ cos (60 ^ {\ circ} + x) = {\ frac {\ cos 3x} {4}}.}

Similar,

$${\ displaystyle \ cos 10 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 50 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 70 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {3}} {8}},}

$${\ displaystyle \ cos 15 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 45 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 75 ^ {\ circ} = {\ frac {\ sqrt {2}} {8}},}

$${\ displaystyle \ cos 15 ^ {\ circ} \ cdot \ cos 75 ^ {\ circ} = {\ frac {1} {4}}.}

Similar,

$${\ displaystyle \ tan 50 ^ {\ circ} \ cdot \ tan 60 ^ {\ circ} \ cdot \ tan 70 ^ {\ circ} = \ tan 80 ^ {\ circ},}

$${\ displaystyle \ tan 40 ^ {\ circ} \ cdot \ tan 30 ^ {\ circ} \ cdot \ tan 20 ^ {\ circ} = \ tan 10 ^ {\ circ}.}

Es posible que lo siguiente no se generalice tan fácilmente a una identidad que contenga variables (pero vea la explicación a continuación):

$${\ displaystyle \ cos 24 ^ {\ circ} + \ cos 48 ^ {\ circ} + \ cos 96 ^ {\ circ} + \ cos 168 ^ {\ circ} = {\ frac {1} {2}}. }

La medida de grado deja de ser más acertada que la medida de radio cuando consideramos esta identidad con 21 en los denominadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Los factores 1, 2, 4, 5, 8, 10 pueden comenzar a hacer el patrón claro: son aquellos números enteros menos de 21 de/2 que son primos entre sí a (o que no tienen factores primos en común con) 21. La última varios Los ejemplos son los corolarios de un hecho básico sobre los polinomios ciclotómicos irreducibles : los cosenos son las partes reales de los ceros de esos polinomios; la suma de los ceros es la función de Möbius evaluada en (en el último caso anterior) 21; Sólo la mitad de los ceros están presentes arriba. Las dos identidades que preceden a esta última surgen de la misma manera con 21 reemplazadas por 10 y 15, respectivamente.

Otras identidades de coseno incluyen: ^[47]

$${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {3}} = 1,}

$${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {5}} \ times 2 \ cos {\ frac {2 \ pi} {5}} = 1,}

$${\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ pi} {7}} \ times 2 \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}} \ times 2 \ cos {\ frac {3 \ pi} {7} } = 1,}

y así sucesivamente para todos los números impares, y por lo tanto

$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {3}} + \ cos {\ frac {\ pi} {5}} \ times \ cos {\ frac {2 \ pi} {5}} + \ cos { \ frac {\ pi} {7}} \ times \ cos {\ frac {2 \ pi} {7}} \ times \ cos {\ frac {3 \ pi} {7}} + \ dots = 1.}

Muchas de esas curiosas identidades se derivan de hechos más generales como los siguientes: ^[48]

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {2 ^ {n-1}}}}

y

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ cos {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {\ sin {\ frac {\ pi n} {2}} } {2 ^ {n-1}}}}

La combinación de estos nos da

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} \ tan {\ frac {k \ pi} {n}} = {\ frac {n} {\ sin {\ frac {\ pi n} { 2}}}}}

Si n es un número impar ( n = 2 m + 1 ) podemos utilizar las simetrías para obtener

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {m} \ tan {\ frac {k \ pi} {2m + 1}} = {\ sqrt {2m + 1}}}

La función de transferencia del filtro de paso bajo de Butterworth se puede expresar en términos de polinomios y polos. Al establecer la frecuencia como la frecuencia de corte, se puede probar la siguiente identidad:

$${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ sin {\ frac {\ left (2k-1 \ right) \ pi} {4n}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ cos {\ frac {\ left (2k-1 \ right) \ pi} {4n}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2 ^ {n}}}}

Informática π [ editar ]

Una forma eficiente de calcular π se basa en la siguiente identidad sin variables, debido a Machin :

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

o, alternativamente, utilizando una identidad de Leonhard Euler :

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 5 \ arctan {\ frac {1} {7}} + 2 \ arctan {\ frac {3} {79}}}

o usando triples pitagóricos :

$${\ displaystyle \ pi = \ arccos {\ frac {4} {5}} + \ arccos {\ frac {5} {13}} + \ arccos {\ frac {16} {65}} = \ arcsin {\ frac {3} {5}} + \ arcsin {\ frac {12} {13}} + \ arcsin {\ frac {63} {65}}.}

Otros incluyen

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan {\ frac {1} {2}} + \ arctan {\ frac {1} {3}};}^[49] [41]

$${\ displaystyle \ pi = \ arctan 1+ \ arctan 2+ \ arctan 3.}^[49]

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 2 \ arctan {\ frac {1} {3}} + \ arctan {\ frac {1} {7}}.}^[41]

Generalmente, para los números t ₁ , ..., t _n −1 ∈ (−1, 1) para los que θ _n = ∑ n −1 
k = 1 arctan t _k ∈ ( π / 4, 3 π / 4) , vamos t _n = tan ( π / 2 - θ _n ) = cot θ _n . Esta última expresión se puede calcular directamente usando la fórmula para la cotangente de una suma de ángulos cuyas tangentes son t ₁ , ..., t _n −1 y su valor estará en(−1, 1) . En particular, la t _n calculada será racional siempre que todos los valores de t ₁ , ..., t _n −1 sean racionales. Con estos valores,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ pi} {2}} & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ arctan (t_ {k}) \\\ pi & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ operatorname {sign} (t_ {k}) \ arccos \ left ({\ frac {1-t_ {k} ^ {2}} {1 + t_ {k} ^ { 2}}} \ derecha) \\\ pi & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ arcsin \ left ({\ frac {2t_ {k}} {1 + t_ {k} ^ {2} }} \ derecha) \\\ pi & = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ arctan \ left ({\ frac {2t_ {k}} {1-t_ {k} ^ {2}}} \ right) \ ,, \ end {alineado}}}

donde en todas, excepto en la primera expresión, hemos utilizado fórmulas de semiángulo tangentes. Las dos primeras fórmulas funcionan incluso si uno o más de los valores de t _k no están dentro de (−1, 1) . Tenga en cuenta que cuando t = p / q es racional, los valores (2 t , 1 - t ² , 1 + t ² ) en las fórmulas anteriores son proporcionales al triple pitagórico (2 pq , q ² - p ² , q ² + p ² ) .

Por ejemplo para n = 3 términos,

$${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ arctan \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) + \ arctan \ left ({\ frac {c} {d}} \ derecha) + \ arctan \ left ({\ frac {bd-ac} {ad + bc}} \ right)}

para cualquier a , b , c , d > 0 .

Un mnemotécnico útil para ciertos valores de senos y cosenos [ editar ]

Para ciertos ángulos simples, los senos y los cosenos toman la forma √ n/2 para 0 ≤ n ≤ 4 , lo que los hace fáciles de recordar.

${\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}}$

Miscelánea [ editar ]

Con la relación de oro φ :

$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {5}} = \ cos 36 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {5}} + 1} {4}} = {\ frac {\ varphi} {2}}}

$${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {10}} = \ sin 18 ^ {\ circ} = {\ frac {{\ sqrt {5}} - 1} {4}} = {\ frac {\ varphi ^ {- 1}} {2}} = {\ frac {1} {2 \ varphi}}}

Ver también constantes trigonométricas expresadas en radicales reales .

Una identidad de Euclides [ editar ]

Euclides mostró en el Libro XIII, Proposición 10 de sus Elementos, que el área del cuadrado en el lado de un pentágono regular inscrito en un círculo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados en los lados del hexágono regular y el decágono regular Inscrita en el mismo círculo. En el lenguaje de la trigonometría moderna, esto dice:

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} 18 ^ {\ circ} + \ sin ^ {2} 30 ^ {\ circ} = \ sin ^ {2} 36 ^ {\ circ}.}

Ptolomeo utilizó esta proposición para calcular algunos ángulos en su tabla de acordes .

Composición de funciones trigonométricas [ editar ]

Esta identidad implica una función trigonométrica de una función trigonométrica: ^[50]

$${\ displaystyle \ cos (t \ sin x) = J_ {0} (t) +2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} J_ {2k} (t) \ cos (2kx)}

$${\ displaystyle \ sin (t \ sin x) = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} J_ {2k + 1} (t) \ sin {\ big (} (2k + 1) x {\ grande )}}

$${\ displaystyle \ cos (t \ cos x) = J_ {0} (t) +2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} J_ {2k} (t) \ cos (2kx)}

$${\ displaystyle \ sin (t \ cos x) = 2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} J_ {2k + 1} (t) \ cos {\ big (} (2k + 1) x {\ big)}}

donde J _i son las funciones de Bessel .

Cálculo [ editar ]

En el cálculo, las relaciones indicadas a continuación requieren que los ángulos se midan en radianes ; las relaciones serían más complicadas si los ángulos se midieran en otra unidad, como los grados. Si las funciones trigonométricas se definen en términos de geometría, junto con las definiciones de longitud y área del arco , sus derivaciones se pueden encontrar al verificar dos límites. El primero es:

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1,}

Verificado utilizando el círculo unitario y el teorema de exprimir . El segundo límite es:

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} {\ frac {1- \ cos x} {x}} = 0,}

verificado utilizando la identidad tan x/2 = 1 - cos x/sin x . Una vez establecidos estos dos límites, se puede usar la definición del límite de la derivada y los teoremas de suma para mostrar que (sin x ) ′ = cos x y (cos x ) ′ = −sin x . Si las funciones seno y coseno están definidas por sus series de Taylor , los derivados se pueden encontrar al diferenciar la serie de potencias término por término.

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}

El resto de las funciones trigonométricas se pueden diferenciar utilizando las identidades anteriores y las reglas de diferenciación : ^{[51] [52] [53]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}}$

Las identidades integrales se pueden encontrar en Lista de integrales de funciones trigonométricas . Algunas formas genéricas se enumeran a continuación.

$${\ displaystyle \ int {\ frac {du} {\ sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}}} = \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right) + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {du} {a ^ {2} + u ^ {2}}} = {\ frac {1} {a}} \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac { u} {a}} \ derecha) + C}

$${\ displaystyle \ int {\ frac {du} {u {\ sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}}}} = {\ frac {1} {a}} \ sec ^ {- 1} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C}

Implicaciones [ editar ]

El hecho de que la diferenciación de las funciones trigonométricas (seno y coseno) resulte en combinaciones lineales de las mismas dos funciones es de fundamental importancia para muchos campos de las matemáticas, incluidas las ecuaciones diferenciales y las transformadas de Fourier .

Algunas ecuaciones diferenciales satisfechas por la función seno [ editar ]

Sea i = √ −1 la unidad imaginaria y sea ∘ la composición de los operadores diferenciales. Entonces para cada entero positivo  impar n ,

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} & \ left ({\ frac {d} {dx}} - \ sin x \ derecha) \ circ \ izquierda ({\ frac {d} {dx}} - \ sin x + i \ derecha) \ circ \ cdots \\ & \ qquad \ cdots \ circ \ left ({\ frac {d} {dx }} - \ sin x + (k-1) i \ right) (\ sin x) ^ {nk} = 0. \ end {alineado}}}

(Cuando k  = 0, entonces el número de operadores diferenciales que se componen es 0, por lo que el término correspondiente en la suma anterior es solo  (sin x ) ⁿ ). Esta identidad se descubrió como un subproducto de la investigación en imágenes médicas . ^[54]

Definiciones exponenciales [ editar ]

Ver también: funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas

Función	Función inversa [55]
$${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {e ^ {i \ theta} -e ^ {- i \ theta}} {2i}}}	$${\ displaystyle \ arcsin x = -i \ ln \ left (ix + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}
$${\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {e ^ {i \ theta} + e ^ {- i \ theta}} {2}}}	$${\ displaystyle \ arccos x = -i \, \ ln \ left (x + \, {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right)}
${\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)}}}$	${\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)}$
${\displaystyle \cot \theta ={\frac {i\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }\right)}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$	$${\ displaystyle \ operatorname {arccis} x = {\ frac {\ ln x} {i}} = - i \ ln x = \ operatorname {arg} x}

Otras identidades "condicionales" para el caso α + β + γ = 180 ° [ editar ]

Las siguientes fórmulas se aplican a los triángulos de planos arbitrarios y siguen desde α + β + γ = 180 °, siempre que las funciones que aparecen en las fórmulas estén bien definidas (esta última se aplica solo a las fórmulas en las que aparecen tangentes y cotangentes).

$${\ displaystyle \ tan \ alpha + \ tan \ beta + \ tan \ gamma = \ tan \ alpha \ cdot \ tan \ beta \ cdot \ tan \ gamma \,}

$${\ displaystyle \ cot \ beta \ cdot \ cot \ gamma + \ cot \ gamma \ cdot \ cot \ alpha + \ cot \ alpha \ cdot \ cot \ beta = 1}

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1}$

${\displaystyle -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1}$

${\displaystyle \sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}$

${\displaystyle -\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,}$

${\displaystyle \cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,}$

${\displaystyle -\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,}$

${\displaystyle -\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,}$

$${\ displaystyle - \ cos ^ {2} \ alpha + \ cos ^ {2} \ beta + \ cos ^ {2} \ gamma = -2 \ cos \ alpha \ sin \ beta \ sin \ gamma +1 \,}

$${\ displaystyle - \ sin ^ {2} (2 \ alpha) + \ sin ^ {2} (2 \ beta) + \ sin ^ {2} (2 \ gamma) = - 2 \ cos (2 \ alpha) \ sin (2 \ beta) \ sin (2 \ gamma)}

$${\ displaystyle - \ cos ^ {2} (2 \ alpha) + \ cos ^ {2} (2 \ beta) + \ cos ^ {2} (2 \ gamma) = 2 \ cos (2 \ alpha) \, \ sin (2 \ beta) \, \ sin (2 \ gamma) +1}

$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) + \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ beta} {2}} \ right) + \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ gamma} {2}} \ right) +2 \ sin \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) \, \ sin \ izquierda ({\ frac {\ beta} {2}} \ derecha) \, \ sin \ izquierda ({\ frac {\ gamma} {2}} \ derecha) = 1}

El "pentagrama milagroso" [ editar ]

Artículo principal: Pentagramma mirificum

Sean P , Q , R , S , T los vértices de un pentágono en la superficie de una esfera unitaria que están situados de tal manera que cuando sus lados se extienden para formar un pentagrama , se encuentran en ángulos rectos en los puntos de la estrella. Dejar

$$$${\ displaystyle (\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon) = (\ tan ^ {2} TP, \ tan ^ {2} PQ, \ tan ^ {2} QR, \ tan ^ {2 } RS, \ tan ^ {2} ST).}

Entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 1+ \ alpha & = \ gamma \ delta \\ 1+ \ beta & = \ delta \ varepsilon \\ 1+ \ gamma & = \ varepsilon \ alpha \\ 1+ \ delta & = \ alpha \ beta \\ 1+ \ varepsilon & = \ beta \ gamma. \ end {alineado}}}

y

$$$${\ displaystyle 3+ \ alpha + \ beta + \ gamma + \ delta + \ varepsilon = \ alpha \ beta \ gamma \ delta \ varepsilon = {\ sqrt {(1+ \ alpha) (1+ \ beta) (1+ \ gamma) (1+ \ delta) (1+ \ varepsilon)}}.}

Misceláneo [ editar ]

Del núcleo de Dirichlet [ editar ]

Artículo principal: kernel de dirichlet

El núcleo de Dirichlet D _n ( x ) es la función que ocurre en ambos lados de la siguiente identidad:

$${\ displaystyle 1 + 2 \ cos x + 2 \ cos (2x) +2 \ cos (3x) + \ cdots +2 \ cos (nx) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ derecha) x \ derecha)} {\ sin \ izquierda ({\ frac {x} {2}} \ derecha)}}.}

La convolución de cualquier función integrable del período de 2 π con el núcleo de Dirichlet coincide con el de la función n º grados aproximación de Fourier. Lo mismo vale para cualquier medida o función generalizada .

Tangente medio-ángulo de sustitución [ editar ]

Artículo principal: Sustitución de medio ángulo tangente.

Si nos ponemos

$${\ displaystyle t = \ tan {\ frac {x} {2}},}

entonces ^[56]

$${\ displaystyle \ sin x = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}; \ qquad \ cos x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2} }}; \ qquad e ^ {ix} = {\ frac {1 + it} {1-it}}}

donde e ^ix = cos x + i sen x , algunas veces abreviado a  cis x .

Cuando esta sustitución de t para bronceado x/2 se utiliza en el cálculo , se deduce que el pecado x se sustituye por 2 t/1 + t ² , cos x se sustituye por 1 - t ²/1 + t ² y el diferencial d x Se sustituye por 2 d t/1 + t ² . De este modo, se convierten las funciones racionales de sin x y cos xA funciones racionales de t para encontrar sus antiderivadas .