EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 MECÁNICA HAMILTONIANA

En mecánica clásica, las coordenadas de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles en la resolución de muchos sistemas hamiltonianos integrables. El método de acciones-ángulos es útil para obtener las frecuencias de movimientos oscilatorios o rotacionales sin necesidad de resolver las ecuaciones del movimiento. Las coordenadas de acción-ángulo se utilizan principalmente cuando las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables (por tanto, el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo y por consiguiente la energía se conserva). Las variables de acción-ángulo definen un toro invariante, llamado así porque mantener la acción constante define la superficie de un toro, con las variables de ángulo parametrizando las coordenadas del toro.

Las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld, usadas para desarrollar la mecánica cuántica antes del desarrollo de la mecánica ondulatoria, afirman que la acción debe ser un múltiplo entero de la constante de Planck. De forma similar, el trabajo de Einstein en la cuantización EBK y la dificultad para cuantizar sistemas no integrables se expresa en términos de los toros invariantes de las coordenadas de acción-ángulo.

Las coordenadas de acción-ángulo son también útiles en teoría de perturbaciones en mecánica hamiltoniana, especialmente para determinar invariantes adiabáticos. Uno de los primeros resultados de teoría del caos para las perturbaciones no lineales de sistemas dinámicos con pocos grados de libertad es el teorema KAM, que afirma que los toros invariantes son estables bajo perturbaciones pequeñas.

El uso de variables de acción-ángulo fue fundamental en la resolución de la red de Toda y en la definición de los pares de Lax o, de forma más general, en la idea de evolución isoespectral de un sistema.

Derivación

Las variables de acción-ángulo resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generatriz es la función característica de Hamilton ${\displaystyle W(\mathbf{q})}$ (no la función principal de Hamilton ${\displaystyle S}$). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano ${\displaystyle K(\mathbf{w},\mathbf{J})}$ es simplemente el hamiltoniano anterior ${\displaystyle H(\mathbf{q},\mathbf{p})}$ expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas, que denotamos ${\displaystyle \mathbf{w}}$ (las variables de ángulo, que son coordenadas generalizadas) y sus nuevos momentos generalizados ${\displaystyle \mathbf{J}}$. No necesitaremos resolver la función generatriz ${\displaystyle W}$, simplemente la utilizamos para relacionar los dos conjuntos de coordenadas canónicas.

En lugar de definir directamente las variables de ángulo ${\displaystyle \mathbf{w}}$, definimos sus momentos generalizados, que representan la acción clásica para cada coordenada generalizada

${\displaystyle J_k\equiv \oint p_{k}d{q}_k}$

donde el camino de integración viene dado por la función de energía constante ${\displaystyle E=E(q_k,p_k)}$. Dado que el movimiento real no interviene en la integración, estos momentos generalizados ${\displaystyle J_k}$ son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado ${\displaystyle K}$ no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas ${\displaystyle w_k}$

${\displaystyle \frac{d}{dt}{J}_k=0=\frac{\mathrm{\partial }K}{\mathrm{\partial }{w}_k}}$

donde los ${\displaystyle w_k}$ vienen dados por la ecuación habitual para un transformación canónica de tipo 2,

${\displaystyle w_k\equiv \frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }{J}_k}}$

Así, el nuevo hamiltoniano ${\displaystyle K=K(\mathbf{J})}$ depende únicamente de los nuevos momentos generalizados ${\displaystyle \mathbf{J}}$.

La dinámica de las variables de ángulo viene dada por las ecuaciones de Hamilton,

${\displaystyle \frac{d}{dt}{w}_k=\frac{\mathrm{\partial }K}{\mathrm{\partial }{J}_k}\equiv {\nu }_k(\mathbf{J})}$

El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los ${\displaystyle J}$ lo son). Por tanto, la solución viene dada por

${\displaystyle w_k={\nu }_k(\mathbf{J})t+{\beta }_k}$

donde ${\displaystyle {\beta }_k}$ es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original está sujeta a una oscilación o rotación de periodo ${\displaystyle T}$, la variable de ángulo correspondiente ${\displaystyle w_k}$ cambia como ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{w}_k={\nu }_k(\mathbf{J})T}$.

Estos ${\displaystyle {\nu }_k(\mathbf{J})}$ son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales ${\displaystyle q_k}$. Podemos ver esto integrando el cambio neto en la variable de ángulo ${\displaystyle w_k}$ a lo largo de exactamente una rotación completa (una oscilación o una rotación) de sus coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_k}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{w}_k\equiv \oint \frac{\mathrm{\partial }{w}_k}{\mathrm{\partial }{q}_k}d{q}_k=\oint \frac{{\mathrm{\partial }}^{2}W}{\mathrm{\partial }{J}_k\mathrm{\partial }{q}_k}d{q}_k=\frac{d}{d{J}_k}\oint \frac{\mathrm{\partial }W}{\mathrm{\partial }{q}_k}d{q}_k=\frac{d}{d{J}_k}\oint p_{k}d{q}_k=\frac{d{J}_k}{d{J}_k}=1}$

Introduciendo estas expresiones en la fórmula de ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{w}_k}$ obtenemos la ecuación deseada

${\displaystyle {\nu }_k(\mathbf{J})=\frac{1}{T}}$

Las variables de ángulo ${\displaystyle \mathbf{w}}$ son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas. Así, en el caso general, cada coordenada generalizada ${\displaystyle q_k}$ puede expresarse como una serie de Fourier en todos los ángulos

${\displaystyle q_k=\sum _{s_1=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s_2=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{s_N=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{A}_{s_1,s_2,\dots ,s_N}^k{e}^{i2\pi s_1{w}_1}{e}^{i2\pi s_2{w}_2}\cdots e^{i2\pi s_N{w}_N}}$

donde ${\displaystyle A_{s_1,s_2,\dots ,s_N}^k}$ son los coeficientes de la serie de Fourier. En la mayoría de los casos, sin embargo, una coordenada generalizada original ${\displaystyle q_k}$ podrá expresarse como una serie de Fourier en su propia variable de ángulo ${\displaystyle w_k}$

${\displaystyle q_k=\sum _{s_k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi s_k{w}_k}}$

Resumen del procedimiento básico

El procedimiento general tiene tres pasos:

1. Calcular los nuevos momentos generalizados ${\displaystyle J_k}$
2. Expresar el hamiltoniano original completamente en términos de estas variables.
   
3. Tomar las derivadas del hamiltoniano respecto a estos momentos para obtener las frecuencias ${\displaystyle {\nu }_k}$

Degeneración

En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, esto es, ${\displaystyle {\nu }_k={\nu }_l}$ para ${\displaystyle k\ne l}$. En estos casos se dice que el movimiento es degenerado.

El movimiento degenerado indica que existen cantidades conservadas generales adicionales. Por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que se corresponde con la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz.

El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema coordenado. Por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas.

En la teoría de sistemas de muchas partículas, las coordenadas de Jacobi se usan con frecuencia para simplificar las fórmulas matemáticas. Estas coordenadas son especialmente comunes en el tratamiento de moléculas poliatómicas y reacciones químicas,^[1] y en mecánica celeste.^[2]

Algoritmo para N cuerpos

Un algoritmo para generar coordenadas de Jacobi para N cuerpos puede basarse en árboles binarios.^[3] Literalmente el algoritmo se describe como sigue:^[3]

Sean m_j y m_k las masas de dos cuerpos que son reemplazados por un nuevo cuerpo de masa virtual M = m_j + m_k.

Las coordenadas x _j y x _k se reemplazan por sus posiciones relativas r_jk =x_j − x_k y por el vector al centro de sus masas R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k).

El nodo en el árbol binario correspondiente al cuerpo virtual tiene m_j como rama derecha y m_k como rama izquierda. El orden de las ramas indica el punto de coordenadas relativas desde x'_k a x_j.

Repita esta secuencia para N − 1 cuerpos, o sea los N − 2 cuerpos originales más el nuevo cuerpo virtual.

Un posible conjunto de coordenadas de Jacobi para el problema de los cuatro cuerpos; las coordenadas de Jacobi son r₁, r₂, r₃ y el centro de gravedad R. Véase Cornille.^[4]

Problema de los cuatro cuerpos

Para el problema de cuatro cuerpos el resultado es:^[4]

${\displaystyle {\mathit{r}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{-}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}},}$

${\displaystyle {\mathit{r}}_{\mathit{j}}=\frac{1}{m_{0j}}\sum _{k=1}^j{m}_k{\mathit{x}}_{\mathit{k}}-{\mathit{x}}_{\mathit{j}\mathbf{+}\mathbf{1}},}$

con

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^j{m}_k.}$

El vector R es el centro de gravedad de todos los cuerpos:

${\displaystyle \mathit{R}=\frac{1}{m_0}\sum _{k=1}^N{m}_k{\mathit{x}}_{\mathit{k}};}$ ;}   ${\displaystyle m_0=\sum _{k=1}^N{m}_k.}$

El corchete de Dirac es una generalización del corchete de Poisson, desarrollado por Paul Dirac para tratar correctamente a sistemas con constricciones de segunda clase en Mecánica Hamiltoniana y en Cuantización Canónica. Es una parte importante del desarrollo de Dirac de la Mecánica Hamiltoniana para manejar lagrangianas más generales. Más abstractamente, la 2-forma implícita desde el corchete de Dirac es la constricción de la forma simplética a la superficie ad hoc en el espacio fase.

Este artículo supone familiaridad con los formalismos lagrangiano y hamiltoniano estándar y su conexión con la cuantización. Los detalles del formalismo hamiltoniano modificado de Dirac se resumen para colocar el corchete de Dirac en contexto.

Procedimiento Hamiltoniano Estándar

El desarrollo estándar de la Mecánica Hamiltoniana es insuficiente en varias situaciones específicas:

1. Cuando la lagrangiana es lineal en la velocidad de al menos una coordenada; en este caso, la definición del impulso canónico conduce a una constricción. Esta es la razón más frecuente por la cual recurrir a corchetes de Dirac. Por ejemplo, la lagrangiana (densidad) para cualquier fermión es de esta forma.
2. Cuando hay grados de libertad que deban fijarse.
3. Cuando existen otras constricciones que uno quiera imponer en el espacio fase.

Ejemplo de un lagrangiana lineal en la velocidad

Un ejemplo típico en Mecánica Clásica, es el de la partícula con carga y masa fijo en el plano ${\displaystyle xy}$ con un campo magnético intenso homogéneo y constante, apuntando en la dirección ${\displaystyle z}$ con fuerza ${\displaystyle B_0}$. Con una selección de parámetros adecuada, la lagrangiana del sistema es:

${\displaystyle L=\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}^2+\frac{q}{c}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{v}-V(\overrightarrow{r}),}$

donde ${\displaystyle \overrightarrow{A}}$ es el potencial vectorial para el campo magnético ${\displaystyle \overrightarrow{B}}$; ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz en el vacío y ${\displaystyle V(\overrightarrow{r})}$ es un potencial escalar externo arbitrario. Utilizamos

${\displaystyle \overrightarrow{A}=\frac{B_0}{2}(x\hat{y}-y\hat{x})}$

como nuestro potencial vectorial. Aquí, el sombrero ${\displaystyle \hat{}}$ indican vectores unitarios. Más adelante, en el artículo se utilizan para distinguir los operadores en Mecánica Cuántica de sus análogos clásicos. El uso debe quedar claro desde el contexto.

Explícitamente, la lagrangiana se convierte en

${\displaystyle L=\frac{m}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)+\frac{q{B}_0}{2c}(x\dot{y}-y\dot{x})-V(x,y),}$

que conduce a las ecuaciones de movimiento

${\displaystyle m\ddot{x}=-\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}+\frac{q{B}_0}{c}\dot{y}}$

${\displaystyle m\ddot{y}=-\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y}-\frac{q{B}_0}{c}\dot{x}.}$

Ahora, considere el límite correspondiente a un campo magnético muy grande. En este caso, se puede colocar el término masivo para encontrar una lagrangiana aproximada

${\displaystyle L=\frac{q{B}_0}{2c}(x\dot{y}-y\dot{x})-V(x,y),}$

y ecuaciones de movimiento de primer orden

${\displaystyle \dot{y}=\frac{c}{q{B}_0}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle \dot{x}=-\frac{c}{q{B}_0}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y}.}$

Observe, que esta lagrangiana aproximada es lineal en las velocidades, que es una de las condiciones bajo las cuales se rompe el procedimiento estándar hamiltoniano. Si bien este ejemplo se ha motivado como una aproximación, la lagrangiana bajo consideración, es perfectamente admisible y conduce a ecuaciones de movimiento consistentes en el formalismo de Lagrange.

Siguiendo el procedimiento hamiltoniano, el momento canónico asociado con las coordenadas

${\displaystyle p_x=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{x}}=-\frac{q{B}_0}{2c}y}$

${\displaystyle p_y=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }\dot{y}}=\frac{q{B}_0}{2c}x,}$

son inusuales, ya que no son invertibles a las velocidades. Una transformación de Legendre produce la hamiltoniana

${\displaystyle H(x,y,p_x,p_y)=\dot{x}{p}_x+\dot{y}{p}_y-L=V(x,y).}$

Tenga en cuenta que esta hamiltoniana "principal" no depende de los momentos, lo que significa que las ecuaciones de movimiento de Hamilton son incompatibles; el procedimiento hamiltoniano ha fallado. A veces, se podría intentar solucionar el problema al expresar las coordenadas como momentos y a veces como coordenadas; sin embargo, esta no es una solución general y rigurosa. Esta última observación obtiene el meollo del asunto: que la definición de los momentos canónicos implica una constricción sobre el espacio fase (entre momentos y coordenadas) nunca tomada en cuenta anteriormente.

Procedimiento Hamiltoniano Generalizado

En mecánica lagrangiana, si el sistema tiene constricciones holonómicas, entonces generalmente se agregan multiplicadores de Lagrange a la lagrangiana para tomarlas en cuenta. Los términos adicionales, desaparecen cuando se cumplen las constricciones, obligando así, a la trayectoria de acción estacionaria, a permanecer en la superficie de constricción. En este caso, acudiendo al formalismo hamiltoniano se introduce una constricción sobre el espacio fase en la mecánica hamiltoniana, pero la solución es similar.

Antes de continuar, es útil entender las nociones de igualdad débil e igualdad fuerte. Dos funciones en el espacio fase ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, son iguales débilmente ---lo que se denota como ${\displaystyle f\approx g}$---, si ellas son idénticas hasta que se cumplan las ecuaciones de movimiento, lo también denotado como on shell. Si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son iguales on shell, entonces ${\displaystyle f=g}$, y se dice que son fuertemente iguales. Es importante tener en cuenta, que para obtener la solución correcta, ninguna ecuación débil puede utilizarse antes de evaluar derivadas o corchetes de Poisson.

El nuevo procedimiento funciona como sigue, al iniciar con una lagrangiana y definir los momentos canónicos de la forma habitual. Algunas de esas definiciones pueden ser no invertibles y dar en su lugar a constricciones en el espacio fase (como arriba). Las constricciones derivadas de esta manera o impuestas desde el inicio del problema se denominan constricciones primarias. Las constricciones, con la etiqueta ${\displaystyle {\varphi }_j}$, deben anularse débilmente, ${\displaystyle {\varphi }_j(q,p)\approx 0}$.

A continuación, se encuentra la hamiltoniana principal ${\displaystyle H}$, de la forma habitual a través de una transformación de Legendre, exactamente como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que la hamiltoniana siempre puede escribirse como una función de ${\displaystyle q}$'s y de ${\displaystyle p}$'s, aunque las velocidades no puedan ser invertidas en función de los momentos.

Generalizando el Hamiltoniano

Dirac argumenta que la hamiltoniana se debe generalizar (algo análogamente al método de multiplicadores de Lagrange) a

${\displaystyle H^{\ast }=H+\sum _j{c}_j{\varphi }_j\approx H,}$

donde ${\displaystyle c_j}$ no son constantes, sino funciones de las coordenadas y de los momentos. La nuevo hamiltoniana ${\displaystyle H^{\ast }}$, es la función más general de coordenadas y momentos, igualmente débiles a la hamiltoniana principal ${\displaystyle H}$; ${\displaystyle H^{\ast }}$ es la generalización más amplia posible de la hamiltoniana.

Para indagar más acerca de las ${\displaystyle c_j}$, considere cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento desde la hamiltoniana principal, en el procedimiento estándar. Se expresa la variación de la hamiltoniana en dos formas y se les conjunta para que sean iguales (mediante una notación algo abreviada en cuanto a índices suprimidos y sumas):

${\displaystyle \delta H=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }q}\delta q+\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }p}\delta p\approx \dot{q}\delta p-\dot{p}\delta q,}$

donde la segunda igualdad se mantiene después de simplificar las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange y de la definición de impulso canónico. De esta igualdad, se deducen las ecuaciones de movimiento en el formalismo hamiltoniano

${\displaystyle \left(\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }q}+\dot{p}\right)\delta q+\left(\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }p}-\dot{q}\right)\delta p=0,}$

donde el símbolo de igualdad débil deja de mostrarse explícitamente, ya que por definición, las ecuaciones de movimiento sólo se mantienen débilmente. En el contexto actual, simplemente no se pueden establecer los coeficientes de ${\displaystyle \delta q}$ y ${\displaystyle \delta p}$ igualando a cero por separado, ya que las variaciones son algo restringidas por las constricciones. En particular, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de constricción.

Se puede demostrar que la solución

${\displaystyle \sum _n{A}_n\delta q_n+\sum _n{B}_n\delta p_n=0,}$

es general para las variaciones ${\displaystyle \delta q_n}$ y ${\displaystyle \delta p_n}$ restringido por las constricciones ${\displaystyle {\varphi }_j\approx 0}$ (suponiendo que las constricciones satisfacen algunas condiciones de regularidad)^[1]

${\displaystyle A_n=\sum _m{u}_m\frac{\mathrm{\partial }{\varphi }_m}{\mathrm{\partial }{q}_n}}$

${\displaystyle B_n=\sum _m{u}_m\frac{\mathrm{\partial }{\varphi }_m}{\mathrm{\partial }{p}_n},}$

donde las ${\displaystyle u_m}$ son funciones arbitrarias.

Con este resultado, las ecuaciones de movimiento se convierten en

${\displaystyle {\dot{p}}_j=-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}_j}-\sum _k{u}_k\frac{\mathrm{\partial }{\varphi }_k}{\mathrm{\partial }{q}_j}}$

${\displaystyle {\dot{q}}_j=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_j}+\sum _k{u}_k\frac{\mathrm{\partial }{\varphi }_k}{\mathrm{\partial }{p}_j}}$

${\displaystyle {\varphi }_j(q,p)=0,}$

donde ${\displaystyle u_k}$ son funciones de las coordenadas y de las velocidades, que pueden determinarse, en principio, de la segunda ecuación de movimiento anterior. La transformada de Legendre entre el formalismo de Lagrange y el formalismo hamiltoniano se guarda con el costo de agregar nuevas variables.

Condiciones de Consistencia

Las ecuaciones de movimiento se vuelven más compactas cuando se utiliza el corchete de Poisson. Si ${\displaystyle f}$ es alguna función de las coordenadas y de los momentos, entonces

${\displaystyle \dot{f}\approx \{f,H^{\ast }{\}}_{PB}\approx \{f,H{\}}_{PB}+\sum _k{u}_k\{f,{\varphi }_k{\}}_{PB},}$

Si se asume que existe el corchete de Poisson entre las ${\displaystyle u_k}$ (funciones de la velocidad), esto se hace sin problemas ya que la contribución se desvanece débilmente. Ahora, hay algunas condiciones de coherencia que deben cumplirse para que este formalismo tenga sentido. Si las constricciones se satisfacen, entonces sus ecuaciones de movimiento deben anularse débilmente, es decir, requerimos

${\displaystyle \dot{{\varphi }_j}\approx \{{\varphi }_j,H{\}}_{PB}+\sum _k{u}_k\{{\varphi }_j,{\varphi }_k{\}}_{PB}\approx 0.}$

Hay cuatro tipos diferentes de condiciones que pueden derivarse de las anteriores:

1. Una ecuación que es intrínsecamente falsa, como ${\displaystyle 1=0}$.
2. Una ecuación que es idénticamente cierta, posiblemente después de usar una de nuestras principales constricciones.
3. Una ecuación que impone nuevas constricciones sobre nuestras coordenadas y momentos, pero es independiente de ${\displaystyle u_k}$.
4. Una ecuación que ayuda a fijar ${\displaystyle u_k}$.

El primer caso, indica que la lagrangiana ${\displaystyle L=q}$ da ecuaciones de movimiento inconsistentes. El segundo caso no aportan nada nuevo. El tercer caso da nuevas constricciones en el espacio fase. Una constriccicción derivada de esta forma se llama constricción secundaria. Al encontrar la constricción secundaria uno debe agregarla a la hamiltoniana extendida y comprobar las nuevas condiciones de consistencia, que pueden provocar aún más constricciones. Este proceso se repite hasta que no haya más constricciones. La distinción entre las constricciones primarias y secundarias es en gran medida artificial (es decir, una constricción para el mismo sistema puede ser primaria o secundaria dependiendo de la lagrangiana), por lo que este artículo no distingue entre ellos desde aquí. Asumiendo la condición de consistencia se itera hasta que todas las constricciones han sido encontradas, entonces ${\displaystyle {\varphi }_j}$ indexará todos ellos. Note que este artículo utiliza constricción secundaria a significar cualquier constricción que no estaba inicialmente en el problema o derivados de la definición de momento canónico; algunos autores distinguen entre constricciones secundarias, terciarias constricciones, etcétera.

Finalmente, el último caso ayuda a corregir ${\displaystyle u_k}$. Si al final de este proceso, las ${\displaystyle u_k}$ no están completamente determinadas, significa que hay grados de libertad de calibración en el sistema. Una vez que todas las constricciones (primarias y secundarias) se agregan a la hamiltoniana principal y las soluciones a las condiciones de coherencia para ${\displaystyle u_k}$ están conectadas en el resultado, entonces se le llama hamiltoniana total.

Fijación de la ${\displaystyle u_k}$

El ${\displaystyle u_k}$ debe resolver un conjunto heterogéneo de ecuaciones lineales de la forma

${\displaystyle \{{\varphi }_j,H{\}}_{PB}+\sum _k{u}_k\{{\varphi }_j,{\varphi }_k{\}}_{PB}\approx 0.}$

La ecuación anterior debe poseer al menos una solución, ya que de lo contrario la lagrangiana inicial es inconsistente; sin embargo, en sistemas con grados de libertad de calibración, la solución no es única. La solución más general es de la forma

${\displaystyle u_k=U_k+V_k,}$

donde ${\displaystyle U_k}$ es una solución particular y ${\displaystyle V_k}$ es la solución más general para la ecuación homogénea

${\displaystyle \sum _k{V}_k\{{\varphi }_j,{\varphi }_k{\}}_{PB}\approx 0.}$

La solución más general será una combinación lineal de soluciones a la ecuación homogénea, linealmente independientes. El número de soluciones linealmente independientes es igual al número de ${\displaystyle u_k}$ (que es lo mismo que el número de constricciones) menos el número de las condiciones de coherencia del cuarto tipo (en el párrafo anterior). Este es el número de grados de libertad que satisfacen al sistema. Etiquetando las soluciones independientes lineales ${\displaystyle V_k^a}$ donde el índice ${\displaystyle a}$ va desde 1 hasta el número satisfactorio de grados de libertad, la solución general de las condiciones de coherencia es de la forma

${\displaystyle u_k\approx U_k+\sum _a{v}_a{V}_k^a,}$

donde la ${\displaystyle v_a}$ son funciones completamente arbitrarias del tiempo. Una opción diferente de la ${\displaystyle v_a}$ corresponde a una transformación de calibración y debe dejar sin cambios el estado físico del sistema.

Hamiltoniana Total

En este punto, es natural introducir la hamiltoniana total

${\displaystyle H_T=H+\sum _k{U}_k{\varphi }_k+\sum _{a,k}{v}_a{V}_k^a{\varphi }_k}$

y lo que se denota

${\displaystyle H^{\prime }=H+\sum _k{U}_k{\varphi }_k.}$

La evolución temporal de una función en el espacio de fase, ${\displaystyle f}$ se rige por

${\displaystyle \dot{f}\approx \{f,H_T{\}}_{PB}.}$

Más tarde, se introduce la hamiltoniana extendida. Para cantidades de calibración invariantes (cantidades medibles físicamente) todas las hamiltonianas deben dar la misma evolución temporal ya que toda calibración es débilmente equivalente. Es sólo para cantidades no invariantes ante calibración, que la distinción se convierte en importante.

El corchete de Dirac

Arriba está todo lo necesario para encontrar las ecuaciones de movimiento, en el procedimiento hamiltoniano modificado de Dirac. Tener las ecuaciones de movimiento, sin embargo, no es el extremo de consideraciones teóricas. Si uno quiere cuantificar canónicamente un sistema general, uno necesita los corchetes de Dirac.

Antes de definir los corchetes de Dirac, es preciso introducir constricciones de primera clase y de segunda clase. Llamamos a una función ${\displaystyle f(q,p)}$ de coordenadas y de momentos de primera clase si su corchete de Poisson desaparece débilmente con todas las constricciones, es decir,

${\displaystyle \{f,{\varphi }_j{\}}_{PB}\approx 0,}$

para todos ${\displaystyle j}$. Tenga en cuenta, que las constricciones ${\displaystyle {\varphi }_j}$ son cantidades que sólo desaparecen débilmente, y por lo tanto, cualquier cosa que se desvanezca de manera semejante, debe ser igual fuertemente a una combinación lineal de las constricciones. Uno puede demostrar que el corchete de Poisson de dos cantidades de primera clase también debe ser de primera clase. Las constricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad no-físicos mencionados anteriormente. Es decir, el número de constricciones de primera clase independientes es igual al número de grados de libertad no-físicos, y además las principales constricciones de primera clase generan transformaciones de calibración. Dirac postuló además que todas las constricciones de primera clase secundarias son generadoras de transformaciones de calibración, lo que resulta ser falso; sin embargo, normalmente uno opera bajo la suposición de que todas las constricciones de primera clase generan transformaciones de calibración cuando se utiliza este tratamiento.^[2]

Cuando se agregan las constricciones de primera clase secundarias en la hamiltoniana, con arbitraria ${\displaystyle v_a}$ y cuando se agregan las constricciones de primera clase principal para llegar a la hamiltoniana total, entonces se obtiene la hamiltoniana extendida. La hamiltoniana extendida da la evolución temporal más general posible para las cantidades que dependen de la calibración; realmente puede generalizar las ecuaciones de movimiento correspondientes al formalismo de Lagrange.

A los efectos de introducción del corchete de Dirac, las constricciones de segunda clase son de un interés prioritario. Las constricciones de segunda clase son las que tienen corchete de Poisson no nulo, otrora al menos una constricción. Por ejemplo, considere las constricciones ${\displaystyle {\varphi }_1}$ y ${\displaystyle {\varphi }_2}$ cuyo corchete de Poisson es simplemente una constante, ${\displaystyle c}$,

${\displaystyle \{{\varphi }_1,{\varphi }_2{\}}_{PB}=c.}$

Ahora, suponga que se desea cuantizar, entonces el espacio fase de coordenadas se convierte al de operadores, cuyos conmutadores conducen a ${\displaystyle i\hslash }$. Suponiendo que no existen problemas que den lugar a nuevas correcciones cuánticas, esto implica

${\displaystyle [{\hat{\varphi }}_1,{\hat{\varphi }}_2]=ci\hslash ,}$

donde el sombrero ${\displaystyle \hat{}}$ son para indicar que las constricciones son operadores. Por un lado, la cuantización da la relación anterior de conmutación, pero por otro lado, ${\displaystyle {\hat{\varphi }}_1}$ y ${\displaystyle {\hat{\varphi }}_2}$ son las constricciones que deben desaparecer en estados físicos, mientras que el lado derecho no puede. Este ejemplo ilustra la necesidad de una generalización del corchete de Poisson que respete las constricciones del sistema y conduzca a un procedimiento de cuantización uniforme.

El nuevo corchete debe ser antisimétrico, bilineal, satisfacer la identidad de Jacobi, como hace el corchete de Poisson, reducir el corchete de Poisson para sistemas sin constricciones, y además debe anular el corchete de cualquier constricciones con cualquier otra cantidad. En este punto, las constricciones de segunda clase serán etiquetadas como ${\displaystyle {\tilde{\varphi }}_a}$. Defina una matriz con las entradas

${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde{\varphi }}_a,{\tilde{\varphi }}_b{\}}_{PB}.}$

En este caso, el corchete de Dirac de dos funciones en el espacio de fase, ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, se define como

${\displaystyle \{f,g{\}}_{DB}=\{f,g{\}}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde{\varphi }}_a{\}}_{PB}{M}_{ab}^{-1}\{{\tilde{\varphi }}_b,g{\}}_{PB},}$

donde ${\displaystyle M_{ab}^{-1}}$ denota el ${\displaystyle ab}$ entrada de ${\displaystyle M}$ de matriz inversa. Dirac demostró que ${\displaystyle M}$ es siempre invertible. Es fácil comprobar, de la definición anterior, que el corchete de Dirac satisface todas las propiedades deseadas. Cuando se cuantiza un sistema hamiltoniano restringido, el conmutador de los operadores se estable como ${\displaystyle i\hslash }$ por su corchete de Dirac clásico. Ya que el corchete de Dirac respeta las constricciones, uno no tiene que ser cuidadoso en la evaluación de todos los corchetes antes de utilizar cualquier ecuación débil, como sucede con el corchete de Poisson.

Tenga en cuenta que mientras el corchete de Poisson de una variable bosónica (incluso Grassmann) consigo mismo debe anularse, no necesita suceder lo mismo en cuanto el corchete de Poisson de un fermión (representado como una variables de Grassmann) consigo mismo. Esto significa que en el caso fermiónico es posible que haya un número impar de constricciones de segunda clase.

Concluyendo el Ejemplo

Volviendo al ejemplo anterior, la hamiltoniana principal y las dos principales constricciones son

${\displaystyle H=V(x,y),{\varphi }_1=p_x+\frac{q{B}_0}{2c}y,{\varphi }_2=p_y-\frac{q{B}_0}{2c}x.}$

Por lo tanto, la hamiltoniana extendida se puede escribir

${\displaystyle H^{\ast }=V(x,y)+u_1\left(p_x+\frac{q{B}_0}{2c}y\right)+u_2\left(p_y-\frac{q{B}_0}{2c}x\right).}$

El siguiente paso es aplicar las condiciones de consistencia

${\displaystyle \{{\varphi }_j,H^{\ast }{\}}_{PB}\approx 0}$

que en este caso son ${\displaystyle \{{\varphi }_1,H{\}}_{PB}+\sum _j{u}_j\{{\varphi }_1,{\varphi }_j{\}}_{PB}=-\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}+u_2\frac{q{B}_0}{c}\approx 0\{{\varphi }_2,H{\}}_{PB}+\sum _j{u}_j\{{\varphi }_2,{\varphi }_j{\}}_{PB}=-\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y}-u_1\frac{q{B}_0}{c}\approx 0.}$

Estas no son las constricciones secundarias, sino las condiciones que fijan ${\displaystyle u_1}$ y ${\displaystyle u_2}$. Por lo tanto, no hay constricciones secundarias y los coeficientes arbitrarios están completamente determinados, lo que indica que no hay grados de libertad no físicos.

Si se fija en los valores de ${\displaystyle u_1}$ y ${\displaystyle u_2}$, entonces se puede ver que las ecuaciones de movimiento

${\displaystyle \dot{x}=\{x,H{\}}_{PB}+u_1\{x,{\varphi }_1{\}}_{PB}+u_2\{x,{\varphi }_2\}=-\frac{c}{q{B}_0}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y}}$

${\displaystyle \dot{y}=\frac{c}{q{B}_0}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle {\dot{p}}_x=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }x}}$

${\displaystyle {\dot{p}}_y=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }y},}$

son uniformes e iguales a las ecuaciones de movimiento de Lagrange.

Un cálculo simple confirma que ${\displaystyle {\varphi }_1}$ y ${\displaystyle {\varphi }_2}$ son constricciones de segunda clase, ya que

${\displaystyle \{{\varphi }_1,{\varphi }_2{\}}_{PB}=-\{{\varphi }_2,{\varphi }_1{\}}_{PB}=\frac{q{B}_0}{c},}$

por lo tanto, la matriz

que se invierte fácilmente a

donde ${\displaystyle {ϵ}_{ab}}$ es el símbolo de Levi-Civita. Así, el corchete de Dirac se definen como

${\displaystyle \{f,g{\}}_{DB}=\{f,g{\}}_{PB}+\frac{c}{q{B}_0}{ϵ}_{ab}\{f,{\varphi }_a{\}}_{PB}\{{\varphi }_b,g{\}}_{PB}.}$

Si siempre utiliza el corchete de Dirac en lugar del de Poisson, entonces, no hay diferencia acerca del orden de aplicar constricciones, y evaluar expresiones; por el corchete de Dirac cada cero débil es fuertemente igual a cero. Esto significa que se puede utilizar a la hamiltoniana principal con corchete de Dirac y obtener las ecuaciones de movimiento correctas, que se puede confirmar fácilmente. Al cuantizar el sistema, es necesario el corchete de Dirac, entre todas las variables del espacio fase. El corchete de Dirac no nulo, de este sistema es

${\displaystyle \{x,y{\}}_{DB}=-\frac{c}{q{B}_0}}$

${\displaystyle \{x,p_x{\}}_{DB}=\{y,p_y{\}}_{DB}=\frac{1}{2}.}$

Por lo tanto, la aplicación correcta de la cuantización, impone las siguientes relaciones de conmutación

${\displaystyle [\hat{x},\hat{y}]=-i\frac{\hslash c}{q{B}_0}}$

${\displaystyle [\hat{x},{\hat{p}}_x]=[\hat{y},{\hat{p}}_y]=i\frac{\hslash }{2}.}$

Curiosamente, este ejemplo muestra un conmutador no nulo entre ${\displaystyle \hat{x}}$ y ${\displaystyle \hat{y}}$, lo que significa que en el sistema hay geometría no conmutativa subyacente. Ya que no conmutan las dos coordenadas, hay un relación de incertidumbre para las posiciones ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$.