EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 NÚMEROS EPÓNIMOS EN FÍSICA

El Número de Reynolds magnético (${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$) es un número adimensional, es el análogo magnético del número de Reynolds, que se utiliza en magnetohidrodinámica. Da una estimación de los efectos de la advección o inducción magnética respecto a la difusión magnética.

Simbología

Simbología

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$	Número de Reynolds magnético
	Fluido
${\displaystyle L}$	Longitud característica	m
${\displaystyle d}$	Dimensión de área	m
${\displaystyle u}$	Velocidad	m / s
${\displaystyle \mathbf{u}}$	Vector de velocidad	m / s
	Magnético
${\displaystyle \mathbf{B}}$	Vector de flujo magnético	T
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz	m / s
${\displaystyle {\eta }_m}$	Difusividad magnética	m2 / s
${\displaystyle {\rho }_e}$	Resistividad	Ω m
${\displaystyle {\mu }_o}$	Permeabilidad magnética del espacio libre	T m / A

Descripción

El número de Reynolds magnético se define como:

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{\text{Fuerzas inerciales}}{\text{Fuerzas de difusión magnética}}}}$

Deducción

	1	2
Ecuaciones	${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{mu(u/L)}{{\eta }_m({\eta }_m\rho )}}}$	${\displaystyle \rho =\frac{m}{d^{2}L}}$
Simplificando	${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{m{u}^2/L}{({\eta }_m{)}^2\rho }}}$
Sustituyendo	${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\sqrt{\frac{m{u}^2/L}{({\eta }_m{)}^2[m/(d^{2}L)]}}}$
Simplificando	${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\frac{ud}{{\eta }_m}}$

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\frac{uL}{{\eta }_m}\sim \frac{\text{inducción}}{\text{difusión}}}$

Derivación

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$ es ampliamente utilizado en la física del plasma, donde son comunes dos tipos de unidades SI (gaussianas cgs y SI mks), porque las unidades gaussianas cgs a menudo permiten derivaciones más limpias de las que el razonamiento físico es más claro, por lo que vale la pena anotar la derivación en ambos conjuntos de unidades. En la teoría de la magnetohidrodinámica, la ecuación de transporte para el campo magnético, ${\displaystyle \mathbf{B}}$, es

• : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{u}\times \mathbf{B})+\frac{{\rho }_e}{{\mu }_o}{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}}$ en unidades SI «mks».

• : ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{u}\times \mathbf{B})+\frac{{\rho }_e{c}^2}{4\pi }{\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}}$ en unidades gaussianas «cgs»,

Símbolo	Nombre
${\displaystyle {\mu }_o}$	Permeabilidad del espacio libre
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz
${\displaystyle \mathbf{u}}$	Velocidad del fluido
${\displaystyle {\rho }_e}$	Resistividad

Las unidades de ${\displaystyle {\rho }_e}$ son Ohm-m en el sistema mks SI y segundos en el sistema cgs gaussiano.

El término final en cada una de estas ecuaciones es un término de difusión, con el coeficiente de difusión cinemático, ${\displaystyle \eta }$ teniendo unidades de distancia al cuadrado por unidad de tiempo, siendo el factor que multiplica la ${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}}$. Por lo tanto, la forma de estas dos ecuaciones, independiente de las unidades, es

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\mathbf{B}}{\mathrm{\partial }t}=\mathrm{\nabla }\times (\mathbf{u}\times \mathbf{B})+\eta {\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{B}.}$

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$ es la relación de los dos sumandos del segundo miembro, en el supuesto de que comparten la longitud de la escala ${\displaystyle L}$ tal que ${\displaystyle \mathrm{\nabla }\sim 1/L}$ en ambos términos y que la escala de ${\displaystyle \mathbf{u}}$ es ${\displaystyle U}$

Desarrollando lo dicho se obtien:

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\frac{UL}{\eta }=\frac{UL{\mu }_o}{{\rho }_e}}$ en unidades SI «mks» y

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=\frac{UL}{\eta }=\frac{4\pi UL}{{\rho }_e{c}^2}}$ en unidades de gaussianas «cgs»

A menudo surge cierta confusión porque ${\displaystyle \eta }$ se usa comúnmente tanto para la difusividad magnética como para la resistividad de un plasma, con la relación en unidades SI «mks» que es ${\displaystyle \eta ={\rho }_e/{\mu }_o}$.

Características generales para grandes y pequeños R_m

Para ${\displaystyle R_m\ll 1}$ la advección es relativamente poco importante y por tanto el campo magnético tenderá a relajarse hacia un estado puramente difusivo determinado por las condiciones de contorno más que por el flujo.

Para ${\displaystyle R_m\gg 1}$ la difusión es relativamente poco importante en la escala de longitud ${\displaystyle L}$. Las líneas de flujo del campo magnético son adveccionadas con el flujo magnético hasta que los gradientes son concentrados en regiones de escala de longitud suficientemente pequeñas para que la difusión pueda igualar a la advección.

Rango de valores

El sol es de una enorme dimensión y tiene una gran ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$, de orden de 10⁶. Los efectos disipativos son generalmente pequeños, y no hay dificultad en mantener un campo magnético contra la difusión.

Para la tierra, ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$ se estima que es del orden de 10³.^[1] La disipación es más importante, pero un campo magnético es soportado por el movimiento en el núcleo externo de hierro líquido. Hay otros cuerpos en el sistema solar que tienen dinamos de trabajo, por ejemplo, Júpiter, Saturno y Mercurio, y otros que no lo tienen, por ejemplo, Marte, Venus y la Luna.

La escala de longitud humana es muy pequeña por lo que típicamente ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}\ll 1}$. La generación de campo magnético por el movimiento de un fluido conductor se ha logrado en solo un puñado de grandes experimentos con mercurio o sodio líquido.^[2][3][4]

Límites

En situaciones donde la magnetización permanente no es posible, por ejemplo, por encima de la temperatura de Curie, mantener un campo magnético ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$ debe ser lo suficientemente grande como para que la inducción supere la difusión. No es la magnitud absoluta de la velocidad lo que es importante para la inducción sino las diferencias relativas y la distorsión en el flujo, que estiran y pliegan las líneas del campo magnético.^[5] Por lo tanto, una forma más apropiada para el número de Reynolds magnético en este caso es:

${\displaystyle {\hat{\mathrm{R}}}_{\mathrm{m}}=\frac{L^{2}S}{\eta }}$ donde «S» es una medida de tensión.

Uno de los resultados más conocidos se debe a Backus,^[6] que establece que el mínimo ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}}$ para la generación de un campo magnético por flujo en una esfera es tal que

${\displaystyle {\hat{\mathrm{R}}}_{\mathrm{m}}\ge {\pi }^2}$

donde

• ${\displaystyle L=a}$ es el radio de la esfera
• ${\displaystyle S=e_{max}}$ es la tasa de deformación máxima.

Este límite ha sido mejorado desde aproximadamente un 25% por Proctor.^[7]

Muchos estudios de la generación de campo magnético por un flujo consideran el cubo periódico computacionalmente conveniente. En este caso, el mínimo se encuentra en^[8]

${\displaystyle {\hat{\mathrm{R}}}_{\mathrm{m}}=2.48}$

donde ${\displaystyle S}$ es la deformación media raíz cuadrada sobre un dominio escalado con lados de longitud ${\displaystyle 2\pi }$. Si se descarta el cizallamiento sobre escalas de longitud pequeñas en el cubo, entonces

${\displaystyle {\mathrm{R}}_{\mathrm{m}}=1.73}$ es el mínimo, donde ${\displaystyle U}$ es el valor de la raíz cuadrada media.

Relación con el Número de Reynolds y Número de Péclet

El número de Reynolds magnético tiene una forma similar al número de Péclet y número de Reynolds. Los tres son proporcionales a la relación entre efectos por advección y por difusión para un campo físico particular y su expresión matemática es velocidad por longitud dividido entre difusividad. El número de Reynolds magnético está relacionado con el campo magnético en un flujo magnetohidrodinámico mientras que el número de Reynolds está relacionado con la velocidad del fluido y el número de Peclet con el calor. Estos grupos adimensionales son resultado de adimensionalizar las respectivas ecuaciones, es decir la ecuación de inducción, la ecuación de momento y la ecuación de calor.

Relación con el frenado de corrientes de Foucault

El número de Reynolds magnético sin dimensiones ${\displaystyle R_m}$, también se usa en casos donde no hay fluido físico involucrado. ${\displaystyle R_m=\mu \sigma }$ × (longitud característica) × (velocidad característic)

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \mu }$	Permeabilidad magnética
${\displaystyle \sigma }$	Conductividad eléctrica

• Para el efecto de la pared es insignificante y el par de frenado de la corriente de Foucault sigue la curva teórica de un motor de inducción.

• Para el efecto de la pared domina y el par de frenado disminuye mucho más lentamente con el aumento de la velocidad que lo que predice el modelo de motor de inducción.

Una calle de vórtices alrededor de un cilindro. Esto ocurre alrededor de los cilindros, para cualquier fluido, tamaño del cilindro y velocidad de fluido, siempre que tenga un número de Reynolds de entre ~ 40 y 10³.^[1]

El número de Reynolds (Re) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos y en fenómenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido. Su valor indica si el flujo sigue un modelo laminar o turbulento.

El concepto fue introducido por George Gabriel Stokes en 1851,^[2] pero el número de Reynolds fue nombrado por Osborne Reynolds (1842-1912), quien popularizó su uso en 1883.^[3][4]

Definición y uso de Re

El número de Reynolds se define como la relación entre las fuerzas inerciales (o convectivas, dependiendo del autor) y las fuerzas viscosas presentes en un fluido. Este relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionados con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande).

Notación

Símbolo	Nombre	Unidad
${\displaystyle D}$	Diámetro	m
${\displaystyle D_h}$	Diámetro hidráulico	m
${\displaystyle L}$	Longitud característica	m
${\displaystyle u}$	Velocidad	m/s
${\displaystyle \rho }$	Densidad	kg/m3
${\displaystyle \mu }$	Viscosidad dinámica	Pa·s
${\displaystyle \nu }$	Viscosidad cinemática	m2/s

${\displaystyle D_h=4(\frac{\text{área}}{\text{perímetro mojado}})}$

${\displaystyle \nu =\frac{\mu }{\rho }}$

La expresión general del número de Reynolds es: ${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\text{Fuerzas inerciales}}{\text{Fuerzas viscosas}}}$

Deducción

	1	2	3
Ecuaciones	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{mu(u/L)}{\nu (\nu \rho )}}$	${\displaystyle \rho =\frac{m}{D^{2}L}}$	${\displaystyle \nu =\frac{\mu }{\rho }}$
Simplificando	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{m{u}^2/L}{{\nu }^2\rho }}$
Sustituyendo	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{m{u}^2/L}{{\nu }^2[m/(D^{2}L)]}}$
Simplificando	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{uD}{\nu }}$
Simplificando	${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho uD}{\mu }}$

Mientras que para un fluido que circula por el interior de una tubería cuya sección recta no es circular, el número de Reynolds viene dado por:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{u{D}_h}{\nu }}$

o equivalentemente por:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho u{D}_h}{\mu }}$

Para un fluido que circula por el interior de una tubería circular recta y llena, el número de Reynolds viene dado por:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{uD}{\nu }}$

o equivalentemente por:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}=\frac{\rho uD}{\mu }}$

Podemos hacer esta simplificación con el diámetro hidráulico porque en el caso de un conducto circular lleno tenemos que el diámetro hidráulico es igual al diámetro del conducto.

Como todo número adimensional, es un cociente, una comparación. En este caso es la relación entre los términos convectivos y los términos viscosos de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de los fluidos.

Por ejemplo, un flujo con un número de Reynolds alrededor de 100 000 (típico en el movimiento de una aeronave pequeña, salvo en zonas próximas a la capa límite) expresa que las fuerzas viscosas son 100 000 veces menores que las fuerzas convectivas, y por lo tanto aquellas pueden ser ignoradas. Un ejemplo del caso contrario sería un cojinete axial lubricado con un fluido y sometido a una cierta carga. En este caso el número de Reynolds es mucho menor que 1 indicando que ahora las fuerzas dominantes son las viscosas y, por lo tanto, las convectivas pueden despreciarse.

Otro ejemplo: En el análisis del movimiento de fluidos en el interior de conductos proporciona una indicación de la pérdida de carga causada por efectos viscosos.

Historia

Aparato de Osborne Reynolds de 1883, un ingeniero y físico británico demuestra el inicio del flujo laminar y turbulento. El aparato todavía está en la Universidad de Mánchester.

Osborne Reynolds estudió las condiciones en las que el flujo de fluido en las tuberías transición laminar-turbulenta pasó de flujo laminar a flujo turbulento.

La tubería más grande era de vidrio por lo que se pudo observar el comportamiento de la capa del chorro teñido. Al final de esta tubería había una válvula de control de flujo que se usaba para variar la velocidad del agua dentro del tubo. Cuando la velocidad era baja, la capa teñida permanecía distinta a lo largo de toda la longitud del tubo grande. Cuando se aumentó la velocidad, la capa se rompió en un punto dado y se difundió a lo largo de la sección transversal del fluido. El punto en el que esto sucedió fue el punto de transición de flujo laminar a turbulento.

De estos experimentos surgió el número adimensional de Reynolds para la similitud dinámica: la relación entre las fuerzas de inerciales y las fuerzas viscosas. Reynolds también propuso lo que ahora se conoce como las fuerzas de promedio de Reynolds de flujos turbulentos, donde cantidades como velocidad se expresan como la suma de componentes medios y fluctuantes. Tal promediado permite una descripción 'a granel' del flujo turbulento, por ejemplo, utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds.

Diagrama en el artículo de Reynolds de 1883 que muestra el inicio del flujo turbulento.

Re y el carácter del flujo

Además el número de Reynolds permite predecir el carácter turbulento o laminar en ciertos casos.

En conductos o tuberías (en otros sistemas, varía el Reynolds límite):

Si el número de Reynolds es menor a 2300, el flujo será laminar y, si es mayor de 4000, el flujo será turbulento.

Según otros autores:

Para flujo interno en tuberías circulares

Valores	Descripción
${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}\le 2300}$	El flujo se mantiene estacionario y se comporta como si estuviera formado por láminas delgadas, que interactúan solo en función de los esfuerzos tangenciales existentes. Por eso a este flujo se le llama flujo laminar. El colorante introducido en el flujo se mueve siguiendo una delgada línea paralela a las paredes del tubo.
${\displaystyle 2300\le \mathrm{R}\mathrm{e}\le 4000}$	La línea del colorante pierde estabilidad formando pequeñas ondulaciones variables en el tiempo, manteniéndose sin embargo delgada. Este régimen se denomina de transición.
${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}\ge 4000}$	Después de un pequeño tramo inicial con oscilaciones variables, el colorante tiende a difundirse en todo el flujo. Este régimen es llamado turbulento, es decir caracterizado por un movimiento desordenado, no estacionario y tridimensional.

Flujo sobre la capa límite en problemas de ingeniería aeronáutica

En ingeniería aeronáutica el flujo sobre la capa límite de la corriente de aire es sumamente importante:^[5]

La transición ocurre normalmente para valores de número de Reynolds entre medio millón y 10 millones y se producirá antes o después dependiendo en gran medida de la rugosidad de la superficie, de la turbulencia de la corriente libre de aire y de la distribución de presiones.

Además, sabemos que el número de Reynolds depende de la dimensión característica del objeto que se mueve en el fluido, por ende podemos considerar lo siguiente:

Número de Reynolds local

Cuando la longitud característica (${\displaystyle {\mathrm{L}}_c}$) corresponde la distancia del borde de ataque.

Número de Reynolds global

Cuando la longitud característica (${\displaystyle {\mathrm{L}}_c}$) corresponde a la cuerda del perfil, u otra distancia que represente la aeronave (longitud del fuselaje, envergadura).

De todas formas, podemos considerar la laminaridad de la capa límite cuando:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}\le 5\cdot {10}^5}$

Flujo sobre la capa límite en problemas de Hidráulica

En problemas donde el fluido considerado es el agua, se ha demostrado mediante experimentación en laboratorio que entre un número de Reynolds de 2000 a 3000 se encuentra la etapa de transición laminar-turbulento en el flujo de la capa límite.

Sin embargo, para efectos prácticos se considera:

${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}\le 2000}$ el flujo será laminar.^[6]

Transición laminar-turbulenta

Artículo principal: Transición de flujo laminar a turbulento

En el flujo de capa límite sobre una placa plana, los experimentos confirman que, después de una cierta longitud de flujo, una capa límite laminar se volverá inestable y turbulenta. Esta inestabilidad ocurre a diferentes escalas y con diferentes fluidos, generalmente cuando Re_x ≈ 5×10⁵,^[7] donde x es la distancia desde el borde de ataque de la placa plana, y la velocidad de flujo es la corriente libre velocidad del fluido fuera de la capa límite.

Para el flujo en una tubería de diámetro D, las observaciones experimentales muestran que para un flujo "totalmente desarrollado",^{[n 1]} el flujo laminar ocurre cuando Re_D < 2300 y el flujo turbulento ocurre cuando Re_D > 2900.^[8][9] En el extremo inferior de este rango, se formará un flujo turbulento continuo, pero solo a una distancia muy grande de la entrada de la tubería. El flujo intermedio comenzará a pasar de laminar a turbulento y luego volverá a laminar a intervalos irregulares, lo que se denomina flujo intermitente. Esto se debe a las diferentes velocidades y condiciones del fluido en diferentes áreas de la sección transversal de la tubería, dependiendo de otros factores como la rugosidad de la tubería y la uniformidad del flujo. El flujo laminar tiende a dominar en el centro de movimiento rápido de la tubería, mientras que el flujo turbulento de movimiento más lento domina cerca de la pared. A medida que aumenta el número de Reynolds, el flujo turbulento continuo se acerca a la entrada y aumenta la intermitencia entre ellos, hasta que el flujo se vuelve completamente turbulento en Re_D > 2900.^[8] Este resultado se generaliza a canales no circulares utilizando el diámetro hidráulico, lo que permite calcular un número de Reynolds de transición para otras formas de canal.^[8]

Estos números de Reynolds de transición también se denominan "números de Reynolds críticos" y fueron estudiados por Osborne Reynolds alrededor de 1895.^[10] El número de Reynolds crítico es diferente para cada geometría.^[11]

Flujo en un conducto ancho

Para un fluido que se mueve entre dos superficies paralelas planas, donde el ancho es mucho mayor que el espacio entre las placas, entonces la dimensión característica es igual a la distancia entre las placas.^[12] Esto es consistente con los casos anteriores de conductos anulares y conductos rectangulares, llevados a una relación de aspecto límite.

Flujo en un canal abierto

Para calcular el flujo de líquido con una superficie libre, se debe determinar el radio hidráulico. Esta es el área de la sección transversal del canal dividida por el perímetro mojado. Para un canal semicircular, es un cuarto del diámetro (en caso de flujo de tubería completo). Para un canal rectangular, el radio hidráulico es el área de la sección transversal dividida por el perímetro mojado. Algunos textos utilizan entonces una dimensión característica que es cuatro veces el radio hidráulico, elegida porque da el mismo valor de Re para el inicio de la turbulencia como en el flujo de tubería,^[13] mientras que otros utilizan el radio hidráulico como la escala característica de longitud con, en consecuencia, diferentes valores de Re para transición y flujo turbulento.

Ejemplo de uso en medicina

Los cambios en el régimen de flujo provocados por la compresión de una arteria, generalmente la arteria humeral, al tomar la tensión arterial son responsables de un ruido ("Sonidos de Korotkov") y, mediante la auscultación de la arteria más abajo del punto de compresión, permiten determinar la presión sistólica (aparición del ruido) y la presión diastólica (desaparición del ruido).

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