EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 MECANICA HAMILTONIANA

En matemáticas, la dinámica de Nambu es una generalización de la mecánica hamiltoniana que involucra múltiples hamiltonianos. La mecánica hamiltoniana está basada en los flujos generados por un hamiltoniano continuamente diferenciable sobre una variedad simpléctica. Los flujos son simplectomorfismos y por tanto obedecen el teorema de Liouville. Pronto, esto se generalizó a flujos generados por un hamiltoniano sobre una variedad de Poisson. En 1973, Yoichiro Nambu propuso una generalización utilizando variedades de Nambu-Poisson con más de un hamiltoniano^[1]

Corchete de Nambu

En particular, se considera una variedad diferenciable ${\displaystyle M}$, para un cierto entero ${\displaystyle N\ge 2}$; se tiene una aplicación suave ${\displaystyle N}$-lineal de ${\displaystyle N}$ copias de ${\displaystyle C^{\mathrm{\infty }}(M)}$ en sí mismas, tal que es completamente antisimétrico, el corchete de Nambu:

${\displaystyle \{h_1,\dots ,h_{N-1},\cdot \}:C^{\mathrm{\infty }}(M)\times \cdots C^{\mathrm{\infty }}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M),}$

que actúa como una derivación,

${\displaystyle \{h_1,\dots ,h_{N-1},fg\}=\{h_1,\dots ,h_{N-1},f\}g+f\{h_1,\dots ,h_{N-1},g\},}$

es decir, la identidad de Filippov,^[2] análoga a la identidad de Jacobi pero, al contrario que esta, no antisimétrica en todos los argumentos. Para ${\displaystyle N\ge 2}$:

${\displaystyle \{f_1,\cdots ,f_{N-1},\{g_1,\cdots ,g_N\}\}=\{\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_1\},g_2,\cdots ,g_N\}+\{g_1,\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_2\},\cdots ,g_N\}+\dots }$ ${\displaystyle +\{g_1,\cdots ,g_{N-1},\{f_1,\cdots ,f_{N-1},g_N\}\},}$

de forma que ${\displaystyle \{f_1,\dots ,f_{N-1},\cdot \}}$ actúa como una derivación generalizada sobre el producto ${\displaystyle \{\cdot ,\dots ,\cdot \}}$.

Hamiltonianos y flujo

Existen ${\displaystyle N-1}$ hamiltonianos, ${\displaystyle H_1,\cdots ,H_{N-1}}$, que generan un flujo incompresible,

${\displaystyle \frac{d}{dt}f=\{f,H_1,\dots ,H_{N-1}\},}$

La velocidad en el espacio de fases no tiene divergencia, por lo que se cumple el teorema de Liouville. El caso ${\displaystyle N=2}$ se reduce a una variedad de Poisson y a la mecánica hamiltoniana convencional.

Para ${\displaystyle N}$ pares mayores, los ${\displaystyle N-1}$ hamiltonianos se identifican con el número maximal de invariantes del movimiento independientes (o cantidades conservadas) que caracterizan un sistema superintegrable que evoluciona en un espacio de fases ${\displaystyle N}$-dimensional. Estos sistemas también se pueden describir utilizando dinámica hamiltoniana convencional, pero su descripción en el marco de la mecánica de Nambu es sustancialmente más elegante e intuitiva, ya que los invariantes tienen la misma situación geométrica que el hamiltoniano: la trayectoria en el espacio de fases es la intersección de las ${\displaystyle N-1}$ hipersuperficies especificadas por estos invariantes. Así, el flujo es perpendicular a todos los ${\displaystyle N-1}$ gradientes de estos hamiltonianos, y por tanto paralelo al producto cruzado generalizado especificado por el corchete de Nambu respectivo.

La mecánica de Nambu se puede extender a la dinámica de fluidos, donde los corchetes de Nambu resultantes son no canónicos y los hamiltonianos se identifican con los operadores de Casimir del sistema, como la enstrofía o la helicidad.^[3][4]

La cuantización de la dinámica de Nambu lleva a estructuras de gran interés,^[5] que coinciden con la cuantización convencional cuando se tratan sistemas superintegrables, como es de esperar.

En mecánica se denomina momento conjugado, momento canónico conjugado, impulso generalizado o ímpetu generalizado a una magnitud de tipo momento asociada a las coordenadas del espacio de configuración, ligada de manera especial a las coordenadas. La noción aparece tanto en la mecánica lagrangiana y hamiltoniana de sistemas de partículas, como en la teoría clásica de campos e incluso en la mecánica cuántica.

Mecánica clásica de la partícula

De manera muy simple en mecánica lagrangiana, el momento conjugado de una coordenada generalizada es la derivada del lagrangiano con respecto a una velocidad generalizada (variación en el tiempo de una coordenada generalizada):

${\displaystyle p_j=\frac{\mathrm{\partial }L}{\mathrm{\partial }{\dot{q}}_j}}$

Si la coordenada generalizada es la posición lineal, el momento canónico conjugado correspondiente es el momento lineal o cantidad de movimiento. Si la coordenada generalizada es la posición angular, el momento canónico conjugado correspondiente es el momento angular. La introducción de los momentos conjugados permite definir leyes de conservación gracias al teorema de Noether.

La noción de momentos conjugados aparece tanto en mecánica lagrangiana como en mecánica hamiltoniana. En esta última, es especialmente importante porque la forma simpléctica admite de acuerdo con el teorema de Darboux una representación en coordenadas particularmente simple en términos de coordenadas del espacio de configuración y sus momentos conjugados.

Teoría de campos y medios continuos

En el caso de considerar una densidad lagrangiana:

${\displaystyle L={\int }_D\mathcal{L}\left(\phi ,\frac{\mathrm{\partial }\phi }{\mathrm{\partial }{x}^{\mu }}\right)d^n\mathbf{x}}$

también se define un momento conjugado asociado a las variables de "campo" mediante:

${\displaystyle {\pi }_{\mu }=\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{L}}{\mathrm{\partial }({\mathrm{\partial }}_{\mu }\phi )}}$

Mecánica cuántica

En el formalismo de la cuantización canónica los momentos conjugados son los únicos operadores asociados a operadores de posición que satisfacen las reglas de conmutación siguientes:

${\displaystyle [{\hat{Q}}_i,{\hat{P}}_j]=\hslash {\delta }_{ij},[{\hat{Q}}_i,{\hat{Q}}_j]=0,[{\hat{P}}_i,{\hat{P}}_j]=0}$

Aunque estrictamente deberían emplearse la representación de los operadores posición y momento en la forma de Weyl, para ser matemáticamente rigurosos.

La red de Toda, introducida por Morikazu Toda en 1967, es un modelo sencillo para un cristal unidimensional en física del estado sólido. Consiste en una cadena de partículas cuya interacción a primeros vecinos viene dada por las ecuaciones del movimiento

donde ${\displaystyle q(n,t)}$es el desplazamiento de la partícula ${\displaystyle n}$-ésima de su posición de equilibrio, y ${\displaystyle p(n,t)}$es su momento (masa ${\displaystyle m=1}$).

Integrabilidad

La red de Toda es un ejemplo prototípico de sistema completamente integrable con soluciones de solitones. Para ver esto se pueden utilizar las variables de Flaschka,

${\displaystyle a(n,t)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},b(n,t)=-\frac{1}{2}p(n,t)}$

de forma que las ecuaciones de Toda resultan

Se puede comprobar que la red de Toda es equivalente a la ecuación de Lax

${\displaystyle \frac{d}{dt}L(t)=[P(t),L(t)]}$

donde [L, P] = LP - PL es el conmutador de dos operadores. Los operadores L y P, el par de Lax del sistema, son operadores lineales en el espacio de Hilbert de sucesiones de cuadrados sumables ${\displaystyle {\ell }^2(\mathbb{Z})}$

La matriz ${\displaystyle L(t)}$tiene la propiedad de que sus valores propios son invariantes temporales. Estos valores propios constituyen integrales del movimiento independientes, por tanto la red de Toda es completamente integrable. En particular, la red de Toda se puede resolver a través de la transformada de dispersión inversa para el operador de Jacobi L. El principal resultado implica que para condiciones iniciales arbitrarias que decaen lo suficientemente rápido, estas se separan asintóticamente para t grandes en una suma de solitones y una parte dispersiva que decae.

Un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico gobernado por ecuaciones de Hamilton. En física, estos sistemas dinámicos describen la evolución de un sistema físico, como un sistema planetario o un electrón en un campo electromagnético. Estos sistemas pueden estudiarse tanto en mecánica hamiltoniana como en teoría de sistemas dinámicos.

Visión general

Informalmente, un sistema hamiltoniano es un formalismo matemático desarrollado por Hamilton para describir las ecuaciones de evolución de un sistema físico. La ventaja de esta descripción es que da importantes aportes sobre la dinámica, incluso aunque el problema de valor inicial no pueda resolverse analíticamente. Un ejemplo es el movimiento planetario de tres cuerpos. Aunque no existe ninguna solución simple al problema general, Poincaré demostró por primera vez que exhibe caos determinístico.

Formalmente, un sistema hamiltoniano es un sistema dinámico completamente descrito por la función escalar ${\displaystyle H(\mathit{q},\mathit{p},t)}$, el hamiltoniano.^[1] El estado del sistema, ${\displaystyle \mathit{r}}$, viene descrito por las coordenadas generalizadas «momento» ${\displaystyle \mathit{p}}$ y «posición» ${\displaystyle \mathit{q}}$ donde ${\displaystyle \mathit{p}}$ y ${\displaystyle \mathit{q}}$ son vectores con la misma dimensión, ${\displaystyle N}$. Así, el sistema está completamente descrito por el vector de dimensión ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle \mathit{r}=(\mathit{q},\mathit{p})}$

y la ecuación de evolución está dada por las ecuaciones de Hamilton,

.

La trayectoria ${\displaystyle \mathit{r}(t)}$ es la solución del problema de valor inicial definido por las ecuaciones de Hamilton y la condición inicial ${\displaystyle \mathit{r}(0)={\mathit{r}}_0\in {\mathbb{R}}^{2N}}$.

Sistema hamiltoniano independiente del tiempo

Si el hamiltoniano no es explícitamente dependiente del tiempo, esto es, si ${\displaystyle H(\mathit{q},\mathit{p},t)=H(\mathit{q},\mathit{p})}$, entonces el hamiltoniano no varía con el tiempo en términos absolutos:^[1]

${\displaystyle \frac{dH}{dt}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{p}}\cdot \frac{d\mathit{p}}{dt}+\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{q}}\cdot \frac{d\mathit{q}}{dt}+\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }t}}$ ${\displaystyle \frac{dH}{dt}=\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{p}}\cdot \left(-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{q}}\right)+\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{q}}\cdot \frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }\mathit{p}}+0=0}$

y por tanto el hamiltoniano es una constante del movimiento, cuyo valor es igual a la energía total del sistema, ${\displaystyle H=E}$. Ejemplos de estos sistemas son el péndulo, el oscilador armónico o el billar dinámico.

Ejemplo

Un ejemplo de sistema hamiltoniano independiente del tiempo es el oscilador armónico. Consideremos el sistema definido por las coordenadas ${\displaystyle \mathit{p}=p}$ y ${\displaystyle \mathit{q}=x}$ cuyo hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}k{x}^2}$

El hamiltoniano de este sistema no depende del tiempo y por tanto la energía del sistema se conserva.

Estructura simpléctica

Una propiedad importante de un sistema dinámico hamiltoniano es que tiene estructura simpléctica.^[1] Expresando

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}_{\mathit{r}}H(\mathit{r})=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\partial }}_{\mathit{q}}H(\mathit{q},\mathit{p})\\ {\mathrm{\partial }}_{\mathit{p}}H(\mathit{q},\mathit{p})\end{array}\right]}$

la ecuación de evolución del sistema dinámico puede escribirse como

${\displaystyle \frac{d\mathit{r}}{dt}=S_N\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathit{r}}H(\mathit{r})}$

donde

e ${\displaystyle I_N}$ es la matriz identidad ${\displaystyle N\times N}$.

Una consecuencia importante de esta propiedad es que se preserva un volumen infinitesimal del espacio de fases.^[1] Un corolario de esto es el teorema de Liouville, que afirma que en un sistema hamiltoniano, el volumen en el espacio de fases de una superficie cerrada se preserva bajo evolución temporal.^[1]

${\displaystyle \frac{d}{dt}{\int }_{S_t}d\mathit{r}={\int }_{S_t}\frac{d\mathit{r}}{dt}\cdot d\mathit{S}={\int }_{S_t}\mathit{F}\cdot d\mathit{S}={\int }_{S_t}\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{F}d\mathit{r}=0}$

donde la tercera igualdad viene del teorema de la divergencia.