AMIGOS PARA SIEMPRE: EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

MECÁNICA HAMILTONIANA

La topología simpléctica es aquella parte de las matemáticas referida al estudio de las variedades simplécticas. Estas variedades se presentan naturalmente en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las motivaciones principales para el tema. Hay un modelo local estándar, a saber R²ⁿ con ω_i,n+i = 1; ω_n+i,i = -1; ω_j,k = 0 para todo i = 0,...,n-1; j,k=0,...,2n-1 (k ≠ j+n o j ≠ k+n). Se llama a esto un espacio lineal simpléctico.

Una variedad simpléctica es un par (M, ω) donde M es una variedad diferenciable y ω es una 2-forma cerrada, no degenerada en M llamada la forma simpléctica. Aquí, «no degenerada» significa que: para cada vector distinto de cero (denotado por u ) en un punto del espacio tangente , hay un vector v tal que

ω(u, v) ≠ 0

Los ejemplos fundamentales de variedades simplécticas vienen dados por los fibrados cotangentes de variedades; estos se presentan en la mecánica clásica, donde el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como variedad, y el fibrado cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema. Las variedades de Kähler son también variedades simplécticas. Ya en los años 70, los simplécticos expertos estaban inseguros de si existía alguna variedad simpléctica compacta no kähleriana, pero muchos ejemplos se han construido desde entonces; en particular, Robert Gompf ha demostrado que cada grupo finitamente presentado aparece como el grupo fundamental de alguna 4-variedad simpléctica, en contraste marcado con el caso kähleriano.

Directamente de la definición, se puede demostrar que M es de dimensión par 2n y que el ωⁿ es una forma nula en ninguna parte, la forma volumen. Se sigue que una variedad simpléctica está canónicamente orientada y viene con una medida canónica, la medida de Liouville.

Campos vectoriales hamiltonianos

En una variedad simpléctica, cada función diferenciable, H, define un campo vectorial único,X_H, llamado el campo vectorial hamiltoniano. Se define de tal modo que para cada campo vectorial Y en M la identidad

dH(Y) = ω(X_H,Y)

valga. Los campos vectoriales hamiltonianos dan a las funciones en M la estructura de un álgebra de Lie con el corchete de Poisson

{f,g} = ω(X_f,X_g) = X_g(f)

(Advertencia: otras convenciones de signo están también en uso).

Simplectomorfismos

El flujo de un campo vectorial hamiltoniano es un simplectomorfismo es decir un difeomorfismo que preserva la forma simpléctica. Esto se sigue de la cerradura de la forma simpléctica y de la expresión de la derivada de Lie en términos de la derivada exterior. Como una consecuencia directa tenemos el teorema de Liouville: el volumen simpléctico es invariante bajo un flujo hamiltoniano. Como {H,H} =X_(H)H = 0 el flujo de un campo vectorial hamiltoniano también preserva H. En física esto se interpreta como la ley de conservación de la energía. El teorema de Liouville se interpreta como la conservación del volumen de fase en sistemas hamiltonianos, que es la base para la mecánica estadística clásica. Acabamos de mostrar que hay una correspondencia uno a uno entre simplectomorfismos infinitesimales y las funciones diferenciables sobre una variedad simpléctica.

A diferencia de las variedades de Riemann, las variedades simplécticas son extremadamente no rígidos: tienen muchos simplectomorfismos provenientes de campos vectoriales hamiltonianos. La diferencia fundamental entre la geometrías riemanniana y simpléctica es que una variedad simpléctica no tiene ningún invariante local: según el teorema de Darboux para cada punto x en una variedad simpléctica hay un conjunto coordenado local llamado variables ángulo con los coordenadas p₁,...,p_n,q₁,...,q_n, tales que:ω = Σ dp_i ∧ dq_i

Los subgrupos finito-dimensionales del grupo de simplectomorfismos son grupos de Lie. Representaciones de estos grupos de Lie (después de h-deformaciones, en general!) en los espacios de Hilbert se llaman «cuantizaciones». Cuando el grupo de Lie es definido por un hamiltoniano, se llama una «cuantización por energía». El operador de Lie correspondiente del álgebra de Lie al álgebra de Lie de operadores lineales continuos también es, a veces, llamada la cuantización, y es una manera más común, entre físicos, de considerarla.

Curvas seudoholomorfas

Aunque la mayoría de los variedades simplécticas no son kählerianas y por tanto, no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica, Mijaíl Grómov ha hecho la importante observación que las variedades simplécticas admiten una abundancia de estructuras casi complejas compatibles, de modo que satisfagan todos los axiomas para una variedad compleja excepto el requisito de que las funciones de transición sean holomorfas. Una superficie de Riemann mapeada en una variedad simpléctica compatible con la estructura casi compleja se llama curva seudoholomorfa, y Gromov probó un teorema de compacidad para tales curvas; este resultado ha conducido al desarrollo de la subdisciplina bastante grande de la topología simpléctica. Los resultados que surgen de la teoría de Gromov incluyen el teorema nonsqueezing de Gromov referente a inmersiones simplécticas de esferas en cilindros, así como una conjetura de Vladimir Arnol'd referente al número de punto fijos de los flujos hamiltonianos; esto fue probada con generalidad en aumento por varios investigadores que comenzaron con Andreas Floer, que introdujo lo que ahora se conoce como homología de Floer que usa los métodos de Gromov. Las curvas seudoholomorfas son también una fuente de invariantes simplécticos, conocidos como invariantes de Gromov-Witten, por los cuales dos diversas variedades simplécticas podrían en principio ser distinguidas.

Para otros usos de este término, véase Teorema de Carathéodory (desambiguación).

El teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie es un teorema en la topología simpléctica que generaliza el teorema de Darboux.

Enunciado

El enunciado es el que sigue. Sea M una variedad simpléctica de dimensión 2n con forma simpléctica ω. Sean

f_{1},f_{2},\ldots ,f_{r}(r\leq n)

funciones diferenciables en un entorno abierto V de a cuyas diferenciales son linealmente independientes en cada punto, o equivalentemente

df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,

donde

{f_i, f_j} = 0.

(En otras palabras, están en involución dos a dos.) Aquí {-,-} es el paréntesis de Poisson. Entonces existen funciones

f_{r+1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}

definidas en un entorno abierto $U\subset V$ de a tales que

(f_i, g_i)

es una carta simpléctica de M, es decir, ω se expresa en U como

\omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}

La mecánica hamiltoniana fue formulada en 1833 por William R. Hamilton. Como la mecánica lagrangiana, es una reformulación de la mecánica clásica. La mecánica hamiltoniana puede ser formulada por sí misma, usando los espacios simplécticos, sin referir a cualquiera de los conceptos anteriores de fuerza o de la mecánica lagrangiana. Vea la sección en su formulación matemática para esto. Para la primera parte de este artículo, mostraremos cómo surge históricamente del estudio de la mecánica lagrangiana.

Mecánica hamiltoniana básica

Relación entre mecánica hamiltoniana y mecánica lagrangiana

En mecánica lagrangiana, las ecuaciones del movimiento son un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, dependientes de las coordenadas generalizadas $\mathbf {q} =(q_{1},\dots ,q_{N})$ y de las velocidades generalizadas $\mathbf {\dot {q}} =({\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{N})$ .

Las ecuaciones del movimiento en mecánica lagrangiana se conocen como ecuaciones de Euler-Lagrange y se construyen a partir de una función L, llamada lagrangiano, que es igual a la energía cinética menos la energía potencial. Cuando se usan coordenadas cartesianas en sistemas de referencia inerciales, las ecuaciones de Euler-Lagrange se reducen a la segunda ley de Newton. Aunque su forma en un sistema de referencia general con coordenadas generalizadas $(q_{1},...,q_{N};{\dot {q}}_{1},...,{\dot {q}}_{N})$ es:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L(q_{i}(t),{\dot {q}}_{i}(t),t)}{\partial q_{i}}}=0$

La mecánica hamiltoniana es un enfoque básicamente equivalente al anterior, donde las ecuaciones del movimiento vienen dadas por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se escriben en función de una función H llamada hamiltoniano (que en ciertos casos puede interpretarse como la energía total del sistema, es decir, la suma de energía cinética y energía potencial). Esta reducción del orden del sistema se logra substituyendo variables de las velocidades generalizadas por unas variables abstractas de momentum (también conocidas como momentos conjugados). Así por cada velocidad generalizada, hay un momento conjugado correspondiente, definido como:

$p_{i}={\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}$

Si el potencial asociado al lagrangiano no depende explícitamente de la velocidad, el momento conjugado corresponde al momento usual, utilizado en mecánica Newtoniana. Invirtiendo este sistema de ecuaciones se obtienen las velocidades generalizadas en términos de los momentos generalizados, paso necesario para obtener el Hamiltoniano usando transformadas de Legendre. En coordenadas polares, el momento generalizado que corresponde a la velocidad angular es el momento angular físico. Para una elección arbitraria de coordenadas generalizadas, puede no ser posible obtener una interpretación intuitiva de los momentos conjugados. El hamiltoniano es la transformación de Legendre del lagrangiano:

(1) $H\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\sum _{i}{\dot {q_{i}}}p_{i}-L(q_{j},{\dot {q_{j}}},t)$

Las velocidades generalizadas son tomadas como funciones de los momentos generalizados. Si las ecuaciones de la transformación que definen las coordenadas generalizadas son independientes de t, puede ser demostrado que H es igual a la energía total E = T + V.

Ecuaciones canónicas de Hamilton

Calculando la diferencial exterior de cada uno de los miembros de la ecuación (1) que define H, se tiene la igualdad de formas pfaffianas:

{\begin{matrix}dH&=&\sum _{i}\left[\left({\partial H \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}+\left({\partial H \over \partial p_{i}}\right)dp_{i}+\left({\partial H \over \partial t}\right)dt\right]\qquad \qquad \quad \quad \\\\&=&\sum _{i}\left[{\dot {q_{i}}}dp_{i}+p_{i}d{\dot {q_{i}}}-\left({\partial L \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}-\left({\partial L \over \partial {\dot {q_{i}}}}\right)d{\dot {q_{i}}}-\left({\partial L \over \partial t}\right)dt\right].\end{matrix}}

Substituyendo la definición anterior de los momentos conjugados en esta ecuación, utilizando la ecuación de Lagrange y emparejando coeficientes, obtenemos las ecuaciones del movimiento de la mecánica hamiltoniana, conocido como las ecuaciones canónicas de Hamilton:

(2) ${\partial H \over \partial q_{j}}=-{\dot {p_{j}}},\qquad {\partial H \over \partial p_{j}}={\dot {q_{j}}},\qquad {dH \over dt}=-{\partial L \over \partial t}.$

Ventajas de la mecánica hamiltoniana

Las ecuaciones de Hamilton son ecuaciones de primer orden, y por tanto más fáciles de resolver que las ecuaciones de Lagrange, que son de segundo orden. Lo más costoso de trabajar con el enfoque hamiltoniano es buscar los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas, y reexpresar las velocidades en términos de estos momentos conjugados para construir el hamiltoniano.

Aunque en ocasiones, puede haber poco ahorro de trabajo en solucionar un problema con el enfoque hamiltoniano respecto al enfoque lagrangiano ya que, en última instancia, se producirá la misma solución que la mecánica lagrangiana y las leyes de Newton del movimiento. Sin embargo existen ventajas adicionales:

El enfoque hamiltoniano es el que proporciona la base para resultados más profundos en la teoría de la mecánica clásica. En concreto la mecánica hamiltoniana permite introducir el formalismo del espacio de fases que es una estructura o variedad simpléctica sobre el fibrado cotangente del espacio de configuración.
La estructura de las trayectorias, así como la existencia de integrales de movimiento es mucho más sencilla: basta comprobar el que paréntesis de Poisson con el hamiltoniano se anule. Ambos resultados se reflejan en el teorema de integrabilidad de Liouville.
El conjunto de transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de Hamilton, llamadas transformaciones canónicas son una clase de cambios de coordenadas mucho más amplia que la que existe en mecánica lagrangiana. En mecánica lagrangiana cualquier cambio de coordenadas de la forma:

${\bar {\mathbf {q} }}=f(\mathbf {q} ,t)$

Deja invariantes las ecuaciones de Euler-Lagrange, en cambio en mecánica hamiltoniana existen transformaciones del tipo:

${\bar {\mathbf {q} }}=f(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\qquad {\bar {\mathbf {p} }}=f(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$

Esto es importante ya que en muchos problemas mecánicos los cambios de coordenadas se usan para dejar las ecuaciones del movimiento en una forma algebraica más sencilla de integrar.

Corchete de Poisson

Artículo principal: Corchete de Poisson

El corchete de Poisson, en coordenadas canónicas, está definido como:

(4) $[F,G]=\sum _{i}\left[{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}\right]$

Puede verse que formalmente el corchete de Poisson es una aplicación del espacio de funciones definidas sobre el espacio fásico:

[,]:{\mathcal {F}}(\Gamma )\times {\mathcal {F}}(\Gamma )\to {\mathcal {F}}(\Gamma )

Esta aplicación tiene las siguientes propiedades:

$[X,X]=0\;$
$[X,Y]=-[Y,X]\;$ (propiedad de antisimetría)
$[X,C]=0\quad {\mbox{con}}\quad C={\mbox{cte.}}\;$
$[\alpha X+\beta Y,Z]=\alpha [X,Z]+\beta [Y,Z]\;$ (bilinealidad)
$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0\;$ (identidad de Jacobi)
$dX/dt=[X,H]\;$

para cualquier $X,Y,Z\in {\mathcal {F}}$ y para cualquier $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ .

Transformaciones canónicas

Artículo principal: Transformación canónica

Una transformación canónica es un cambio de coordenadas $(p,q)\to (P,Q)\;$ en el espacio fásico, tal que en las nuevas coordenadas las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal siguen conservando la forma canónica. La posibilidad de realizar transformaciones canónicas son una de las grandes ventajas de la mecánica hamiltoniana a la hora de integrar las ecuaciones de movimiento. El uso de las transformaciones canónicas también es importante en el enfoque de la mecánica clásica basado en la ecuación de Hamilton-Jacobi.^[1]

Teorema de Liouville

Artículo principal: Teorema de Liouville (mecánica hamiltoniana)

Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico. El teorema de Liouville demuestra que a pesar de la traslación y el cambio de forma el "volumen" total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.

La invariancia del volumen puede probarse de manera relativamente sencilla usando que la propia evolución temporal puede verse como una transformación canónica, y dado que estas preservan el volumen se sigue el teorema de Liouville para la evolución temporal.^[2]

Mecánica hamiltoniana avanzada

La mecánica hamiltoniana admite una formulación muy elegante en el lenguaje de la geometría diferencial. En esta formulación abstracta se construye una variedad simpléctica $({\mathcal {M}},\omega )$ que de hecho es el espacio fásico dotado de una estructura topológica conveniente. El objeto $\omega \;$ es una 2-forma cerrada y no degenerada que permitirá definir el corchete de Poisson del sistema (y también el álgebra de Poisson del sistema). Esta 2-forma permite construir además una biyección entre el espacio vectorial tangente y el espacio cotangente de 1-formas de la variedad simpléctica:

${\begin{matrix}T{\mathcal {M}}&\to &T^{*}{\mathcal {M}}\\\mathbf {v} &\to &i_{\mathbf {v} }\omega =\omega (\mathbf {v} ,\cdot )\end{matrix}}$

Un sistema hamiltoniano viene descrito por una tripleta $({\mathcal {M}},\omega ,{\hat {H}})$ donde ${\hat {H}}$ es una función diferenciable, llamada hamiltoniano, definida sobre ${\mathcal {M}}$ , las ecuaciones de Hamilton se representan simplemente como:

(5) $i_{\mathbf {v} }\omega =\mathrm {d} {\hat {H}}$

Donde $\mathrm {d} \;$ es la derivada exterior. Para ver la relación entre esta última ecuación y las ecuaciones canónicas de Hamilton (2) podemos considerar una carta local $\phi :{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} ^{2n}$ que defina un conjunto de coordenadas canónicamente conjugadas tal como establece el Teorema de Darboux, podemos escribir en esas coordenadas:

$\mathbf {v} |_{\phi }={\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{1}\\\dots \\{\dot {p}}_{N}\\{\dot {q}}_{1}\\\dots \\{\dot {q}}_{N}\\\end{bmatrix}}\qquad \mathbf {\hat {H}} |_{\phi }^{T}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial p_{N}}}\\{\frac {\partial H}{\partial q_{1}}}\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial q_{N}}}\\\end{bmatrix}}\qquad \omega |_{\phi }={\begin{bmatrix}0&\dots &0&-1&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &0&0&\dots &-1\\1&\dots &0&0&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &1&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}$

Y por tanto:

$i_{\mathbf {v} }\omega |_{p}hi=\mathrm {d} {\hat {H}}|_{\phi }\Rightarrow {\begin{bmatrix}{\dot {p}}_{1}\\\dots \\{\dot {p}}_{N}\\{\dot {q}}_{1}\\\dots \\{\dot {q}}_{N}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\dots &0&-1&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &0&0&\dots &-1\\1&\dots &0&0&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&\dots &1&0&\dots &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {\partial H}{\partial q_{1}}}\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial q_{N}}}\\{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}\\\dots \\{\frac {\partial H}{\partial p_{N}}}\end{bmatrix}}\Rightarrow {\begin{cases}{\dot {p}}_{i}=-{\cfrac {\partial H}{\partial q_{i}}}\\{\dot {q}}_{i}=+{\cfrac {\partial H}{\partial p_{i}}}\end{cases}}$

Flujo hamiltoniano

La función diferenciable ${\hat {H}}$ a través de la ecuación (5) un campo vectorial continuo sobre toda la variedad simpléctica. Las curvas integrales de este campo vectorial son las trayectorias de las partículas a lo largo del espacio fásico. Esas curvas definen una foliación unidimensional o flujo hamiltoniano sobre la variedad. De hecho para cada intervalo de tiempo s se puede definir una aplicación:

$U_{s}(p(t),q(t))=(p(t+s),q(t+s))\;$

De hecho la anterior aplicación es una transformación canónica o simplectomorfismo. El conjunto $\{U_{s}:{\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}|s\in \mathbb {R} \}$ de todas las aplicaciones anteriores constituye un grupo uniparamétrico de simplectomorfismos. Si consideramos cualquier magnitud física definida como una función diferenciable sobre la variedad simpléctica, su variación a lo largo de una trayectoria, viene dada por la siguiente derivada temporal:

${\frac {d}{dt}}f=\{f,{\hat {H}}\}=-(i_{{\tilde {\omega }}(\mathrm {d} H)}\omega )(\mathrm {d} f)$

Tal como se demuestra más adelante. De hecho en mecánica estadística se usan distribuciones de probabilidad sobre el espacio fásico. Fijada una distribución ρ esta en general "evolucionará" con el tiempo según la ley:

(6) ${\frac {d\rho }{dt}}=-\{\rho ,{\hat {H}}\}.$

Esta última expresión se llama ecuación de Liouville, en particular una distribución tal que el corchete de Poisson con el hamiltoniano se anule se llama distribución estacionaria.

Cada función diferenciable G, sobre la variedad simpléctica genera una familia uniparamétrica de simplectomorfismos y si {G, H}=0, entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría.

Álgebra de Poisson

Artículo principal: Álgebra de Poisson

A su vez el corchete de Poisson se expresa de modo muy simple en términos de la función inversa de $i_{(\cdot )}\omega$ denotada mediante ${\tilde {\omega }}$ :

$[F,G]=(i_{{\tilde {\omega }}(\mathrm {d} F)}\omega )(\mathrm {d} G)\;$

Hay otra generalización que podemos hacer. En vez simplemente de mirar el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad simpléctica, la mecánica hamiltoniana se puede formular como un álgebra de Poisson real unital comutativa general.

En esta formulación alternativa un estado es una funcional lineal continua en el álgebra de Poisson ${\mathcal {A}}$ , equipada de alguna estructura topológica conveniente. Las álgebras de Poisson son importantes en el estudio de grupos cuánticos^[3] usados en la teoría cuántica de campos conforme, algunos modelos de cuantización de espacio-tiempo, etc.

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miércoles, 21 de octubre de 2026

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