EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 FENÓMENOS FÍSICOS

Recreación artística del efecto de la gravedad del Sol en la señales procedentes de la sonda Cassini.

El efecto Shapiro, llamado así en honor del físico Irwin Shapiro (no confundir con el físico Stuart Louis Shapiro), es un efecto resultante de la relatividad general según el cual el tiempo de llegada de una señal que se propaga en el espacio se ve afectado por la presencia de materia en su cercanía. Este efecto es la doble combinación del hecho de que la señal observada ya no se propaga en línea recta —y, por lo tanto, recorre un camino más largo de lo que sería en ausencia de masa en su proximidad— y de que el transcurso del tiempo se ve afectado por la presencia de masa.

El efecto Shapiro es un efecto elemental de la relatividad general, pero al contrario que otros efectos de este tipo —refracción de la luz, precesión del periastro, corrimiento al rojo gravitacional— no se predijo en el momento del descubrimiento de la relatividad general, alrededor de 1915, sino cerca de cincuenta años más tarde, por Irwin Shapiro en 1964.^[1]

El efecto Shapiro —dilatación gravitacional de desfases temporales— consiste en un retraso en los tiempos de llegada de los fotones que pasan cerca del Sol. Por tanto, no solo la trayectoria de la luz es desviada por el campo gravitatorio solar, sino que los fotones también son frenados.

Este efecto, nada despreciable, fue calculado y observado por primera vez por Shapiro en 1964. Su experiencia consistió en medir el tiempo de ida y vuelta de la Tierra a Mercurio de fotones de radio emitidos en nuestro planeta cuando su recorrido era próximo a la superficie solar. El menor o mayor tiempo para atravesar dicho campo está relacionado con las distancias relativas de la Tierra y Mercurio respecto al Sol.

Medición en el sistema solar

El efecto Shapiro se puede medir en el sistema solar, especialmente mediante el estudio de los tiempos de llegada de las señales emitidas por una sonda posada en otro planeta. La primera constatación precisa de la medida del efecto Shapiro fue hecha por las sondas Viking que aterrizaron en Marte.^[2] Anteriormente, el efecto Shapiro se había detectado mediante el estudio del eco radar emitido desde la Tierra y reflejado en otro planeta.^[3] Este primer método era relativamente impreciso porque el eco recibido era extremadamente débil (10^-21 W para una señal emitida de 300 kW) y por el hecho de que la superficie del planeta sobre el que se reflejaba la señal era relativamente grande. A la inversa, las señales emitidas desde una sonda en un planeta eran mucho más precisas, pero con un coste considerablemente mayor, ya que requerían el envío de dicha nave espacial a un planeta.^[4]

Medición en púlsares binarios

También se puede detectar en un púlsar binario, donde la emisión pulsátil extremadamente regular del púlsar es modulada por el efecto Shapiro como consecuencia del desplazamiento del púlsar alrededor de su compañera. En este caso, al ser el efecto directamente proporcional a la masa de la compañera del púlsar, permite determinar la masa de este bajo determinadas condiciones. Este efecto relativista, que permite determinar la masa de una o de ambas estrellas componentes conociendo los detalles de la órbita de un sistema binario, forma parte de los parámetros post keplerianos. El efecto Shapiro en un púlsar binario fue detectado por primera vez en PSR B1913+16, en 1984,^[5] y unos años más tarde en PSR B1534+12 de manera mucho más convincente.

En física de la materia condensada, la superficie de Fermi es un borde abstracto en el espacio recíproco útil para predecir las propiedades térmicas, eléctricas, magnéticas y ópticas de metales, semimetales y semiconductores dopados. La forma de la superficie de Fermi se deriva de la periodicidad y la simetría de la red cristalina y de la ocupación de las bandas de energía electrónicas. La existencia de una superficie de Fermi es consecuencia directa del principio de exclusión de Pauli, que permite un máximo de un electrón por estado cuántico.^[1][2][3][4]

Teoría

Superficie de Fermi y densidad de momento del electrón del cobre en la zona reducida medido con ACAR bidimensional.^[5]

Se considera un gas ideal de Fermi sin espín de ${\displaystyle N}$ partículas. De acuerdo a la estadística de Fermi-Dirac, la ocupación media de un estado con energía ${\displaystyle {ϵ}_i}$ viene dada por^[6]

${\displaystyle ⟨n_i⟩=\frac{1}{e^{({ϵ}_i-\mu )/k_{B}T}+1},}$

donde:

• ${\displaystyle ⟨n_i⟩}$ es la ocupación media del estado i-ésimo.
• ${\displaystyle {ϵ}_i}$ es la energía cinética del estado i-ésimo.
• ${\displaystyle \mu }$ es el potencial químico interno (a temperatura nula, es la energía cinética máxima que puede tener la partícula, esto es, su energía de Fermi ).
• ${\displaystyle T}$ es la temperatura absoluta.
• ${\displaystyle k_B}$ es la constante de Boltzmann.

Consideramos el límite ${\displaystyle T\to 0}$. Tenemos entonces:

Por el principio de exclusión del Pauli, no puede haber ningún par de fermiones con el mismo estado. Así, en el estado de menor energía, las partículas ocupan todos los niveles de energía por debajo de ${\displaystyle {ϵ}_F}$, lo que es equivalente a decir que ${\displaystyle {ϵ}_F}$ es el nivel de energía bajo el que hay exactamente ${\displaystyle N}$ estados.

En el espacio de momentos, estas partículas ocupan una esfera de radio ${\displaystyle p_F}$, cuya superficie se denomina superficie de Fermi.^[7]

La respuesta lineal de un metal a un gradiente eléctrico, magnético o térmico está determinada por la forma de la superficie de Fermi, ya que las corrientes se deben a cambios en la ocupación de estados cerca de la energía de Fermi. Las superficies de Fermi de electrones libres son esferas de radio

${\displaystyle k_F=\frac{\sqrt{2m{E}_F}}{\hslash }}$

Determinado por la concentración del electrón de valencia, donde ${\displaystyle \hslash }$ es la constante de Planck reducida. Un material cuyo nivel de Fermi se encuentra en un hueco entre bandas es un aislante o semiconductor dependiendo del tamaño de la banda prohibida. Cuando el nivel de Fermi de un material cae en una banda prohibida no hay superficie de Fermi.

Vista de la superficie de Fermi del grafito en los puntos H, límites de la zona de Brillouin, mostrando la simetría trigonal.

Los materiales que presentan estructuras cristalinas complejas pueden tener superficies de Fermi bastante intrincadas. La figura muestra la superficie de Fermi anisótropa del grafito, que tiene zonas tanto de electrón como de hueco en su superficie de Fermi debido a las múltiples bandas que atraviesan la energía de Fermi a través de la dirección ${\displaystyle {\overrightarrow{k}}_z}$. A menudo en un metal el radio ${\displaystyle k_F}$ de la superficie de Fermi es mayor que el tamaño de la primera zona de Brillouin, lo que resulta en una parte de la superficie de Fermi que se encuentra en la segunda zona (o mayores). Al igual que la propia estructura de bandas, la superficie de Fermi se puede mostrar en un esquema de zona extendida donde se permite que ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ tenga tamaños arbitrariamente grandes, o en un esquema de zona reducida donde los vectores de onda tengan módulo ${\displaystyle \frac{2\pi }{a}}$ (en el caso unidimensional), donde ${\displaystyle a}$ es el parámetro de red. En el caso tridimensional, el esquema de zona reducida equivale a que de cualquier vector de onda ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ existe un número apropiado de vectores de la red recíproca ${\displaystyle \overrightarrow{K}}$ tales que el nuevo ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$ es más cercano al origen en el ${\displaystyle \overrightarrow{k}}$-espacio que cualquier ${\displaystyle \overrightarrow{K}}$. Los sólidos con gran densidad de estados al nivel de Fermi se vuelven inestables a bajas temperaturas y tienden a formar estados fundamentales donde la energía de condensación proviene de abrir un hueco en la superficie de Fermi. Ejemplos de estos estados fundamentales son los superconductores, materiales ferromagnéticos, distorsiones Jahn-Teller y ondas de densidad de espín.

La ocupación de estados de fermiones como los electrones está gobernada por la estadística de Fermi-Dirac de forma que a temperaturas finitas la superficie de Fermi está en consecuencia ampliada. En principio todas las poblaciones de niveles de energía en fermiones están limitadas por una superficie de Fermi, aunque el término no se suele utilizar fuera de la física de la materia condensada.

Determinación experimental

Se han medido superficies de Fermi electrónicas a través de la observación de la oscilación de las propiedades de transporte en campos magnéticos ${\displaystyle H}$, como por ejemplo el efecto de Haas-van Alphen (dHvA) y el efecto Shubnikov-de Haas (SdH). La primera es una oscilación en la susceptibilidad magnética y la última en la resistividad. Las oscilaciones son periódicas en ${\displaystyle 1/H}$ y ocurren por la cuantización de los niveles de energía en el plano perpendicular a un campo magnético, un fenómeno predicho por primera vez por Lev Landáu. Los nuevos estados se llaman niveles de Landáu y están separados por una energía ${\displaystyle \hslash {\omega }_c}$ donde ${\displaystyle {\omega }_c=eH/m^{\ast }c}$ se conoce como frecuencia de ciclotrón, ${\displaystyle e}$ es la carga del electrón, ${\displaystyle m^{\ast }}$ es la masa efectiva del electrón y ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz. En un célebre resultado, Lars Onsager probó que el periodo de oscilación ${\displaystyle \mathrm{\Delta }H}$ está relacionado con la sección cruzada de la superficie de Fermi (típicamente del orden de ${\displaystyle {\AA }^{-2}}$) perpendicular a la dirección del campo magnético ${\displaystyle A_{\perp }}$ por la ecuación ${\displaystyle A_{\perp }=\frac{2\pi e\mathrm{\Delta }H}{\hslash c}}$. Así, la determinación de los periodos de oscilación para varias direcciones de aplicación del campo permite mapear la superficie de Fermi.

La observación de las oscilaciones dHvA y SdH requiere campos magnéticos lo bastante grandes para que la circunferencia de la órbita del ciclotrón sea menor que el camino libre medio. Por ello, los experimentos de dHvA y SdH se suelen realizar en instalaciones con grandes campos como el High Field Magnet Laboratory en los Países Bajos, el Grenoble High Magnetic Field Laboratory en Francia, el Tsukuba Magnet Laboratory en Japón o el National High Magnetic Field Laboratory en Estados Unidos.

Superficie de Fermi de un cuprato medida con ARPES. La información experimental se muestra como un gráfico de intensidad en escala amarillo-rojo-negro. El rectángulo punteado en verde representa la primera zona de Brillouin del plano de CuO₂.

La técnica experimental más directa para resolver la estructura electrónica de cristales en la red recíproca y, consecuentemente, la superficie de Fermi, es la espectroscopía angular de efecto fotoeléctrico (ARPES por sus siglas en inglés). En la figura se muestra un ejemplo de superficie de Fermi de un cuprato semiconductor medido por ARPES.

Con la aniquilación electrón-positrón también se puede determinar la superficie de Fermi ya que el proceso de aniquilación conserva el momento de la partícula inicial. Dado que un positrón en un sólido se termaliza hasta la aniquilación, la radiación de aniquilación lleva la información del momento del electrón. La técnica experimental correspondiente se denomina correlación angular de la radiación de aniquilación electrón-positrón (ACAR por sus siglas en inglés), y mide la desviación angular de 180 grados de los cuantos de ambas aniquilaciones. De esta forma, es posible encontrar la densidad de momento de electrones de un sólido y determinar la superficie de Fermi. Además, usando positrones de espín polarizado, se puede obtener la distribución de momentos para los dos estados de espín en materiales magnetizados. ACAR tiene diversas ventajas y desventajas respecto a otras técnicas experimentales: no depende de condiciones de ultra-alto vacío, temperaturas de criogenización, grandes campos magnéticos ni aleaciones totalmente ordenadas. Sin embargo, ACAR necesita muestras con una baja concentración de vacantes dado que actúan como trampas efectivas para positrones. De esta forma, la primera determinación de una superficie de Fermi manchada en una aleación al 30 % se obtuvo en 1978.

La teoría Ginzburg-Landau es una de las principales teorías que explican el fenómeno de la superconductividad junto con la teoría BCS. Fue desarrollada por Vitaly Ginzburg y Lev Landau en 1950.^[1]

Se caracteriza por centrarse más en la teoría macroscópica, mientras la teoría BCS se centra en los efectos cuánticos (relacionados con la teoría microscópica). En una comparación con otros campos de la física, se podría decir que la teoría Ginzburg-Landau es a la teoría BCS lo que la termodinámica (teoría macroscópica) a la mecánica estadística (teoría microscópica).

Historia

La situación política global de los años cincuenta afectó también a la comunicación entre los físicos que estudiaban la superconductividad. De esta forma, los físicos de Europa occidental y Estados Unidos tardaron casi una década en conocer esta teoría que, a pesar de que vio la luz en 1950, no apareció en ninguna publicación al otro lado del Telón de Acero hasta que físicos como Lev Gor'kov la dieron a conocer. Gor'kov sirvió como puente entre Occidente y la Unión Soviética (en la década de 1990 emigró a los EE. UU. y adquirió la ciudadanía estadounidense).

No obstante, la poca atención prestada al principio a esta teoría no está únicamente relacionada con la política: su carácter fenomenológico, es decir, el hecho de que renunciaba a una explicación a partir de primeros principios y se centraba principalmente en los hechos experimentales observados fue una de las razones por las que sus logros no fueron suficientemente valorados. Los físicos occidentales estaban más interesados en conocer los fundamentos de la superconductividad, desarrollándola a partir de los principios de la mecánica cuántica (es decir, la teoría microscópica que culminó con la teoría BCS, publicada en 1957). Hubo que esperar hasta 1959, año en que el propio Lev Gor'kov concilió ambos puntos de vista demostrando que la teoría Ginzburg-Landau se podía derivar rigurosamente a partir de la teoría microscópica^[2] en un artículo que también publicó en inglés.^[3]

Aplicaciones

La teoría de Ginzburg-Landau encuentra su principal aplicación en el estudio de los superconductores no convencionales (muchos de los cuales, si bien no todos, se conocen como superconductores sucios debido a que se caracterizan por su contenido de impurezas), entre los que se encuentran los famosos superconductores de alta temperatura.

La razón de ello es que, aunque la teoría más precisa, que es la teoría BCS, explica con éxito muchos detalles de diferentes superconductores (en especial aquellos casos en los que el valor la banda prohibida Δ es constante en todo el espacio), esta no siempre es aplicable. De hecho, en muchos casos todo el interés se basa en la inhomogeneidad de la muestra. La teoría BCS es una teoría microscópica y por ello a veces los problemas que hay que afrontar resultan intratables por ser demasiado complejos, y es aquí donde la única salida es emplear la teoría Ginzburg-Landau.

Teoría

Forma que tiene la energía libre en función de la pseudofunción de onda dependiendo de los parámetros α (que puede ser positivo o negativo) y β (que se toma siempre positivo). El caso más interesante se da cuando α es negativo, ya que entonces se encuentra un rango de la pseudofunción para el que la energía libre del estado superconductor es inferior a la del estado normal.

La teoría de Ginzburg-Landau es en cierto modo una generalización de las ideas de los hermanos London y se desarrolla en la línea de la teoría de Landau (no confundir la teoría de Landau, que es una teoría sobre las transiciones de fase en general, con la aquí tratada teoría de Ginzburg-Landau que trata de las transiciones de fase entre el estado superconductor y el normal).

Las hipótesis de partida de la teoría son:

• La pseudofunción de onda: el supercondensado se puede explicar con la ayuda de una función de onda ${\displaystyle \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})}$ que en general es compleja, conocida como función de onda de Ginzburg-Landau, o bien parámetro de orden complejo (si bien no se trata de una función de onda en el sentido mecanocuántico, sino de una pseudofunción de onda macroscópica).
• La densidad de pares: el valor absoluto de dicha pseudofunción de onda nos da la densidad de pares de Cooper:

${\displaystyle n_s=|\mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r}){|}^2}$

Históricamente, Ginzburg y Landau, desconociendo que los portadores de carga eran pares de Cooper (lo cual sería explicado siete años más tarde en la teoría BCS), tomaron n_s como la densidad de electrones en estado superconductor; sin embargo esto da lugar a muchos problemas, dado que al ser fermiones no puede haber dos en el mismo estado cuántico. Estos problemas desaparecen cuando se usan pares de Cooper, ya que son bosones puesto que se trata de parejas de electrones.

• La pseudofunción de onda varía poco: ${\displaystyle \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})}$ no cambia apreciablemente dentro de una distancia del orden de ${\displaystyle \xi }$, conocida como longitud de coherencia.
• Dentro del marco de la mecánica cuántica: la pseudofunción de onda tiene que obedecer ciertas ecuaciones de la mecánica cuántica.

Energía libre y método variacional

La herramienta principal de la teoría es el método variacional aplicado sobre un desarrollo en serie de la energía libre en función de la pseudofunción de onda ${\displaystyle \mathrm{\Psi }(\overrightarrow{r})}$. Ginzburg y Landau asumieron que la energía libre se podía expresar de la siguiente forma:

${\displaystyle F=F_n+\alpha |\psi {|}^2+\frac{\beta }{2}|\psi {|}^4+\frac{1}{2m}{\left|\left(-i\hslash \mathrm{\nabla }-2e\overrightarrow{A}\right)\psi \right|}^2+\frac{|\overrightarrow{B}{|}^2}{2{\mu }_0}}$

donde ${\displaystyle F_n}$ es la energía libre en la fase normal, ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son parámetros que se pueden calcular mediante experimentos, m es la masa efectiva, ${\displaystyle \overrightarrow{A}}$ es el potencial vectorial electromagnético y ${\displaystyle \overrightarrow{B}}$ es la inducción magnética.

Para ver la situación, se puede observar que en ausencia de campos magnéticos y con gradiente nulo, la diferencia entre la energía libre en el estado superconductor y en el estado normal es:

${\displaystyle F_s-F_n=\alpha |\mathrm{\Psi }{|}^2+\frac{1}{2}\beta |\mathrm{\Psi }{|}^4}$

Como se puede observar en la gráfica adjunta, tomando β positivo y suponiendo que α sea negativo, habrá un rango del parámetro de orden para el cual la energía es inferior en el estado superconductor.

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau

Minimizando la energía libre con respecto a las fluctuaciones del parámetro de orden y el potencial vector, se puede llegar a las ecuaciones de Ginzburg-Landau:

${\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi {|}^2\psi +\frac{1}{2m}{\left(-i\hslash \mathrm{\nabla }-2e\overrightarrow{A}\right)}^2\psi =0}$

${\displaystyle \overrightarrow{j}=\frac{2e}{m}Re\left\{{\psi }^{\ast }\left(-i\hslash \mathrm{\nabla }-2e\overrightarrow{A}\right)\psi \right\}}$

donde ${\displaystyle \overrightarrow{j}}$ es la densidad de corriente y Re significa parte real.

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau, entre otras cosas, son importantes porque nos brindan dos cantidades fundamentales en nuestra comprensión de la superconductividad:

• La longitud de coherencia de Ginzburg-Landau ξ(T) (no confundir con la longitud de coherencia de Pippard ξ₀, que prácticamente no depende de la temperatura), la cual nos indica la magnitud de las fluctuaciones termodinámicas en la fase superconductora:

${\displaystyle \xi (T)=\sqrt{\frac{{\hslash }^2}{2m|\alpha (T)|}}}$

Dependencia del campo magnético interno de un superconductor con respecto al campo magnético externo, el cual varía en función del parámetro de Ginzburg-Landau.

• La longitud de penetración de Ginzburg-Landau λ (no confundir con la longitud de penetración de London), que es la profundidad hasta la que llega a penetrar un campo magnético en una muestra en fase superconductora:

${\displaystyle \lambda =\sqrt{\frac{m}{4{\mu }_0{e}^2{\psi }_0^2}}}$

Si se calcula el cociente entre estas dos longitudes, se obtiene lo que se conoce como el parámetro de Ginzburg-Landau:

${\displaystyle \kappa =\frac{\lambda }{\xi }}$

el cual es clave para distinguir entre los superconductores de tipo I y los de tipo II, ya que, como demostró Abrikósov (que fue quien propuso este criterio para la clasificación de los superconductores en 1957 en un famoso artículo^[4][5]), se obtiene que:

• si (especialmente, si ${\displaystyle \kappa \ll 1}$) entonces la energía superficial del superconductor es positiva y se trata de un superconductor de tipo I,
• si (especialmente, si ${\displaystyle \kappa \gg 1}$) entonces la energía superficial del superconductor es negativa y se trata de un superconductor de tipo II.

La longitud de coherencia en función de las impurezas

Yendo un poco más lejos, y con la ayuda de la teoría BCS, se ve que se puede decir que cuando T ≈ T_c :

${\displaystyle \xi (T)=0.741\frac{{\xi }_0}{\sqrt{1-T/T_c}}}$, para un superconductor puro (sin impurezas), y

${\displaystyle \xi (T)=0.855\sqrt{\frac{{\xi }_{0}l}{1-T/T_c}}}$, para un superconductor sucio

siendo l el recorrido libre medio entre impurezas (por lo que cuantas más impurezas tenga la muestra, más corta será la l y más corta será a su vez la longitud de coherencia).

Esto es así debido a que se puede concluir que:^[6]

${\displaystyle \frac{\xi (T)}{{\xi }_0}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\frac{H_c(0)}{H_c(T)}\frac{{\lambda }_L(0)}{{\lambda }_{eff}(T)}}$

de donde se concluyen los resultados previos simplemente sustituyendo las cantidades que predice la teoría BCS:

${\displaystyle H_c(T/T_c)=1.73H_c(0)(1-T/T_c)}$

${\displaystyle {\lambda }_L(T/T_c)=\frac{{\lambda }_L(0)}{\sqrt{1-T/T_c}}}$

${\displaystyle {\lambda }_{eff}(T/T_c)={\lambda }_L(T/T_c)\sqrt{\frac{{\xi }_0}{1.33l}}}$ (para un superconductor sucio)

Así, es fácil hallar el parámetro de Ginzburg-Landau en cada caso:

${\displaystyle \kappa =0.96\frac{{\lambda }_L(0)}{{\xi }_0}}$, para un superconductor puro, y

${\displaystyle \kappa =0.715\frac{{\lambda }_L(0)}{l}}$, para un superconductor sucio

.

Puesto que el recorrido libre medio entre impurezas l disminuye con la cantidad de impurezas, se ve que cuantas más impurezas contenga la muestra, mayor será el parámetro κ. Llegará un momento en que , con lo que el superconductor pasará a ser de tipo II, lo cual explica por qué este tipo de superconductores suelen ser sustancias muy complejas constituidas por varios elementos diferentes.