AMIGOS PARA SIEMPRE: EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

Modelo de Ising bidimensional mostrado como una red cuadrada de espines en interacción.

El modelo de Ising es un modelo físico propuesto para estudiar el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Se trata de un modelo paradigmático de la Mecánica Estadística, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque es de los pocos modelos útiles (no sólo pedagógicamente) que tiene solución analítica exacta (esto es, sin cálculos aproximados). Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.

El modelo de Ising fue inventado por el físico Wilhelm Lenz (1920), que lo concibió como un problema para su alumno Ernst Ising para demostrar que el sistema presentaba una transición de fase. Ising (1925) demostró que en una dimensión no existía tal transición de fase, resolviéndolo en su tesis de 1924,^[1] aunque le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística. El modelo bidimensional de Ising de retícula cuadrada es mucho más difícil, y solamente se le dio una descripción analítica mucho más tarde, por Lars Onsager (1944), que demostró que la física estadística era capaz de describir transiciones de fase (pues como se verá, este modelo presenta una) lo que terminó de consolidar definitivamente la mecánica estadística. Por lo general, se resuelve mediante un método de transferencia de matriz, aunque existen diferentes enfoques, más relacionados con la teoría cuántica de campos.

Descripción matemática del modelo

Este apartado se limitará al modelo de Ising más conocido y simple, que además posee solución exacta. Al final se comentan algunas variantes.

Descripción cualitativa

Supongamos $N$ partículas colocadas en una matriz cuadrada. Cada partícula puede apuntar sólo en dos sentidos, arriba o abajo. Cada una de esas orientaciones se llaman espín de la partícula. El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.

El hamiltoniano del modelo

La energía del sistema es:

$H\,=\,\sum _{<i,j>}-J\sigma _{i}\sigma _{j}$

donde:

$H$ es el hamiltoniano del sistema,
$\sum _{<i,j>}$ denota una suma sobre partículas vecinas entre sí,
$\sigma _{i}$ es el espín de la partícula i-ésima, que puede tomar sólo dos valores, +1 y -1, y
$J$ es el factor de escala entre interacción entre espines y energía. Es un parámetro de la teoría.

Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto es $\sigma _{i}=1$ siempre. En este caso, la energía total es $-J$ veces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que es $2N$ (se podría pensar que cada espín tiene cuatro espines vecinos, pero no debemos contarlos dos veces por tanto tenemos que dividir por dos). Por tanto la energía del estado fundamental es $H_{0}=-2JN$ . El primer estado excitado es que un solo espín apunte hacia abajo, con energía $H_{1}=-2JN+8J$ y así sucesivamente.

La función de partición

El problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):

$Z=\sum _{\{\sigma _{i}\}}\prod _{<i,j>}e^{J\sigma _{i}\sigma _{j}/k_{B}T}$

donde $\sum _{\{\sigma _{i}\}}$ se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de los $N$ espines (llamados micro estados).

La física del modelo

En el modelo de Ising hay en realidad mucha física. Pasemos a revisarla un poco antes de plantear la solución completa.

La magnetización

Lo que físicamente queremos obtener del modelo es su magnetización total. Como cada partícula tiene un espín, cuando se orienten todas hacia arriba, por ejemplo, tendremos una magnetización total $M=N$ (ya que el espín de cada partícula es 1). Podría ocurrir, por el contrario, que haya el mismo número de partículas hacia arriba que hacia abajo, con un resultado total entonces de magnetización nula ( $M=0$ ). La pregunta que queremos responder es en realidad ¿Cuánto vale la magnetización total en función de la temperatura?.

La energía no lo es todo

Pensemos en el tipo de interacción que hemos introducido. Si dos espines vecinos apuntan en la misma dirección su energía mutua es $-J$ , lo que reduce la energía del sistema. Por tanto, la interacción que hemos puesto tiende a hacer que los espines apunten en la misma dirección, ya que disminuye la energía total. Esto lo que hace es favorecer la aparición de la magnetización total. Podríamos pensar que hemos resuelto ya el problema: la magnetización tiene que valer siempre $M=N$ para minimizar la energía y ya está.

Sin embargo, tenemos que recordar que el problema está planteado en el Colectivo Canónico, esto es, a temperatura y volumen constante. En estas condiciones, la termodinámica nos dice que la situación de equilibrio no vendrá dada por un mínimo de energía, sino por un mínimo de energía libre de Helmholtz, definida mediante:

$\,F=U-TS$

donde $U$ es la energía interna y $T S$ es el producto entre la temperatura y la entropía.

Energía vs. entropía

El modelo de Ising es una pugna entre la energía y como está distribuida en los grados de libertad del sistema (ver entropía). Conviene en este punto recordar que la entropía es una medida de cuan esparcida a través de diferentes grados de libertad se encuentra la energía. (ver Mecánica Estadística).

De esta manera, el estado fundamental minimiza la energía $U$ , pero es un estado muy ordenado, con todos los espines apareados. Este es por tanto un estado de muy baja entropía. Si la temperatura es baja, el producto $T S$ lo es, y a la energía libre contribuye sobre todo la energía: el sistema se magnetizará espontáneamente a baja temperatura.

Sin embargo cuando sube la temperatura la entropía comienza a tomar importancia en la cantidad $U-TS$ y minimizar $F$ pasa por maximizar la entropía. Justamente el estado más desordenado posible (de mayor entropía), el que tendrá una energía de Helmholtz menor ( $F$ ), es aquel con la mitad de espines hacia arriba y la mitad hacia abajo. Este estado es favorecido a alta temperatura: el sistema no se magnetiza a alta temperatura.

La solución exacta nos dirá exactamente a qué temperatura empieza a dejar de mandar la energía y lo hace la entropía. Esta es la temperatura crítica, o simplemente $T_{c}$

Solución al modelo de Ising

La solución al modelo de Ising es un problema abierto importante de la física, como lo es hoy la teoría de cuerdas. Existe solución para variantes de dos dimensiones, pero se sabe que un modelo de tres dimensiones no tiene solución; lo que constituye un problema operativo. El modelo de dos dimensiones fue resuelto de forma brillante por Onsager,^[2] quien recibió más tarde el premio Nobel por esta y otras aportaciones a la física estadística.

Después de la solución de Onsager se obtuvieron derivaciones de la función de partición diferentes, aunque por su complejidad no se muestra aquí ninguna.

La energía libre del modelo de Ising en dos dimensiones sin campo externo es:

$F=-Nk_{B}T\log {\frac {2}{1+x^{2}}}-{\frac {k_{B}TN}{2(2\pi )^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\,d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }\,d\theta _{2}\log \left[(1+x^{2})^{2}-2x(1-x^{2})\{\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\}\right]$

donde: $x=\tanh \left({\frac {J}{k_{B}T}}\right)$

Interpretación de los resultados: la transición de fase

Una vez conocida la expresión para la energía libre en función de sus variables naturales ya tenemos toda la información termodinámica del sistema.

Una de las cosas más importantes de este modelo es que presenta una transición de fase. Esta es una de las cosas que fueron más controvertidas en el establecimiento de la mecánica estadística como teoría física a tener en cuenta. La función de partición tal como se plantea es suma de funciones analíticas, que por tanto es analítica. Pero una transición de fase es una cosa intrínsecamente no analítica. Por tanto se creía que nunca serviría para estudiar cambios de fase (precisamente por eso se desilusionó Ising).

Sin embargo la solución expuesta tiene implícito el paso $N\to \infty$ y en ese caso, una suma infinita de funciones analíticas puede dar una función no analítica que represente una transición. Si nos fijamos en la energía libre de arriba, cuando el argumento del logaritmo tienda a cero este diverge y tenemos un punto singular. Se comprueba que este es justamente:

$x_{c}={\sqrt {2}}-1\Rightarrow T_{c}={\frac {2J}{k_{B}\log({\sqrt {2}}+1)}}$

Si $T>T_{c}$ la magnetización es nula, si $T<T_{c}$ habrá magnetización espontánea (hay una expresión concreta para la magnetización, pero no necesaria para entender el fenómeno). Este cambio en el comportamiento del material es fruto de una transición de fase de segundo orden en el que el material comienza a ser ferromagnético.

Variantes al modelo de Ising

Se han desarrollado multitud de variantes del modelo, la mayoría no poseen todavía solución analítica exacta, si bien es cierto que se saben muchas propiedades de estos debido a técnicas computacionales.

Modelo de Ising en 1D

En este caso en lugar de una matriz de espines tenemos una cadena lineal. Este es el modelo original propuesto por Ising. Se demuestra de manera más bien sencilla que este modelo no puede presentar transición de fase.

Demostración
$Q_{I}(B,T)=\sum _{s_{1}}....\sum _{s_{n}}e^{{\beta \sum _{k=1}^{N}(J\sigma _{k}\sigma _{k+1}+B{\frac {\sigma _{k}+\sigma _{k+1}}{2}}})}$ $Q_{I}(B,T)=\sum _{\sigma _{1}}....\sum _{\sigma _{n}}\prod _{k=1}^{N}e^{{\beta (J\sigma _{k}\sigma _{k+1}+B{\frac {\sigma _{k}+\sigma _{k+1}}{2}}})}$ $P_{\sigma _{k}}^{\sigma _{k+1}}=e^{{\beta (J\sigma _{k}\sigma _{k+1}+B{\frac {\sigma _{k}+\sigma _{k+1}}{2}}})}$ $P=\left({\begin{array}{lcccl}e^{\beta (J+B)}&&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&&e^{\beta (J-B)}\end{array}}\right)$ $Q_{I}(B,T)=\sum _{s_{1}}....\sum _{s_{n}}P_{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}P_{\sigma _{2}}^{\sigma _{3}}...P_{\sigma _{N-1}}^{\sigma _{N}}P_{\sigma _{N}}^{\sigma _{N+1}}\delta _{\sigma _{N+1}}^{\sigma _{1}}$ $\,Q_{I}(B,T)={\text{tr}}(P^{n})$ ${\text{tr}}(P^{N})=\lambda _{+}^{N}+\lambda _{-}^{N}$ $\lambda _{\pm }=e^{\beta J}[\cosh(\beta B)\pm {\sqrt {\cosh ^{2}(\beta B)-2e^{-2\beta J}\sinh(2\beta J)}}]$ $({\frac {\lambda _{-}}{\lambda _{+}}})^{N}\rightarrow 0$ $F(B,T)=-k_{B}TlnQ(B,T)=-k_{B}T\ln(\lambda _{+}^{N}+\lambda _{-}^{N})\approx -k_{B}TN\ln \lambda _{+}$ $M_{esp}=-\lim _{B\rightarrow 0}{\frac {\partial F}{\partial B}}=\lim _{B\rightarrow 0}N{\frac {\sinh(\beta B)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta B)-2e^{-2\beta J}\sinh(2\beta J)}}}=0$

Modelo en 3 o más dimensiones

En lugar de una matriz plana, podemos imaginar los espines colocados en arreglo esquiespaciados en tres dimensiones. Parece extraño, pero este modelo no tiene a día de hoy solución analítica exacta. De igual manera se pueden plantear problemas n-dimensionales como idea matemática de mayor o menor interés.

Modelo de Ising en otro tipo de redes

Se pueden colocar los espines en redes triangulares, de panal de abeja,....algunos de estos sí poseen solución analítica

Modelo de Ising con campo

Esta es la variación más típica. Consiste en añadir a la energía un término que dé cuenta de un campo constante en una dirección de la forma, por lo que el hamiltoniano queda de la forma:

${\hat {H}}=\sum _{<i,j>}-J{\hat {\sigma }}_{i}{\hat {\sigma }}_{j}+\sum _{i}h{\hat {\sigma }}_{i}$

Esto hace que no aparezca transición de fase y hace el problema irresoluble analíticamente.

Wilhelm Lenz
Información personal
Nacimiento	8 de febrero de 1888 Fráncfort del Meno
Fallecimiento	30 de abril de 1957 Hamburgo
Residencia	Hamburgo
Nacionalidad	alemana
Educación
Educado en	Universidad de Múnich
Supervisor doctoral	Arnold Sommerfeld
Información profesional
Área	física cuántica
Conocido por	modelo de Ising, vector de Laplace–Runge–Lenz
Empleador	Universidad de Hamburgo
Estudiantes doctorales	Ernst Ising J. Hans D. Jensen
Partido político	Partido Nacionalsocialista Obrero Alemán (desde 1937)
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Wilhelm Lenz (Fráncfort am Main, 8 de febrero de 1888 – Hamburgo, 30 de abril de 1957) fue un físico alemán, conocido por su desarrollo del modelo de Ising^[1] y por su aplicación del vector de Laplace–Runge–Lenz al tratamiento mecánico-cuántico de átomos de hidrógeno.^[2]

En 1906, Lenz se graduó de la Klinger-Oberralschule, una escuela secundaria alternativa en Fráncfort. Prosiguió sus estudios de matemática y física en la Universidad de Gotinga. De 1908 a 1911, Lenz estudió bajo la dirección de Arnold Sommerfeld en la Universidad de Múnich, obteniendo su doctorado el 2 de marzo de 1911.^[3] Tras su graduación, permaneció en la Universidad como ayudante de Sommerfeld a partir del 1 de abril de 1911. Completó su habilitación el 20 de febrero de 1914, obteniendo la categoría de privatdozent el 4 de abril de 1914.

Durante la Primera Guerra Mundial, sirvió como operador radiofónico en Francia y recibió la Cruz de Hierro de Segunda Clase en 1916. Desde el 30 de septiembre de 1920, fue de nuevo ayudante de Sommerfeld en el instituto de Física Teórica de la Universidad de Múnich. Fue nombrado profesor extraordinarius en la Universidad el 11 de noviembre de 1920. El 1 de diciembre de 1920 es profesor extraordinarius en la Universidad de Rostock y desde 1921 hasta su jubilación en 1956, profesor ordinarius de física teórica en la Universidad de Hamburgo, así como director del Instituto de Física Teórica.^[4]^[5]^[6]^[7]

La creación de una cátedra nueva junto a un instituto para la física teórica en Hamburgo fue resultado de los avances que estaban teniendo lugar en Alemania en física atómica y mecánica cuántica. Destacó la intervención personal de Sommerfeld, quién ayudó a muchos de sus alumnos a conseguir cátedras.^[8]

En Hamburgo, Lenz enseñó a destacados físicos como Ernst Ising y J. Hans D. Jensen. Entre sus ayudantes destacaron Wolfgang Pauli,^[9] Pascual Jordan y Albrecht Unsöld.^[10]^[11] Junto con Pauli y Otto Stern, Lenz convirtió el Instituto en un centro internacional para física nuclear con intercambios científicos y personales con los institutos para física teórica de las Universidades de Múnich (Sommerfeld), Gotinga (Max Born), y Copenhague (Niels Bohr).^[6]^[7]

Cuándo Lenz se retiró en 1956 fue sucedido por Harry Lehmann.

Ernst Ising (alemán: [ˈiːzɪŋ]; Colonia, Alemania, 10 de mayo de 1900 – Peoria, Illinois, EE. UU., 11 de mayo de 1998) fue un físico alemán recordado por el desarrollo del modelo de Ising. Fue un profesor de física en la Universidad de Bradley hasta su jubilación en 1976.^[1]

Vida

Ernst Ising nació en Colonia en 1900. Después de la escuela, estudió física y matemáticas en la Universidad de Gotinga y en la Universidad de Hamburgo. En 1922, empezó a investigar el ferromagnetismo en Hamburgo bajo la guía de Wilhelm Lenz. Obtuvo un Ph.D en ciencias físicas de la Universidad de Hamburgo en 1924, cuándo publicó su tesis doctoral (un resumen de su doctorado fue publicado como un artículo en una revista científica en 1925 y ha sido fuente de confusiones con respecto a la fecha).^[2]^[3]^[4] Su tesis doctoral estudió un problema sugerido por su profesor, Wilhelm Lenz: el caso especial de una cadena lineal de momentos magnéticos, los cuales son sólo capaces de tomar dos posiciones, "arriba" y "abajo," y que están acoplados por interacciones entre los vecinos más cercanos. Gracias a estudios subsiguientes de Rudolf Peierls, Hendrik Kramers, Gregory Wannier y Lars Onsager el modelo probó ser útil explicando transiciones de fase entre estados ferromagnéticos y paramagneticos.^[5]^[6]

Después de obtener su doctorado, Ernst Ising trabajó brevemente en el sector privado antes de devenir en profesor en Salem, Strausberg y Crossen, entre otros sitios. En 1930, se casó con la economista Dr. Johanna Ehmer (2 de febrero de 1902 - 2 de febrero de 2012). Como joven científico judío-alemán, Ising fue apartado de la enseñanza e investigación cuándo Hitler subió alpoder en 1933. En 1934, encontró un puesto, primero como profesor y luego como jefe de estudios, en una escuela judía en Caputh, cerca de Potsdam. Esta escuela había surgido como solución para alumnos judíos expulsados de las escuelas públicas durante el nazismo. Ernst y su mujer Johanna vivieron en Caputh cerca de la residencia de verano de la famosa familia Einstein. En 1938 la escuela en Caputh fue destruida por los nazis y en 1939 la familia Ising huyó a Luxemburgo, donde Ising trabajo como pastor y trabajador de ferrocarril. Después de que la Wehrmacht ocupara Luxemburgo, Ernst Ising fue forzado a trabajar para el ejército. En 1947, la familia Ising emigró a los Estados Unidos. Aunque fue nombrado Profesor de Físicas en la Universidad Bradley en Peoria, Illinois, nunca publicó otra vez. Ising murió en su casa en Peoria en 1998, justo un día después de su 98.º cumpleaños.

Trabajo

El modelo de Ising está definido en una colección discreta de variables llamados espines, los cuales pueden tomar el valor 1 o −1. Los espines interaccionan en pares, con energía que tiene un valor cuándo los dos espines son igual, y un segundo valor cuándo los dos espines son diferentes.

La energía del modelo de Ising está definida por:

E=-\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}\,

donde la suma cuenta cada par de espines sólo una vez. Se ha de notar que el producto de espines es +1 si los dos espines son el mismo (alineados), o −1 si son diferentes (antialineados). J es la mitad de la diferencia entre ambas posibilidades. Las interacciones magnéticas tienden a alinear los espines independientemente de su configuración inicial mientras la energía térmica tiende a "desordenarlos". Así, la configuración se vuelve caótica cuándo la energía térmica es más grande que la fuerza de la interacción magnética.

Para cada par, si

J_{ij}>0

la interacción es ferromagnética

J_{ij}<0

la interacción es antiferromagnética

J_{ij}=0

los espines no interactúan

Es decir, una interacción ferromagnética tiende a alinear espines y una antiferromagnética tiende a antilinearlos.

Los espines pueden ser imaginados como parte de un grafo donde cada nodo tiene exactamente un espín y cada arista conectados espines con un valor J distinto de cero. Si todos son iguales, se puede medir energía en unidades de J. El modelo está completamente definido por el grafo y el signo de J.

El modelo unidimensional antiferromagnétio de Ising tiene la siguiente función de energía:

E=\sum _{i}S_{i}S_{i+1}\,

donde i cubre todos los enteros. Esto enlaza cada par de vecinos más cercanos.

En su tesis de 1924, Ising solucionó el modelo para el caso unidimensional. En una dimensión, la solución no admite ninguna transición de fase. Con base en este resultado, Ising concluyó incorrectamente que su modelo no exhibe comportamiento de fase en cualquier dimensión. Trabajos posteriores probaron que esto es debido a la dimensionalidad y no al modelo subyacente (modelos de Ising de dos o más dimensiones pueden mostrar transiciones de fase).

Sólo en 1949 Ising comprendió la importancia que su modelo había logrado en la literatura científica. Hoy se publican aproximadamente 800 artículos anuales sobre el modelo para aplicaciones en campos diversos como redes neuronales, la plegamiento de proteínas, membranas biológicas y comportamiento social.^[

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miércoles, 21 de octubre de 2026

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