EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 FENÓMENOS FÍSICOS

Representación gráfica de la dispersión de un fotón γ (línea roja ondulada), por un electrón. El fotón dispersado tiene una longitud de onda mayor (o una frecuencia menor) que antes de interactuar con el electrón.

El efecto Compton (o dispersión Compton) consiste en el aumento de la longitud de onda de un fotón cuando choca con un electrón libre y pierde parte de su energía. La frecuencia o la longitud de onda de la radiación dispersada depende únicamente del ángulo de dispersión.

Descubrimiento y relevancia histórica

El efecto Compton fue estudiado por el físico Arthur Compton en 1923, quien pudo explicarlo utilizando la noción cuántica de la radiación electromagnética como cuantos de energía y la mecánica relativista de Einstein. El efecto Compton constituyó la demostración final de la naturaleza cuántica de la luz tras los estudios de Planck sobre el cuerpo negro y la explicación de Albert Einstein del efecto fotoeléctrico.

Compton descubrió este efecto al experimentar con rayos X, los cuales fueron dirigidos contra una de las caras de un bloque de carbón. Al chocar los rayos X con el bloque se difundieron en varias direcciones; a medida que el ángulo de los rayos difundidos aumentaba, también se incrementaba su longitud de onda. Con base en la teoría cuántica, Compton afirmó que el efecto se debía a que el cuanto de rayos X actúa como una partícula material al chocar contra el electrón, por lo cual la energía cinética, que el cuanto comunica al electrón, representa una pérdida en su energía original.^[1]

Como consecuencia de estos estudios, Compton ganó el Premio Nobel de Física en 1927.

Este efecto es de especial relevancia científica, ya que no puede ser explicado a través de la naturaleza ondulatoria de la luz. Esta debe comportarse como partícula para poder explicar dichas observaciones, por lo que adquiere una dualidad onda corpúsculo característica de la mecánica cuántica.

Introducción

Fig. 1: Diagrama esquemático del experimento de Compton. La dispersión Compton se produce en el blanco de grafito de la izquierda. La rendija hace pasar fotones de rayos X dispersados en un ángulo seleccionado. La energía de un fotón disperso se mide utilizando dispersión de Bragg en el cristal de la derecha junto con una cámara de ionización; la cámara podría medir la energía total depositada a lo largo del tiempo, no la energía de fotones dispersos individuales.

La dispersión Compton es un ejemplo de dispersión elástica^[2] de la luz por una partícula cargada libre, donde la longitud de onda de la luz dispersada es diferente de la de la radiación incidente. En el experimento original de Compton (véase la Fig. 1), la energía del fotón de rayos X (≈17 keV) era significativamente mayor que la energía de enlace del electrón atómico, por lo que los electrones podían tratarse como libres tras la dispersión. La cantidad en la que cambia la longitud de onda de la luz se denomina desplazamiento Compton. Aunque existe la dispersión Compton del núcleo,^[3] La dispersión Compton suele referirse a la interacción en la que sólo participan los electrones de un átomo. El efecto Compton fue observado por Arthur Holly Compton en 1923 en la Universidad Washington de San Luis y verificado por su estudiante de posgrado Y. H. Woo en los años siguientes. Compton recibió el Premio Nobel de Física en 1927 por el descubrimiento.

El efecto es significativo porque demuestra que la luz no puede explicarse puramente como un fenómeno ondulatorio.^[4] La dispersión de Thomson, la teoría clásica de una onda electromagnética dispersada por partículas cargadas, no puede explicar los cambios de longitud de onda a baja intensidad: clásicamente, la luz de intensidad suficiente para que el campo eléctrico acelere una partícula cargada a una velocidad relativista provocará un retroceso por presión de radiación y un desplazamiento Doppler asociado de la luz dispersada,^[5] pero el efecto sería arbitrariamente pequeño a intensidades de luz suficientemente bajas independientemente de la longitud de onda. Por tanto, si queremos explicar la dispersión Compton de baja intensidad, la luz debe comportarse como si estuviera formada por partículas. O la suposición de que el electrón puede tratarse como libre no es válida, lo que da lugar a que la masa efectivamente infinita del electrón sea igual a la masa nuclear (véase, por ejemplo, el comentario más abajo sobre la dispersión elástica de los rayos X a partir de ese efecto). El experimento de Compton convenció a los físicos de que la luz puede tratarse como un flujo de objetos similares a partículas (cuantos llamados fotones), cuya energía es proporcional a la frecuencia de la onda luminosa.

Como se muestra en la Fig. 2, la interacción entre un electrón y un fotón da lugar a que el electrón reciba parte de la energía (haciéndolo retroceder), y a que se emita un fotón de la energía restante en una dirección distinta de la original, de modo que el momento global del sistema también se conserva. Si el fotón dispersado aún tiene suficiente energía, el proceso puede repetirse. En este caso, el electrón se considera libre o poco ligado. La verificación experimental de la conservación del momento en procesos individuales de dispersión Compton por Bothe y Geiger así como por Compton y Simon ha sido importante para refutar la teoría BKS (teoría Bohr-Kramers-Slater).

La dispersión Compton es uno de los cuatro procesos que compiten cuando los fotones interactúan con la materia. A energías de unos pocos eV a unos pocos keV, correspondientes a la luz visible a través de rayos X blandos, un fotón puede ser completamente absorbido y su energía puede expulsar un electrón de su átomo anfitrión, un proceso conocido como efecto fotoeléctrico. Los fotones de alta energía de 1,022 MeV y superiores pueden bombardear el núcleo y provocar la formación de un electrón y un positrón, proceso denominado creación de pares; los fotones de energía aún mayor (más allá de un umbral de energía de al menos 1,670 MeV, dependiendo de los núcleos implicados), pueden expulsar un nucleón o partícula alfa del núcleo en un proceso denominado fotodesintegración. La dispersión Compton es la interacción más importante en la región de energía intermedia, a energías de fotones superiores a las típicas del efecto fotoeléctrico pero inferiores al umbral de producción de pares.

Formulación matemática

La variación de longitud de onda de los fotones dispersados, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\lambda }$, puede calcularse a través de la relación de Compton:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }\lambda =\frac{h}{m_{e}c}\left(1-\cos \theta \right),}$

donde:

• ${\displaystyle h}$ es la constante de Planck,
• ${\displaystyle m_e}$ es la masa del electrón,
• ${\displaystyle c}$ es la velocidad de la luz.
• ${\displaystyle \theta }$ el ángulo entre los fotones incidentes y dispersados.

Esta expresión proviene del análisis de la interacción como si fuera una colisión elástica y su deducción requiere únicamente la utilización de los principios de conservación de energía y momento. La cantidad ${\displaystyle h/m_{e}c}$ = 0.0243 Å, se denomina longitud de onda de Compton. Para los fotones dispersados a 90°, la longitud de onda de los rayos X dispersados es justamente 0.0243 Å mayor que la línea de emisión primaria.

Deducción matemática

La deducción de la expresión para ${\displaystyle \mathrm{\Delta }\lambda }$ (llamada a veces corrimiento de Compton) puede hacerse considerando la naturaleza corpuscular de la radiación y las relaciones de la mecánica relativista. Consideremos un fotón de longitud de onda ${\displaystyle \lambda }$ y momentum ${\displaystyle h/\lambda }$ dirigiéndose hacia un electrón en reposo (masa en reposo del electrón ${\displaystyle m_e}$). La teoría de la relatividad especial impone la conservación del cuadrimomento ${\displaystyle p^{\mu }=(E/c,\overrightarrow{p})}$. Si ${\displaystyle {\lambda }^{\prime }}$ es la longitud de onda del fotón dispersado y ${\displaystyle \overrightarrow{p}}$ es el momentum del electrón dispersado se obtiene:

${\displaystyle \frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\sin \theta =p\sin \varphi }$

${\displaystyle \frac{h}{\lambda }=p\cos \varphi +\frac{h}{{\lambda }^{\prime }}\cos \theta }$

donde ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \varphi }$ son, respectivamente, los ángulos de dispersión del fotón y del electrón (medidos respecto de la dirección del fotón incidente). La primera de las ecuaciones anteriores asegura la conservación de la componente del momento perpendicular a la dirección incidente, la segunda hace lo mismo para la dirección paralela. La conservación de la energía da:

${\displaystyle \frac{hc}{\lambda }+m_e{c}^2=\frac{hc}{{\lambda }^{\prime }}+\sqrt{m_e^2{c}^4+c^2{p}^2}}$

Lo que sigue es un trabajo de álgebra elemental. De las ecuaciones de conservación del momentum es fácil eliminar ${\displaystyle \varphi }$ para obtener:

${\displaystyle p^2=h^2\left(\frac{1}{{\lambda }^2}+\frac{1}{{\lambda }^{\prime 2}}-\frac{2}{\lambda {\lambda }^{\prime }}\cos \theta \right)}$

En la expresión para la conservación de la energía se hace:

${\displaystyle {\left[hc\left(\frac{1}{\lambda }-\frac{1}{{\lambda }^{\prime }}\right)+m_e{c}^2\right]}^2=m_e^2{c}^4+c^2{p}^2}$

Aplicaciones

Dispersión Compton

La dispersión Compton es de primordial importancia para la radiobiología, ya que es la interacción más probable de los rayos gamma y los rayos X de alta energía con los átomos de los seres vivos y se aplica en radioterapia.^{[6] [7]}

La dispersión Compton es un efecto importante en espectroscopia gamma que da lugar al borde Compton, ya que es posible que los rayos gamma se dispersen fuera de los detectores utilizados. La supresión Compton se utiliza para detectar los rayos gamma dispersos para contrarrestar este efecto.

Dispersión magnética Compton

La dispersión magnética Compton es una extensión de la técnica anteriormente mencionada que implica la magnetización de una muestra de cristal alcanzada por fotones de alta energía polarizados circularmente. Midiendo la energía de los fotones dispersados e invirtiendo la magnetización de la muestra, se generan dos perfiles Compton diferentes (uno para los momentos de espín hacia arriba y otro para los momentos de espín hacia abajo). Tomando la diferencia entre estos dos perfiles se obtiene el perfil magnético Compton (MCP), dado por ${\displaystyle J_{\text{mag}}({\mathbf{p}}_z)}$ - una proyección unidimensional de la densidad de espín del electrón.

$${\displaystyle J_{\text{mag}}({\mathbf{p}}_z)=\frac{1}{\mu }{\iint }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(n_{\uparrow }(\mathbf{p})-n_{\downarrow }(\mathbf{p}))d{\mathbf{p}}_{x}d{\mathbf{p}}_y}$$donde ${\displaystyle \mu }$ es el número de electrones de espín no apareado en el sistema, ${\displaystyle n_{\uparrow }(\mathbf{p})}$ y ${\displaystyle n_{\downarrow }(\mathbf{p})}$ son las distribuciones tridimensionales del momento electrónico para los electrones de espín mayoritario y espín minoritario respectivamente.

Puesto que este proceso de dispersión es incoherente (no hay relación de fase entre los fotones dispersados), la MCP es representativa de las propiedades del grueso de la muestra y es una sonda del estado básico. Esto significa que la MCP es ideal para la comparación con técnicas teóricas como la teoría del funcional de la densidad. El área bajo la MCP es directamente proporcional al momento de espín del sistema y, por tanto, cuando se combina con métodos de medida del momento total (como la magnetometría SQUID), puede utilizarse para aislar las contribuciones orbitales y de espín al momento total de un sistema. La forma del MCP también permite comprender el origen del magnetismo en el sistema.^[8]

Dispersión Compton inversa

La dispersión Compton inversa es importante en astrofísica. En astronomía de rayos X, se supone que el disco de acreción que rodea a un agujero negro produce un espectro térmico. Los electrones relativistas de la corona circundante dispersan los fotones de menor energía producidos por este espectro. Se supone que esto causa el componente de ley de potencia en los espectros de rayos X (0,2-10 keV) de los agujeros negros en acreción.^[9]

El efecto también se observa cuando los fotones de la fondo cósmico de microondas (CMB) se mueven a través del gas caliente que rodea un cúmulo de galaxias. Los fotones del CMB son dispersados a energías más altas por los electrones de este gas, dando lugar al efecto Sunyaev-Zel'dovich. Las observaciones del efecto Sunyaev-Zel'dovich proporcionan un medio casi independiente del desplazamiento al rojo para detectar cúmulos de galaxias.

Algunas instalaciones de radiación sincrotrón dispersan la luz láser del haz de electrones almacenado. Esta retrodispersión Compton produce fotones de alta energía en el rango de MeV a GeV^[10][11] utilizado posteriormente para experimentos de física nuclear.

Dispersión Compton inversa no lineal

La dispersión Compton inversa no lineal (NICS) es la dispersión de múltiples fotones de baja energía, dada por un campo electromagnético intenso, en un fotón de alta energía (rayos X o rayos gamma) durante la interacción con una partícula cargada, como un electrón.^[12] También se denomina dispersión Compton no lineal y dispersión Compton multifotón. Es la versión no lineal de la dispersión Compton inversa en la que las condiciones para la absorción multifotónica por la partícula cargada se alcanzan debido a un campo electromagnético muy intenso, por ejemplo el producido por un láser.^[13]

La dispersión Compton inversa no lineal es un fenómeno interesante para todas las aplicaciones que requieren fotones de alta energía, ya que la NICS es capaz de producir fotones con energía comparable a la energía de reposo de las partículas cargadas y superiores.^[14] Como consecuencia, los fotones NICS pueden utilizarse para desencadenar otros fenómenos como la producción de pares, la dispersión Compton, reacciones nucleares, y pueden utilizarse para sondear efectos cuánticos no lineales y QED no lineal.

^[

Una piedra pequeña se mueve sin fricción sobre un plato de sección parabólica que está girando a velocidad constante. La gravedad tira de la bolita hacia el centro con una fuerza directamente proporcional a la distancia respecto a este. Pero la fuerza centrífuga (o, mejor dicho, la ausencia de fuerza centrípeta) tira de la bolita hacia afuera. La conservación del momento angular cambia la velocidad angular de la bolita cuando esta se mueve hacia dentro (acelera) y hacia afuera (frena). También puede expresarse diciendo que, para mantener su velocidad lineal, la bolita cambia su velocidad angular al variar la distancia respecto al eje. En cualquier caso, la magnitud subyacente es la inercia y la desviación que sufre la bolita con respecto a la dirección de los radios es el efecto Coriolis.
Izquierda: El movimiento observado desde un punto de vista externo.
Derecha: El movimiento visto desde un punto de vista solidario con el sistema no inercial.

El efecto Coriolis, descrito en 1836 por el científico francés Gaspard Coriolis, es el efecto que se observa en un sistema de referencia en rotación cuando un cuerpo se encuentra en movimiento respecto de dicho sistema de referencia. Este efecto consiste en la existencia de una aceleración relativa del cuerpo en dicho sistema en rotación. Esta aceleración es siempre perpendicular al eje de rotación del sistema y a las componentes radial y tangencial de la velocidad del cuerpo.

El efecto Coriolis hace que un objeto que se mueve sobre el radio de un disco en rotación tienda a acelerarse con respecto a ese disco según si el movimiento es hacia el eje de giro o alejándose de este. Por el mismo principio, en el caso de una esfera en rotación, el movimiento de un objeto sobre los meridianos también presenta este efecto, ya que dicho movimiento reduce o incrementa la distancia respecto al eje de giro de la esfera.

Debido a que el objeto sufre una aceleración desde el punto de vista del observador en rotación, es como si para este existiera una fuerza sobre el objeto que lo acelera. A esta fuerza se le llama fuerza de Coriolis, y no es una fuerza real en el sentido de que no hay nada que la produzca. Se trata pues de una fuerza inercial o ficticia, que se introduce para explicar, desde el punto de vista del sistema en rotación, la aceleración del cuerpo, cuyo origen está en realidad, en el hecho de que el sistema de observación está rotando.

Un ejemplo canónico de efecto Coriolis es el experimento imaginario en el que disparamos un proyectil desde el Ecuador en dirección norte. El cañón está girando con la tierra hacia el este y, por tanto, imprime al proyectil esa velocidad (además de la velocidad hacia adelante al momento de la impulsión). Al viajar el proyectil hacia el norte, sobrevuela puntos de la tierra cuya velocidad lineal hacia el este va disminuyendo con la latitud creciente. La inercia del proyectil hacia el este hace que su velocidad angular aumente y que, por tanto, adelante a los puntos que sobrevuela. Si el vuelo es suficientemente largo (ver cálculos al final del artículo), el proyectil caerá en un meridiano situado al este de aquel desde el cual se disparó, a pesar de que la dirección del disparo fue exactamente hacia el norte. Finalmente, el efecto Coriolis, al actuar sobre grandes masas de aire (o agua) en latitudes intermedias, induce un giro al desviar hacia el este o hacia el oeste las partes de esa masa que ganen o pierdan latitud o altitud en su movimiento.

Introducción

La tendencia de giro varía según el hemisferio considerado. La ilustración muestra el patrón para los anticiclones. Las borrascas giran en sentido opuesto.

La fuerza de Coriolis es una fuerza ficticia que aparece cuando un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema en rotación y se describe su movimiento en ese referencial. La fuerza de Coriolis es diferente de la fuerza centrífuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la dirección del eje de rotación del sistema y a la dirección del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotación. La fuerza de Coriolis tiene dos componentes:

• una componente tangencial, debida a la componente radial del movimiento del cuerpo, y
• una componente radial, debida a la componente tangencial del movimiento del cuerpo.

La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotación no engendra fuerza de Coriolis. El valor de la fuerza de Coriolis ${\displaystyle {\mathbf{F}}_c}$ es:

${\displaystyle {\overrightarrow{F}}_c=-2m\left(\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{v}\right)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle m}$	Masa del cuerpo
${\displaystyle \overrightarrow{v}}$	Velocidad del cuerpo en el sistema en rotación
${\displaystyle \overrightarrow{\omega }}$	Velocidad angular del sistema en rotación vista desde un sistema inercial
${\displaystyle \times }$	Indica producto vectorial

Historia

En 1835, Gaspard-Gustave de Coriolis, en su artículo Sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps,^[1] describió matemáticamente la fuerza que terminó llevando su nombre. En ese artículo, la fuerza de Coriolis aparece como una componente suplementaria a la fuerza centrífuga experimentada por un cuerpo en movimiento relativo a un referencial en rotación, como puede producirse, por ejemplo, en los engranajes de una máquina. El razonamiento de Coriolis se basaba sobre un análisis del trabajo y de la energía potencial y cinética en los sistemas en rotación. Ahora, la demostración más utilizada para enseñar la fuerza de Coriolis utiliza las herramientas de la cinemática.

Esta fuerza no comenzó a aparecer en la literatura meteorológica y oceanográfica hasta finales del siglo XIX. El término fuerza de Coriolis apareció a principios del siglo XX.

Formulación y demostración

Para demostrar la expresión analítica expresada en la introducción, pueden usarse dos aproximaciones diferentes: por conservación del momento angular o por derivación en base móvil. A continuación se explican ambas.

Demostración por conservación del momento angular

Es preciso recordar que cuando un observador en un sistema no inercial (como lo es un sistema en rotación) trata de comprender el comportamiento de su sistema como si fuese un sistema inercial ve aparecer fuerzas ficticias. En el caso de un sistema en rotación, el observador ve que todos los objetos que no están sujetos se alejan de manera radial como si actuase sobre ellos una fuerza proporcional a sus masas y a la distancia a una cierta recta (el eje de rotación). Esa es la fuerza centrífuga que hay que compensar con la fuerza centrípeta para sujetar los objetos. Por supuesto, para un observador externo, situado en un sistema inercial (sistema fijo), la única fuerza que existe es la fuerza centrípeta, cuando los objetos están sujetos. Si no lo están, los objetos tomarán la tangente y se alejarán del eje de rotación.

Si los objetos no están inmóviles con respecto al observador del sistema en rotación, otra fuerza ficticia aparece: la fuerza de Coriolis. Visto desde el sistema en rotación, el movimiento de un objeto se puede descomponer en una componente paralela al eje de rotación, otra componente radial (situada sobre una línea que pasa por el eje de rotación y perpendicular a este), y una tercera componente tangencial (tangente a un círculo centrado en el eje y perpendicular a este) (ver gráfica).

Un objeto que se desplaza paralelamente al eje de rotación, visto desde un sistema fijo, gira con el sistema en rotación a la misma velocidad angular y con radio constante. La única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza centrípeta. El observador del sistema en rotación sólo nota la fuerza centrífuga contra la cual hay que oponerse para que se quede a la misma distancia del eje.

Supóngase que un observador en el sistema en rotación mantiene una masa ${\displaystyle m}$ a una distancia ${\displaystyle R}$ del eje de rotación mediante un hilo de masa despreciable. El observador tira del hilo y modifica ligeramente el radio de rotación de la masa de ${\displaystyle \mathrm{\Delta }R}$. Eso le ha tomado un tiempo ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$. Como el momento dinámico es nulo, el momento angular de la masa se conserva. Si ${\displaystyle V}$ es la velocidad de la masa, la conservación del momento angular expresa:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }L=\mathrm{\Delta }(mVR)=m(\mathrm{\Delta }VR+V\mathrm{\Delta }R)=0}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{V}_1=-V\frac{\mathrm{\Delta }R}{R}}$

El signo menos indica que cuando el radio aumenta la velocidad tangencial disminuye.

Si la masa se moviese siguiendo una trayectoria radial, fija con respecto al sistema en rotación, conservando en consecuencia la misma velocidad angular ${\displaystyle \omega }$ del sistema en rotación, su velocidad lineal habría aumentado de ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{V}_2=\omega \mathrm{\Delta }R}$ (o disminuido, si ${\displaystyle \mathrm{\Delta }R}$ es negativo). Para un observador fijo, entre la velocidad de la masa que se ve obligada a seguir una trayectoria radial y la velocidad de la masa que conserva su momento angular hay una diferencia de:

${\displaystyle \mathrm{\Delta }{V}_3=\mathrm{\Delta }{V}_1-\mathrm{\Delta }{V}_2=-V\frac{\mathrm{\Delta }R}{R}-\omega \mathrm{\Delta }R=-\omega \mathrm{\Delta }R-\omega \mathrm{\Delta }R=-2\omega \mathrm{\Delta }R}$

Como el objeto no está sujeto al sistema en rotación, el observador en ese sistema ve la masa tomar una velocidad lateral ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{V}_3}$. Eso se interpreta como la aplicación de una fuerza lateral (de Coriolis). Si el cambio de velocidad tomó ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ segundos, la aceleración de Coriolis será (en valor absoluto):

${\displaystyle a_c=\frac{\mathrm{\Delta }{V}_3}{\mathrm{\Delta }t}=2\omega \frac{\mathrm{\Delta }R}{\mathrm{\Delta }t}=2\omega V_r}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle V_r}$	Velocidad radial

Esa aceleración corresponde a una fuerza (de Coriolis) de:

${\displaystyle F_c=2m\omega V_r}$

Considerando un objeto con velocidad tangencial ${\displaystyle V_t}$ vista por el observador en el sistema en rotación. Esta vez, la misma masa tenida por un hilo tiene una velocidad angular diferente del sistema en rotación. Para el observador en el sistema en rotación, las fuerzas que nota aplicadas a la masa para que siga una trayectoria circular son: la fuerza centrífuga ${\displaystyle m{\omega }^{2}R}$ que ve aplicada en todos los objetos, más la fuerza centrípeta debido a la rotación aparente de la masa ${\displaystyle m\frac{V^2}{R}}$. Pero eso no basta. Hay aún otra fuerza aparente, y es precisamente la fuerza de Coriolis. Se calcula ahora la fuerza centrípeta que ve un observador fijo: la velocidad tangencial es ${\displaystyle V_{\circ }=\omega R+V_t}$. Para este observador, la fuerza centrípeta que mantiene la masa a distancia constante será:

${\displaystyle F_{\circ }=m\frac{V^2}{R}=m\frac{{\left(\omega R+V_t\right)}^2}{R}=m\frac{\left({\omega }^2{R}^2+2\omega R{V}_t+V_t^2\right)}{R}=m\left({\omega }^{2}R+2\omega V_t+\frac{V_t^2}{R}\right)}$

El primer término es la fuerza centrífuga común a todos los objetos que giran con el sistema en rotación. El tercero es la fuerza centrípeta debida a la rotación de la masa con respecto al sistema en rotación. Y el segundo término es la fuerza de Coriolis. Es un término suplementario debido al hecho de que la fuerza centrípeta depende del cuadrado de la velocidad tangencial y no puede obtenerse sumando las fuerzas centrífuga y centrípeta debido a velocidades parciales. La fuerza de Coriolis es:

${\displaystyle F_c=2m\omega V_t}$

Como se ha dicho , esa fuerza es radial.

Demostración por la derivación en base móvil

Para esta demostración se utilizará el subíndice abs para indicar magnitudes vistas desde el sistema de referencia inercial, es decir, uno donde el espacio sea homogéneo e isótropo y donde el tiempo sea constante. El subíndice rel (relativa) se refiere a magnitudes vistas desde una referencia no galileana o no inercial. El subíndice ar (arrastre) hace referencia al movimiento de la base móvil respecto a la base fija. También es necesario conocer cómo se deriva en una base móvil:

${\displaystyle \dot{\mathbf{r}}=\sum _{i=1}^3{\dot{r}}_i{\mathbf{e}}_i+\sum _{i=1}^3{r}_i{\dot{\mathbf{e}}}_i=\sum _{i=1}^3{\dot{r}}_i{\mathbf{e}}_i+\mathbf{r}\times {\mathbf{\Omega }}_{ar}}$

Una aceleración es un cambio en la magnitud o en la orientación de la velocidad respecto del tiempo. Para esa demostración se considera un movimiento que no varía la magnitud de su velocidad, es decir, que no está sometido a fuerzas que tengan alguna componente en la dirección del movimiento. Entonces:

${\displaystyle {\mathbf{a}}_{abs}(P)={\dot{\mathbf{v}}}_{abs}(P)={\dot{\mathbf{v}}}_{rel}(P)+{\dot{\mathbf{v}}}_{ar}(P)}$

Por una parte:

${\displaystyle {\dot{\mathbf{v}}}_{rel}={\mathbf{a}}_{rel}(P)+{\mathbf{\Omega }}_{ar}\times {\mathbf{v}}_{rel}}$

Por otra:

${\displaystyle {\dot{\mathbf{v}}}_{ar}={\mathbf{a}}_{abs}(O_{rel})+({\mathbf{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P}{)}^{\prime }+{\mathbf{\Omega }}_{ar}\times ({\mathbf{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

donde:

${\displaystyle ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P}{)}^{\prime }={\dot{\mathrm{\Omega }}}_{ar}\times \overline{O_{rel}P}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \dot{\overline{O_{rel}P}}}$

Como no se considera el movimiento alrededor del Sol, sino sólo el giro de la tierra en torno a sí misma:

${\displaystyle {\mathbf{a}}_{abs}(O_{rel})=0,{\dot{\mathbf{\Omega }}}_{ar}=0}$

Además, como se está imaginando un movimiento sin aceleración relativa (como el de un proyectil):

${\displaystyle {\mathbf{a}}_{rel}(P)=0}$

quedando así:

${\displaystyle {\dot{v}}_{rel}=0+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}}$

${\displaystyle {\dot{v}}_{ar}=0+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \dot{\overline{O_{rel}P}}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

Pero:

${\displaystyle \dot{\overline{O_{rel}P}}=v_{rel}}$

Entonces:

${\displaystyle {\dot{v}}_{ar}={\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \dot{\overline{O_{rel}P}}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})={\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

Volviendo al principio:

${\displaystyle a_{abs}(P)={\dot{v}}_{abs}(P)={\dot{v}}_{rel}(P)+{\dot{v}}_{ar}(P)={\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

${\displaystyle a_{abs}(P)=2\cdot {\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}+{\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

La aceleración de Coriolis es el primer sumando:

${\displaystyle 2\cdot {\mathrm{\Omega }}_{ar}\times v_{rel}}$

La aceleración centrípeta es el segundo:

${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{ar}\times ({\mathrm{\Omega }}_{ar}\times \overline{O_{rel}P})}$

Meteorología, oceanografía y fuerza de Coriolis

El ejemplo más notorio de manifestación del efecto Coriolis se da cuando masas de aire o de agua se desplazan siguiendo meridianos terrestres, y su trayectoria y velocidad se ven modificadas por él.^[2] En efecto, los vientos o corrientes oceánicas que se desplazan siguiendo un meridiano se desvían acelerando en la dirección de giro (este) si van hacia los polos o al contrario (oeste) si van hacia el ecuador. Se puede añadir, que por consecuencia, en el Ecuador, no hay efecto de Coriolis. La manifestación de estas desviaciones produce, de manera análoga al giro de la bolita mostrado al principio, que las borrascas tiendan a girar en el hemisferio sur en el sentido de las agujas del reloj y, en el hemisferio norte, en sentido contrario.

El efecto de la fuerza de Coriolis deberá considerarse siempre que se estudie el movimiento de fluidos y también el de cualquier objeto móvil sobre esferas o superficies planas en rotación. Esto incluye a los planetas gaseosos del sistema solar, el Sol y todas las estrellas y, en el planeta Tierra, el movimiento de las aguas de los ríos, los lagos, los océanos y, por supuesto, de la atmósfera. El efecto de Coriolis predice que siempre que se observen los movimientos giratorios de esos cuerpos, los vórtices seguirán la norma descrita para las borrascas y anticiclones terrestres.^[3]

Además de su influencia sobre la atmósfera, es muy notoria la que tiene también sobre la circulación oceánica. En las cuencas que tienen la forma apropiada (como, por ejemplo, la cuenca del Atlántico norte y la del Atlántico sur), el efecto Coriolis desvía a las corrientes marinas hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur, de la misma manera que sucede con la circulación general de los vientos.

Las excepciones o modificaciones de este patrón general de la circulación general de los océanos tienen que ver con la disposición de las costas y la compensación introducida por las corrientes cálidas que van, en los océanos, de las costas orientales de la zona intertropical hacia las occidentales de las zonas templadas de los continentes (corriente del Golfo y de Kuro Shivo, especialmente). Además, en los océanos, lo mismo que sucede en la atmósfera, se produce una especie de convergencia en las latitudes ecuatoriales por la fuerza centrífuga del movimiento de rotación: tanto el océano como la atmósfera tienen un abombamiento ecuatorial por la rotación terrestre, de varios kilómetros de altura en el caso de los océanos y aún mayor en el caso de la atmósfera debido a su menor densidad. A su vez, este "abombamiento" ocasiona una especie de obstáculo a la libre circulación y al libre intercambio de energía (oceánica y atmosférica) entre los dos hemisferios. La circulación en la zona ecuatorial es, por lo tanto, de este a oeste, tanto en lo que respecta a las corrientes ecuatoriales del norte y del sur como con respecto a los alisios del noreste en el hemisferio norte y del sureste en el hemisferio sur. Por último, lo que se ha denominado abombamiento ecuatorial de los océanos tiene varias consecuencias: entre ellas, la formación de lo que se ha denominado contracorrientes ecuatoriales también del norte y del sur, definidas e identificadas en muchos atlas y libros de geografía y de ciencias de la Tierra, y la desviación hacia las zonas subtropicales y templadas: de nuevo, hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur.

Efectos de la fuerza de Coriolis

Una de las raras ocasiones en la cual una persona puede sentir la fuerza de Coriolis es cuando trata de caminar siguiendo una trayectoria radial en un tiovivo (o carrusel). Cuando la persona se aleja del eje de rotación, sentirá una fuerza que la empuja en el sentido contrario a la rotación: es la fuerza de Coriolis.^[4] Cuando una persona se aleja o se acerca del eje de rotación a una velocidad de 1 m/s en un tiovivo que gira a 10 vueltas por minuto, la aceleración de Coriolis es:

${\displaystyle a_c=2\omega V=2\frac{2\pi 10}{60}1=2m/s^2}$

Se trata, por consiguiente, de una aceleración lateral 4,6 veces más pequeña que la gravedad, pero que para una persona de 70 kg, eso corresponde a una fuerza lateral igual al peso de 15 kg. que es perfectamente percibida.

Objetos que se desplazan sobre la Tierra

La Tierra gira mucho más lentamente que un carrusel. Su velocidad angular es de ${\displaystyle 2\pi }$ radianes por día sideral (23 h, 56 m, 4,1 s) es decir ${\displaystyle \mathrm{7,292}{10}^{-5}rad/s}$. La aceleración de Coriolis debido a la rotación de la Tierra es mucho menor.

Cuando un cuerpo sigue una trayectoria norte-sur sobre la Tierra (siguiendo un meridiano), la componente radial de su velocidad (la velocidad a la cual el cuerpo se acerca o se aleja del eje de rotación terrestre) depende de la latitud del cuerpo. Es fácil ver que la componente radial es ${\displaystyle V_r=V_{NS}\sin (\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{d})}$. Cuando el cuerpo está cerca del ecuador, su distancia respecto al eje de la Tierra no cambia. Si la trayectoria del cuerpo es este-oeste y sigue un paralelo, su distancia respecto al eje terrestre no varía, pero ya hemos visto que sentirá una aceleración de Coriolis dirigida hacia el eje de la Tierra que vale ${\displaystyle a_{eje}=2\omega V_{EO}}$. La componente paralela a la superficie de la Tierra depende de la latitud y es: ${\displaystyle a_c=2\omega V_{EO}\sin (\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{d})}$.

Vemos que en los dos casos, visto desde la Tierra, un cuerpo que se desplaza sobre la superficie de la Tierra siente una aceleración lateral de valor ${\displaystyle a_c=2\omega V\sin (\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{d})}$ dirigida hacia la derecha de la velocidad.

Un cuerpo que se desplaza con una velocidad de 1 m/s, sin interacción con el suelo, a una latitud de 45° encuentra una aceleración lateral de Coriolis igual a:

${\displaystyle a_c=2\cdot \mathrm{7,292}\cdot {10}^{-5}\sin ({45}^{\circ })=1,03\cdot {10}^{-4}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}$,

lo cual corresponde a una fuerza lateral aproximadamente 100 000 veces menor que su propio peso. Dicho de otra manera, la trayectoria se desvía hacia la derecha como si el terreno estuviese inclinado hacia la derecha 1 milímetro cada 100 metros.

Si se trata de un avión cuya velocidad es 900 km/h (250 m/s), la aceleración será 250 veces mayor. El efecto será darle al avión una trayectoria circular de 4850 km de diámetro (a una latitud de 45°):

${\displaystyle a_c=2\omega V\sin ({45}^{\circ })=\frac{V^2}{R}}$

${\displaystyle 2R=\frac{V}{\omega \sin ({45}^{\circ })}=\frac{250}{\mathrm{7,292}\cdot {10}^{-5}\sin ({45}^{\circ })}=\mathrm{4,846}\cdot {10}^6\mathrm{m}}$

Por supuesto, el piloto corregirá esta desviación, pero no parece posible que pueda distinguirla de los efectos del viento o de los errores de reglaje de la posición neutra de los alerones de dirección y de profundidad.

Balística

Tomemos el caso de un obús, situado a una latitud de 45° y que tira un proyectil a 110 km de distancia. El ángulo de tiro para esa distancia es de 45°. Si se desprecia el efecto de los rozamientos con el aire, la velocidad horizontal del proyectil es de 734 m/s, y el tiempo de vuelo es de 150 segundos. La aceleración de Coriolis será:

${\displaystyle a_c=2\omega V\sin (\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{d})=7,58\cdot {10}^{-2}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}$

La distancia lateral de desvío provocada por la aceleración de Coriolis es:

${\displaystyle d=\frac{1}{2}{a}_c{t}^2=\frac{1}{2}7,58\cdot {10}^{-2}{150}^2=852\mathrm{m}}$

Esa distancia corresponde a un error en el ángulo de tiro de 0,44°. Las opiniones divergen sobre la importancia de este error, comparado con la influencia de otras fuerzas y, sobre todo, con la fuerza provocada por el efecto Magnus sobre proyectiles que giran axialmente.

Para cañones de menor alcance, el error en el ángulo de tiro es aún menor. Por ejemplo, para un proyectil cuyo alcance es de 20 km y cuya velocidad media es la misma, el error del ángulo es 25 veces menor.

Efecto Eötvös

Artículo principal: Efecto Eötvös

La versión simplificada del efecto Coriolis está ligada a su componente horizontal causada por movimientos horizontales con respecto a la superficie terrestre.

Pero también hay componentes verticales del efecto Coriolis que son significativos. Los objetos que viajen hacia el este a gran velocidad se desviarán hacia arriba (parecerán más ligeros), mientras que los que lo hagan hacia el oeste se desviarán hacia abajo (parecerán más pesados). Esto se conoce como el efecto Eötvös. Este componente vertical del efecto Coriolis es mayor en el ecuador, y se reduce a cero en los polos.

Otro caso a tener en cuenta es el de objetos que viajan en dirección perpendicular al plano terrestre. Aquellos que se desplacen arriba a gran velocidad se desviarán hacia el oeste y los que lo hagan hacia abajo se desviarán hacia el este. El efecto de nuevo alcanza su máximo en el ecuador y es 0 en los polos (en el ecuador un movimiento vertical es perpendicular al eje de rotación y en los polos sin embargo es paralelo y por lo tanto el efecto causado por Coriolis en ese caso es 0).

Explicación intuitiva

Imaginemos un tren que viaja por una vía sin rozamiento alrededor del ecuador de la Tierra a la velocidad necesaria para completar una vuelta al mundo en un día (465 m/s).^[5] Analizamos el efecto Coriolis en tres casos:

• 1. Cuando se desplaza hacia el oeste.
• 2. Cuando está en reposo.
• 3. Cuando se desplaza hacia el este.

Para cada uno de estos casos calculamos el efecto Coriolis, primero desde el punto de vista de nuestro sistema de referencia en rotación en la Tierra para a continuación comprobar que el resultado es el mismo observando el tren en un sistema de referencia inercial. En la siguiente imagen podemos observar los tres casos en el sistema de referencia inercial vistos desde un punto fijo sobre la tierra en su eje de rotación:

1. El tren viaja hacia el oeste: En este caso el movimiento es en dirección contraria a la de rotación, por lo tanto en el sistema de referencia en rotación de la tierra el término causado por el efecto Coriolis está dirigido hacia el eje de rotación, en el ecuador esto es hacia abajo, aplicando la fórmula del efecto Coriolis el tren y sus pasajeros deberían ser más pesados mientras se desplazan hacia el oeste.

• Si observamos el tren en el sistema de referencia inercial desde el punto fijo sobre el Polo Norte, observamos que a esa velocidad este se mantiene inmóvil mientras que la Tierra rota bajo el tren, por tanto la única fuerza que actúa sobre el tren es la gravedad y la fuerza de reacción de las vías. Esta fuerza es mayor (un 0,34%)^[5] que la fuerza total resultante experimentada por el tren cuando está en reposo (y rotando junto con la Tierra). El efecto Coriolis permite explicar esta diferencia en nuestro sistema de referencia en rotación.

2. El tren se para: Desde nuestro punto de vista en la tierra (sistema de referencia en rotación) la velocidad del tren es 0 y por tanto la fuerza derivada de Coriolis es también 0 por lo que tanto el tren como sus pasajeros recuperan su peso normal.

• Desde el punto de vista fijo sobre la Tierra en el sistema de referencia inercial, el tren gira en este caso junto con el resto de la Tierra. Un 0,34 por ciento de la fuerza de la gravedad aporta la fuerza centrípeta necesaria para conseguir el movimiento circular en ese sistema de referencia. El resto de la fuerza que se podría medir usando una báscula, causaría que el tren y sus pasajeros fueran más ligeros que en el caso anterior.

3. El tren cambia su dirección y viaja hacia el este. En este caso al moverse en la misma dirección que la rotación terrestre, el efecto de Coriolis estará dirigido hacia fuera del eje de rotación, es decir, hacia arriba. Esta fuerza causará que el tren y sus pasajeros registren un menor peso que cuando se encontraban en reposo.

Gráfico de la fuerza experimentada por un objeto de 10 kilogramos en función de su velocidad de desplazamiento por el ecuador terrestre (dentro del sistema de referencia en rotación). (Los valores positivos en el eje de fuerza están dirigidos hacia arriba. Los valores positivos en el eje de velocidad están dirigidos hacia el este y los negativos hacia el oeste).

• Visto desde el espacio, en el sistema de referencia inercial el tren al viajar hacia el este sumará su velocidad a la de la tierra y por tanto se verá girando al doble de velocidad que cuando estaba en reposo y por tanto la cantidad de fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular es mayor reduciendo la fuerza neta actuando sobre las vías hacia el centro de la tierra. Esta diferencia de fuerza es la explicada anteriormente por el término de Coriolis en sistema de referencia en rotación.
• Como comprobación final podemos imaginar al propio tren como sistema de referencia en rotación. Ya que el sistema rota al doble de velocidad angular que el de la tierra el componente de fuerza centrífuga en dicho sistema de referencia es mayor que el de la tierra y al estar los pasajeros en reposo en dicho sistema este sería el único componente adicional, explicando de nuevo que el tren y sus pasajeros sean más ligeros que en los dos casos anteriores.

Esto explica por qué los proyectiles a alta velocidad que se disparan hacia el este se desvían hacia arriba mientras que si son disparados hacia el oeste la desviación es hacia abajo. Esta componente vertical del efecto de Coriolis se denomina el Efecto Eötvös.^[6]

Podemos usar el ejemplo para explicar por qué el efecto Eötvös comienza a reducirse en objetos que viajan hacia el oeste una vez que su velocidad tangencial supera la velocidad de rotación de la tierra (465 m/s en el ecuador). Si el tren que viaja hacia el oeste en el ejemplo incrementa su velocidad en esa dirección y lo observamos desde el sistema de referencia inercial en el espacio veremos que empieza a rotar alrededor de la tierra que gira debajo en dirección contraria. Para mantener esa trayectoria circular, parte de la fuerza de la gravedad que empuja al tren contra las vías actuaría como fuerza centrípeta. Una vez que el tren doblara su velocidad a 930 m/s la fuerza centrípeta sería igual a la experimentada cuando el tren se encuentra parado. Desde el punto de vista del sistema de referencia inercial en ambos casos el tren está rotando a la misma velocidad (465 m/s) solo que en direcciones opuestas. Por lo tanto la fuerza es la misma y por tanto el efecto Eötvös se cancelaría completamente a esa velocidad. Cualquier objeto que se mueva hacia el oeste a una velocidad superior a 930 m/s no experimentara una desviación hacia abajo, sino hacia arriba. El gráfico de la derecha ilustra la fuerza causada por el efecto Eötvös que experimentaría un objeto de 10 gramos en el tren del ejemplo en función de su velocidad. La forma parabólica del gráfico se explica porque la fórmula de la fuerza centrípeta es proporcional al cuadrado de la velocidad tangencial. En el sistema de referencia inercial la parte de abajo de la parábola estaría centrada en el origen. El desplazamiento del origen se explica porque estamos usando el sistema de referencia en rotación de la tierra. Observando el gráfico podemos comprobar que el efecto Eötvös no es simétrico, y que la fuerza hacia abajo experimentada por un objeto viajando hacia el oeste a gran velocidad es menor que la fuerza hacia arriba experimentada por el mismo objeto viajando en dirección al este a la misma velocidad.

Aplicación práctica

Una aplicación práctica de la fuerza de Coriolis es el caudalímetro másico, un instrumento que mide el caudal másico de un fluido que circula a través de una tubería. Este instrumento fue comercializado en 1977 por Micro Motion Inc.

Los caudalímetros normales miden el caudal volumétrico, el cual es proporcional al caudal másico sólo cuando la densidad del fluido es constante. Si el fluido tiene una variación de densidad o contiene burbujas, entonces el caudal volumétrico, multiplicado por la densidad, no será exactamente igual al caudal másico. El caudalímetro másico de Coriolis funciona aplicando una fuerza de vibración a un tubo curvado a través del cual pasa el fluido. El efecto Coriolis crea una fuerza en el tubo perpendicular a ambas direcciones: la de vibración y la dirección de la corriente. Esta fuerza se mide para obtener el caudal másico. Los caudalímetros de Coriolis pueden usarse además con fluidos no newtonianos, en los cuales los caudalímetros normales tienden a dar resultados erróneos. El mismo instrumento puede usarse para medir la densidad del fluido. Este instrumento tiene una novedad adicional, que consiste en que el fluido está en un tubo liso, sin partes móviles, que no necesita limpieza ni mantenimiento y presenta una caída de presión muy baja.