EPÓNIMOS RELACIONADOS CON LA FÍSICA

 MECÁNICA HAMILTONIANA

Transformación de dispersión inversa.

Un sistema integrable es un caso particular de sistema hamiltoniano cuyas ecuaciones de movimiento pueden ser resueltas para cualquier conjunto de condiciones iniciales mediante cuadraturas. Estos sistemas admiten un número suficiente de constantes de movimiento en involución. El teorema de Liouville-Arnold afirma que un sistema con n grados de libertad es integrable si posee n constantes de movimiento en involución.

Definición de sistema integrable

Sea un sistema haimiltoniano definido sobre una variedad simpléctica ${\displaystyle \mathcal{P}}$ o, equivalentemente, sobre el espacio fásico del sistema. Se dice que una familia de funciones ${\displaystyle F_1,\dots ,F_n}$ definidas sobre la variedad simpléctica M (o el espacio fásico) es independiente si las 1-formas ${\displaystyle d{F}_1,\dots ,d{F}_n}$ son linealmente independientes en cualquier punto de M.

Un sistema hamiltoniano sobre M de dimensión 2n se dice integrable en el sentido de Liouville si su hamiltoniano admite n integrales de movimiento independienes en involución, es decir:

1. ${\displaystyle \{H,F_i\}=0}$ para ${\displaystyle 1\le i\le n}$.
2. ${\displaystyle \{F_i,F_j\}=0}$ para ${\displaystyle 1\le i,j\le n}$.
3. ${\displaystyle d{F}_1\wedge \cdots \wedge d{F}_n\ne 0}$.

donde ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ es el paréntesis de Poisson.

Ejemplos

Sistema que admite n variables ángulo-acción

Considerando las variables estándar ángulo-acción ${\displaystyle (\theta ,I)\in {\mathbb{T}}^n\times {\mathbb{R}}^n\subset \mathcal{P}}$ cualquier hamiltoniano de la forma ${\displaystyle H=H(I)}$ es integrable con las integrales:

${\displaystyle F_i=I_i,1\le i\le n}$

que están en involución en cualquier punto y son independientes.

Oscilador armónico

Sea un oscilador armónico con n grados de libertad y sean las coordenadas canónicas ${\displaystyle (q,p)\in {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n}$, entonces cualquier hamiltoniano de la forma:

${\displaystyle H=H(q_1^2+p_1^2,\dots ,q_n^2+p_n^2)}$

Es integrable siendo las integrales de movimiento en involución:

${\displaystyle F_i=q_i^2+p_i^2,1\le i\le n}$

Integrabilidad y foliación

Geométricamente puede demostrarse que la definición de integrabilidad en el sentido de Liouville garantiza que existen n foliación tales que la intersección de ellas son precisamente las trayectorias del sistema en el espacio fásico.

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica de dimensión ${\displaystyle 2n}$ en el que se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen integrales de movimiento ${\displaystyle F_i}$ independientes. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada ${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$ sobre un subconjunto abierto y conexo ${\displaystyle N\subset {\mathbb{R}}^k}$.

(ii) Existen funciones reales diferenciables ${\displaystyle s_{ij}}$ en ${\displaystyle N}$ tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se expresa como ${\displaystyle \{F_i,F_j\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) La función matricial ${\displaystyle s_{ij}}$ es de corrango constante ${\displaystyle m=2n-k}$ en ${\displaystyle N}$.

Si ${\displaystyle k=n}$, el sistema es completamente integrable. El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold para las coordenadas de acción-ángulo en sistemas completamente integrables como sigue.

Supongamos que las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable son conexas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada ${\displaystyle F}$ es un fibrado en el toro ${\displaystyle T^m}$. Existe un entorno abierto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle F}$ que es un fibrado trivial dado con las coordenadas de acción-ángulo generalizadas ${\displaystyle (I_A,p_i,q^i,{\varphi }^A)}$, ${\displaystyle A=1,\dots ,m}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,n-m}$ tal que ${\displaystyle ({\varphi }^A)}$ son coordenadas en ${\displaystyle T^m}$. Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica ${\displaystyle U}$. El hamiltoniano de un sistema superintegrable solo depende de las variebles de acción ${\displaystyle I_A}$ que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en ${\displaystyle F(U)}$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas, que son difeomorfas al cilindro toroidal ${\displaystyle T^{m-r}\times {\mathbb{R}}^r}$.

En mecánica clásica, un sistema físico se denomina sistema monogénico si las fuerzas que actúa sobre él puede formularse a partir de un potencial escalar ${\displaystyle \mathcal{U}}$ (o más generalmente, de un potencial escalar generalizado ${\displaystyle \mathcal{V}}$). El término fue introducido por Cornelius Lanczos en su libro "Los principios variacionales de la mecánica " (1970) para referirse a fuerzas "de un solo origen" (que es el significado de monogénico).^[1][2] En contraposición, Lanczos describe los sistemas poligénicos, esto es, un sistema en el cual las fuerzas no pueden formularse a partir de un potencial escalar ${\displaystyle \mathcal{U}}$ ni de un potencial escalar generalizado ${\displaystyle \mathcal{V}}$. ^[2] Los sistemas que se estudian en física pueden ser monogénicos, poligénicos o una combinación de ambos.

En Mecánica lagrangiana, que un sistema sea monogénico es una condición necesaria para que el sistema sea equivalente matemáticamente bajo ciertas formulaciones de la mecánica. Si un sistema físico es holónomo y monogénico, entonces es posible obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de d'Alembert. Para un sistema poligénico es posible obtener las mismas ecuaciones. Sin embargo, aparecerá un término ${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i}$ que contiene las fuerzas poligénicas del sistema. También es posible obtener ambos conjuntos de ecuaciones a partir del principio de Hamilton.^[3]

Definición matemática

Si un sistema físico es tal que todas las fuerzas activas, esto es, todas las fuerzas que no producen ligaduras en el sistema, pueden expresarse a través de un potencial escalar generalizado ${\displaystyle \mathcal{V}}$ que es función de las coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y posiblemente del tiempo, entonces se dice que el sistema es monogénico. La relación entre la fuerza generalizada ${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i}$ y el potencial escalar generalizado ${\displaystyle \mathcal{V}(q_1,q_2,\dots ,q_N,{\dot{q}}_1,{\dot{q}}_2,\dots ,{\dot{q}}_N,t)}$ es como sigue:

$${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i=-\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{V}}{\mathrm{\partial }{q}_i}+\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{V}}{\mathrm{\partial }\dot{q_i}}\right);}$$

donde ${\displaystyle q_i}$ es la i-ésima coordenada generalizada, ${\displaystyle \dot{q_i}}$ es la i-ésima velocidad generalizada y ${\displaystyle t}$ es el tiempo.

Si el potencial escalar generalizado asociado a un sistema monogénico únicamente es función de las coordenadas generalizadas ${\displaystyle q_i}$ y no de velocidades generalizadas ${\displaystyle \dot{q_i}}$ y el tiempo ${\displaystyle t}$, entonces se dice que el sistema es monogénico y conservativo.^[3] En este caso, la relación entre la fuerza generalizada ${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i}$ y el potencial escalar generalizado ${\displaystyle \mathcal{V}}$ es la siguiente:

$${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i=-\frac{\mathrm{\partial }\mathcal{V}}{\mathrm{\partial }{q}_i}.}$$

Sin embargo, la expresión de la derecha puede verse como el gradiente de un potencial escalar ${\displaystyle \mathcal{U}}$ que solo depende de las posiciones ${\displaystyle q_i}$. Con esto, un sistema monogénico y conservativo recupera la forma familiar

$${\displaystyle {\mathcal{Q}}_i=-\mathrm{\nabla }\mathcal{U}.}$$

En física, el teorema de Liouville es un resultado de la mecánica hamiltoniana sobre la evolución temporal de un sistema mecánico. Un conjunto de partículas con condiciones iniciales cercanas pueden representarse por la región conexa que ocupa en el espacio de fases. El teorema establece que dicha región mantendrá invariante su volumen a pesar de que se estirará y se encogerá a medida que cada partícula evolucione.

Introducción

Consideremos una región del espacio fásico que evoluciona con el tiempo al desplazarse sobre su trayectoria. Cada uno de sus puntos se transforma al cabo del tiempo en una región de forma diferente ubicada, además, en otra parte del espacio fásico. El teorema de Liouville afirma que a pesar de la traslación y el cambio de forma el «volumen» total de dicha región permanecerá invariante. Además debido a la continuidad de la evolución temporal si la región es conexa inicialmente seguirá siendo conexa todo el tiempo.

Casi todas las demostraciones usan el hecho de que la evolución temporal de una «nube» de puntos en el espacio fásico es de hecho una transformación canónica que cambiará la forma y posición de dicha nube, aunque mantendrá su volumen total.

Demostración directa

Una forma de probar que la evolución temporal es una transformación canónica, cosa relativamente sencilla, y a partir de ahí calcular directamente el determinante de dicho cambio de coordenadas, y probar que de hecho el determinante de dicha transformación es igual a 1, lo cual prueba la invariancia del volumen.

Demostración basada en la forma simpléctica

Otra forma de probar el teorema es tener en cuenta que la forma de volumen ${\displaystyle {\eta }_{\mathrm{\Gamma }}}$ del espacio fásico es el n-ésimo producto de la forma simpléctica, y que está de acuerdo con el teorema de Darboux se expresa como producto de pares de variables canónicamente conjugadas:

${\displaystyle {\eta }_{\mathrm{\Gamma }}=\underset{i=1}{\overset{n}{\bigwedge }}\omega ={\omega }_1\wedge \cdots \wedge {\omega }_n=d{p}_1\wedge \cdots \wedge d{p}_n\wedge d{q}_1\wedge \cdots \wedge d{q}_n=d{P}_1\wedge \cdots \wedge d{P}_n\wedge d{Q}_1\wedge \cdots \wedge d{Q}_n}$

De donde se sigue que el determinante de la transformación es igual a 1 y, por tanto:

${\displaystyle \mathrm{\forall }V\subset \mathrm{\Gamma }:{\int }_V{d}^n\mathbf{q}{d}^n\mathbf{p}={\int }_{{\varphi }_{\tau }(V)}{d}^n\mathbf{Q}{d}^n\mathbf{P}}$ :\quad \int _{V}d^{n}\mathbf {q} d^{n}\mathbf {p} =\int _{\phi _{\tau }(V)}d^{n}\mathbf {Q} d^{n}\mathbf {P} }

Esta última expresión es esencialmente el enunciado del teorema de Liouville.

Ecuación de Liouville

El teorema de Liouville puede reescribirse en términos del corchete de Poisson. Esta forma alternativa, conocida como ecuación de Liouville, viene dada por:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}=-\{\rho ,H\}}$

o en términos del operador de Liouville, también llamado «Liouvilliano»:

${\displaystyle \hat{\mathbf{L}}=\sum _{i=1}^d\left[\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{p}_i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{q}^i}-\frac{\mathrm{\partial }H}{\mathrm{\partial }{q}^i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }{p}_i}\right],}$

que lleva a la forma:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }\rho }{\mathrm{\partial }t}+\hat{\mathbf{L}}\rho =0.}$

Mecánica cuántica

En mecánica cuántica existe un resultado análogo al teorema de Liouville que describe la evolución de un estado mezcla. De hecho, se puede llegar a la versión mecano-cuántica de este resultado mediante la simple cuantización canónica. Aplicando ese procedimiento formal llegamos a al análogo cuántico del teorema de Liouville:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }t}\rho =-\frac{i}{\hslash }[H,\rho ]}$

Donde ρ es la matriz densidad. Cuando se aplica el resultado al valor esperado de un observable, la correspondiente ecuación dada por el teorema de Ehrenfest toma la forma:

${\displaystyle \frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{i}{\hslash }⟨[H,A]⟩}$

Donde ${\displaystyle A}$ es un observable.