MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL, CONTINUACIÓN

Resolviendo ecuaciones algebraicas [ editar ]

Ver también: resolución de ecuaciones.

Un problema típico de álgebra.

Las siguientes secciones presentan ejemplos de algunos de los tipos de ecuaciones algebraicas que se pueden encontrar.

Ecuaciones lineales con una variable [ editar ]

Artículo principal: Ecuación lineal.

Las ecuaciones lineales se llaman así, porque cuando se trazan, describen una línea recta. Las ecuaciones más simples de resolver son ecuaciones lineales que tienen una sola variable. Contienen solo números constantes y una sola variable sin un exponente. Como ejemplo, considere:

Problema en palabras: si doblas la edad de un niño y sumas 4, la respuesta resultante es 12. ¿Qué edad tiene el niño?

Ecuación equivalente: $${\ displaystyle 2x + 4 = 12} dónde $${\ displaystyle x} representar la edad del niño

Para resolver este tipo de ecuación, la técnica es sumar, restar, multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el mismo número para aislar la variable en un lado de la ecuación. Una vez que la variable está aislada, el otro lado de la ecuación es el valor de la variable. ^[32] Este problema y su solución son los siguientes:

1. Ecuación a resolver:	$${\ displaystyle 2x + 4 = 12}
2. Resta 4 de ambos lados:	$${\ displaystyle 2x + 4-4 = 12-4}
3. Esto se simplifica a:	$${\ displaystyle 2x = 8}
4. Divide ambos lados por 2:	$${\ displaystyle {\ frac {2x} {2}} = {\ frac {8} {2}}}
5. Esto simplifica a la solución:	$${\ displaystyle x = 4}

En palabras: el niño tiene 4 años.

La forma general de una ecuación lineal con una variable, se puede escribir como: $${\ displaystyle ax + b = c}

Siguiendo el mismo procedimiento (es decir, restar $${\ displaystyle b} de ambos lados, y luego dividir por $${\ displaystyle a}), la solución general está dada por $${\ displaystyle x = {\ frac {cb} {a}}}

Ecuaciones lineales con dos variables [ editar ]

Resolver dos ecuaciones lineales con una solución única en el punto en que se intersecan.

Una ecuación lineal con dos variables tiene muchas soluciones (es decir, un número infinito de). ^[33] Por ejemplo:

Problema en palabras: un padre es 22 años mayor que su hijo. ¿Qué edad tienen?

Ecuación equivalente: $${\ displaystyle y = x + 22} dónde $${\ displaystyle y} es la edad del padre, $${\ displaystyle x}es la edad del hijo.

Esto no puede ser resuelto por sí mismo. Si la edad del hijo se diera a conocer, entonces ya no habría dos incógnitas (variables), y el problema se convierte en una ecuación lineal con una sola variable, que se puede resolver como se describe anteriormente.

Para resolver una ecuación lineal con dos variables (incógnitas), se requieren dos ecuaciones relacionadas. Por ejemplo, si también se revelara que:

Problema en palabras:	En 10 años, el padre tendrá el doble de edad que su hijo.
Ecuación equivalente:	$${\ displaystyle y + 10 = 2 \ times (x + 10)}
Resta 10 de ambos lados:	$${\ displaystyle y = 2 \ times (x + 10) -10}
Múltiples corchetes:	$${\ displaystyle y = 2x + 20-10}
Simplificar:	$${\ displaystyle y = 2x + 10}

Ahora hay dos ecuaciones lineales relacionadas, cada una con dos incógnitas, que permiten la producción de una ecuación lineal con solo una variable, restando una de la otra (llamado método de eliminación): ^[34]

Segunda ecuación	$${\ displaystyle y = 2x + 10}
Primera ecuación	$${\ displaystyle y = x + 22}
Resta la primera ecuación de  la segunda para eliminar$${\ displaystyle y}	$${\ displaystyle (yy) = (2x-x) + 10-22}
Simplificar	$${\ displaystyle 0 = x-12}
Agrega 12 a ambos lados	$${\ displaystyle 12 = x}
Arreglar de nuevo	$${\ displaystyle x = 12}

En otras palabras, el hijo tiene 12 años y, como el padre, 22 años, debe tener 34. En 10 años, el hijo tendrá 22 y el padre tendrá el doble de edad, 44. Este problema se ilustra en La gráfica asociada de las ecuaciones.

Para otras formas de resolver este tipo de ecuaciones, vea a continuación, Sistema de ecuaciones lineales .

Ecuaciones cuadráticas [ editar ]

Artículo principal: Ecuación cuadrática.

Diagrama de ecuación cuadrática de $${\ displaystyle y = x ^ {2} + 3x-10} mostrando sus raíces en $${\ displaystyle x = -5} y $${\ displaystyle x = 2}, y que la cuadrática se puede reescribir como $${\ displaystyle y = (x + 5) (x-2)}

Una ecuación cuadrática es una que incluye un término con un exponente de 2, por ejemplo, $${\ displaystyle x ^ {2}}, ^[35] y ningún término con mayor exponente. El nombre deriva del quadrus latino , que significa cuadrado. ^[36] En general, una ecuación cuadrática se puede expresar en la forma$${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}, ^[37] donde$${\ displaystyle a}no es cero (si fuera cero, entonces la ecuación no sería cuadrática sino lineal). Debido a esto una ecuación cuadrática debe contener el término$${\ displaystyle ax ^ {2}}, que se conoce como el término cuadrático. Por lo tanto$${\ displaystyle a \ neq 0}, y asi podemos dividir por $${\ displaystyle a} y reorganizar la ecuación en la forma estándar

$${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}

dónde $${\ displaystyle p = {\ frac {b} {a}}} y $${\ displaystyle q = {\ frac {c} {a}}}. Resolver esto, mediante un proceso conocido como completar el cuadrado , lleva a la fórmula cuadrática

$${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}},}

donde el símbolo "±" indica que ambos

$${\ displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ quad {\ text {y}} \ quad x = {\ frac {-b- { \ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}

Son soluciones de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones cuadráticas también se pueden resolver mediante la factorización (cuyo proceso inverso es la expansión , pero para dos términos lineales a veces se denota frustrar ). Como ejemplo de factoring:

$${\ displaystyle x ^ {2} + 3x-10 = 0,}

que es lo mismo que

$${\ displaystyle (x + 5) (x-2) = 0.}

De la propiedad del producto cero se deduce que$${\ displaystyle x = 2} o $${\ displaystyle x = -5}son las soluciones, ya que precisamente uno de los factores debe ser igual a cero . Todas las ecuaciones cuadráticas tendrán dos soluciones en el sistema numérico complejo , pero no necesitan tener ninguna en el sistema numérico real . Por ejemplo,

$${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0}

no tiene una solución de números reales ya que ningún número real al cuadrado es igual a −1. A veces, una ecuación cuadrática tiene una raíz de multiplicidad 2, como:

$${\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = 0.}

Para esta ecuación, −1 es una raíz de multiplicidad 2. Esto significa que −1 aparece dos veces, ya que la ecuación puede reescribirse en forma factorizada como

$${\ displaystyle [x - (- 1)] [x - (- 1)] = 0.}

Números complejos [ editar ]

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen exactamente dos soluciones en números complejos (pero pueden ser iguales entre sí), una categoría que incluye números reales , números imaginarios y sumas de números reales e imaginarios. Los números complejos surgen por primera vez en la enseñanza de las ecuaciones cuadráticas y la fórmula cuadrática. Por ejemplo, la ecuación cuadrática.

$${\ displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 0}

tiene soluciones

$${\ displaystyle x = {\ frac {-1 + {\ sqrt {-3}}} {2}} \ quad \ quad {\ text {y}} \ quad \ quad x = {\ frac {-1- { \ sqrt {-3}}} {2}}.}

Ya que $${\ displaystyle {\ sqrt {-3}}}no es un número real, ambas soluciones para x son números complejos.

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas [ editar ]

Artículo principal: logaritmo

La gráfica del logaritmo para basar 2 cruza el eje x( eje horizontal) en 1 y pasa a través de los puntos con coordenadas (2, 1) , (4, 2) y (8, 3) . Por ejemplo, log ₂ (8) = 3 , porque 2 ³ = 8. El gráfico se aproxima arbitrariamente al eje y , pero no lo encuentra ni lo intersecta .

Una ecuación exponencial es aquella que tiene la forma $${\ displaystyle a ^ {x} = b} para {\ displaystyle a> 0}, ^[38] que tiene solución

$${\ displaystyle X = \ log _ {a} b = {\ frac {\ ln b} {\ ln a}}}

cuando {\ displaystyle b> 0}. Las técnicas de álgebra elemental se utilizan para volver a escribir una ecuación dada de la manera anterior antes de llegar a la solución. Por ejemplo, si

$${\ displaystyle 3 \ cdot 2 ^ {x-1} + 1 = 10}

luego, al restar 1 de ambos lados de la ecuación, y luego dividir ambos lados por 3 obtenemos

$${\ displaystyle 2 ^ {x-1} = 3}

De dónde

$${\ displaystyle x-1 = \ log _ {2} 3}

o

$${\ displaystyle x = \ log _ {2} 3 + 1.}

Una ecuación logarítmica es una ecuación de la forma. $${\ displaystyle log_ {a} (x) = b} para {\ displaystyle a> 0}, que tiene solucion

$${\ displaystyle X = a ^ {b}.}

Por ejemplo, si

$${\ displaystyle 4 \ log _ {5} (x-3) -2 = 6}

luego, al sumar 2 a ambos lados de la ecuación, seguido de dividir ambos lados por 4, obtenemos

$${\ displaystyle \ log _ {5} (x-3) = 2}

De dónde

$${\ displaystyle x-3 = 5 ^ {2} = 25}

de la cual obtenemos

$${\ displaystyle x = 28.}

Ecuaciones radicales [ editar ]

Ecuación radical que muestra dos formas de representar la misma expresión. La barra triple significa que la ecuación es verdadera para todos los valores de x

Una ecuación radical es aquella que incluye un signo radical, que incluye raíces cuadradas ,$${\ displaystyle {\ sqrt {x}},} raíces cúbicas ,$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}}}, y n th raíces ,$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}}. Recordemos que un n º raíz puede ser reescrita en formato exponencial, por lo que$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}}} es equivalente a $${\ displaystyle x ^ {\ frac {1} {n}}}. Combinado con exponentes regulares (potencias), entonces $${\ displaystyle {\ sqrt [{2}] {x ^ {3}}}} (la raíz cuadrada de $${\ displaystyle x} en cubos), puede ser reescrito como $${\ displaystyle x ^ {\ frac {3} {2}}}. ^[39] Así que una forma común de ecuación radical es$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x ^ {m}}} = a} (equivalente a $${\ displaystyle x ^ {\ frac {m} {n}} = a}) dónde $${\ displaystyle m} y $${\ displaystyle n}son números enteros . Tiene solución (s) real (es):

$${\ displaystyle n} es impar	$${\ displaystyle n}es parejo  y$${\ displaystyle a \ geq 0}	$${\ displaystyle n} y $${\ displaystyle m}son pares  y {\ displaystyle a <0 font="">	$${\ displaystyle n} incluso, $${\ displaystyle m} es extraño , y {\ displaystyle a <0 font="">
$${\ displaystyle x = {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}} equivalentemente $${\ displaystyle x = \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}	$${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}} equivalentemente $${\ displaystyle x = \ pm \ left ({\ sqrt [{n}] {a}} \ right) ^ {m}}	$${\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{n}] {a ^ {m}}}}	no hay solución real

Por ejemplo, si:

$${\ displaystyle (x + 5) ^ {3/2} = 4}

entonces

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x + 5 & = \ pm ({\ sqrt {4}}) ^ {3} \\ x + 5 & = \ pm 8 \\ x & = - 5 \ pm 8 \\ x & = 3, -13 \ final {alineado}}}

Sistema de ecuaciones lineales [ editar ]

Articulo principal: Sistema de ecuaciones lineales.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos variables.

Método de eliminación [ editar ]

El conjunto de soluciones para las ecuaciones. $${\ displaystyle xy = -1} y $${\ displaystyle 3x + y = 9} es el punto único (2, 3).

Un ejemplo de resolver un sistema de ecuaciones lineales es mediante el uso del método de eliminación:

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}

Multiplicando los términos en la segunda ecuación por 2:

$${\ displaystyle 4x + 2y = 14}

$${\ displaystyle 4x-2y = 2.}

Sumando las dos ecuaciones para obtener:

$${\ displaystyle 8x = 16}

lo que simplifica a

$${\ displaystyle x = 2.}

Desde el hecho de que $${\ displaystyle x = 2} es conocido, entonces es posible deducir que $${\ displaystyle y = 3} por cualquiera de las dos ecuaciones originales (utilizando 2 en lugar de$${\ displaystyle x} ) La solución completa a este problema es entonces

$${\ displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}

Tenga en cuenta que esta no es la única manera de resolver este sistema específico; $${\ displaystyle y} podría haber sido resuelto antes $${\ displaystyle x}.

Método de sustitución [ editar ]

Otra forma de resolver el mismo sistema de ecuaciones lineales es por sustitución.

{\ displaystyle {\ begin {cases} 4x + 2y & = 14 \\ 2x-y & = 1. \ end {cases}}}

Un equivalente para $${\ displaystyle y}se puede deducir usando una de las dos ecuaciones. Usando la segunda ecuación:

$${\ displaystyle 2x-y = 1}

Restando $${\ displaystyle 2x} De cada lado de la ecuación:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 2x-2x-y & = 1-2x \\ - y & = 1-2x \ end {alineado}}}

y multiplicando por −1:

$${\ displaystyle y = 2x-1.}

Usando esto $${\ displaystyle y} Valor en la primera ecuación en el sistema original:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 4x + 2 (2x-1) & = 14 \\ 4x + 4x-2 & = 14 \\ 8x-2 & = 14 \ end {alineado}}}

Sumando 2 a cada lado de la ecuación:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 8x-2 + 2 & = 14 + 2 \\ 8x & = 16 \ end {alineado}}}

lo que simplifica a

$${\ displaystyle x = 2}

Usando este valor en una de las ecuaciones, se obtiene la misma solución que en el método anterior.

$${\ displaystyle {\ begin {cases} x = 2 \\ y = 3. \ end {cases}}}

Tenga en cuenta que esta no es la única manera de resolver este sistema específico; en este caso también$${\ displaystyle y}podría haber sido resuelto antes $${\ displaystyle x}.

Otros tipos de sistemas de ecuaciones lineales [ editar ]

Sistemas inconsistentes [ editar ]

Las ecuaciones $${\ displaystyle 3x + 2y = 6} y $${\ displaystyle 3x + 2y = 12} son paralelos y no se pueden intersectar, y es imposible de resolver.

Diagrama de una ecuación cuadrática (rojo) y una ecuación lineal (azul) que no se intersecan, y en consecuencia para la cual no hay una solución común.

En el ejemplo anterior, existe una solución. Sin embargo, también hay sistemas de ecuaciones que no tienen ninguna solución. Tal sistema se llama inconsistente . Un ejemplo obvio es

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} x + y & = 1 \\ 0x + 0y & = 2 \,. \ end {alineado}} \ fin {cases}}}

Como 0 ≠ 2, la segunda ecuación en el sistema no tiene solución. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. Sin embargo, no todos los sistemas inconsistentes son reconocidos a primera vista. Como ejemplo, consideremos el sistema.

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 4 \,. \ end {alineado}} \ end {cases}}}

Multiplicando por 2 ambos lados de la segunda ecuación, y sumándolo a la primera resulta en

$${\ displaystyle 0x + 0y = 4 \ ,,}

que claramente no tiene solución.

Sistemas indeterminados [ editar ]

También hay sistemas que tienen infinitas soluciones, en contraste con un sistema con una solución única (es decir, un par único de valores para $${\ displaystyle x} y $${\ displaystyle y}) Por ejemplo:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} 4x + 2y & = 12 \\ - 2x-y & = - 6 \ end {alineado}} \ end {cases}}}

Aislando $${\ displaystyle y} en la segunda ecuación:

$${\ displaystyle y = -2x + 6}

Y usando este valor en la primera ecuación en el sistema:

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} 4x + 2 (-2x + 6) = 12 \\ 4x-4x + 12 = 12 \\ 12 = 12 \ end {alineado}}}

La igualdad es verdadera, pero no proporciona un valor para $${\ displaystyle x}. De hecho, uno puede verificar fácilmente (simplemente rellenando algunos valores de$${\ displaystyle x}) que para cualquier $${\ displaystyle x} hay una solución mientras $${\ displaystyle y = -2x + 6}. Hay un número infinito de soluciones para este sistema.

Sistemas de sobre y indeterminados [ editar ]

Los sistemas con más variables que el número de ecuaciones lineales se denominan indeterminados . Un sistema así, si tiene alguna solución, no tiene uno único, sino más bien una infinitud de ellos. Un ejemplo de tal sistema es

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {alineado} x + 2y & = 10 \\ yz & = 2. \ end {alineado}} \ end {cases}}}

Cuando se trata de resolverlo, a uno se le indica que exprese algunas variables como funciones de los demás si existen soluciones, pero no puede expresar todas las soluciones. numéricamente porque hay un número infinito de ellas si las hay.

Un sistema con un número mayor de ecuaciones que variables se llama sobredeterminado . Si un sistema sobredeterminado tiene alguna solución, necesariamente algunas ecuaciones son combinaciones lineales de las otras.