MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

 círculo de Ford es un círculo con centro en$${\ displaystyle (p / q, 1 / (2q ^ {2}))}y radio $${\ displaystyle 1 / (2q ^ {2}),} dónde $${\ displaystyle p / q}Es una fracción irreducible , es decir$${\ displaystyle p} y $${\ displaystyle q}son enteros coprimos. Cada círculo de Ford es tangente al eje horizontal.$${\ displaystyle y = 0,}y cualquiera de los dos círculos de Ford son tangentes o separados entre sí.

Los círculos de Ford para q de 1 a 20. Los círculos con q ≤ 10 se etiquetan como p/q y están codificados por color según q . Cada círculo es tangente a la línea de base y sus círculos vecinos. Las fracciones irreductibles con el mismo denominador tienen círculos del mismo tamaño.

Historia [ editar ]

Los círculos de Ford son un caso especial de círculos mutuamente tangentes; La línea de base puede considerarse como un círculo con un radio infinito. Los sistemas de círculos mutuamente tangentes fueron estudiados por Apolonio de Perga , después de lo cual se nombra el problema de Apolonio y la junta de Apolonia . ^[2] En el siglo XVII, René Descartes descubrió el teorema de Descartes , una relación entre los recíprocos de los radios de los círculos mutuamente tangentes. ^[2]

Los círculos de Ford también aparecen en el Sangaku (rompecabezas geométricos) de las matemáticas japonesas . Un problema típico, que se presenta en una tableta de 1824 en la Prefectura de Gunma , cubre la relación de tres círculos conmovedores con una tangente común . Dado el tamaño de los dos círculos grandes externos, ¿cuál es el tamaño del círculo pequeño entre ellos? La respuesta es equivalente a un círculo de Ford: ^[3]

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {middle}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {left}}}}} + {\ frac {1} {\ sqrt {r _ {\ text {right}}}}}.}

Los círculos de Ford llevan el nombre del matemático estadounidense Lester R. Ford, Sr. , quien escribió sobre ellos en 1938. ^[1]

Propiedades [ editar ]

Comparación de los círculos de Ford y un diagrama de Farey con arcos circulares para n desde 1 hasta 9. Tenga en cuenta que cada arco interseca sus círculos correspondientes en ángulos rectos. En la imagen SVG , pase el cursor sobre un círculo o curva para resaltarlo y sus términos.

El círculo de Ford asociado a la fracción. $${\ displaystyle p / q} se denota por $${\ displaystyle C [p / q]} o $${\ displaystyle C [p, q].}Hay un círculo de Ford asociado con cada número racional . Además, la línea.$${\ displaystyle y = 1}se cuenta como un círculo de Ford: se puede considerar como el círculo de Ford asociado con el infinito , que es el caso$${\ displaystyle p = 1, q = 0.}

Dos círculos Ford diferentes son disjuntos o tangentes entre sí. No se intersectan dos interiores de los círculos de Ford, aunque hay un círculo de Ford tangente al eje x en cada punto con coordenadas racionales . Si$${\ displaystyle p / q} es entre 0 y 1, los círculos de Ford que son tangentes a $${\ displaystyle C [p / q]} se puede describir de diversas maneras como

1. los circulos $${\ displaystyle C [r / s]} dónde $${\ displaystyle | ps-qr | = 1,}^[1]
2. Los círculos asociados a las fracciones. $${\ displaystyle r / s} que son los vecinos de $${\ displaystyle p / q}en alguna secuencia de Farey , ^[1]o
3. los circulos $${\ displaystyle C [r / s]} dónde $${\ displaystyle r / s} es el siguiente antepasado más grande o el siguiente más pequeño $${\ displaystyle p / q}en el árbol de Stern-Brocot o donde$${\ displaystyle p / q} es el siguiente antepasado más grande o más próximo a $${\ displaystyle r / s}. ^[1]

Si $${\ displaystyle C [p / q]} y $${\ displaystyle C [r / s]} Hay dos círculos tangentes de Ford, luego el círculo a través de $${\ displaystyle (p / q, 0)} y $${\ displaystyle (r / s, 0)} (las coordenadas x de los centros de los círculos de Ford) y eso es perpendicular a la $${\ displaystyle x}-El eje (cuyo centro está en el eje x) también pasa a través del punto donde los dos círculos están tangentes entre sí.

Los círculos de Ford también se pueden considerar como curvas en el plano complejo . El grupo modular de transformaciones del plano complejo asigna círculos de Ford a otros círculos de Ford. ^[1]

Los círculos de Ford son un subconjunto de los círculos en la junta de Apollonian generados por las líneas$${\ displaystyle y = 0}y $${\ displaystyle y = 1} y el circulo $${\ displaystyle C [0/1].}^[4]

Al interpretar la mitad superior del plano complejo como un modelo del plano hiperbólico (el modelo de plano medio de Poincaré ), los círculos de Ford pueden interpretarse como horociclos . En geometría hiperbólicacualquiera de los dos horociclos es congruente . Cuando estos horociclos están circunscritos por los apeirogones, embaldosan el plano hiperbólico con un mosaico apeirogonal de orden 3 .

La última pregunta del examen 2015A AMC es encontrar la suma de los recíprocos de las circunferencias de los círculos de Ford. ^[5]

Área total de círculos de Ford [ editar ]

Existe un vínculo entre el área de los círculos de Ford, la función totient de Euler. $${\ displaystyle \ varphi,}la función zeta de Riemann $${\ displaystyle \ zeta,}y la constante de Apéry $${\ displaystyle \ zeta (3).}^[6] Como no se intersectan dos círculos de Ford, inmediatamente se deduce que el área total de los círculos de Ford

{\ displaystyle \ left \ {C [p, q]: 0 <{\ frac {p} {q}} \ leq 1 \ right \}}

es menor que 1. De hecho, el área total de estos círculos de Ford está dada por una suma convergente, que se puede evaluar. De la definición, el área es

{\ displaystyle A = \ sum _ {q \ geq 1} \ sum _ {(p, q) = 1 \ atop 1 \ leq p

Simplificando esta expresión da

{\ displaystyle A = {\ frac {\ pi} {4}} \ sum _ {q \ geq 1} {\ frac {1} {q ^ {4}}} \ sum _ {(p, q) = 1 \ atop 1 \ leq p

donde la última igualdad refleja la función de generación de Dirichlet para la función totient de Euler $${\ displaystyle \ varphi (q).} Ya que $${\ displaystyle \ zeta (4) = \ pi ^ {4} / 90,} esto finalmente se convierte en

$${\ displaystyle A = {\ frac {45} {2}} {\ frac {\ zeta (3)} {\ pi ^ {3}}} \ approx 0.872284041.}

Tenga en cuenta que, como cuestión de convención, los cálculos anteriores excluyeron el círculo de radio $${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}correspondiente a la fracción $${\ displaystyle {\ frac {0} {1}}}. Incluye el círculo completo para$${\ displaystyle {\ frac {1} {1}}}, la mitad de los cuales se encuentra fuera del intervalo de la unidad, por lo tanto, la suma sigue siendo la fracción de la unidad cuadrada cubierta por los círculos de Ford.

Una mitad es la fracción irreducible que resulta de dividir uno por dos (2) o la fracción que resulta de dividir cualquier número por su doble. La multiplicación por la mitad es equivalente a la división por dos , o "reducir a la mitad"; a la inversa, la división por la mitad es equivalente a la multiplicación por dos, o "duplicación". Una mitad aparece a menudo en ecuaciones matemáticas, recetas, medidas, etc. También se puede decir que la mitad es una parte de algo dividido en dos partes iguales.

Por ejemplo, se calcula el área S de un triángulo.

S = 1/2 × × base de altura perpendicular.

La mitad también figura en la fórmula para calcular números figurados , como los números triangularesy los números pentagonales :

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {n \ left [\ left (s-2 \ right) n- (4-s) \ right]}}

y en la fórmula para calcular constantes mágicaspara cuadrados mágicos.

$${\ displaystyle M_ {2} (n) = {\ frac {1} {2}} n \ left (n ^ {2} +1 \ right)}

La hipótesis de Riemann establece que todo no trivial raíz compleja de la función zeta de Riemann tiene una parte real igual a 1/2 .

Una mitad tiene dos expansiones decimales diferentes , la familiar 0.5 y la recurrente0.49999999 ... Tiene un par similar de expansiones en cualquier base par. Es una trampa común creer que estas expresiones representan números distintos: vea la prueba de que 0.999 ... es igual a 1 para una discusión detallada de un caso relacionado. En las bases impares, la mitad no tiene representación de terminación, solo una representación con un componente fraccional de repetición, como 0.11111111 ... en ternaria .

Particularidades en la escritura y el lenguaje [ editar ]

Estampilla postal, Irlanda, 1940: un medio penique de franqueo.

¹ / ₂ es también una de las pocas fracciones de tener por lo general una clave de su propia en máquinas de escribir (véase fracciones ). También tiene su propio punto de código en algunas extensiones tempranas de ASCII en 171. En Unicode , tiene su propia unidad de código en U + 00BD (decimal 189) en los Controles C1 y el bloque Suplemento Latin-1 , y una referencia cruzada en el bloque de formas numéricas , representando como "½". La entidad HTML es ½.

Una mitad es también una de las pocas fracciones que comúnmente se expresa en lenguajes naturales mediante la suplementación en lugar de una derivación regular: en inglés , por ejemplo, compare "una mitad" con otras formaciones regulares como "una sexta" .

Es aceptable escribir la mitad como una palabra con guión, "la mitad" o no con guión, "la mitad".

centésima es una parte única de algo que se ha dividido por igual en cien partes. Por ejemplo, una centésima parte de 675 es 6.75. De esta manera, se utiliza con el prefijo "centi" como en centímetro.

Un centésimo es el recíproco de 100.

Una centésima se escribe como una fracción decimal como 0.01, y como una fracción vulgar como 1/100.

"Centésimo" es también el número ordinal que sigue a "noventa y nueve" y precede al "centésimo primero". Está escrito como el centésimo.

 fracción irreducible (o fracción en términos más bajos o fracción reducida ) es una fracción en la que el numerador y el denominador son números enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y -1, cuando se consideran números negativos). ^[1] En otras palabras, una fracción ^a ⁄ _b es irreducible si y solo si a y b son coprime , es decir, si a y b tienen un mayor divisor común de 1. En mayorMatemáticas , " fracción irreducible " también puede referirse a fracciones racionales, de modo que el numerador y el denominador son polinomios decoprima . ^[2] Cada número racional positivo puede representarse como una fracción irreductible de una manera exacta. ^[3]

Una definición equivalente a veces es útil: si a , b son enteros, entonces la fracción ^a ⁄ _b es irreductible si y solo si no hay otra fracción igual ^c ⁄ _d tal que | c | <| un | o | d | <| b |, donde | un | significa el valor absoluto de a . ^[4] (Dos fracciones ^a ⁄ _b y ^c ⁄ _d son iguales o equivalentes si y solo si ad= bc .)

Por ejemplo, ¹ ⁄ ₄ , ⁵ ⁄ ₆ y ⁻¹⁰¹ ⁄ ₁₀₀ son fracciones irreductibles. Por otro lado, ² ⁄ ₄ es reducible ya que es igual en valor a ¹ ⁄ ₂ , y el numerador de ¹ ⁄ ₂ es menor que el numerador de ² ⁄ ₄ .

Una fracción que es reducible se puede reducir al dividir tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a los términos más bajos si ambos se dividen por su mayor divisor común . ^[5] Para encontrar el mayor divisor común, se puede usar el algoritmo euclidiano o la factorización prima . El algoritmo euclidiano es comúnmente preferido porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para ser fácilmente factorizados.

Ejemplos [ editar ]

$${\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {12} {9}} = {\ frac {4} {3}} \ ,.}

En la primera etapa ambos números se dividieron por 10, que es un factor común a ambos 120 y 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final, ⁴ / ₃ , es una fracción irreducible porque 4 y 3 tienen no hay factores comunes distintos de 1.

La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso utilizando el mayor divisor común de 90 y 120, que es 30 (es decir, gcd (90,120) = 30).

$${\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {4} {3}} \ ,.}

El método más rápido "a mano" depende de la fracción y la facilidad con que se detectan los factores comunes. En caso de que queden un denominador y un numerador que sean demasiado grandes para asegurar que sean coprimentos por inspección, de todos modos se necesita el mayor cálculo del divisor común para garantizar que la fracción sea realmente irreductible.

Unicidad [ editar ]

Cada número racional tiene una representación única como una fracción irreducible con un denominador positivo ^[3] (sin embargo,$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} = {\ tfrac {-2} {- 3}}}aunque ambos son irreductibles). La singularidad es una consecuencia de la factorización prima única de los enteros, ya que$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}}}implica ad = bc y, por lo tanto, ambos lados de este último deben compartir la misma factorización prima, pero$${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b} no compartir factores primos por lo que el conjunto de factores primos de $${\ displaystyle a} (con multiplicidad) es un subconjunto de los de $${\ displaystyle c} y viceversa significado $${\ displaystyle a = c} y $${\ displaystyle b = d}.

Aplicaciones [ editar ]

El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como una fracción irreducible se utiliza en varias pruebas de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una prueba señala que si la raíz cuadrada de 2 pudiera representarse como una proporción de enteros, entonces tendría en particular la representación totalmente reducida$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}donde un y b son las más pequeñas posible; pero dado que$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}} es igual a la raíz cuadrada de 2, así lo hace $${\ displaystyle {\ tfrac {2b-a} {ab}}} (ya que esto se multiplica $${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}demuestra que son iguales). Como este último es una relación de enteros más pequeños, esto es una contradicción , por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos tiene una representación como la relación de dos enteros es falsa.

Generalización [ editar ]

La noción de fracción irreducible generaliza el campo de fracciones de cualquier dominio de factorización único : cualquier elemento de dicho campo se puede escribir como una fracción en la que el denominador y el numerador son coprime, dividiendo ambos por su máximo divisor común. ^[7] Esto se aplica especialmente a las expresiones racionales.sobre un campo. La fracción irreducible para un elemento dado es única hasta la multiplicación del denominador y del numerador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales, esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreductibles, relacionadas por un cambio de signo del numerador y del denominador; esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el denominador sea positivo. En el caso de las funciones racionales, el denominador también podría ser un polinomio monico .