MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

 fracción algebraica es una fracción cuyo numerador y denominador son expresiones algebraicas . Dos ejemplos de fracciones algebraicas son$${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}} y $${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}}. Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas leyes que las fracciones aritméticas .

Una fracción racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios . Así$${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}} Es una fracción racional, pero no $${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}},} Porque el numerador contiene una función de raíz cuadrada.

Terminología [ editar ]

En la fracción algebraica. $${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}, el dividendo a se llama numerador y el divisor b se denomina denominador . El numerador y el denominador se denominan términos de la fracción algebraica.

Una fracción compleja es una fracción cuyo numerador o denominador, o ambos, contiene una fracción. Una fracción simple no contiene ninguna fracción ni en su numerador ni en su denominador. Una fracción está en los términos más bajos si el único factor común al numerador y el denominador es 1.

Una expresión que no está en forma fraccionaria es una expresión integral . Una expresión integral siempre se puede escribir en forma fraccionaria al darle el denominador 1. Una expresión mixta es la suma algebraica de una o más expresiones integrales y uno o más términos fraccionarios.

Fracciones racionales [ editar ]

Ver también: función racional.

Si las expresiones a y b son polinomios , la fracción algebraica se llama fracción algebraica racional ^[1] o simplemente fracción racional . ^[2] [3] Las fracciones racionales también se conocen como expresiones racionales. Una fraccion racional$${\ displaystyle {\ tfrac {f (x)} {g (x)}}}se llama adecuada si{\ displaystyle \ deg f (x) <\ deg g (x)}, e impropio de lo contrario. Por ejemplo, la fracción racional.$${\ displaystyle {\ tfrac {2x} {x ^ {2} -1}}} Es propio, y las fracciones racionales. $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} -5x + 6}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2} -x + 1} {5x ^ {2} +3}}}son impropias Cualquier fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio (posiblemente constante) y una fracción racional apropiada. En el primer ejemplo de una fracción impropia uno tiene

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} -5x + 6}} = (x + 6) + {\ frac {24x-35} {x ^ {2} -5x + 6}},}

donde el segundo término es una fracción racional propiamente dicha. La suma de dos fracciones racionales apropiadas es también una fracción racional apropiada. El proceso inverso de expresar una fracción racional apropiada como la suma de dos o más fracciones se denomina resolverla en fracciones parciales . Por ejemplo,

$${\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}} = {\ frac {1} {x-1}} + {\ frac {1} {x + 1}}.}

Aquí, los dos términos a la derecha se llaman fracciones parciales.

Fracciones irracionales [ editar ]

Una fracción irracional es aquella que contiene la variable bajo un exponente fraccionario. ^[4] Un ejemplo de una fracción irracional es

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {1/2} - {\ tfrac {1} {3}} a} {x ^ {1/3} -x ^ {1/2}}}.

El proceso de transformar una fracción irracional en una fracción racional se conoce como racionalización . Cada fracción irracional en la que los radicales son monomiales se puede racionalizar encontrando el mínimo múltiplo común de los índices de las raíces y sustituyendo la variable por otra variable con el mínimo común múltiplo como exponente. En el ejemplo dado, el mínimo común múltiplo es 6, por lo tanto podemos sustituir$${\ displaystyle x = z ^ {6}} para obtener

$${\ displaystyle {\ frac {z ^ {3} - {\ tfrac {1} {3}} a} {z ^ {2} -z ^ {3}}}.}

Una billonésima es el recíproco de un mil millones , lo que significa que tiene una de las dos definiciones dependiendo de si la escala larga o corta escala se está utilizando la definición. ^[1]

Escala corta [ editar ]

En la escala corta (o estadounidense), una billonésima es igual a 0.000 000 001, o 1 x 10 ⁻⁹ en notación científica o forma estándar. El prefijo para este número es nano , y se abrevia como "n" (por ejemplo, en electrónica, una nanofarad se escribiría como 1 nF). ^[2]

Escala larga [ editar ]

En la escala larga (o en inglés), una billonésima es igual a 0.000 000 000 001, o 1 x 10 ⁻¹² en notación científicao en forma estándar. El prefijo para este número es pico- , y se abrevia como "p" (por ejemplo, en electrónica, una picofarad se escribiría como 1 pF).

multiplicar en forma cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

El método también se conoce ocasionalmente como el método "cruza tu corazón" porque se puede dibujar un corazón para recordar qué cosas se deben multiplicar y las líneas se asemejan a un contorno del corazón.

Dada una ecuación como:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

(donde b y d no son cero), se puede multiplicar en cruz para obtener:

$${\ displaystyle ad = bc \ qquad \ mathrm {o} \ qquad a = {\ frac {bc} {d}}.

En la geometría euclidiana, se puede lograr el mismo cálculo considerando las razones que las de triángulos similares .

Procedimiento [ editar ]

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada lado (o uno) por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos.

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ nwarrow {\ frac {c} {d}} \ quad {\ frac {a} {b}} \ nearrow {\ frac {c} {d}}. }

La justificación matemática para el método es del siguiente procedimiento matemático más largo. Si comenzamos con la ecuación básica:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

podemos multiplicar los términos en cada lado por el mismo número y los términos permanecerán iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados, bd,obtenemos:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times bd = {\ frac {c} {d}} \ times bd.}

Podemos reducir las fracciones a los términos más bajos al observar que las dos apariciones de $${\ displaystyle b}en el lado izquierdo cancela, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, dejando:

$${\ displaystyle ad = bc}

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos, en este caso usaremos d —getting:

$${\ displaystyle a = {\ frac {bc} {d}}.

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Comenzando con la ecuación dada:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

multiplica por d/d = 1 a la izquierda y por b/b = 1 a la derecha, obteniendo:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times {\ frac {d} {d}} = {\ frac {c} {d}} \ times {\ frac {b} {b}}}

y entonces:

$${\ displaystyle {\ frac {ad} {bd}} = {\ frac {cb} {db}}.

Cancele el denominador común bd = db , dejando:

$${\ displaystyle ad = cb.}

Cada paso en estos procedimientos se basa en una propiedad única y fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácil de entender que se puede enseñar a los estudiantes.

Utilizar [ editar ]

Este es un procedimiento común en matemáticas, usado para reducir fracciones o calcular un valor para una variable dada en una fracción. Si tenemos una ecuación como esta, donde x es una variable que nos interesa resolver:

$${\ displaystyle {\ frac {x} {b}} = {\ frac {c} {d}}}

Podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que:

$${\ displaystyle x = {\ frac {bc} {d}}.

Por ejemplo, supongamos que queremos saber a qué distancia viajará un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya viajó 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema de la palabra en proporciones obtenemos

$${\ displaystyle {\ frac {x} {7 \ \ mathrm {hours}}} = {\ frac {90 \ \ mathrm {miles}} {3 \ \ mathrm {hours}}}.}

Multiplicando los rendimientos:

$${\ displaystyle x = {\ frac {7 \ \ mathrm {hours} \ times 90 \ \ mathrm {miles}} {3 \ \ mathrm {hours}}}}

y entonces:

$${\ displaystyle x = 210 \ \ mathrm {millas}.}

Tenga en cuenta que incluso las ecuaciones simples como esta:

$${\ displaystyle a = {\ frac {x} {d}}}

se resuelven utilizando la multiplicación cruzada, ya que el término b que falta es implícitamente igual a 1:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {1}} = {\ frac {x} {d}}.

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo denominador común . Este paso se llama borrar fracciones .

Regla de Tres [ editar ]

La Regla de los Tres ^[1] fue una versión taquigráfica histórica para una forma particular de multiplicación cruzada que podría enseñarse a los estudiantes de memoria. Fue considerado el punto culminante de la educación matemática colonial ^[2] y todavía figura en el plan de estudios nacional francés para la educación secundaria. ^[3]

Para una ecuación de la forma:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {x}}}

donde la variable a evaluar se encuentra en el denominador de la derecha, la Regla de los Tres establece que:

$${\ displaystyle x = {\ frac {bc} {a}}.}

En este contexto, a se le conoce como el extremo de la proporción, y b y c se llaman los medios .

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo VII EC ^[4], aunque no se usó en Europa hasta mucho más tarde.

La Regla de los Tres ganó notoriedad ^{[ cita requerida ]} por ser particularmente difícil de explicar. Cocker's Arithmetick , el principal libro de texto del siglo XVII, presenta su discusión de la Regla de los Tres ^[5] con el problema: "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a esa velocidad?" La Regla de Tres da la respuesta a este problema directamente; mientras que en aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, anotando la ecuación:

$${\ displaystyle {\ frac {4 \ \ mathrm {yardas}} {12 \ \ mathrm {chelines}}} = {\ frac {6 \ \ mathrm {yardas}} {x}}}

y luego usando la multiplicación cruzada para calcular x :

$${\ displaystyle x = {\ frac {12 \ \ mathrm {chelines} \ veces 6 \ \ mathrm {astilleros}} {4 \ \ mathrm {astillas}}} = 18 \ \ mathrm {chelines}.}

Un manuscrito anónimo de 1570 ^[6] decía: "La multiplicación es una molestia, / La división es tan mala; / La regla de los tres me desconcierta, / Y la práctica me vuelve loco".