MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

 irregularidad de las distribuciones , declarado primero por Hugo Steinhaus , es un problema numérico con un resultado sorprendente. El problema es encontrar N números,$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}}, todos entre 0 y 1, para los cuales se cumplen las siguientes condiciones:

• Los dos primeros números deben estar en mitades diferentes (uno menos que 1/2, uno mayor que 1/2).
• Los primeros 3 números deben estar en tercios diferentes (uno menos que 1/3, uno entre 1/3 y 2/3, uno mayor que 2/3).
• Los primeros 4 números deben estar en cuartos diferentes.
• Los primeros 5 números deben estar en quintos diferentes.
• etc.

Matemáticamente, estamos buscando una secuencia de números reales.

$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {N}}

tal que para cada n  ∈ {1, ...,  N } y cada k  ∈ {1, ...,  n } hay alguna i  ∈ {1, ...,  n } tal que

{\ displaystyle {\ frac {k-1} {n}} \ leq x_ {i} <{\ frac {k} {n}}.

Solución [ editar ]

El resultado sorprendente es que hay una solución hasta N  = 17, pero a partir de N  = 18 es imposible. Una posible solución para N  ≤ 17 se muestra esquemáticamente a la derecha; numéricamente es como sigue:

Una posible solución para N  = 17 se muestra esquemáticamente. En cada fila n , hay n "vides" que están todas en n ^th s diferentes . Por ejemplo, mirando a la fila 5, puede verse que 0 <  x ₁  <1 font="" nbsp="">x ₅  <2 font="" nbsp="">x ₃  <3 font="" nbsp="">x ₄  <4 font="" nbsp="">x ₂  <1 .="" art="" culo.="" del="" el="" en="" font="" imprimen="" la="" los="" num="" rica="" se="" texto="" valores="">

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x_ {1} & = 0.029 \\ x_ {2} & = 0.971 \\ x_ {3} & = 0.423 \\ x_ {4} & = 0.71 \\ x_ {5} & = 0.27 \\ x_ {6} & = 0.542 \\ x_ {7} & = 0.852 \\ x_ {8} & = 0.172 \\ x_ {9} & = 0.62 \\ x_ {10} & = 0.355 \\ x_ {11} & = 0.774 \\ x_ {12} & = 0.114 \\ x_ {13} & = 0.485 \\ x_ {14} & = 0.926 \\ x_ {15} & = 0.207 \\ x_ {16} & = 0.677 \\ x_ {17} & = 0.297 \ end {alineado}}}

En este ejemplo, considerando por ejemplo los primeros 5 números, tenemos

{\ displaystyle 0

denominador común más bajo o el denominador menos común ( LCD abreviado ) es el múltiplo común más bajo de los denominadores de un conjunto de fracciones . Simplifica sumar, restar y comparar fracciones.

Descripción [ editar ]

El mínimo común denominador de un conjunto de fracciones es el número más bajo que es un múltiplo de todos los denominadores: su mínimo común más bajo . El producto de los denominadores es siempre un denominador común, como en:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {2} {3}} \; = \; {\ frac {3} {6}} + {\ frac {4} {6}} \; = \; {\ frac {7} {6}}}

pero no siempre es el mínimo común denominador, como en:

$${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} + {\ frac {11} {18}} \; = \; {\ frac {15} {36}} + {\ frac {22} {36}} \; = \; {\ frac {37} {36}}}

Aquí, 36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18. Su producto, 216, también es un denominador común, pero el cálculo con ese denominador implica números más grandes:

$${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} + {\ frac {11} {18}} = {\ frac {90} {216}} + {\ frac {132} {216}} = {\ frac {222} {216}}.}

Con variables en lugar de números, se aplican los mismos principios: ^[1]

$${\ displaystyle {\ frac {a} {bc}} + {\ frac {c} {b ^ {2} d}} \; = \; {\ frac {abd} {b ^ {2} cd}} + {\ frac {c ^ {2}} {b ^ {2} cd}} \; = \; {\ frac {abd + c ^ {2}} {b ^ {2} cd}}}

Algunos métodos para calcular la pantalla LCD son, como mínimo, el múltiplo común # Cálculo del mínimo común múltiplo .

Rol en aritmética y álgebra [ editar ]

La misma fracción se puede expresar en muchas formas diferentes. Mientras la proporción entre numerador y denominador sea la misma, las fracciones representan el mismo número. Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {6} {9}} = {\ frac {12} {18}} = {\ frac {144} {216}} = {\ frac {200,000} {300,000}}}

porque todos están multiplicados por 1 escrito como una fracción:

$${\ displaystyle {\ frac {2} {3}} = {\ frac {2} {3}} \ times {\ frac {3} {3}} = {\ frac {2} {3}} \ times { \ frac {6} {6}} = {\ frac {2} {3}} \ times {\ frac {72} {72}} = {\ frac {2} {3}} \ times {\ frac {100,000 } {100,000}}.}

Por lo general, es más fácil sumar, restar o comparar fracciones cuando cada una se expresa con el mismo denominador, llamado "denominador común". Por ejemplo, los numeradores de fracciones con denominadores comunes pueden simplemente agregarse, de modo que$${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} + {\ frac {6} {12}} = {\ frac {11} {12}}} y eso {\ displaystyle {\ frac {5} {12}} <{\ frac {11} {12}}}, ya que cada fracción tiene el denominador común 12. Sin calcular un denominador común, no es obvio qué $${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} + {\ frac {11} {18}}} es igual, o si $${\ displaystyle {\ frac {5} {12}}} es mayor o menor que $${\ displaystyle {\ frac {11} {18}}}. Cualquier denominador común funcionará, pero generalmente el denominador común más bajo es deseable porque hace que el resto del cálculo sea lo más simple posible. ^[2]

Uso coloquial [ editar ]

La expresión "mínimo común denominador" se usa para describir (generalmente de manera desaprobatoria) una regla, propuesta, opinión o medio de comunicación que se simplifica deliberadamente para atraer al mayor número posible de personas.

 media de dos fracciones , generalmente compuesta por cuatro enteros positivos

$${\ displaystyle {\ frac {a} {c}} \ quad} y $${\ displaystyle \ quad {\ frac {b} {d}} \ quad} Se define como $${\ displaystyle \ quad {\ frac {a + b} {c + d}}.

Es decir, el numerador y el denominador de la media son las sumas de los numeradores y los denominadores de las fracciones dadas, respectivamente. A veces se le llama la suma de primer año , ya que es un error común en las primeras etapas de aprendizaje sobre la adición de fracciones .

Técnicamente, esta es una operación binaria en fracciones válidas (denominador distinto de cero), consideradas como pares ordenados de enteros apropiados, a priori sin tener en cuenta la perspectiva de los números racionales como clases de equivalencia de fracciones. Por ejemplo, la media de las fracciones 1/1 y 1/2 es 2/3. Sin embargo, si la fracción 1/1 se reemplaza por la fracción 2/2, que es una fracción equivalente que denota el mismo número racional 1, la media de las fracciones 2/2 y 1/2 es 3/4. Para una conexión más fuerte con los números racionales, se puede requerir que las fracciones se reduzcan a los términos más bajos , seleccionando así representantes únicos de las respectivas clases de equivalencia.

El árbol de Stern-Brocot proporciona una enumeración de todos los números racionales positivos a través de mediants en los términos más bajos, obtenidos puramente por el cálculo iterativo del mediant según un algoritmo simple.

Propiedades [ editar ]

• La desigualdad mediant: una propiedad importante (que también explica su nombre) del mediant es que se encuentra estrictamente entre las dos fracciones de las cuales es mediant: Si{\ displaystyle a / c  y $${\ displaystyle a, b, c, d \ geq 0}, entonces

{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} <{\ frac {a + b} {c + d}} <{\ frac {b} {d}}.

Esta propiedad se desprende de las dos relaciones.

$${\ displaystyle {\ frac {a + b} {c + d}} - {\ frac {a} {c}} = {{bc-ad} \ sobre {c (c + d)}} = {d \ sobre {c + d}} \ left ({\ frac {b} {d}} - {\ frac {a} {c}} \ right)}

y

$${\ displaystyle {\ frac {b} {d}} - {\ frac {a + b} {c + d}} = {{bc-ad} \ sobre {d (c + d)}} = {c \ sobre {c + d}} \ left ({\ frac {b} {d}} - {\ frac {a} {c}} \ right).

• Supongamos que el par de fracciones de un / c y b / d satisface la relación determinante$${\ displaystyle bc-ad = 1}. Entonces el mediant tiene la propiedad de que es la fracción más simple en el intervalo ( a / c , b / d ), en el sentido de ser la fracción con el denominador más pequeño. Más precisamente, si la fracción$${\ displaystyle a '/ c'}con denominador positivo c' mentiras (estrictamente) entre un / c y b / d , entonces su numerador y el denominador se pueden escribir como$${\ displaystyle \, a '= \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b} y $${\ displaystyle \, c '= \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}con dos números reales (de hecho racionales) positivos$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \, \ lambda _ {2}}. Para ver por qué el$${\ displaystyle \ lambda _ {i}} debe ser positivo tener en cuenta que

$${\ displaystyle {\ frac {\ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b} {\ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}} - {\ frac {a} {c}} = \ lambda _ {2} {{bc-ad} \ sobre {c (\ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d)}}}

y

$${\ displaystyle {\ frac {b} {d}} - {\ frac {\ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b} {\ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}} = \ lambda _ {1} {{bc-ad} \ sobre {d (\ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d)}}}

debe ser positivo La relación determinante.

$${\ displaystyle bc-ad = 1 \,}

entonces implica que ambos $${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \, \ lambda _ {2}} Deben ser enteros, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales.

$${\ displaystyle \, a '= \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b}

$${\ displaystyle \, c '= \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}

para $${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}}. Por lo tanto$${\ displaystyle c '\ geq c + d.}

• Lo contrario también es cierto: supongamos que el par de fracciones reducidas a / c  <  b / d tiene la propiedad de que la fracción reducida con el denominador más pequeño que se encuentra en el intervalo ( a / c ,  b / d ) es igual a la media de dos fracciones Entonces la relación determinante bc  -  ad = 1 se mantiene. Este hecho se puede deducir, por ejemplo, con la ayuda del teorema de Pick que expresa el área de un triángulo plano cuyos vértices tienen coordenadas enteras en términos del número v _interiorde puntos de celosía (estrictamente) dentro del triángulo y el número v _límite de los puntos de celosía en el límite del triángulo. Considera el triángulo$${\ displaystyle \ Delta (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}con los tres vértices v ₁ = (0, 0), v ₂ = ( a ,  c ), v ₃ = ( b ,  d ). Su área es igual a

$${\ displaystyle {\ text {area}} (\ Delta) = {{bc-ad} \ over 2} \.}

Un punto $${\ displaystyle p = (p_ {1}, p_ {2})} Dentro del triángulo se puede parametrizar como

$${\ displaystyle p_ {1} = \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b, \; p_ {2} = \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d,}

dónde

$${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ geq 0, \, \ lambda _ {2} \ geq 0, \, \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \ leq 1. \,}

La formula pick

$${\ displaystyle {\ text {area}} (\ Delta) = v _ {\ mathrm {interior}} + {v _ {\ mathrm {límite}} \ sobre 2} -1}

ahora implica que debe haber un punto de celosía q  = ( q ₁ ,  q ₂ ) ubicado dentro del triángulo diferente de los tres vértices si bc  -  ad  > 1 (entonces el área del triángulo es$${\ displaystyle \ geq 1}). La fracción correspondiente q ₁ / q _{2 se}encuentra (estrictamente) entre las fracciones dadas (por supuesto, reducido) y tiene denominador

{\ displaystyle q_ {2} = \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d \ leq \ max (c, d)

como

$${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \ leq 1. \,}

• De manera relacionada, si p / q y r / s son fracciones reducidas en el intervalo de la unidad de tal manera que | ps  -  rq | = 1 (de modo que sean elementos adyacentes de una fila de la secuencia de Farey ) entonces

$${\ displaystyle? \ left ({\ frac {p + r} {q + s}} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (? {\ bigg (} {\ frac {p} {q}} {\ bigg)} + {}? {\ bigg (} {\ frac {r} {s}} {\ bigg)} \ right)}

dónde ? Es la función de signo de interrogación de Minkowski .

De hecho, las variantes suelen ocurrir en el estudio de las fracciones continuas y, en particular, las fracciones Farey . La n ª secuencia de Farey F _n se define como la secuencia (ordenada con respecto a la magnitud) de las fracciones reducidas a / b (con coprime a , b ) tal que b  ≤  n . Si dos fracciones a / c  <  b / d son fracciones adyacentes (vecinas) en un segmento de F _n, entonces la relación determinante$${\ displaystyle bc-ad = 1}lo mencionado anteriormente es generalmente válido y, por lo tanto, mediant es la fracción más simple en el intervalo ( a / c ,  b / d ), en el sentido de ser la fracción con el denominador más pequeño. Así, el mediant entonces (primera) aparece en la ( c  +  d ) ésima secuencia de Farey y es la fracción "siguiente" que se inserta en cualquier secuencia Farey entre un / c y b / d . Esto da la regla de cómo las secuencias Farey F _nse construyen sucesivamente al aumentar n .

Determinación gráfica de mediants [ editar ]

Determinación gráfica de la media de dos números racionales. Las pendientes de los segmentos azul y rojo son dos números racionales; La pendiente del segmento verde es su media.

Un número racional positivo es uno en la forma.$${\ displaystyle a / b} dónde $${\ displaystyle a, b}Son números naturales positivos ; es decir $${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {N} ^ {+}}. El conjunto de números racionales positivos.$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+}}Es, por tanto, el producto cartesiano de$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}por sí mismo; es decir $${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+} = (\ mathbb {N} ^ {+}) ^ {2}}. Un punto con coordenadas.$${\ displaystyle (b, a)} representa el número racional $${\ displaystyle a / b}, y la pendiente de un segmento que conecta el origen de las coordenadas con este punto es $${\ displaystyle a / b}. Ya que$${\ displaystyle a, b}no se requiere que sea coprime , punto$${\ displaystyle (b, a)}representa uno y solo un número racional, pero un número racional está representado por más de un punto; p.ej $${\ displaystyle (4,2), (60,30), (48,24)} Son todas las representaciones del número racional. $${\ displaystyle 1/2}. Esta es una ligera modificación de la definición formal de números racionales, restringiéndolos a valores positivos y cambiando el orden de los términos en el par ordenado$${\ displaystyle (b, a)} de modo que la pendiente del segmento sea igual al número racional.

Dos puntos $${\ displaystyle (b, a) \ neq (d, c)} dónde $${\ displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {N} ^ {+}} Son dos representaciones de números racionales (posiblemente equivalentes). $${\ displaystyle a / b} y $${\ displaystyle c / d}. Los segmentos de línea que conectan el origen de las coordenadas a$${\ displaystyle (b, a)} y $${\ displaystyle (d, c)}forma dos lados adyacentes en un paralelogramo. El vértice del paralelogramo opuesto al origen de las coordenadas es el punto$${\ displaystyle (b + d, a + c)}, que es la media de $${\ displaystyle a / b} y $${\ displaystyle c / d}.

El área del paralelogramo es $${\ displaystyle bc-ad}, que es también la magnitud del producto cruzado de los vectores.$${\ displaystyle \ langle b, a \ rangle} y $${\ displaystyle \ langle d, c \ rangle}. De la definición formal de equivalencia de números racionales se deduce que el área es cero si$${\ displaystyle a / b} y $${\ displaystyle c / d}son equivalentes En este caso, un segmento coincide con el otro, ya que sus pendientes son iguales. El área del paralelogramo formada por dos números racionales consecutivos en el árbol de Stern-Brocot es siempre 1. ^[1]

Generalización [ editar ]

La noción de mediant se puede generalizar a n fracciones, y una desigualdad mediant generalizada sostiene, ^[2]un hecho que parece haber sido observado por primera vez por Cauchy. Más precisamente, la media ponderada$${\ displaystyle m_ {w}}de n fracciones$${\ displaystyle a_ {1} / b_ {1}, \ ldots, a_ {n} / b_ {n}} es definido por $${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i} w_ {i} a_ {i}} {\ sum _ {i} w_ {i} b_ {i}}}} (con {\ displaystyle w_ {i}> 0}). Se puede demostrar que$${\ displaystyle m_ {w}} se encuentra en algún lugar entre la fracción más pequeña y la más grande entre las $${\ displaystyle a_ {i} / b_ {i}}.