SISTEMAS DE COORDENADAS

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Las coordenadas selenográficas se usan para referirse a ubicaciones en la superficie de la luna de la Tierra . Se puede hacer referencia a cualquier posición en la superficie lunar especificando dos valores numéricos, que son comparables a la latitudy longitud de la Tierra. La longitud da la posición al este o al oeste del primer meridiano de la Luna, que es la línea que pasa desde el polo norte lunar a través del punto en la superficie lunar directamente frente a la Tierra al polo sur lunar . (Vea también el primer meridiano de la Tierra ). Esto se puede considerar como el punto medio de la Luna visible visto desde la Tierra. La latitud da la posición al norte o al sur de la luna.ecuador . Ambas coordenadas se dan en grados .

Los astrónomos definieron la ubicación fundamental en el sistema de coordenadas selenográficas mediante el pequeño cráter satélite ' Mösting A ' con forma de cuenco ^{[ cita requerida ]} . Las coordenadas de este cráter se definen como:

Latitud:	3 ° 12 '43.2 "Sur
Longitud:	5 ° 12 '39.6 "Oeste

El sistema de coordenadas se ha definido con precisión debido al Experimento de rango láser lunar .

Nada más allá de 90 ° E o 90 ° W no se vería desde la Tierra, a excepción de la libración , que hace visible el 59% de la Luna .

Colongitud Selenográfica [ editar ]

La colongitud selenográfica es la longitud del terminador de la mañana en la Luna , medida en grados hacia el oeste desde el primer meridiano. El terminador de la mañana forma un semicírculo a través de la Luna donde el Sol apenas comienza a salir. A medida que la Luna continúa en su órbita, esta línea avanza en longitud. El valor de la colongitud selenográfica aumenta de 0 ° a 359 ° en la dirección del terminador de avance.

La salida del sol se produce en el primer meridiano cuando la fase lunar alcanza el primer trimestre, después de una cuarta parte de un día lunar . En esta ubicación, la colongitud selenográfica al amanecer se define como 0 °. Así, en el momento de la Luna Llena, la colongitud aumenta a 90 °; en el último trimestre es de 180 °, y en la Luna Nueva la colongitud alcanza los 270 °. Tenga en cuenta que la Luna es casi invisible desde la Tierra en la fase de Luna Nueva, excepto durante un eclipse solar .

El bajo ángulo de incidencia de la luz solar que llega tiende a captar las características por las sombras nítidas que proyectan, por lo que el área cerca del terminador suele ser la más favorable para ver o fotografiar las características lunares a través de un telescopio . El observador deberá conocer la ubicación del terminador para planificar las observaciones de las funciones seleccionadas. La colongitud selenográfica es útil para este propósito.

La longitud selenográfica del terminador de la tarde es igual a la colongitud más 180 °. ^[1]

Longitud [ editar ]

La longitud en la Luna se mide tanto al este como al oeste desde su primer meridiano . Cuando no se especifica una dirección, el este es positivo y el oeste es negativo.

En términos generales, el primer meridiano de la Luna se encuentra cerca del centro del disco de la Luna visto desde la Tierra. Para aplicaciones precisas, se han definido muchos sistemas de coordenadas para la Luna, cada uno con un primer meridiano ligeramente diferente. La IAU recomienda el sistema "media de la Tierra / eje polar", ^[2] en el que el primer meridiano es la dirección promedio (desde el centro de la Luna) del centro de la Tierra.

coordenadas de oblicuidad es una curvilínea ^[1] sistema de coordenadas donde las superficies de coordenadas no son ortogonales , ^[2] en contraste con las coordenadas ortogonales .

Las coordenadas de inclinación tienden a ser más complicadas de trabajar en comparación con las coordenadas ortogonales, ya que el tensor métrico tendrá componentes fuera de la diagonal distintos de cero, lo que evitará muchas simplificaciones en las fórmulas para el álgebra tensorial y el cálculo tensorial . Los componentes fuera de la diagonal distintos de cero del tensor métrico son un resultado directo de la no ortogonalidad de los vectores de base de las coordenadas, ya que por definición: ^[3]

$${\ displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}}

dónde $${\ displaystyle g_ {ij}} es el tensor métrico y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}Los vectores de base (covariante) .

Estos sistemas de coordenadas pueden ser útiles si la geometría de un problema se adapta bien a un sistema sesgado. Por ejemplo, resolver la ecuación de Laplace en un paralelogramo será más fácil cuando se hace en coordenadas sesgadas apropiadamente.

Coordenadas cartesianas con un eje sesgado [ editar ]

Un sistema de coordenadas donde el eje x se ha doblado hacia el eje z .

El caso 3D más simple de un sistema de coordenadas de sesgo es uno cartesiano en el que uno de los ejes (por ejemplo, el eje x ) ha sido doblado por algún ángulo$${\ displaystyle \ phi}, manteniéndose ortogonal a uno de los dos ejes restantes. Para este ejemplo, el eje x de una coordenada cartesiana se ha doblado hacia el eje z mediante$${\ displaystyle \ phi}, quedando ortogonales al eje y .

Álgebra y cantidades útiles [ editar ]

Dejar $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}}, $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2}}y $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}} respectivamente ser vectores unitarios a lo largo de la $${\ displaystyle x}, $${\ displaystyle y}y $${\ displaystyle z}hachas Estos representan la base covariante ; el cálculo de sus productos de puntos proporciona los siguientes componentes del tensor métrico :

$${\ displaystyle g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = 1 \ quad; \ quad g_ {12} = g_ {23} = 0 \ quad; \ quad g_ {13} = \ cos \ left ( {\ frac {\ pi} {2}} - \ phi \ right) = \ sin (\ phi)}

$${\ displaystyle {\ sqrt {g}} = \ mathbf {e} _ {1} \ cdot (\ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e} _ {3}) = \ cos (\ phi )}

cuáles son las cantidades que serán útiles más adelante.

La base contravariante está dada por ^[3]

$${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {1} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e} _ {3}} {\ sqrt {g}}} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e} _ {3}} {\ cos (\ phi)}}}

$${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {2} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {3} \ times \ mathbf {e} _ {1}} {\ sqrt {g}}} = \ mathbf { e} _ {2}}

$${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {3} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {2}} {\ sqrt {g}}} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {2}} {\ cos (\ phi)}}}

La base contravariante no es muy conveniente de usar, sin embargo, se muestra en las definiciones, por lo que debe considerarse. Favoreceremos las cantidades de escritura con respecto a la base covariante.

Dado que los vectores de base son todos constantes, la suma y resta del vector simplemente será una suma y resta familiar de los componentes. Ahora deja

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ sum _ {i} a ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} \ quad {\ mbox {and}} \ quad \ mathbf {b} = \ sum _ { i} b ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}

donde las sumas indican la suma de todos los valores del índice (en este caso, i = 1, 2, 3). Los componentes contravariantes y covariantes de estos vectores pueden estar relacionados por

$${\ displaystyle a ^ {i} = \ sum _ {j} a_ {j} g ^ {ij}}

para que, explícitamente,

$${\ displaystyle a ^ {1} = {\ frac {a_ {1} - \ sin (\ phi) a_ {3}} {\ cos ^ {2} (\ phi)}},}

$${\ displaystyle a ^ {2} = a_ {2},}

$${\ displaystyle a ^ {3} = {\ frac {- \ sin (\ phi) a_ {1} + a_ {3}} {\ cos ^ {2} (\ phi)}}.}

El producto puntual en términos de componentes contravariantes es entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ sum _ {i} a ^ {i} b_ {i} = a ^ {1} b ^ {1} + a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {3} b ^ {3} + \ sin (\ phi) (a ^ {1} b ^ {3} + a ^ {3} b ^ {1})}

y en términos de componentes covariantes

$${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ cos ^ {2} (\ phi) [a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} - \ sin (\ phi) (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1})].}

Cálculo [ editar ]

Por definición, ^[4] el gradiente de una función escalar f es

$${\ displaystyle \ nabla f = \ sum _ {i} \ mathbf {e} ^ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial q ^ {i}}} = {\ frac {\ parcial f} { \ parcial x}} \ mathbf {e} ^ {1} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ mathbf {e} ^ {2} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}} \ mathbf {e} ^ {3}}

dónde $${\ displaystyle q_ {i}}son las coordenadas x , y , z indexadas. Reconociendo esto como un vector escrito en términos de la base contravariante, puede ser reescrito:

$${\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {{\ frac {\ partial f} {\ partial x}} - \ sin (\ phi) {\ frac {\ partial f} {\ partial z}}} {\ cos (\ phi) ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ frac {- \ sin (\ phi) {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial f} {\ parcial z}}} {\ cos (\ phi) ^ {2}}} \ mathbf {e} _ {3}.}

La divergencia de un vector.$${\ displaystyle \ mathbf {a}} es

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {a} = {\ frac {1} {\ sqrt {g}}} \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}}} \ left ({\ sqrt {g}} a ^ {i} \ right) = {\ frac {\ partial a ^ {1}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial a ^ {2}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial a ^ {3}} {\ partial z}}.

y de un tensor $${\ displaystyle \ mathbf {A}}

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = {\ frac {1} {\ sqrt {g}}} \ sum _ {i, j} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i} }} \ left ({\ sqrt {g}} a ^ {ij} \ mathbf {e} _ {j} \ right) = \ sum _ {i, j} \ mathbf {e} _ {j} {\ frac {\ parcial a ^ {ij}} {\ parcial q ^ {i}}}.}

El laplaciano de f es

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f = {\ frac {1} {\ cos (\ phi) ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } f} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial z ^ {2}}} - 2 \ sin (\ phi) {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x \ parcial z}} \ derecha) + {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y ^ {2}}}}

y, dado que la base covariante es normal y constante, el vector laplaciano es el mismo que el laplaciano de un vector escrito en términos de la base covariante.

Si bien tanto el producto de punto como el gradiente son un tanto desordenados, ya que tienen términos adicionales (en comparación con un sistema cartesiano), el operador de advección que combina un producto de punto con un gradiente resulta muy simple:

$${\ displaystyle (\ mathbf {a} \ cdot \ nabla) = \ left (\ sum _ {i} a ^ {i} e_ {i} \ right) \ cdot \ left (\ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} \ mathbf {e} ^ {i} \ right) = \ left (\ sum _ {i} a ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ parcial q ^ {i}}} \ right)}

que se puede aplicar tanto a las funciones escalares como a las funciones vectoriales, en forma de componentes cuando se expresa en la base covariante.

Finalmente, el rizo de un vector es

$${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {a} = \ sum _ {i, j, k} \ mathbf {e} _ {k} \ epsilon ^ {ijk} {\ frac {\ partial a_ {i}} { \ parcial q ^ {i}}} =}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cos (\ phi)}} \ left (\ left (\ sin (\ phi) {\ frac {\ partial a ^ {1}} {\ partial y}} + { \ frac {\ parcial a ^ {3}} {\ parcial y}} - {\ frac {\ parcial a ^ {2}} {\ parcial z}} \ derecha) \ mathbf {e} _ {1} + \ izquierda ({\ frac {\ parcial a ^ {1}} {\ parcial z}} + \ sin (\ phi) \ izquierda ({\ frac {\ parcial a ^ {3}} {\ parcial z}} - { \ frac {\ parcial a ^ {1}} {\ parcial x}} \ derecha) - {\ frac {\ parcial a ^ {3}} {\ parcial x}} \ derecha) \ mathbf {e} _ {2 } + \ left ({\ frac {\ partial a ^ {2}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial a ^ {1}} {\ partial y}} - \ sin (\ phi) { \ frac {\ parcial a ^ {3}} {\ parcial y}} \ derecha) \ mathbf {e} _ {3} \ derecha).}

Este artículo incluye una lista de referencias , pero sus fuentes siguen sin estar claras porque no tiene suficientes citas en línea . Por favor ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Junio ​​de 2012 ) (Aprenda cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ )como se usan comúnmente en física ( convención ISO ): distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r .

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) que se usan a menudo en matemáticas : distancia radial r , ángulo acimutal θ y ángulo polar φ . Los significados de θ y φse han intercambiado en comparación con la convención de física.

Un globo que muestra la distancia radial, el ángulo polar y el ángulo de acimut de un punto P con respecto a una esfera unitaria . En esta imagen, r es igual a 4/6, θ es igual a 90 °, y φ es igual a 30 °.

En matemáticas , un sistema de coordenadas esféricas es un sistema de coordenadas para el espacio tridimensional donde la posición de un punto se especifica mediante tres números: la distancia radial de ese punto desde un origen fijo, su ángulo polarmedido desde una dirección cenital fija , y el ángulo acimutal de su proyección ortogonal en un plano de referencia que pasa a través del origen y es ortogonal al cenit, medido desde una dirección de referencia fija en ese plano. Puede verse como la versión tridimensional del sistema de coordenadas polares .

La distancia radial también se llama radio o coordenada radial . El ángulo polar se puede llamar colatitud , ángulo cenital , ángulo normalo ángulo de inclinación .

El uso de los símbolos y el orden de las coordenadas difiere entre las fuentes. En un sistema que se encuentra frecuentemente en la física ( r , θ , φ ) da la distancia radial, el ángulo polar y el ángulo acimutal, mientras que en otro sistema usado en muchos libros de matemáticas ( r , θ , φ ) da la distancia radial, el ángulo azimutal, y el ángulo polar. En ambos sistemas se usa a menudo ρ en lugar de r . También se utilizan otras convenciones, por lo que se debe tener mucho cuidado para comprobar cuál se está utilizando.

Una serie de diferentes sistemas de coordenadas esféricas que siguen otras convenciones se utilizan fuera de las matemáticas. En un sistema de coordenadas geográficas las posiciones se miden en latitud, longitud y altura o altitud. Hay una serie de diferentes sistemas de coordenadas celestes basados ​​en diferentes planos fundamentales y con diferentes términos para las diferentes coordenadas. Los sistemas de coordenadas esféricos utilizados en matemáticas normalmente usan radianes en lugar de grados y miden el ángulo azimutal en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje x al eje y en lugar de las agujas del reloj desde el norte (0 °) hasta el este (+ 90 °) como el sistema de coordenadas horizontal .^[1] El ángulo polar a menudo se reemplaza por el ángulo de elevaciónmedido desde el plano de referencia. El ángulo de elevación de cero está en el horizonte.

El sistema de coordenadas esféricas generaliza el sistema de coordenadas polares bidimensionales. También puede extenderse a espacios de dimensiones superiores y luego se lo denomina sistema de coordenadas hiperesféricas .

Definición [ editar ]

Para definir un sistema de coordenadas esféricas, uno debe elegir dos direcciones ortogonales, el cenit y la referencia de acimut , y un punto de origen en el espacio. Estas elecciones determinan un plano de referencia que contiene el origen y es perpendicular al cenit. Las coordenadas esféricas de un punto P se definen de la siguiente manera:

• El radio o distancia radial es la distancia euclidiana desde el origen O a P .
• La inclinación (o ángulo polar ) es el ángulo entre la dirección del cenit y el segmento de línea OP .
• El acimut (o ángulo acimutal ) es el ángulo con signo medido desde la dirección de referencia del acimut a la proyección ortogonal del segmento de línea OP en el plano de referencia.

El signo del azimut se determina al elegir qué es un sentido positivo de volverse en torno al cenit. Esta elección es arbitraria y es parte de la definición del sistema de coordenadas.

El ángulo de elevación es de 90 grados ( π/2 radianes) menos el ángulo de inclinación.

Si la inclinación es cero o 180 grados ( π radianes), el acimut es arbitrario. Si el radio es cero, tanto el azimut como la inclinación son arbitrarios.

En álgebra lineal , el vector desde el origen O al punto P se llama a menudo el vector de posición de P .

Convenciones [ editar ]

Existen varias convenciones diferentes para representar las tres coordenadas y para el orden en que deben escribirse. El uso de ( r , θ , φ ) para denotar distancia radial, inclinación (o elevación) y acimut, respectivamente, es una práctica común en física, y se especifica en la norma ISO 80000-2: 2009 , y anterior en ISO 31- 11 (1992).

Sin embargo, algunos autores (incluidos los matemáticos) usan φ para la inclinación (o elevación) y θ para el azimut, que "proporciona una extensión lógica de la notación de coordenadas polares habitual". ^[2] Algunos autores también pueden enumerar el acimut antes de la inclinación (o elevación), y / o usar ρ (rho) en lugar de rpara la distancia radial. Algunas combinaciones de estas opciones dan como resultado un sistema de coordenadas para zurdos . La convención estándar ( r , θ , varphi ) entra en conflicto con la notación habitual para los bidimensionales coordenadas polares , donde θSe usa a menudo para el azimut. También puede entrar en conflicto con la notación utilizada para las coordenadas cilíndricas tridimensionales . ^[2]

Los ángulos se miden típicamente en grados (°) o radianes (rad), donde 360 ​​° = 2 π rad. Los grados son más comunes en geografía, astronomía e ingeniería, mientras que los radianes se usan comúnmente en matemáticas y física teórica. La unidad para la distancia radial suele estar determinada por el contexto.

Cuando el sistema se usa para el espacio físico de tres espacios, es habitual utilizar el signo positivo para los ángulos de acimut que se miden en sentido contrario a las agujas del reloj desde la dirección de referencia en el plano de referencia, como se ve desde el lado cenit del plano. Esta convención se usa, en particular, para coordenadas geográficas, donde la dirección "cenit" es norte y los ángulos de acimut (longitud) positivos se miden hacia el este desde algún meridiano principal .

Convenciones principales

coordenadas	Direcciones geográficas locales correspondientes  ( Z , X , Y )	derecho / zurdo
( r , θ inc , φ az, derecha )	( U , S , E )	Correcto
( r , φ az, derecha , θ el )	( U , E , N )	Correcto
( r , θ el , φ az, derecha )	( U , N , E )	izquierda

Nota: al este ( E ), al norte ( N ), alza ( U ). El ángulo de acimut local se mediría, por ejemplo, en sentido contrario a las agujas del reloj de S a E en el caso de ( U , S , E ) .

Coordenadas únicas [ editar ]

Cualquier triplete de coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) especifica un punto único de espacio tridimensional. Por otro lado, cada punto tiene infinitas coordenadas esféricas equivalentes. Uno puede sumar o restar cualquier número de giros completos a cualquier medida angular sin cambiar los ángulos, y por lo tanto sin cambiar el punto. También es conveniente, en muchos contextos, permitir distancias radiales negativas, con la convención de que (- r , θ , φ ) es equivalente a ( r , θ + 180 °, φ ) para cualquier r ,θ , y φ . Además, ( r , - θ , φ ) es equivalente a ( r , θ , φ + 180 °) .

Si es necesario definir un conjunto único de coordenadas esféricas para cada punto, uno debe restringir sus rangos. Una opción común es:

r ≥ 0

0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π rad)

0 ° ≤ φ <360 font="" rad="">

Sin embargo, el acimut φ es a menudo limitada a la intervalo (-180 °, + 180 °] , o (- π , + π ] en radianes, en lugar de [0, 360 °) . Esta es la convención estándar para la longitud geográfica.

El rango [0 °, 180 °] para la inclinación es equivalente a [−90 °, + 90 °] para la elevación (latitud).

Incluso con estas restricciones, si θ es 0 ° o 180 ° (la elevación es 90 ° o −90 °), entonces el ángulo de acimut es arbitrario; y si r es cero, tanto el azimut como la inclinación / elevación son arbitrarios. Para hacer que las coordenadas sean únicas, se puede usar la convención de que en estos casos las coordenadas arbitrarias son cero.

Trazar [ editar ]

Para trazar un punto desde sus coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) , donde θ es la inclinación, mueva r unidades desde el origen en la dirección cenital, gire θ sobre el origen hacia la dirección de referencia del azimut, y gire φalrededor del cenit en la direccion correcta

Aplicaciones [ editar ]

El sistema de coordenadas geográficas utiliza el azimut y la elevación del sistema de coordenadas esféricas para expresar ubicaciones en la Tierra, llamándolos respectivamente longitud y latitud . Así como el sistema de coordenadas cartesiano bidimensional es útil en el plano, un sistema de coordenadas esféricas bidimensional es útil en la superficie de una esfera. En este sistema, la esfera se toma como una esfera unitaria, por lo que el radio es la unidad y generalmente se puede ignorar. Esta simplificación también puede ser muy útil cuando se trata de objetos como matrices de rotación .

Las coordenadas esféricas son útiles para analizar sistemas que tienen cierto grado de simetría sobre un punto, como las integrales de volumen dentro de una esfera, el campo de energía potencial que rodea una carga o masa concentrada, o la simulación global del clima en la atmósfera de un planeta. Una esfera que tiene la ecuación cartesiana x ² + y ² + z ² = c ² tiene la ecuación simple r = c en coordenadas esféricas.

Dos importantes ecuaciones diferenciales parciales que surgen en muchos problemas físicos, la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz , permiten una separación de variables en coordenadas esféricas. Las porciones angulares de las soluciones a tales ecuaciones toman la forma de armónicos esféricos .

Otra aplicación es el diseño ergonómico, donde r es la longitud del brazo de una persona estacionaria y los ángulos describen la dirección del brazo a medida que se extiende.

El patrón de salida de un altavozindustrial que se muestra usando gráficos polares esféricos tomados a seis frecuencias

El modelado tridimensional de los patrones de salida de los altavoces se puede utilizar para predecir su rendimiento. Se requieren varios gráficos polares, tomados en una amplia selección de frecuencias, ya que el patrón cambia mucho con la frecuencia. Las gráficas polares ayudan a mostrar que muchos altavoces tienden a la omnidireccionalidad en las frecuencias más bajas.

El sistema de coordenadas esféricas también se usa comúnmente en el desarrollo de juegos en 3D para rotar la cámara alrededor de la posición del jugador.

En geografía [ editar ]

Para una primera aproximación, el sistema de coordenadas geográficasutiliza el ángulo de elevación (latitud) en grados al norte del plano ecuatorial , en el rango de −90 ° ≤ φ ≤ 90 ° , en lugar de la inclinación. La latitud es una latitud geocéntrica , medida en el centro de la Tierra y designada de diversas maneras por ψ , q , φ ′, φ _c , φ _g o latitud geodésica , medida por la vertical local del observador, y comúnmente designada como φ . El ángulo de acimut (longitud), comúnmente indicado por λ, se mide en grados este u oeste a partir de algún meridiano de referencia convencional (más comúnmente el meridiano de referencia IERS ), por lo que su dominio es −180 ° ≤ λ ≤ 180 ° . Para las posiciones en la Tierra u otro cuerpo celeste sólido , el plano de referencia se toma generalmente como el plano perpendicular al eje de rotación .

El ángulo polar, que es de 90 ° menos la latitud y varía de 0 a 180 °, se denomina colatitud en geografía.

En lugar de la distancia radial, los geógrafos suelen utilizar la altitud por encima o por debajo de alguna superficie de referencia, que puede ser el nivel del mar o el nivel de la superficie "media" para planetas sin océanos líquidos. La distancia radial r se puede calcular a partir de la altitud agregando el radio medio de la superficie de referencia del planeta, que es aproximadamente 6,360 ± 11 km (3,952 ± 7 millas) para la Tierra.

Sin embargo, los sistemas modernos de coordenadas geográficas son bastante complejos, y las posiciones implícitas en estas fórmulas simples pueden ser erróneas por varios kilómetros. Los significados estándar precisos de latitud, longitud y altitud están actualmente definidos por el Sistema Geodésico Mundial (WGS), y tienen en cuenta el aplanamiento de la Tierra en los polos (unos 21 km o 13 millas) y muchos otros detalles.

En astronomía [ editar ]

En astronomía hay una serie de sistemas de coordenadas esféricas que miden el ángulo de elevación desde diferentes planos fundamentales . Estos planos de referencia son el horizonte del observador , el ecuador celeste(definido por la rotación de la Tierra), el plano de la eclíptica (definido por la órbita de la Tierra alrededor del Sol ), el plano del terminador de la Tierra (normal a la dirección instantánea hacia el Sol ), y el ecuador galáctico(definido por la rotación de la Vía Láctea ).

Conversión de coordenadas del sistema [ editar ]

Vea también: Lista de transformaciones de coordenadas comunes § A coordenadas esféricas

Como el sistema de coordenadas esféricas es solo uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales, existen ecuaciones para convertir coordenadas entre el sistema de coordenadas esféricas y otros.

Coordenadas cartesianas [ editar ]

Las coordenadas esféricas de un punto en la convención ISO (es decir, para la física: radio r , inclinación az , acimut φ ) se pueden obtener a partir de sus coordenadas cartesianas ( x , y , z ) mediante las fórmulas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arccos {\ frac {z} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ arccos {\ frac {z} {r}} \\\ varphi & = \ arctan {\ frac {y} { x}} \ end {alineado}}}

La tangente inversa indicada en φ = arctan y/x debe definirse adecuadamente, teniendo en cuenta el cuadrante correcto de ( x , y ) . Vea el artículo en atan2 .

Alternativamente, la conversión puede considerarse como dos conversiones secuenciales de rectangulares a polares : la primera en el plano xy cartesiano de ( x , y ) a ( R , φ ) , donde R es la proyección de r sobre el plano xy , y el segundo en el plano cartesiano zR de ( z , R ) a ( r , θ ) . Los cuadrantes correctos para φ y θEstán implícitos por la corrección de las conversiones planas rectangulares a polares.

Estas fórmulas asumen que los dos sistemas tienen el mismo origen, que el plano de referencia esférico es el plano xy cartesiano , que θ es la inclinación desde la dirección z , y que los ángulos de acimut se miden desde el eje x cartesiano (de modo que El eje y tiene φ = + 90 ° ). Si theta medidas elevación del plano de referencia en lugar de inclinación desde el cenit las arccos anterior se convierte en un arco seno, y las cos θ y el pecado thetaa continuación convertido conmutada.

Por el contrario, las coordenadas cartesianas se pueden recuperar de las coordenadas esféricas ( radio r , inclinación az , acimut φ ), donde r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π) , por:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \\ y & = r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \\ z & = r \, \ cos \ theta \ end {alineado}}}

Coordenadas cilíndricas [ editar ]

Artículo principal: Sistema de coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas ( radio ρ , azimut φ , elevación z ) se pueden convertir en coordenadas esféricas ( radio r , inclinación θ , azimut φ ), mediante las fórmulas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan {\ frac {\ rho} {z}} = \ arccos {\ frac {z} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} \\\ varphi & = \ varphi \ end {alineado}}}

A la inversa, las coordenadas esféricas se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante las fórmulas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho & = r \ sin \ theta \\\ varphi & = \ varphi \\ z & = r \ cos \ theta \ end {alineado}}}

Estas fórmulas asumen que los dos sistemas tienen el mismo origen y el mismo plano de referencia, miden el ángulo de acimut φ en el mismo sentido desde el mismo eje, y que el ángulo esférico θ es la inclinación del eje zcilíndrico .

Integración y diferenciación en coordenadas esféricas [ editar ]

Las siguientes ecuaciones asumen que θ es la inclinación del eje z (polar) (ambiguo, ya que x , y y z son mutuamente normales):

El elemento de línea para un desplazamiento infinitesimal de ( r , θ , φ ) a ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} r \, {\ hat {\ mathbf {r}}} + r \, \ mathrm {d} \ theta \, {\ hat { \ boldsymbol {\ theta}}} + r \ sin {\ theta} \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathbf {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}.}

dónde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ hat {\ mathbf {r}}} & = \ sin \ theta \ cos \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ sin \ theta \ sin \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {y}}} + \ cos \ theta \, {\ hat {\ mathbf {z}}} \\ [5px] {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} & = \ cos \ theta \ cos \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos \ theta \ sin \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {y}}} - \ sin \ theta \, {\ hat {\ mathbf {z}}} \\ [5px] {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} & = - \ sin \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos \ varphi \, {\ hat {\ mathbf {y}}} \ end {alineado}}}

son los vectores de unidades ortogonales locales en las direcciones de aumento de r , θ y φ , respectivamente, y x̂ , ŷ y ẑ son los vectores de unidad en coordenadas cartesianas.

La forma general de la fórmula para probar el elemento de línea diferencial es ^[3]

$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x_ {i}}} \ mathrm {dx_ {i}} = \ sum _ {i} \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x_ {i}}} \ right | {\ frac {\ fragment {\ partial \ mathbf {r}} {\ parcial x_ {i}}} {\ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x_ {i}}} \ right |}} \ mathrm {dx_ {i}} = \ sum _ { i} \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial x_ {i}}} \ right | \ mathrm {dx_ {i}} {\ hat {\ boldsymbol {x}}} _ { yo}}

es decir, el cambio en $${\ displaystyle {\ mathbf {r}}}se descompone en cambios individuales correspondientes a cambios en las coordenadas individuales. Para aplicar esto al presente caso, necesita calcular cómo$${\ displaystyle {\ mathbf {r}}}Cambios con cada una de las coordenadas. Con las convenciones en uso, tenemos

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = {\ begin {bmatrix} r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ cos \ theta \ end {bmatrix}}}

Así

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial r}} = {\ begin {bmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi \\\ cos \ theta \ end {bmatrix}} \ ,, {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ theta}} = {\ begin {bmatrix} r \ cos \ theta \ cos \ phi \\ r \ cos \ theta \ sin \ phi \\ - r \ sin \ theta \ end {bmatrix}} \ ,, {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ phi}} = {\ begin {bmatrix} -r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ 0 \ end {bmatrix}} \,}

Entonces los coeficientes deseados son las magnitudes de estos vectores:

$${\ displaystyle {\ begin {alineado} \ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial r}} \ right | = 1 \\\ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r }} {\ partial \ theta}} \ right | = r \\\ left | {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial \ phi}} \ right | = r \ sin \ theta \\\ fin {alineado}}} ^[4]

El elemento de superficie que se extiende desde θ a θ + d θ y φ a φ + d φ en una superficie esférica en el radio (constante) r es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {r} = \ left \ | {\ partial r {\ hat {\ mathbf {r}}} \ over \ partial \ theta} \ times {\ partial r {\ hat {\ mathbf {r}}} \ over \ partial \ varphi} \ right \ | \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = r ^ {2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi.}

Así, el ángulo sólido diferencial es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {\ mathrm {d} S_ {r}} {r ^ {2}}} = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi.}

El elemento de superficie en una superficie de ángulo polar θ constante (un cono con vértice el origen) es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ theta} = r \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} r.}

El elemento de superficie en una superficie de azimut φ constante (un semiplano vertical) es

$${\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta.}

El elemento de volumen que abarca desde r hasta r + d r , θ hasta θ + d θ , y φ hasta φ + d φ es ( determinantede la matriz jacobiana de derivadas parciales ):

$${\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (r, \ theta, \ phi)}} \ right | = r ^ {2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = r ^ {2} \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d } \ Omega.}

Así, por ejemplo, una función f ( r , θ , φ ) se puede integrar en cada punto en ℝ ³ mediante la integral triple

$${\ displaystyle \ \ int \ limits _ {\ varphi = 0} ^ {2 \ pi} \ \ int \ limits _ {\ theta = 0} ^ {\ pi} \ \ int \ limits _ {r = 0} ^ {\ infty} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi. }

El operador del en este sistema lleva a las siguientes expresiones para gradiente , divergencia , rizo y laplaciano:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f.\end{aligned}}}$

Cinemática [ editar ]

En coordenadas esféricas se escribe la posición de un punto.

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = r \ mathbf {\ hat {r}}.

Su velocidad es entonces.

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ dot {r}} \ mathbf {\ hat {r}} + r \, {\ dot {\ theta}} \, {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} } + r \, {\ dot {\ varphi}} \ sin \ theta \, \ mathbf {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}},}

y su aceleración es

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {a} & = \ left ({\ ddot {r}} - r \, {\ dot {\ theta}} ^ {2} -r \, {\ dot { \ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ right) \ mathbf {\ hat {r}} \\ & {} + \ left (r \, {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} \, {\ dot {\ theta}} - r \, {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ theta \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} \\ & {} + \ left (r {\ ddot {\ varphi}} \, \ sin \ theta +2 {\ dot {r}} \, {\ dot {\ varphi}} \ , \ sin \ theta + 2r \, {\ dot {\ theta}} \, {\ dot {\ varphi}} \, \ cos \ theta \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}. \ fin {alineado}}}

En el caso de una constante φ o θ = π/2 , esto se reduce a cálculo vectorial en coordenadas polares .