SISTEMAS DE COORDENADAS

El perifocal de coordenadas ( PAW ) sistema es un marco de referencia para una órbita . El marco se centra en el foco de la órbita, es decir, el cuerpo celeste sobre el que se centra la órbita. Los vectores unitarios$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}} y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}} Se encuentran en el plano de la órbita. $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}Se dirige hacia la periapsis de la órbita y$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}tiene una verdadera anomalía ($${\ displaystyle \ theta}) de 90 grados más allá de la periapsis. El tercer vector unitario. $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}es el vector de momento angular y se dirige ortogonal al plano orbital de modo que: ^[1] [2]

$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = \ mathbf {\ hat {p}} \ times \ mathbf {\ hat {q}}}

Y desde $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}} es el vector de momento angular, también se puede expresar como:

$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = {\ frac {\ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}}}

Donde h es el momento angular relativo específico.

Los vectores de posición y velocidad se pueden determinar para cualquier ubicación de la órbita. El vector de posición, r , se puede expresar como:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ | r \ | \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + \ | r \ | \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {q}}}

Dónde $${\ displaystyle \ theta}es la verdadera anomalía y el radio r puede calcularse a partir de la ecuación de la órbita .

El vector de velocidad, v , se encuentra al tomar la derivada temporal del vector de posición:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}} = ({\ dot {r}} \ cos \ theta -r {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta) \ mathbf {\ hat {p}} + ({\ dot {r}} \ sin \ theta + r {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}}

Se puede hacer una derivación de la ecuación de la órbita para mostrar que:

$${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mu} {h}} e \ sin \ theta}

dónde $${\ displaystyle \ mu}es el parámetro gravitacional del foco, h es el momento angular relativo específico del cuerpo orbital, ees la excentricidad de la órbita, y$${\ displaystyle \ theta} Es la verdadera anomalía. $${\ displaystyle {\ dot {r}}} es la componente radial del vector de velocidad (que apunta hacia adentro hacia el foco) y $${\ displaystyle r {\ dot {\ theta}}}Es la componente tangencial del vector de velocidad. Sustituyendo las ecuaciones por$${\ displaystyle {\ dot {r}}} y $${\ displaystyle r {\ dot {\ theta}}}en la ecuación del vector de velocidad y simplificando, la forma final de la ecuación del vector de velocidad se obtiene como: ^[3]

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mu} {h}} [- \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + (e + \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q }}]}

Transformación de ecuatorial sistema de coordenadas [ editar ]

El sistema de coordenadas perifocal también se puede definir utilizando la inclinación de los parámetros orbitales ( i ), la ascensión recta del nodo ascendente ($${\ displaystyle \ Omega}) y el argumento de la periapsis ($${\ displaystyle \ omega}). Las siguientes ecuaciones transforman una órbita del sistema de coordenadas ecuatoriales al sistema de coordenadas perifocal. ^[4]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} p_ {i} & = \ cos \ Omega \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {j} & = \ sin \ Omega \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ sin \ omega \\ p_ {k} & = \ sin i \ sin \ omega \\ [8pt] q_ {i} & = - \ cos \ Omega \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {j} & = - \ sin \ Omega \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cos i \ cos \ omega \\ q_ {k} & = \ sin i \ cos \ omega \\ [8pt] w_ {i} & = \ sin i \ sin \ Omega \\ w_ {j} & = - \ sin i \ cos \ Omega \\ w_ {k} & = \ cos i \ fin {alineado}}}

dónde

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {\ hat {p}} & = p_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + p_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + p_ { k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {q}} & = q_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + q_ {j} \ mathbf {\ hat {J} } + q_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \\\ mathbf {\ hat {w}} & = w_ {i} \ mathbf {\ hat {I}} + w_ {j} \ mathbf {\ hat {J}} + w_ {k} \ mathbf {\ hat {K}} \ end {alineado}}}

y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {I}}}, $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {J}}}y $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {K}}} Son los vectores unitarios del sistema de coordenadas ecuatoriales.

Aplicaciones [ editar ]

Los marcos de referencia perifocales se utilizan más comúnmente con órbitas elípticas por la razón de que $${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}La coordenada debe estar alineada con el vector de excentricidad . Las órbitas circulares , que no tienen excentricidad, no proporcionan medios para orientar el sistema de coordenadas sobre el enfoque. ^[5]

El sistema de coordenadas perifocal también puede usarse como un marco de referencia inercial porque los ejes no giran en relación con las estrellas fijas. Esto permite calcular la inercia de cualquier cuerpo orbital dentro de este marco de referencia. Esto es útil cuando se intenta resolver problemas como el problema de dos cuerpos . 

coordenadas Plücker , introducidas por Julius Plücker en el siglo XIX, son una forma de asignar seis coordenadas homogéneas a cada línea en el espacio 3 proyectivo , P ³ . Debido a que satisfacen una restricción cuadrática, establecen una correspondencia uno a uno entre el espacio 4-dimensional de las líneas en P ³ y los puntos en una cuadrática en P ⁵ (espacio 5 proyectivo). Un predecesor y un caso especial de coordenadas de Grassmann (que describen subespacios lineales k- dimensionales, oplanos , en un espacio euclidiano n- dimensional ), las coordenadas Plücker surgen naturalmente en álgebra geométrica . Han demostrado ser útiles para gráficos de computadora , y también pueden extenderse a las coordenadas de los tornillos y llaves en la teoría de la cinemática utilizada para el control de robots .

Intuición geométrica [ editar ]

Desplazamiento y momento de dos puntos en línea.

Una línea L en el espacio euclidiano tridimensional está determinada por dos puntos distintos que contiene, o por dos planos distintos que la contienen. Considere el primer caso, con los puntos x  = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y y  = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ). El desplazamiento del vector de x a y es distinto de cero porque los puntos son distintos y representan la dirección de la línea. Es decir, cada desplazamiento entre puntos en Les un múltiplo escalar de d  = y  -  x . Si una partícula física de unidad de masa se moviera de x a y , tendría un momento sobre el origen. El equivalente geométrico es un vector cuya dirección es perpendicular al plano que contiene L y el origen, y cuya longitud es igual al doble del área del triángulo formado por el desplazamiento y el origen. Tratando los puntos como desplazamientos desde el origen, el momento es m  = x × y , donde "×" denota el producto cruzado del vector . Para una línea fija, L, El área del triángulo es proporcional a la longitud del segmento entre x y y , considerado como la base del triángulo; no se cambia deslizando la base a lo largo de la línea, paralela a sí misma. Por definición, el vector de momento es perpendicular a cada desplazamiento a lo largo de la línea, por lo que d • m  = 0, donde "•" denota el producto de punto vectorial .

Aunque ni d ni m solo son suficientes para determinar L , juntos el par lo hace de manera única, hasta un múltiplo escalar común (distinto de cero) que depende de la distancia entre x e y . Es decir, las coordenadas.

( d : m ) = ( d ₁ : d ₂ : d ₃ : m ₁ : m ₂ : m ₃ )

pueden considerarse coordenadas homogéneas para L , en el sentido de que todos los pares ( λ d : λ m ), para λ ≠ 0, pueden producirse por puntos en L y solo L , y cualquiera de dichos pares determina una línea única siempre que d no es cero y d • m  = 0. Además, este enfoque se extiende para incluir puntos , líneas y un plano"en el infinito", en el sentido de la geometría proyectiva .

Ejemplo. Sean x  = (2,3,7) y y  = (2,1,0). Entonces ( d : m ) = (0: −2: −7: −7: 14: −4).

Alternativamente, deja que las ecuaciones para los puntos x de dos planos distintos que contienen L sean

0 = a + a • x

0 = b + b • x .

Entonces sus respectivos planos son perpendiculares a los vectores a y b , y la dirección de L debe ser perpendicular a ambos. Por lo tanto, podemos establecer d  = a × b , que es distinto de cero porque a y b no son ni cero ni paralelos (los planos son distintos e intersecados). Si el punto x satisface ambas ecuaciones planas, entonces también satisface la combinación lineal

0	= a ( b + b • x ) - b ( a + a • x )
	= ( a b - b a ) • x .

Es decir, m  = a  b  -  b  a es un vector perpendicular a los desplazamientos a puntos en L desde el origen; es, de hecho, un momento consistente con el d definido previamente de a y b .

prueba: necesidad de mostrar m  = a  b  -  b  a = r × d = r × a × b, vamos a • a = b • b = 1

Plano ortogonal a la línea e incluye el origen.

El punto B es el origen. la línea es el punto de paso D y ortogonal al plano, el plano 2 pasa CD y DE tanto ortogonal al plano, BD es el diámetro

a = BE / || BE ||, b = BC / || BC || ， r = BD, −a = || BF || = || BE || ， −b = || BG || = || BC ||, m = a b −b a = FG, || d  || = || a × b || = pecado (FBG)

el ángulo BCE = BDE = BGF, así que los puntos D, G, E, H en un círculo, y el ángulo GHG es el ángulo recto, FG ortogonal a BD, por lo que 4 puntos C, D, H, F en un círculo, y

|| BF || || BC || = || BH || || BD ||, que es ab  sin (FBG) = || BH || || r || sin (FBG), 2 · área del triángulo BFG = ab · sin (FBG) = || BH || || FG || = || BH || || r || pecado (FBG), || m || = || FG || = || r || sin (FBG) = || r || || d ||,verifique la dirección y m = r × d.

cuando || r || = 0, la línea es el origen de una pasada con dirección d ; si || r || > 0, la línea es con la dirección d, el plano que incluye el origen y la línea tiene el vector normal m , la línea es tangente a un círculo en el origen centrado en el plano y con el radio || r || en el punto r .

Ejemplo. Sean a ₀  = 2, a  = (−1,0,0) y b ₀  = −7, b  = (0,7, −2). Entonces ( d : m ) = (0: −2: −7: −7: 14: −4).

Aunque la definición algebraica habitual tiende a oscurecer la relación, ( d : m ) son el Plücker Coordenadas L .

Algebraica definición [ editar ]

Coordenadas primarias [ editar ]

En un espacio proyectivo 3-dimensional P ³ , deja que L sea una línea a través de puntos distintos x y y con coordenadas homogéneas ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) y ( y ₀ : y ₁ : y ₂ : y ₃ ). Las coordenadas de Plücker p _ij se definen de la siguiente manera:

$${\ displaystyle p_ {ij}}

{\ displaystyle {} = {\ begin {vmatrix} x_ {i} & y_ {i} \\ x_ {j} & y_ {j} \ end {vmatrix}} = x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}.}

Esto implica que p _ii  = 0 y p _ij  = - p _ji , reduciendo las posibilidades a solo seis (4 elegir 2) cantidades independientes. El sextuple

$${\ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12})}

está determinado de forma única por L hasta un factor de escala distinto de cero. Además, no todos los seis componentes pueden ser cero. Por lo tanto, las coordenadas Plücker de L pueden considerarse coordenadas homogéneas de un punto en un espacio proyectivo de 5 dimensiones, como lo sugiere la notación de dos puntos.

Para ver estos hechos, sea M la matriz 4 × 2 con las coordenadas del punto como columnas.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}}$

El Plücker coordinar p _ij es el determinante de filas i y j de M . Debido a que x e y son puntos distintos, las columnas de M son linealmente independientes ; M tiene rango 2. Sea M ' ser una segunda matriz, con columnas x' y Y ' un par diferente de puntos distintos en L . Entonces las columnas de M ' son combinaciones lineales de las columnas de M ; así que para algunos 2 × 2 matrices no singulares Λ,

$${\ displaystyle M '= M \ Lambda.}

En particular, las filas i y j de M ′ y M están relacionadas por

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '_ {i} & y' _ {i} \\ x '_ {j} & y' _ {j} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x_ { i} & y_ {i} \\ x_ {j} & y_ {j} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {00} & \ lambda _ {01} \\\ lambda _ {10} & \ lambda _ {11} \ end {bmatrix}}.}

Por lo tanto, el determinante de la matriz de 2 × 2 del lado izquierdo es igual al producto de los determinantes de las matrices de 2 × 2 del lado derecho, la última de las cuales es un escalar fijo, det. Además, los seis subdeterminantes 2 × 2 en M no pueden ser cero porque el rango de M es 2.

Mapa de Plücker [ editar ]

Indique el conjunto de todas las líneas (imágenes lineales de P ¹ ) en P ³ por G _1,3 . Así tenemos un mapa:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ alpha \ colon \ mathrm {G} _ {1,3} & \ rightarrow \ mathbf {P} ^ {5} \\ L & \ mapsto L ^ {\ alpha}, \ end {alineado}}}

dónde

$${\ displaystyle L ^ {\ alpha} = (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}).}

Coordenadas duales [ editar ]

Alternativamente, una línea puede describirse como la intersección de dos planos. Sea L una línea contenida en planos distintos a y b con coeficientes homogéneos ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) y ( b ⁰ : b ¹ : b ² : b ³ ), respectivamente. (La primera ecuación de plano es ∑ _k  a ^k x _k = 0, por ejemplo.) La coordenada Plücker dual p ^ij es

$${\ displaystyle p ^ {ij}}

{\ displaystyle {} = {\ begin {vmatrix} a ^ {i} & a ^ {j} \\ b ^ {i} & b ^ {j} \ end {vmatrix}} = a ^ {i} b ^ {j } -a ^ {j} b ^ {i}.}

Las coordenadas duales son convenientes en algunos cálculos y son equivalentes a las coordenadas primarias:

$${\ displaystyle (p_ {01}: p_ {02}: p_ {03}: p_ {23}: p_ {31}: p_ {12}) = (p ^ {23}: p ^ {31}: p ^ {12}: p ^ {01}: p ^ {02}: p ^ {03})}

Aquí, la igualdad entre los dos vectores en coordenadas homogéneas significa que los números en el lado derecho son iguales a los números en el lado izquierdo hasta algún factor de escala común $${\ displaystyle \ lambda}. Específicamente, sea ( i , j , k , ℓ ) ser una permutación par de (0,1,2,3); entonces

$${\ displaystyle p_ {ij} = \ lambda p ^ {k \ ell}.}

Geometría [ editar ]

Para relacionar de nuevo con la intuición geométrica, toma x ₀  = 0 como el plano en el infinito; por lo tanto, las coordenadas de los puntos que no están en el infinito se pueden normalizar de modo que x ₀  = 1. Entonces M seconvierte en

{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} \ end {bmatrix}},}

y estableciendo x  = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) y y  = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ), tenemos d  = ( p ₀₁ , p ₀₂ , p ₀₃ ) ym  = ( p ₂₃ , p ₃₁ , p ₁₂ ).

Dualmente, tenemos d  = ( p ²³ , p ³¹ , p ¹² ) y m  = ( p ⁰¹ , p ⁰² , p ⁰³ ).

Bijección entre líneas y cuadrática de Klein [ editar ]

Ecuaciones planas [ editar ]

Si el punto z  = ( z ₀ : z ₁ : z ₂ : z ₃ ) se encuentra en L , entonces las columnas de

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ \ x_ {3} & y_ {3} & z_ {3} \ end {bmatrix}}}

son linealmente dependientes , por lo que el rango de esta matriz más grande es todavía 2. Esto implica que todas las submatrices 3 × 3 tienen un determinante cero, generando cuatro (4 elegir 3) ecuaciones planas, como

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & z_ {2} \ end {vmatrix}} \\ [5pt] & = {\ begin {vmatrix} x_ {1} & y_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} z_ {0} - {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {2} & y_ {2} \ end {vmatrix}} z_ {1} + {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} \ end {vmatrix}} z_ {2} \\ [5pt] & = p_ {12} z_ {0} -p_ {02} z_ {1} + p_ {01} z_ {2}. \\ [5pt] & = p ^ {03} z_ {0} + p ^ {13} z_ {1} + p ^ {23} z_ {2}. \ End {alineado} }}

Los cuatro planos posibles obtenidos son los siguientes.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 & = & {} + p_ {12} z_ {0} & {} - p_ {02} z_ {1} & {} + p_ {01} z_ {2} & \\ 0 & = & {} - p_ {31} z_ {0} & {} - p_ {03} z_ {1} && {} + p_ {01} z_ {3} \\ 0 & = & {} + p_ {23} z_ {0} && {} - p_ {03} z_ {2} & {} + p_ {02} z_ {3} \\ 0 & = && {} + p_ {23} z_ {1} & {} + p_ { 31} z_ {2} & {} + p_ {12} z_ {3} \ end {matriz}}}

Usando coordenadas duales, y dejando que ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ) sean los coeficientes de línea, cada uno de estos es simplemente a ⁱ  = p ^ij , o

$${\ displaystyle 0 = \ sum _ {i = 0} ^ {3} p ^ {ij} z_ {i}, \ qquad j = 0, \ ldots, 3.}

Cada coordenada de Plücker aparece en dos de las cuatro ecuaciones, cada vez que multiplica una variable diferente; y que al menos una de las coordenadas es distinto de cero, tenemos la garantía de ecuaciones no vacuos por dos planos distintos que se cruzan en L . Por lo tanto, las coordenadas de Plücker de una línea determinan esa línea de manera única, y el mapa α es una inyección .

Relación cuadrática [ editar ]

La imagen de α no es el conjunto completo de puntos en P ⁵ ; Las coordenadas Plücker de una línea L satisfacen la relación cuadrática Plücker.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = p_ {01} p ^ {01} + p_ {02} p ^ {02} + p_ {03} p ^ {03} \\ & = p_ {01} p_ { 23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}. \ End {alineado}}}

Como prueba, escriba este polinomio homogéneo como determinantes y use la expansión de Laplace (al revés).

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}y_{2}-y_{0}x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}y_{3}-y_{0}x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

Dado que ambos determinantes 3 × 3 tienen columnas duplicadas, el lado derecho es idénticamente cero.

Otra prueba se puede hacer así: Desde vector

$${\ displaystyle d = \ left (p_ {01}, p_ {02}, p_ {03} \ right)}

es perpendicular al vector

$${\ displaystyle m = \ left (p_ {23}, p_ {31}, p_ {12} \ right)}

(ver arriba), ¡el producto escalar de d y m debe ser cero! qed

Ecuaciones puntuales [ editar ]

Dejando que ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ) sean las coordenadas del punto, cuatro puntos posibles en una línea tienen coordenadas x _i  = p _ij , para j  = 0… 3. Algunos de estos puntos posibles pueden ser inadmisibles porque todas las coordenadas son cero, pero dado que al menos una coordenada Plücker es distinta de cero, se garantizan al menos dos puntos distintos.

Bijectividad [ editar ]

Si ( q ₀₁ : q ₀₂ : q ₀₃ : q ₂₃ : q ₃₁ : q ₁₂ ) son las coordenadas homogéneas de un punto en P ⁵ , sin pérdida de generalidad, suponga que q ₀₁ es distinto de cero. Entonces la matriz

{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} q_ {01} & 0 \\ 0 & q_ {01} \\ - q_ {12} & q_ {02} \\ q_ {31} & q_ {03} \ end {bmatrix}}}

tiene rango 2, y así sus columnas son puntos distintos que definen una línea L . Cuando los P ⁵ coordenadas, q _ij, satisfacen la relación Plücker cuadrática, son el Plücker Coordenadas L . Para ver esto, primero normalice q ₀₁a 1. Luego tenemos inmediatamente eso para las coordenadas Plücker calculadas de M , p _ij  = q _ij , excepto para

$${\ displaystyle p_ {23} = - q_ {03} q_ {12} -q_ {02} q_ {31}.}

Pero si q _ij satisface la relación Plücker q ₂₃ + q ₀₂ q ₃₁ + q ₀₃ q ₁₂  = 0, entonces p ₂₃  = q ₂₃ , completando el conjunto de identidades.

En consecuencia, α es una superposición sobre la variedad algebraica que consiste en el conjunto de ceros del polinomio cuadrático

$${\ displaystyle p_ {01} p_ {23} + p_ {02} p_ {31} + p_ {03} p_ {12}.}

Y dado que α es también una inyección, las líneas en P ³ están, por lo tanto, en correspondencia biyectiva con los puntos de este quadric en P ⁵ , llamado el quadric de Plücker o el quadric de Klein .

Usos [ editar ]

Las coordenadas de Plücker permiten soluciones concisas a problemas de geometría de línea en espacios tridimensionales, especialmente aquellos que involucran la incidencia .

Línea a línea de cruce [ editar ]

Dos líneas en P ³ son oblicuas o coplanares , y en este último caso son coincidentes o se intersectan en un punto único. Si p _ij y p ′ _ij son las coordenadas Plücker de dos líneas, entonces son coplanares precisamente cuando d ⋅ m ′ + m ⋅ d ′ = 0, como lo muestra

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 & = p_ {01} p '_ {23} + p_ {02} p' _ {31} + p_ {03} p '_ {12} + p_ {23} p' _ {01} + p_ {31} p '_ {02} + p_ {12} p' _ {03} \\ [5pt] & = {\ begin {vmatrix} x_ {0} & y_ {0} & x'_ {0} & y '_ {0} \\ x_ {1} & y_ {1} & x' _ {1} & y '_ {1} \\ x_ {2} & y_ {2} & x' _ {2} & y'_ {2} \\ x_ {3} & y_ {3} & x '_ {3} & y' _ {3} \ end {vmatrix}}. \ End {alineado}}}

Cuando las líneas están inclinadas, el signo del resultado indica la sensación de cruce: positivo si un tornillo derecho toma L en L ′, en caso contrario, negativo.

La relación de Plücker cuadrática esencialmente establece que una línea es coplanar consigo misma.

Línea de línea de unión [ editar ]

En el caso de que dos líneas sean coplanares pero no paralelas, su plano común tiene la ecuación

0 = ( m • d ′) x ₀ + ( d × d ′) • x ,

donde x  = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ).

La más leve perturbación destruirá la existencia de un plano común, y el paralelismo cercano de las líneas causará dificultades numéricas para encontrar dicho plano incluso si existe.

Line line line [ editar ]

Dualmente, dos líneas coplanares, ninguna de las cuales contiene el origen, tienen un punto común

( x ₀  : x ) = ( d • m ′: m × m ′).

Para manejar las líneas que no cumplen con esta restricción, vea las referencias.

Plano de línea de encuentro [ editar ]

Dado un plano con ecuación

$${\ displaystyle 0 = a ^ {0} x_ {0} + a ^ {1} x_ {1} + a ^ {2} x_ {2} + a ^ {3} x_ {3},}

o más concisamente 0 = a ⁰ x ₀ + a • x ; y dada una línea que no está en ella con coordenadas Plücker ( d : m ), entonces su punto de intersección es

( x ₀  : x ) = ( a • d  : a × m - a ₀ d ).

Las coordenadas del punto, ( x ₀ : x ₁ : x ₂ : x ₃ ), también se pueden expresar en términos de coordenadas Plücker como

$${\ displaystyle x_ {i} = \ sum _ {j \ neq i} a ^ {j} p_ {ij}, \ qquad i = 0 \ ldots 3.}

Unir línea de punto [ editar ]

Dualmente, dado un punto ( y ₀ : y ) y una línea que no lo contiene, su plano común tiene la ecuación

0 = ( y • m ) x ₀ + ( y × d - y ₀ m ) • x .

Las coordenadas del plano, ( a ⁰ : a ¹ : a ² : a ³ ), también se pueden expresar en términos de coordenadas de Plücker duales como

$${\ displaystyle a ^ {i} = \ sum _ {j \ neq i} y_ {j} p ^ {ij}, \ qquad i = 0 \ ldots 3.}

Familias de línea [ editar ]

Debido a que la cuadrícula de Klein está en P ⁵ , contiene subespacios lineales de dimensiones uno y dos (pero no superior). Estos corresponden a familias de uno y dos parámetros de líneas en P ³ .

Por ejemplo, supongamos que L y L 'son líneas distintas en P ³ determinadas por los puntos x , y y x ', y ', respectivamente. Las combinaciones lineales de sus puntos determinantes dan combinaciones lineales de sus coordenadas Plücker, generando una familia de un parámetro de líneas que contienen L y L '. Esto corresponde a un subespacio lineal unidimensional que pertenece a la cuadrícula de Klein.

Líneas en plano [ editar ]

Si tres líneas distintas y no paralelas son coplanares; sus combinaciones lineales generan una familia de dos parámetros de líneas, todas las líneas en el plano. Esto corresponde a un subespacio lineal bidimensional que pertenece a la cuadrícula de Klein.

Líneas a través del punto [ editar ]

Si tres líneas distintas y no coplanares se intersecan en un punto, sus combinaciones lineales generan una familia de dos parámetros de líneas, todas las líneas a través del punto. Esto también corresponde a un subespacio lineal bidimensional que pertenece a la cuadrícula de Klein.

Superficie reglada [ editar ]

Una superficie reglada es una familia de líneas que no es necesariamente lineal. Corresponde a una curva en el cuadrático de Klein. Por ejemplo, un hiperboloide de una hoja es una superficie cuadrática en P ³ regida por dos familias diferentes de líneas, una línea de cada una que pasa por cada punto de la superficie; cada familia corresponde en el mapa Plücker a una sección cónica dentro de la cuadrícula de Klein en P ⁵ .

Geometría de línea [ editar ]

Durante el siglo XIX, la geometría lineal se estudió de forma intensiva. En términos de la bijección dada anteriormente, esta es una descripción de la geometría intrínseca del quadric de Klein.

Trazado de rayos [ editar ]

La geometría de línea se usa ampliamente en la aplicación de trazado de rayos donde la geometría y las intersecciones de los rayos deben calcularse en 3D. Una implementación se describe en Introducción a las coordenadas de Plücker escrita para el foro de Ray Tracing por Thouis Jones.