MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

división por cero es la división donde el divisor (denominador) es cero . Dicha división puede expresarse formalmente como a/0, donde a es el dividendo (numerador). En aritmética ordinaria, la expresión no tiene significado, ya que no hay un número que, cuando se multiplica por 0, da un (asumiendo un  ≠ 0), por lo que la división por cero no está definida . Dado que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión 0/0 es también definido; cuando es la forma de un límite, es unaforma indeterminada . Históricamente, una de las primeras referencias grabadas en la imposibilidad matemática de asignar un valor a un/0 está contenido en George Berkeley crítica 's del cálculo infinitesimalen 1734 en The Analyst ( 'fantasmas de cantidades difuntas'). ^[1]

Hay estructuras matemáticas en las que un/0 se define por alguna unacomo en la esfera de Riemann y la recta real proyectivamente extendido; sin embargo, tales estructuras no pueden satisfacer todas las reglas ordinarias de la aritmética (los axiomas de campo ).

En computación , un error de programa puede resultar de un intento de dividir por cero. Dependiendo del entorno de programación y del tipo de número (p. Ej. , Punto flotante , entero ) que se divide por cero, puede generar un infinito positivo o negativo por el estándar de punto flotante IEEE 754 , generar una excepción , generar un mensaje de error , hacer que el programa terminar, dar como resultado un valor especial sin número , una congelación a través de un bucle infinito o un bloqueo .

La función y  = 1 / x . Cuando x seacerca a 0 desde la derecha, y seacerca al infinito. Cuando x se acerca a 0 desde la izquierda, y se acerca al infinito negativo.

La aritmética elemental [ editar ]

Cuando se explica la división en el nivel aritmético elemental , a menudo se considera que se divide un conjuntode objetos en partes iguales. Como ejemplo, considere tener diez cookies, y estas cookies deben distribuirse por igual a cinco personas en una mesa. Cada persona recibiría 10/5 = 2 galletas. Del mismo modo, si hay diez galletas, y sólo una persona en la mesa, esa persona podría recibir 10/1 = 10 galletas.

Entonces, para dividir por cero, ¿cuál es la cantidad de cookies que recibe cada persona cuando 10 cookies se distribuyen uniformemente entre 0 personas en una mesa? Ciertas palabras se pueden señalar en la pregunta para resaltar el problema. El problema con esta pregunta es el "cuándo". No hay forma de distribuir 10 cookies a nadie. En la jerga matemática , un conjunto de 10 elementos no se puede particionar en 0 subconjuntos. Así 10/0 , al menos en la aritmética elemental, se dice que es ya sea sin sentido, o no definido.

Problemas similares ocurren con 0 cookies y 0 personas, pero esta vez el problema está en la frase " el número". Una partición es posible (de un conjunto con 0 elementos en 0 partes), pero dado que la partición tiene 0 partes, vacuamente cada conjunto en la partición tiene un número dado de elementos, ya sea 0, 2, 5 o 1000.

Si hay, por ejemplo, 5 cookies y 2 personas, el problema está en "distribuir uniformemente". En cualquier partición entera de un conjunto de 5 en 2 partes, una de las partes de la partición tendrá más elementos que la otra. Pero el problema con 5 cookies y 2 personas se puede resolver cortando una cookie a la mitad. El problema con 5 cookies y 0 personas no se puede resolver de ninguna manera que preserve el significado de "divide".

Otra forma de ver la división por cero es que la división siempre se puede verificar utilizando la multiplicación. Teniendo en cuenta la 10/0 ejemplo anterior, ajuste x = 10/0 , si x es igual a diez dividido por cero, entonces x veces cero es igual a diez, pero no hay x que, cuando se multiplica por cero, da diez (o cualquier número distinto de cero). Si en lugar de x = 10/0 , x = 0/0 , entonces cada x satisface la pregunta '¿qué número x , multiplicado por cero, da cero?'

Primeros intentos [ editar ]

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta (598–668) es el primer texto conocido para tratar el cero como un número por derecho propio y para definir operaciones que involucran el cero. ^[2] El autor no pudo explicar la división por cero en sus textos: se puede probar fácilmente que su definición conduce a absurdos algebraicos. Según Brahmagupta,

Un número positivo o negativo cuando se divide por cero es una fracción con el cero como denominador. El cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En 830, Mahāvīra intentó, sin éxito, corregir el error de Brahmagupta en su libro en Ganita Sara Samgraha : "Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero". ^[2]

Álgebra [ editar ]

Las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división, aplicadas a números enteros (enteros positivos), con algunas restricciones, en aritmética elemental, se utilizan como marco para respaldar la extensión del reino de los números a los que se aplican. Por ejemplo, para hacer posible restar cualquier número entero de otro, el reino de los números debe expandirse a todo el conjunto de enteros para incorporar los enteros negativos. De manera similar, para soportar la división de cualquier número entero por cualquier otro, el reino de los números debe expandirse a los números racionales. Durante esta expansión gradual del sistema numérico, se tiene cuidado de asegurar que las "operaciones extendidas", cuando se aplican a los números más antiguos, no produzcan resultados diferentes. En términos generales, dado que la división por cero no tiene ningún significado ( no está definido ) en la configuración del número entero, esto sigue siendo cierto a medida que la configuración se expande a los números reales o complejos .

A medida que se expande el ámbito de los números a los que se pueden aplicar estas operaciones, también hay cambios en la forma en que se ven las operaciones. Por ejemplo, en el ámbito de los enteros, la resta ya no se considera una operación básica, ya que se puede reemplazar mediante la adición de números con signo. ^[3] De manera similar, cuando el reino de los números se expande para incluir los números racionales, la división se reemplaza por la multiplicación por ciertos números racionales. De acuerdo con este cambio de punto de vista, la pregunta "¿Por qué no podemos dividir por cero?", Se convierte en "¿Por qué un número racional no puede tener un denominador cero?". Responder a esta pregunta revisada precisa requiere un examen detallado de la definición de números racionales.

En el enfoque moderno para construir el campo de los números reales, los números racionales aparecen como un paso intermedio en el desarrollo que se basa en la teoría de conjuntos. Primero, los números naturales (incluido el cero) se establecen sobre una base axiomática, como el sistema de axiomas de Peano, y luego se expanden al anillo de los números enteros . El siguiente paso es definir los números racionales teniendo en cuenta que esto debe hacerse utilizando solo los conjuntos y las operaciones que ya se han establecido, es decir, la suma, la multiplicación y los enteros. Comenzando con el conjunto de pares ordenados de enteros, {( a , b ) } con b ≠ 0 , define una relación binariaen este conjunto de ( a , b ) ≃ ( c , d ) si y solo si ad = bc . Esta relación se muestra como una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se definen como los números racionales. En la prueba formal de que esta relación es una relación de equivalencia, se necesita el requisito de que la segunda coordenada no sea cero (para verificar la transitividad ). ^{[4] [5] [6]}

La explicación anterior puede ser demasiado abstracta y técnica para muchos propósitos, pero si se asume la existencia y las propiedades de los números racionales, como se hace comúnmente en las matemáticas elementales, la "razón" de que no se permite la división por cero está oculta a la vista. Sin embargo, se puede dar una justificación (no rigurosa) en este contexto.

Se desprende de las propiedades del sistema numérico que estamos utilizando (es decir, enteros, racionales, reales, etc.), si b ≠ 0, entonces la ecuación ^[7] a/b = c es equivalente a a = b × c . Suponiendo que a/0 es un número c , entonces debe ser que a = 0 × c = 0 . Sin embargo, el único número c tendría que ser determinado por la ecuación 0 = 0 × c , pero cada número satisface esta ecuación, por lo que no podemos asignar un valor numérico a 0/0 . ^[8]

División a la inversa de la multiplicación [ editar ]

El concepto que explica la división en álgebra es que es el inverso de la multiplicación. Por ejemplo, ^[9]

$${\ displaystyle {\ frac {6} {3}} = 2}

ya que 2 es el valor para el cual la cantidad desconocida en

$${\ displaystyle? \ times 3 = 6}

es verdad. Pero la expresion

$${\ displaystyle {\ frac {6} {0}} = \, x}

requiere que se encuentre un valor para la cantidad desconocida en

$${\ displaystyle x \ times 0 = 6.}

Pero cualquier número multiplicado por 0 es 0, por lo que no hay un número que resuelva la ecuación.

La expresion

$${\ displaystyle {\ frac {0} {0}} = \, x}

requiere que se encuentre un valor para la cantidad desconocida en

$${\ displaystyle x \ times 0 = 0.}

Nuevamente, cualquier número multiplicado por 0 es 0, por lo que esta vez cada número resuelve la ecuación en lugar de que haya un solo número que pueda tomarse como el valor de 0/0.

En general, no se puede asignar un solo valor a una fracción donde el denominador es 0, por lo que el valor permanece indefinido.

Falacias [ editar ]

Más información: Falacia matemática.

Una razón convincente para no permitir la división por cero es que, si se permitiera, surgirían muchos resultados absurdos (es decir, falacias ). Cuando se trabaja con cantidades numéricas, es fácil determinar cuándo se está haciendo un intento ilegal de dividir por cero. Por ejemplo, considere el siguiente cálculo.

Con los supuestos:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} 0 \ times 1 & = 0, \\ 0 \ times 2 & = 0, \ end {alineado}}}

lo siguiente es cierto:

$${\ displaystyle 0 \ times 1 = 0 \ times 2.}

Dividir ambos lados por cero da:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {0 \ times 1} {0}} & = {\ frac {0 \ times 2} {0}} \\ [6px] {\ frac {0} {0 }} \ times 1 & = {\ frac {0} {0}} \ times 2. \ end {alineado}}}

Simplificado, esto produce:

$${\ displaystyle 1 = 2.}

La falacia aquí es la suposición de que dividir por 0 es una operación legítima con las mismas propiedades que dividir por cualquier otro número.

Sin embargo, es posible disfrazar una división por cero en un argumento algebraico , ^[2] lo que lleva a pruebas no válidas que, por ejemplo, 1 = 2 , como las siguientes: ^[10]

Sea 1 = x .

Multiplica por x para obtener

$${\ displaystyle x = x ^ {2}.}

Resta 1 de cada lado para obtener

$${\ displaystyle x-1 = x ^ {2} -1.}

Divide ambos lados por x - 1

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {x-1} {x-1}} & = {\ frac {x ^ {2} -1} {x-1}} \\ [6pt] & = {\ frac {(x + 1) (x-1)} {x-1}}, \ end {alineado}}}

lo que simplifica a

$${\ displaystyle 1 = x + 1.}

Pero, como x = 1 ,

$${\ displaystyle 1 = 1 + 1 = 2.}

La división disfrazada por cero ocurre ya que x - 1 = 0 cuando x = 1 .

Cálculo [ editar ]

Línea real extendida [ editar ]

Ver también: La regla de l'Hôpital.

A primera vista, parece posible definir a / 0 considerando el límite de a / b cuando b se acerca a 0.

Para cualquier positivo a , el límite de la derecha es

$${\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {+}} {a \ over b} = + \ infty}

sin embargo, el límite desde la izquierda es

$${\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0 ^ {-}} {a \ over b} = - \ infty}

y así el $${\ displaystyle \ lim _ {b \ to 0} {a \ over b}}no está definido (el límite también está indefinido para un negativo a ).

Además, no hay una definición obvia de 0/0 que pueda derivarse de considerar el límite de una relación. El límite

$${\ displaystyle \ lim _ {(a, b) \ to (0,0)} {a \ over b}}

no existe. Límites de la forma.

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {f (x) \ over g (x)}}

en el que tanto ƒ ( x ) como g ( x ) se acercan a 0 cuando x se aproxima a 0, puede ser igual a cualquier valor real o infinito, o puede que no exista, según las funciones particulares ƒ y g . Estos y otros hechos similares muestran que la expresión 0/0 no puede estar bien definida como un límite.

Operaciones formales [ editar ]

Un cálculo formal es uno realizado utilizando reglas de aritmética, sin considerar si el resultado del cálculo está bien definido. Por lo tanto, a veces es útil pensar en un / 0, donde un  ≠ 0, como siendo$${\ displaystyle \ infty}. Este infinito puede ser positivo, negativo o no firmado, según el contexto. Por ejemplo, formalmente:

$${\ displaystyle \ lim \ limits _ {x \ to 0} {{\ frac {1} {x}} = {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {1}} {\ lim \ limits _ {x \ to 0} {x}}}} = \ infty.}

Al igual que con cualquier cálculo formal, se pueden obtener resultados no válidos. Un cálculo lógicamente riguroso (en oposición a formal) afirmaría solo que

$${\ displaystyle \ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {+}} {\ frac {1} {x}} = + \ infty {\ text {y}} \ lim \ limits _ {x \ to 0 ^ {-}} {\ frac {1} {x}} = - \ infty.}

Dado que los límites de un lado son diferentes, el límite de dos lados no existe en el marco estándar de los números reales. Además, la fracción 1/0 se deja sin definir en la línea real extendida , por lo tanto, y

$${\ displaystyle {\ frac {\ lim \ limits _ {x \ a 0} 1} {\ lim \ limits _ {x \ a 0} x}}}

Son expresiones sin sentido .

Línea real proyectivamente extendida [ editar ]

El conjunto $${\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty \}}es la línea real proyectivamente extendida , que es una compactación de un punto de la línea real. aquí$${\ displaystyle \ infty}significa un infinito sin signo , una cantidad infinita que no es ni positiva ni negativa. Esta cantidad satisface$${\ displaystyle - \ infty = \ infty}, lo cual es necesario en este contexto. En esta estructura,$${\ displaystyle a / 0 = \ infty}se puede definir para un cero , y$${\ displaystyle a / \ infty = 0}. Es la forma natural de ver el rango de la función tangente y las funciones cotangentes de la trigonometría : tan ( x ) se acerca al punto único en el infinito cuando x se acerca$${\ displaystyle + \ pi / 2} o $${\ displaystyle - \ pi / 2} desde cualquier dirección.

Esta definición lleva a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un campo , y no se debe esperar que se comporte como tal. Por ejemplo,$${\ displaystyle \ infty + \ infty} No está definido en esta extensión de la línea real.

Riemann esfera [ editar ]

El conjunto $${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}Es la esfera de Riemann , que es de gran importancia en el análisis complejo . Aquí también$${\ displaystyle \ infty}es un infinito sin signo, o, como suele llamarse en este contexto, el punto en el infinito . Este conjunto es análogo a la línea real proyectivamente extendida, excepto que se basa en el campo de los números complejos . En la esfera de Riemann,$${\ displaystyle 1/0 = \ infty}, pero $${\ displaystyle 0/0} es indefinido, como es $${\ displaystyle 0 \ times \ infty}.

Línea de número real no negativa extendida [ editar ]

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Los números reales negativos se pueden descartar y se puede introducir el infinito, lo que lleva al conjunto [0,], donde la división por cero se puede definir naturalmente como a / 0 = ∞ para un positivo  a . Si bien esto hace que la división se defina en más casos de lo habitual, la resta se deja sin definir en muchos casos, porque no hay números negativos.

Matemáticas superiores [ editar ]

Aunque la división por cero no se puede definir sensiblemente con números reales y enteros, es posible definirla de manera consistente, u operaciones similares, en otras estructuras matemáticas.

Análisis no estándar [ editar ]

En los números hiperrealistas y los números surrealistas , la división por cero sigue siendo imposible, pero la división por infinitesimales distintos de cero es posible.

Teoría de la distribución [ editar ]

En teoría de la distribución se puede extender la función.$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {x}}}a una distribución en todo el espacio de números reales (en efecto, mediante el uso de los valores principales de Cauchy ). Sin embargo, no tiene sentido pedir un "valor" de esta distribución en x  = 0; Una respuesta sofisticada se refiere al soporte singular de la distribución.

Álgebra lineal [ editar ]

En el álgebra matricial (o álgebra lineal en general), se puede definir una pseudo división, estableciendo a / b  =  ab ⁺ , en la que b ⁺ representa el pseudoinverso de b . Se puede probar que si b ⁻¹ existe, entonces b ⁺ = b ⁻¹ . Si b es igual a 0, entonces b ⁺ = 0.

Álgebra abstracta [ editar ]

Cualquier sistema de números que forme un anillo conmutativo (por ejemplo, los enteros, los números reales y los números complejos) puede extenderse a una rueda en la que la división por cero siempre es posible; sin embargo, en tal caso, "división" tiene un significado ligeramente diferente.

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de las estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos . En un campo, todo elemento distinto de cero se puede invertir bajo la multiplicación; como arriba, la división plantea problemas solo cuando se intenta dividir por cero. Esto también es cierto en un campo de sesgo (que por esta razón se llama un anillo de división ). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos distintos de cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo Z / 6 Z de enteros mod 6. El significado de la expresión$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {2} {2}}}Debe ser la solución x de la ecuación.$${\ displaystyle 2x = 2}. Pero en el anillo Z / 6 Z , 2 es un divisor cero . Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, x = 1 y x = 4, por lo que la expresión$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {2} {2}}}noestá definido .

En la teoría de campos, la expresión. $${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}es solo una abreviatura de la expresión formal ab ⁻¹ , donde b ⁻¹ es el inverso multiplicativo de b . Como los axiomas de campo solo garantizan la existencia de tales inversos para elementos distintos de cero, esta expresión no tiene significado cuando b es cero. Los textos modernos, que definen los campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma 0 ≠ 1 para los campos (o su equivalente), de modo que el anillo cero se excluye de ser un campo. En el anillo cero, es posible la división por cero, lo que muestra que los otros axiomas de campo no son suficientes para excluir la división por cero en un campo.

Aritmética computacional [ editar ]

La mayoría de las calculadoras, como esta Texas Instruments TI-86 , detendrán la ejecución y mostrarán un mensaje de error cuando el usuario o un programa en ejecución intente dividir entre cero.

La división por cero en la calculadora Android 2.2.1 muestra el símbolo del infinito.

El estándar de punto flotante IEEE , soportado por casi todas las unidades modernas de punto flotante , especifica que cada operación aritmética de punto flotante, incluida la división por cero, tiene un resultado bien definido. El estándar admite cero firmado , así como infinito y NaN ( no es un número ). Hay dos ceros: +0 ( cero positivo ) y −0 ( cero negativo ) y esto elimina cualquier ambigüedad al dividir. En la aritmética IEEE 754 , a  ÷ +0 es infinito positivo cuando a es positivo, infinito negativo cuando aes negativo, y NaN cuando a  = ± 0. Los signos de infinito cambian al dividir por −0 en su lugar.

La justificación de esta definición es preservar el signo del resultado en caso de desbordamiento aritmético . ^[11] Por ejemplo, en el cálculo de precisión simple 1 / ( x / 2), donde x = ± 2 ⁻¹⁴⁹ , el cálculo x / 2 se desborda y produce ± 0 con el signo que coincide con x , y el resultado será ± con signo coincidente x . El signo coincidirá con el del resultado exacto ± 2 ¹⁵⁰ , pero la magnitud del resultado exacto es demasiado grande para representar, por lo que se usa el infinito para indicar el desbordamiento.

La división de enteros por cero generalmente se maneja de manera diferente del punto flotante ya que no hay una representación de enteros para el resultado. Algunos procesadores generan una excepción cuando se intenta dividir un entero por cero, aunque otros simplemente continuarán y generarán un resultado incorrecto para la división. El resultado depende de cómo se implementa la división, y puede ser cero o, a veces, el mayor entero posible.

Debido a los resultados algebraicos impropios de la asignación de cualquier valor a la división por cero, muchos lenguajes de programación (incluidos los utilizados por las calculadoras ) prohíben explícitamente la ejecución de la operación y pueden detener prematuramente un programa que lo intente, a veces informando una "División por cero" "error. En estos casos, si se desea algún comportamiento especial para la división por cero, la condición se debe probar explícitamente (por ejemplo, utilizando una instrucción if ). Algunos programas (especialmente aquellos que usan aritmética de punto fijo)donde no hay un hardware dedicado de punto flotante disponible) utilizará un comportamiento similar al estándar IEEE, utilizando grandes números positivos y negativos para aproximar infinitos. En algunos lenguajes de programación, un intento de dividir por cero da como resultado un comportamiento indefinido . El lenguaje de programación gráfica Scratch 2 utilizado en muchas escuelas devuelve Infinito o Infinito dependiendo del signo del dividendo.

En la aritmética complementaria de dos , se intenta dividir el entero con signo más pequeño por$${\ displaystyle -1}están atendidos por problemas similares y se manejan con el mismo rango de soluciones, desde condiciones de error explícitas hasta comportamientos indefinidos .

La mayoría de las calculadoras devolverán un error o indicarán que 1/0 no está definido; sin embargo, algunas calculadoras gráficas de TI y HP evaluarán (1/0) ² a ∞.

Microsoft Math y Mathematica devuelven ComplexInfinity para 1/0. Maple y SageMath devuelven un mensaje de error para 1/0 e infinito para 1 / 0.0 (0.0 indica a estos sistemas que utilicen aritmética de coma flotante en lugar de aritmética algebraica).