SISTEMAS DE COORDENADAS

No debe confundirse con la precesión de Tomás .

Parte de una serie en
Tiempo espacial
Relatividad especial Relatividad  general.
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La relatividad general[mostrar]
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Matemáticas relevantes[mostrar]
v t mi

Eugene Wigner (1902–1995)

En física teórica , la composición de dos refuerzos no colineales de Lorentz da como resultado una transformación de Lorentz que no es un impulso puro sino la composición de un impulso y una rotación. Esta rotación se llama rotación de Thomas , rotación de Thomas-Wigner o rotación de Wigner . La rotación fue descubierta por Llewellyn Thomas en 1926, ^[1] y derivada por Wigner en 1939. ^[2] Si una secuencia de impulsos no colineales devuelve un objeto a su velocidad inicial, entonces la secuencia de rotaciones de Wigner puede combinarse para producir una Rotación neta llamada la precesión de Tomás . ^[3]

Todavía hay discusiones en curso sobre la forma correcta de las ecuaciones para la rotación de Thomas en diferentes sistemas de referencia con resultados contradictorios. ^[4] Goldstein : ^[5]

La rotación espacial que resulta de la aplicación sucesiva de dos transformaciones no colineales de Lorentz se ha declarado tan paradójica como las violaciones aparentes más frecuentemente discutidas del sentido común, como la paradoja gemela .

El principio de reciprocidad de velocidad de Einstein (EPVR) dice ^[6]

Postulamos que la relación entre las coordenadas de los dos sistemas es lineal. Entonces, la transformación inversa también es lineal y la no preferencia completa de uno u otro sistema exige que la transformación sea idéntica a la original, excepto por un cambio de v a −v

Con una interpretación menos cuidadosa, el EPVR parece ser violado en algunos modelos. ^[7] No hay, por supuesto, una verdadera paradoja presente.

Configuración de cuadros y velocidades relativas entre ellos [ editar ]

Composición de la velocidad y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades u y v separadas por el ángulo θ . Izquierda: tal como se mide en Σ ′ , las orientaciones de Σ y Σ ′ ′ aparecen paralelas a Σ ′ . Centro: En el cuadro Σ , Σ ′ ′ gira alrededor del ángulo ε sobre un eje paralelo a u × v y luego se mueve con la velocidad w _d relativa a Σ . Derecha: En el cuadro Σ ′ ′ , Σse mueve con velocidad - w _d relativa a Σ ′ ′ y luego se mueve con velocidad w _d relativa a Σ .

Composición de la velocidad y rotación de Thomas en el plano xy, velocidades - u y - vseparadas por el ángulo θ . Izquierda: tal como se mide en Σ ′ , las orientaciones de Σ y Σ ′ ′aparecen paralelas a Σ ′ . Centro: en el cuadro Σ ′ ′ , Σ gira alrededor del ángulo ε sobre un eje paralelo a - ( u × v ) y luego se mueve con velocidad - w _{i con} respecto a Σ ′ ′ . Derecha: en el marcoΣ , Σ ′ ′ se mueve con la velocidad w _i relativa a Σ y luego se gira a través del ángulo εalrededor de un eje paralelo a u × v .

Comparación de las composiciones de velocidad w _d y w _i . Note las mismas magnitudes pero diferentes direcciones.

Dos impulsos generales [ editar ]

Cuando se estudia la rotación de Thomas en el nivel fundamental, uno usa típicamente una configuración con tres marcos de coordenadas, Σ, Σ ′ Σ ′ ′ . Frame Σ ' tiene una velocidad urespecto al bastidor Σ , y el marco Σ' 'tiene la velocidad vrelativa para enmarcar Σ' .

Los ejes están, por construcción, orientados de la siguiente manera. Visto desde Σ ′ , los ejes de Σ ′ y Σ son paralelos (lo mismo se aplica al par de cuadros cuando se ven desde Σ ). También vistos desde Σ ′ , los ejes espaciales de Σ ′ y Σ ′ ′ son paralelos (y lo mismo es válido para el par de cuadros cuando se ve desde Σ ′ ′ .) ^[8] Esta es una aplicación de EVPR: Si u es la velocidad de Σ ′ relativa a Σ , entonces u ′ = - u es la velocidad de Σ relativo a Σ ′. La velocidad 3 -vector u hace los mismosángulos con respecto a los ejes de coordenadas en los sistemas imprimados y no imprimados. Esto no representa una instantánea tomada en ninguno de los dos marcos del sistema combinado en un momento determinado, como debe quedar claro en la descripción detallada a continuación.

Esto es posible, ya que un aumento en, digamos, la dirección z positiva , preserva la ortogonalidad de los ejes de coordenadas. Un aumento general B ( w ) se puede expresar como L = R ⁻¹ ( e _z , w ) B _z ( w ) R ( e _z , w ) , donde R ( e _z , w ) es una rotación que toma la z - eje en la dirección de w y B_z es un impulso en el nuevo z -dirección. ^{[9] [10] [11]} Cada rotación conserva la propiedad de que los ejes de coordenadas espaciales son ortogonales. El impulso tendrá una extensión de la (intermedio) z eje xpor un factorγ, mientras que deja losintermedios x eje xy y eje xen su lugar. ^[12] El hecho de que los ejes de coordenadas no sean paralelos en esta construcción después dedosaumentos consecutivos no colineales es una expresión precisa del fenómeno de la precesión de Thomas. ^{[nb 1]}

La velocidad de Σ ′ ' como se ve en Σ se denota w _d = u ⊕ v , donde ⊕ se refiere a la adición relativista de la velocidad (y no a la suma de vectores ordinaria ), dada por ^[13]

$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} = {\ frac {1} {1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} }} \ left [\ left (1 + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}}} {1+ \ gamma _ {\ mathbf {u }}}} \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {u} + {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathbf {u}}}} \ mathbf {v} \ Correcto],}

( VA 2 )

y

$${\ displaystyle \ gamma _ {\ mathbf {u}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {| \ mathbf {u} | ^ {2}} {c ^ {2}}} }}}}

es el factor de Lorentz de la velocidad u (las barras verticales | u | indican la magnitud del vector ). Se puede pensar en la velocidad u de la velocidad de un cuadro Σ ′ en relación con un cuadro Σ , y v es la velocidad de un objeto, digamos una partícula u otro cuadro Σ ′ en relación con ′ . En el contexto actual, todas las velocidades se consideran como velocidades relativas de cuadros a menos que se especifique lo contrario. El resultado w = u ⊕ v es entonces la velocidad relativa del cuadro Σ ′ ′relativo a un marco Σ .

Aunque la adición de velocidad no es lineal , no asociativa y no conmutativa , el resultado de la operación obtiene correctamente una velocidad con una magnitud menor que c . Si se usara la adición de vectores ordinarios, sería posible obtener una velocidad con una magnitud mayor que c . El factor γ de Lorentz de ambas velocidades compuestas es igual,

$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}} = \ gamma _ {\ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}} = \ gamma _ {\ mathbf {u }} \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ ,,}

y las normas son iguales bajo intercambio de vectores de velocidad.

$${\ displaystyle | \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} | = | \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u} | = {\ frac {c} {\ gamma}} {\ sqrt {\ gamma ^ {2} -1}} \ ,.}

Dado que las dos velocidades compuestas posibles tienen la misma magnitud, pero diferentes direcciones, una debe ser una copia rotada de la otra. Más detalles y otras propiedades de no preocupación directa aquí se pueden encontrar en el artículo principal.

Configuración invertida [ editar ]

Considere la configuración invertida, es decir, el cuadro Σ se mueve con velocidad - u en relación con el cuadro ′ ′ , y el cuadro Σ ′ , a su vez, se mueve con velocidad - v con relación al cuadro Σ ′ ′ . En resumen, u → - u y v → - v por EPVR. Entonces la velocidad de Σ relativa a Σ ′ ′ es (- v ) ⊕ (- u ) ≡ - v ⊕ u . Por EPVR de nuevo, la velocidad de Σ ′ ′ en relación con Σ es entonces w_i = v ⊕ u . (UNA)

Uno encuentra w _d ≠ w _i . Mientras que son iguales en magnitud, hay un ángulo entre ellos. Para un solo impulso entre dos marcos inerciales, solo hay una velocidad relativa no ambigua (o su negativa). Para dos impulsos, el resultado peculiar de dos velocidades relativas desiguales en lugar de una parece contradecir la simetría del movimiento relativo entre dos cuadros cualquiera. ¿Cuál es la velocidad correcta de Σ ′ ′ en relación con Σ ? Dado que esta desigualdad puede ser algo inesperada y potencialmente romper EPVR, esta pregunta está justificada. ^{[nb 2]}

Formulación en términos de transformaciones de Lorentz [ editar ]

Un cuadro Σ ′ ′ se refuerza con la velocidad v enrelación con otro cuadro Σ ′, que se aumenta con la velocidad u en relación con otro cuadro Σ.

Un fotograma Σ se refuerza con la velocidad - u enrelación con otro fotograma Σ ′, que se refuerza con la velocidad - v con respecto a otro fotograma Σ ′ ′.

Configuración original con las velocidades intercambiadas u y v .

Inversa de la configuración intercambiada.

Dos refuerzos es igual a un impulso y rotación [ editar ]

La respuesta a la pregunta se encuentra en la rotación de Thomas, y se debe tener cuidado al especificar qué sistema de coordenadas interviene en cada paso. Cuando se ven desde Σ , los ejes de coordenadas de Σ y Σ ′ ′ noson paralelos. Si bien esto puede ser difícil de imaginar ya que ambos pares (Σ, Σ ′) y (Σ ′, Σ ′ ′) tienen ejes de coordenadas paralelos, es fácil de explicar matemáticamente.

La adición de velocidad no proporciona una descripción completa de la relación entre los marcos. Uno debe formular la descripción completa en términos de transformaciones de Lorentz correspondientes a las velocidades. Un impulso de Lorentz con cualquier velocidad v (magnitud menor que c ) se da simbólicamente mediante

$${\ displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}

donde las coordenadas y la matriz de transformación se expresan de forma compacta en forma de matriz de bloques

${\displaystyle X'={\begin{bmatrix}ct'\\\mathbf {r} '\end{bmatrix}}\quad B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma _{\mathbf {v} }&-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} ^{\mathrm {T} }\\-{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }}{c}}\mathbf {v} &\mathbf {I} +{\dfrac {\gamma _{\mathbf {v} }^{2}}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}{\dfrac {\mathbf {vv} ^{\mathrm {T} }}{c^{2}}}\\\end{bmatrix}}\quad X={\begin{bmatrix}ct\\\mathbf {r} \end{bmatrix}}}$

y a su vez, r , r ', v son vectores de columna (la transposición de la matriz de estos son vectores de fila), y γ _v es el factor de velocidad v de Lorentz . La matriz de refuerzo es una matriz simétrica . La transformación inversa está dada por

$${\ displaystyle B (\ mathbf {v}) ^ {- 1} = B (- \ mathbf {v}) \ quad \ Rightarrow \ quad X = B (- \ mathbf {v}) X '}

Está claro que a cada velocidad admisible v corresponde un impulso Lorentz puro ,

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ leftrightarrow B (\ mathbf {v}).}

La adición de velocidad u ⊕ v corresponde a la composición de los impulsos B ( v ) B ( u ) en ese orden. El B ( u ) actúa sobre X primero, entonces B ( v ) actúa sobre B ( u ) X . Observe que los operadores sucesivos actúan a la izquierda en cualquier composición de operadores, por lo que B ( v ) B ( u ) debe interpretarse como un aumento con las velocidades uentonces v , no v entonces u . Realizando las transformaciones de Lorentz por multiplicación de matriz de bloque,

$${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) X '\ ,, \ quad X' = B (\ mathbf {u}) X \ quad \ Rightarrow \ quad X '' = \ Lambda X}

la matriz de transformación compuesta es ^[14]

{\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}

y a la vez

$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {\ mathbf {v}} \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right)}

$${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v} \ ,, \ quad \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma} {c}} \ mathbf {v} \ oplus \ mathbf {u}}

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} {\ frac {\ mathbf {vu} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} + \ left (\ mathbf {I} + {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {v}} ^ {2}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} { \ frac {\ mathbf {vv} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} \ right) \ left (\ mathbf {I} + {\ dfrac {\ gamma _ {\ mathbf {u} } ^ {2}} {\ gamma _ {\ mathbf {u}} +1}} {\ frac {\ mathbf {uu} ^ {\ mathrm {T}}} {c ^ {2}}} \ right) }

Aquí γ es el factor de Lorentz compuesto, y a y b son vectores de columna 3 × 1 proporcionales a las velocidades compuestas. La matriz M 3 × 3 resultará tener un significado geométrico.

Las transformaciones inversas son

$${\ displaystyle X = B (- \ mathbf {u}) X '\ ,, \ quad X' = B (- \ mathbf {v}) X '' \ quad \ Rightarrow \ quad X = \ Lambda ^ {- 1 }X''}

y la composición equivale a una negación e intercambio de velocidades,

{\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = B (- \ mathbf {u}) B (- \ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T }} \\\ mathbf {a} & \ mathbf {M} ^ {\ mathrm {T}} \ end {bmatrix}}}

Si se intercambian las velocidades relativas, mirando los bloques de Λ , se observa que la transformación compuesta es la transposición de la matriz de Λ . Esto no es lo mismo que la matriz original, por lo que la matriz de transformación compuesta de Lorentz no es simétrica, y por lo tanto no es un solo impulso. Esto, a su vez, se traduce en lo incompleto de la composición de la velocidad del resultado de dos impulsos, simbólicamente;

$${\ displaystyle B (\ mathbf {u} \ oplus \ mathbf {v}) \ neq B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) \ ,.}

Para completar la descripción, es necesario introducir una rotación, antes o después del impulso. Esta rotación es la rotación de Thomas . Una rotación está dada por

$${\ displaystyle X '= R ({\ boldsymbol {\ theta}}) X}

donde la matriz de rotación 4 × 4 es

{\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ theta}}) \ end {bmatrix}}}

y R es una matriz de rotación de 3 × 3 . ^{[nb 3]} En este artículo se usa la representación del ángulo del eje , y θ = θ e es el "vector del ángulo del eje", el ángulo θ multiplicado por un vector unitario e paralelo al eje. Además, se usa la convención de la mano derecha para las coordenadas espaciales (ver orientación (espacio vectorial) ), de modo que las rotaciones son positivas en sentido antihorario según la regla de la mano derecha y negativas en el sentido de las agujas del reloj. Con estas convenciones; La matriz de rotación gira cualquier vector 3d sobre el eje ea través del ángulo θ en sentido contrario a las agujas del reloj (una transformación activa ), que tiene el efecto equivalente de girar el marco de coordenadas en el sentido de las agujas del reloj sobre el mismo eje a través del mismo ángulo (una transformación pasiva).

La matriz de rotación es una matriz ortogonal , su transposición es igual a su inversa, y negar el ángulo o el eje en la matriz de rotación corresponde a una rotación en el sentido opuesto, por lo que la transformación inversa se obtiene fácilmente

$${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}) ^ ^ - - 1} = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) ^ {\ mathrm {T}} = R (- {\ boldsymbol {\ theta} }) \ quad \ Rightarrow \ quad X = R (- {\ boldsymbol {\ theta}}) X '\ ,.}

Un impulso seguido o precedido por una rotación también es la transformación de Lorentz, ya que estas operaciones dejan el intervalo espacio-tiempo invariante. La misma transformación de Lorentz tiene dos descomposiciones para la rapidez y los vectores de ángulo de eje elegidos apropiadamente;

$${\ displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ theta}}, \ mathbf {u}) = R ({\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {u})}

$${\ displaystyle \ Lambda (\ mathbf {v}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}

y si estas dos descomposiciones son iguales, las dos mejoras están relacionadas por

$${\ displaystyle B (\ mathbf {u}) = R (- {\ boldsymbol {\ theta}}) B (\ mathbf {v}) R ({\ boldsymbol {\ theta}})}

por lo que los refuerzos están relacionados por una transformación de similitud de matriz .

Resulta que la igualdad entre dos refuerzos y una rotación seguida o precedida por un solo impulso es correcta: la rotación de los cuadros coincide con la separación angular de las velocidades compuestas, y explica cómo una velocidad compuesta se aplica a un cuadro, mientras que la otra se aplica a El marco girado. La rotación también rompe la simetría en la transformación global de Lorentz, lo que la hace no simétrica. Para esta rotación específica, deje que el ángulo sea ε y el eje esté definido por el vector unitario e , por lo que el vector de ángulo del eje es ε = ε e .

En total, dos ordenamientos diferentes de dos impulsos significan que hay dos transformaciones desiguales. Cada uno de estos se puede dividir en un impulso, luego una rotación, o una rotación, luego un impulso, duplicando el número de transformaciones no equivalentes a cuatro. Las transformaciones inversas son igualmente importantes; proporcionan información sobre lo que el otro observador percibe. En total, hay ocho transformaciones a considerar, solo por el problema de dos impulsos de Lorentz. En resumen, con operaciones posteriores actuando a la izquierda, son

Dos alzas ...	... dividido en un impulso y luego la rotación ...	... o dividir en una rotación y luego aumentar.
{\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}}}	$${\ displaystyle \ Lambda = R ({\ boldsymbol {\ epsilon}}) B (c \ mathbf {a} / \ gamma)}	${\displaystyle \Lambda =B(c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$
${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-\mathbf {u} )B(-\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=B(-c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{-1}=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {a} &\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=B(c\mathbf {a} /\gamma )R(-{\boldsymbol {\epsilon }})}$	${\displaystyle \Lambda ^{\mathrm {T} }=R(-{\boldsymbol {\epsilon }})B(c\mathbf {b} /\gamma )}$
${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=B(-\mathbf {v} )B(-\mathbf {u} )={\begin{bmatrix}\gamma &\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=R({\boldsymbol {\epsilon }})B(-c\mathbf {a} /\gamma )}$	${\displaystyle (\Lambda ^{\mathrm {T} })^{-1}=B(-c\mathbf {b} /\gamma )R({\boldsymbol {\epsilon }})}$

Coincidir las aumenta seguido de rotaciones, en la configuración original, un observador en Σ avisos Σ '' para mover con velocidad u ⊕ V a continuación, girar en sentido horario (primer diagrama), y debido a la rotación de un observador en sigma '' avisos Σ a muévase con velocidad - v ⊕ u luego gire en sentido antihorario (segundo diagrama). Si las velocidades se intercambian, un observador en Σ avisos Σ ′ ′ se mueve con la velocidad v ⊕ uluego gira en sentido antihorario (tercer diagrama), y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′ avisos Σpara moverse con velocidad - u ⊕ v luego gire en el sentido de las agujas del reloj (cuarto diagrama).

Los casos de rotaciones, entonces los refuerzos son similares (no se muestran diagramas). Haciendo coincidir las rotaciones seguidas por impulsos, en la configuración original, un observador en Σ avisos Σ ′ ′ para girar en el sentido de las agujas del reloj y luego moverse con la velocidad v ⊕ u , y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′ avisos rot para girar en el sentido contrario a las agujas del reloj con la velocidad - u ⊕ v . Si las velocidades se intercambian, un observador en Σ avisos Σ ′ ′ gira en sentido contrario a las agujas del reloj y luego se mueve con velocidad u ⊕ v , y debido a la rotación, un observador en Σ ′ ′avisos Σ para girar en el sentido de las agujas del reloj y luego moverse con velocidad - u ⊕ v .

Encontrar el eje y ángulo de la rotación de Thomas [ editar ]

Las fórmulas anteriores constituyen la adición de velocidad relativista y la rotación de Thomas explícitamente en las transformaciones generales de Lorentz. A lo largo de toda la composición de refuerzos y descomposición en un impulso y rotación, la fórmula importante

$${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {R} + {\ frac {1} {\ gamma +1}} \ mathbf {ba} ^ {\ mathrm {T}}}

Hold, permitiendo que la matriz de rotación se defina completamente en términos de las velocidades relativas u y v . El ángulo de una matriz de rotación en la representación eje-ángulo se puede encontrar en la traza de la matriz de rotación , el resultado general para cualquier eje es tr ( R ) = 1 + 2 cos ε . Tomando el trazo de la ecuación se obtiene ^{[15] [16] [17]}

$${\ displaystyle \ cos \ epsilon = {\ frac {(1+ \ gamma + \ gamma _ {\ mathbf {u}} + \ gamma _ {\ mathbf {v}}) ^ {2}} {(1+ \ gamma) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {u}}) (1+ \ gamma _ {\ mathbf {v}})}} - 1}

El ángulo ε entre a y b no es el mismo que el ángulo α entre u y v .

En ambos cuadros Σ y Σ ′ ′, para cada composición y descomposición, otra fórmula importante

$${\ displaystyle \ mathbf {b} = \ mathbf {Ra}}

sostiene. Los vectores a y b están efectivamente relacionados por una rotación, de hecho por la misma matriz de rotación R que gira los marcos de coordenadas. A partir de a , la matriz R lo gira b en sentido contrario a las agujas del reloj, sigue su producto cruzado (en la convención de la derecha)

$${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {u}} \ gamma _ {\ mathbf {v}} (\ gamma ^ {2} -1) (\ gamma + \ gamma _ {\ mathbf {v}} + \ gamma _ {\ mathbf {u}} +1)} {c ^ {2} (\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1) ( \ gamma _ {\ mathbf {u}} +1) (\ gamma +1)}} \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}}

Define el eje correctamente, por lo tanto el eje también es paralelo a u × v . La magnitud de este pseudovector no es ni interesante ni importante, solo la dirección es, por lo que puede normalizarse en el vector unidad

$${\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ frac {\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v}} {| \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} |}}}

Lo que aún define completamente la dirección del eje sin pérdida de información.

La rotación es simplemente una rotación "estática" y no hay movimiento de rotación relativo entre los cuadros, hay un movimiento de traslación relativo en el impulso. Sin embargo, si los cuadros se aceleran, entonces el cuadro girado gira con una velocidad angular. Este efecto se conoce como la precesión de Thomas , y surge puramente de la cinemática de sucesivos impulsos de Lorentz.

Encontrar la rotación de Thomas [ editar ]

El proceso de descomposición descrito (a continuación) se puede llevar a cabo en el producto de dos transformaciones de Lorentz puras para obtener explícitamente la rotación de los ejes de coordenadas resultantes de los dos "refuerzos" sucesivos. En general, el álgebra involucrado es bastante prohibitivo, más que suficiente, por lo general, para desalentar cualquier demostración real de la matriz de rotación.

-  Goldstein (1980 , p. 286)

En principio, es bastante fácil. Dado que cada transformación de Lorentz es producto de un impulso y una rotación, la aplicación consecutiva de dos impulsos puros es un impulso puro, ya sea seguido o precedido por una rotación pura. Por lo tanto supongamos

$${\ displaystyle \ Lambda = B (\ mathbf {w}) R.}

La tarea es extraer de esta ecuación la velocidad de impulso wy la rotación R de las entradas de la matriz de Λ . ^[18] Las coordenadas de los eventos están relacionadas por

$${\ displaystyle x '^ {\ mu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} x ^ {\ nu}.}

Invirtiendo esta relación los rendimientos.

$${\ displaystyle {(\ Lambda ^ {- 1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} x ^ {\ rho} = {(\ Lambda ^ {-1}) ^ {\ nu}} _ {\ mu} x '^ {\ mu},}

o

$${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ mu}} ^ {\ nu} x '^ {\ mu}.}

Establecer x ′ = ( ct ′, 0, 0, 0). Entonces x ^ν registrará la posición de espacio-tiempo del origen del sistema cebado,

$${\ displaystyle x ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {0}} ^ {\ nu} x '^ {0},}

o

$${\ displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0} } ^ {0} ct '\\ {\ Lambda _ {0}} ^ {1} ct' \\ {\ Lambda _ {0}} ^ {2} ct '\\ {\ Lambda _ {0}} ^ {3} ct '\ end {pmatrix}}}

Pero

$${\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1} = (B (\ mathbf {w}) R) ^ {- 1} = R ^ {- 1} B (- \ mathbf {w}),}

Multiplicar esta matriz con una rotación pura no afectará a las columnas y filas cero, y

$${\ displaystyle x = {\ begin {pmatrix} ct \\ x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct '\\\ gamma \ beta _ {x} ct '\\\ gamma \ beta _ {y} ct' \\ gamma \ beta _ {z} ct '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ gamma ct' \\\ gamma w_ {x} t '\\\ gamma w_ {y} t' \\ gamma w_ {z} t '\ end {pmatrix}} = \ gamma {\ begin {pmatrix} ct' \\ w_ {x} t '\\ w_ {y} t' \\ w_ {z} t '\ end {pmatrix}},}

que podría haberse anticipado de la fórmula para un aumento simple en la dirección x , y para el vector de velocidad relativa

$${\ displaystyle {\ frac {1} {ct}} \ mathbf {x} = {\ frac {\ mathbf {w}} {c}} = {\ boldsymbol {\ beta}} = {\ begin {pmatrix} { \ frac {x_ {1}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {2}} {ct}} \\ {\ frac {x_ {3}} {ct}} \ end {pmatrix}} = { \ begin {pmatrix} \ beta _ {x} \\\ beta _ {y} \\\ beta _ {z} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ Lambda _ {0}} ^ { 1} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \\ {\ Lambda _ {0}} ^ {2} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \\ {\ Lambda _ {0 }} ^ {3} / {\ Lambda _ {0}} ^ {0} \ end {pmatrix}}.}

Así, dado con Λ , uno obtiene β y w por poco más que la inspección de Λ ⁻¹ . (Por supuesto, w también se puede encontrar usando la suma de velocidad como se indica anteriormente). A partir de w , construya B (- w ) . La solución para R es entonces

$${\ displaystyle R = B (- \ mathbf {w}) \ Lambda.}

Con el ansatz

$${\ displaystyle \ Lambda = RB (\ mathbf {w}),}

uno encuentra por los mismos medios

$${\ displaystyle R = \ Lambda B (- \ mathbf {w}).}

Encontrar una solución formal en términos de parámetros de velocidad u y v implica primero formalmentemultiplicando B ( v ) B ( u ) , invirtiendo formalmente, a continuación, la lectura de β _w formar el resultado, formalmente la construcción de B (- w ) a partir del resultado, y, finalmente, formalmente multiplicando B (- w ) B ( v ) B ( u ). Debe quedar claro que esta es una tarea desalentadora, y es difícil interpretar / identificar el resultado como una rotación, aunque está claro a priori que lo es. Estas son las dificultades a las que se refiere la cita de Goldstein en la parte superior. El problema ha sido estudiado a fondo bajo supuestos de simplificación a lo largo de los años.