SISTEMAS DE COORDENADAS

sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números , o coordenadas , para determinar de forma única la posición de los puntos u otros elementos geométricos en una variedad como el espacio euclidiano . ^[1] [2] El orden de las coordenadas es significativo, y algunas veces se identifican por su posición en una tupla ordenada y, a veces, por una letra, como en "la coordenada x ". Las coordenadas se toman como números reales en matemáticas elementales , pero pueden ser números complejoso elementos de un sistema más abstracto, como un anillo conmutativo . El uso de un sistema de coordenadas permite que los problemas de geometría se traduzcan en problemas sobre los números y viceversa ; Esta es la base de la geometría analítica .

El sistema de coordenadas esféricas se usa comúnmente en la física . Asigna tres números (conocidos como coordenadas) a cada punto en el espacio euclidiano : distancia radial r , ángulo polar th( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho) se usa a menudo en lugar de r .

Sistemas de coordenadas comunes [ editar ]

Línea de número [ editar ]

Artículo principal: línea numérica

El ejemplo más simple de un sistema de coordenadas es la identificación de puntos en una línea con números reales utilizando la línea numérica . En este sistema, se elige un punto arbitrario O (el origen ) en una línea dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo de O a P , donde la distancia con signo es la distancia tomada como positiva o negativa dependiendo de qué lado de la línea P se encuentra. Cada punto recibe una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único. ^[4]

Sistema de coordenadas cartesianas [ editar ]

Artículo principal: Sistema de coordenadas cartesianas.

El sistema de coordenadas cartesiano en el plano.

El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesiano. En el plano , se eligen dos líneas perpendiculares y se considera que las coordenadas de un punto son las distancias con signo a las líneas.

En tres dimensiones, se eligen tres planos mutuamente ortogonales y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. ^[5] Esto se puede generalizar para crear n coordenadas para cualquier punto en el espacio euclidiano n- dimensional .

Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas, el sistema tridimensional puede ser un sistema diestro o zurdo. Este es uno de los muchos sistemas de coordenadas.

Sistema de coordenadas polares [ editar ]

Artículo principal: sistema de coordenadas polar

Otro sistema de coordenadas común para el plano es el sistema de coordenadas polares . ^[6] Se elige un punto como el polo y un rayo desde este punto se toma como el eje polar . Para un ángulo dado θ, hay una sola línea a través del polo cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje hasta la línea). Luego hay un punto único en esta línea cuya distancia firmada desde el origen es r para el número r dado . Para un par dado de coordenadas ( r , θ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, ( r , θ), ( r , θ + 2π) y (- r, θ + π) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0,) para cualquier valor de θ.

Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas [ editar ]

Artículos principales: Sistema de coordenadas cilíndricas y Sistema de coordenadas esféricas.

Hay dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndricas , una coordenada z con el mismo significado que en las coordenadas cartesianas se agrega a las coordenadas polares r y θ dando un triple ( r ,  θ ,  z ). ^{[7] Las} coordenadas esféricas llevan esto un paso más allá al convertir el par de coordenadas cilíndricas ( r ,  z ) en coordenadas polares ( ρ ,  φ ) dando un triple ( ρ ,  θ ,  φ ). ^[8]

Sistema de coordenadas homogéneas [ editar ]

Artículo principal: Coordenadas homogéneas.

Un punto en el plano puede representarse en coordenadas homogéneas por un triple ( x ,  y ,  z ) donde x / z e y / z son las coordenadas cartesianas del punto. ^[9] Esto introduce una coordenada "extra" ya que solo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil porque representa cualquier punto en el plano proyectivo sin el uso del infinito . En general, un sistema de coordenadas homogéneo es uno donde solo las relaciones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.

Otros sistemas de uso común [ editar ]

Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:

• Las coordenadas curvilíneas son una generalización de los sistemas de coordenadas en general; El sistema se basa en la intersección de curvas.
  • Coordenadas ortogonales : las superficies de coordenadas se encuentran en ángulos rectos
  • Coordenadas de sesgo : las superficies de coordenadas no son ortogonales
• El sistema de coordenadas log-polar representa un punto en el plano por el logaritmo de la distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que cruza el origen.
• Las coordenadas Plücker son una forma de representar líneas en el espacio euclidiano 3D utilizando una tupla de números de seis como coordenadas homogéneas .
• Las coordenadas generalizadas se utilizan en el tratamiento de Lagrangian de la mecánica.
• Las coordenadas canónicas se utilizan en el tratamiento hamiltoniano de la mecánica.
• Sistema de coordenadas baricéntrico como el que se usa para los diagramas ternarios y, más generalmente, en el análisis de triángulos .
• Las coordenadas trilineales se utilizan en el contexto de los triángulos.

Hay formas de describir curvas sin coordenadas, usando ecuaciones intrínsecas que usan cantidades invariables, como la curvatura y la longitud del arco . Éstos incluyen:

• La ecuación de Whewell relaciona la longitud del arco y el ángulo tangencial .
• La ecuación de Cesàro relaciona la longitud del arco y la curvatura.

Coordenadas de objetos geométricos [ editar ]

Los sistemas de coordenadas a menudo se usan para especificar la posición de un punto, pero también se pueden usar para especificar la posición de figuras más complejas como líneas, planos, círculos o esferas. Por ejemplo, las coordenadas Plücker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. ^[10] Cuando hay una necesidad, el tipo de figura que se describe se usa para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo, el término coordenadas de línea se usa para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea.

Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas para dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en términos de su análisis. Un ejemplo de esto es el sistema de coordenadas homogéneas para puntos y líneas en el plano proyectivo. Los dos sistemas en un caso como este se dice que son dualistas . Los sistemas dualistas tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden transferirse al otro, ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; Esto se conoce como el principio de dualidad . ^[11]

Transformaciones [ editar ]

Ver también: Transformación activa y pasiva.

Artículo principal: Lista de transformaciones de coordenadas comunes.

Debido a que a menudo hay muchos sistemas de coordenadas posibles diferentes para describir figuras geométricas, es importante entender cómo se relacionan. Tales relaciones se describen mediante transformaciones de coordenadas que dan fórmulas para las coordenadas en un sistema en términos de las coordenadas en otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas ( x ,  y ) y las coordenadas polares ( r ,  θ ) tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje x positivo , entonces la transformación de coordenadas de coordenadas polares a cartesianas viene dada por x  =  r  cos θ e y  =  r pecado θ .

Con cada bijection desde el espacio a sí mismo se pueden asociar dos transformaciones de coordenadas:

• de modo que las nuevas coordenadas de la imagen de cada punto sean las mismas que las coordenadas anteriores del punto original (las fórmulas para el mapeo son las inversas de las de la transformación de coordenadas)
• de modo que las coordenadas antiguas de la imagen de cada punto sean las mismas que las nuevas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las mismas que para la transformación de coordenadas)

Por ejemplo, en 1D , si la asignación es una traducción de 3 a la derecha, la primera mueve el origen de 0 a 3, de modo que la coordenada de cada punto se vuelve 3 menos, mientras que la segunda mueve el origen de 0 a −3 , para que la coordenada de cada punto se convierta en 3 más.

Coordinar líneas / curvas y planos / superficies [ editar ]

La "línea de coordenadas" redirige aquí. No se debe confundir con las coordenadas de la línea .

"Plano de coordenadas" redirige aquí. No debe confundirse con las coordenadas del plano .

En dos dimensiones, si una de las coordenadas en un sistema de coordenadas de puntos se mantiene constante y la otra coordenada puede variar, entonces la curva resultante se denomina curva de coordenadas . En el sistema de coordenadas cartesiano, las curvas de coordenadas son, de hecho, líneas rectas , por lo tanto líneas de coordenadas . Específicamente, son las líneas paralelas a uno de los ejes de coordenadas. Para otros sistemas de coordenadas, las curvas de coordenadas pueden ser curvas generales. Por ejemplo, las curvas de coordenadas en coordenadas polares obtenidas manteniendo r constante son los círculos con centro en el origen. Los sistemas de coordenadas para el espacio euclidiano que no sea el sistema de coordenadas cartesiano se denominan sistemas de coordenadas curvilíneas .^[12] Este procedimiento no siempre tiene sentido, por ejemplo, no hay curvas de coordenadas en un sistema de coordenadas homogéneo .

Coordinar las superficies de las coordenadas paraboloidales tridimensionales.

En el espacio tridimensional, si una coordenada se mantiene constante y las otras dos pueden variar, entonces la superficie resultante se llama superficie de coordenadas . Por ejemplo, las superficies de coordenadas obtenidas al mantener ρ constante en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional, la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesiano podemos hablar de planos de coordenadas .

Del mismo modo, coordinar hipersuperficies son los ( n - 1) espacios dimensionales resultantes de la fijación de una sola coordenada de un n -dimensional sistema de coordenadas. ^[13]

Mapas de coordenadas [ editar ]

Artículo principal: Mapa de coordenadas.

Más información: Manifold

El concepto de un mapa de coordenadas , o gráfico de coordenadas es fundamental para la teoría de las variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo desde un subconjunto abierto de un espacio X a un subconjunto abierto de R ⁿ . ^[14] A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas consistente para un espacio completo. En este caso, se reúne una colección de mapas de coordenadas para formar un atlas que cubre el espacio. Un espacio equipado con tal atlas se llama colector.y la estructura adicional se puede definir en una variedad si la estructura es consistente donde los mapas de coordenadas se superponen. Por ejemplo, una variedad diferenciable es una variedad donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.

Coordenadas basadas en la orientación [ editar ]

En geometría y cinemática , los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición (lineal) de los puntos y la posición angular de los ejes, planos y cuerpos rígidos . ^[15] En el último caso, la orientación de un segundo sistema de coordenadas (generalmente denominado "local"), fijada al nodo, se define en función del primero (generalmente denominado sistema de coordenadas "global" o "mundo") ). Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido puede representarse por una matriz de orientación , que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local;Vectores unitarios alineados con esos ejes.

las coordenadas de 6 esferas son el sistema de coordenadas creado invirtiendo las coordenadas cartesianas a través de la esfera unitaria . Se llaman así porque los loci donde una coordenada es constante forman esferas tangentes al origen de uno de los seis lados (dependiendo de qué coordenada se mantiene constante y si su valor es positivo o negativo).

Las tres coordenadas son

$${\ displaystyle u = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \ quad v = {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \ quad w = {\ frac {z} {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}

Dado que la inversión es su propio inverso , las ecuaciones de x , y y z en términos de u , v y w son similares:

$${\ displaystyle x = {\ frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}}, \ quad y = {\ frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}}, \ quad z = {\ frac {w} {u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2}}}.}

Este sistema de coordenadas es $${\ displaystyle R}-separables para la ecuación de Laplace de 3 variables.