SISTEMAS DE COORDENADAS

doble esfera de Fourier (DFS) es una técnica simple que transforma una función definida en la superficie de la esfera en una función definida en un dominio rectangular al tiempo que conserva la periodicidad en las direcciones de longitud y latitud.

Introducción [ editar ]

Primero, una funcion $${\ displaystyle f (x, y, z)} en la esfera se escribe como $${\ displaystyle f (\ lambda, \ theta)}utilizando coordenadas esféricas , es decir,

$${\ displaystyle f (\ lambda, \ theta) = f (\ cos \ lambda \ sin \ theta, \ sin \ lambda \ sin \ theta, \ cos \ theta), (\ lambda, \ theta) \ in [- \ pi, \ pi] \ veces [0, \ pi].}

La función $${\ displaystyle f (\ lambda, \ theta)} es $${\ displaystyle 2 \ pi}Periódico en $${\ displaystyle \ lambda}, pero no periodico en $${\ displaystyle \ theta}. La periodicidad en la dirección de latitud se ha perdido. Para recuperarla, la función se "duplica" y una función relacionada en$${\ displaystyle [- \ pi, \ pi] \ times [- \ pi, \ pi]} Se define como

{\ displaystyle {\ tilde {f}} (\ lambda, \ theta) = {\ begin {cases} g (\ lambda + \ pi, \ theta), & (\ lambda, \ theta) \ in [- \ pi , 0] \ veces [0, \ pi], \\ h (\ lambda, \ theta), & (\ lambda, \ theta) \ en [0, \ pi] \ veces [0, \ pi], \\ g (\ lambda, - \ theta), & (\ lambda, \ theta) \ en [0, \ pi] \ veces [- \ pi, 0], \\ h (\ lambda + \ pi, - \ theta) , & (\ lambda, \ theta) \ in [- \ pi, 0] \ times [- \ pi, 0], \\\ end {cases}}}

dónde $${\ displaystyle g (\ lambda, \ theta) = f (\ lambda - \ pi, \ theta)} y $${\ displaystyle h (\ lambda, \ theta) = f (\ lambda, \ theta)} para $${\ displaystyle (\ lambda, \ theta) \ en [0, \ pi] \ times [0, \ pi]}. La nueva funcion$${\ displaystyle {\ tilde {f}}} es $${\ displaystyle 2 \ pi}Periódico en $${\ displaystyle \ lambda} y $${\ displaystyle \ theta}, y es constante a lo largo de las lineas $${\ displaystyle \ theta = 0} y $${\ displaystyle \ theta = \ pm \ pi}, correspondiente a los polos.

La función $${\ displaystyle {\ tilde {f}}} Se puede ampliar a una doble serie de Fourier.

$${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ approx \ sum _ {j = -n} ^ {n} \ sum _ {k = -n} ^ {n} a_ {jk} e ^ {ij \ theta} e ^ {ik \ lambda}}

Historia [ editar ]

El método DFS fue propuesto por Merilees ^[1] y desarrollado por Steven Orszag . ^[2] El método DFS ha sido objeto de relativamente pocas investigaciones desde (una excepción notable es el trabajo de Fornberg), ^[3]quizás debido al predominio de las expansiones de armónicos esféricos . En los últimos quince años, ha comenzado a utilizarse para el cálculo de campos gravitacionales cerca de los agujeros negros ^[4] y para el nuevo análisis espectral del espacio-tiempo .

Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional. $${\ displaystyle (\ lambda, \ mu, \ nu)}Eso generaliza el sistema de coordenadas elíptico bidimensional . A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidales se basa en cuadrículas confocales .

Fórmulas básicas [ editar ]

Las coordenadas cartesianas. $${\ displaystyle (x, y, z)} Se puede producir a partir de las coordenadas elipsoidales. $${\ displaystyle (\ lambda, \ mu, \ nu)} por las ecuaciones

$${\ displaystyle x ^ {2} = {\ frac {\ left (a ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (a ^ {2} + \ mu \ right) \ left (a ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (a ^ {2} -b ^ {2} \ right) \ left (a ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}}

$${\ displaystyle y ^ {2} = {\ frac {\ left (b ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (b ^ {2} + \ mu \ right) \ left (b ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (b ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ left (b ^ {2} -c ^ {2} \ right)}}}

$${\ displaystyle z ^ {2} = {\ frac {\ left (c ^ {2} + \ lambda \ right) \ left (c ^ {2} + \ mu \ right) \ left (c ^ {2} + \ nu \ right)} {\ left (c ^ {2} -b ^ {2} \ right) \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right)}}}

donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas

{\ displaystyle - \ lambda

Consecuentemente, superficies de constante. $${\ displaystyle \ lambda}son elipsoides

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ lambda}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ lambda}} = 1,}

mientras que las superficies de constante $${\ displaystyle \ mu}son hiperboloides de una hoja

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ mu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ mu}} = 1,}

Porque el último término en lhs es negativo, y superficies de constante. $${\ displaystyle \ nu}son hiperboloides de dos hojas

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} + \ nu}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} + \ nu}} = 1}

porque los dos últimos términos en el lhs son negativos.

El sistema ortogonal de cuadráticos utilizado para las coordenadas elipsoidales son cuadráticos confocales .

Factores de escala y operadores diferenciales [ editar ]

Para mayor brevedad en las siguientes ecuaciones, introducimos una función.

$${\ displaystyle S (\ sigma) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ left (a ^ {2} + \ sigma \ right) \ left (b ^ {2} + \ sigma \ derecha) \ izquierda (c ^ {2} + \ sigma \ derecha)}

dónde $${\ displaystyle \ sigma} Puede representar cualquiera de las tres variables. $${\ displaystyle (\ lambda, \ mu, \ nu)}. Usando esta función, se pueden escribir los factores de escala.

$${\ displaystyle h _ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ left (\ lambda - \ mu \ right) \ left (\ lambda - \ nu \ right)} { S (\ lambda)}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ left (\ mu - \ lambda \ right) \ left (\ mu - \ nu \ right)} { S (\ mu)}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ left (\ nu - \ lambda \ right) \ left (\ nu - \ mu \ right)} { S (\ nu)}}}}

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

$${\ displaystyle dV = {\ frac {\ left (\ lambda - \ mu \ right) \ left (\ lambda - \ nu \ right) \ left (\ mu - \ nu \ right)} {8 {\ sqrt {- S (\ lambda) S (\ mu) S (\ nu)}}}} \ d \ lambda d \ mu d \ nu}

y el laplaciano se define por

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {4 {\ sqrt {S (\ lambda)}}} {\ left (\ lambda - \ mu \ right) \ left (\ lambda - \ nu \ derecha)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ lambda}} \ left [{\ sqrt {S (\ lambda)}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ lambda}} \ right ] \ +}

$${\ displaystyle {\ frac {4 {\ sqrt {S (\ mu)}}} {\ left (\ mu - \ lambda \ right) \ left (\ mu - \ nu \ right)}} {\ frac {\ parcial} {\ partial \ mu}} \ left [{\ sqrt {S (\ mu)}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ mu}} \ right] \ + \ {\ frac {4 {\ sqrt {S (\ nu)}}} {\ left (\ nu - \ lambda \ right) \ left (\ nu - \ mu \ right)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ nu} } \ left [{\ sqrt {S (\ nu)}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ nu}} \ right]}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}} Se puede expresar en las coordenadas. $${\ displaystyle (\ lambda, \ mu, \ nu)}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

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Coordinar superficies de coordenadas cilíndricas elípticas. La hoja amarilla es el prisma de una media hipérbola correspondiente a ν = -45 °, mientras que el tubo rojo es un prisma elíptico correspondiente a μ = 1. La hoja azul corresponde a z = 1. Las tres superficies se intersecan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (2.182, -1.661, 1.0). Los focos de la elipse y la hipérbola se encuentran en x = ± 2.0.

Las coordenadas cilíndricas elípticas son un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional que resulta de proyectar el sistema de coordenadas elíptico bidimensional en la perpendicular$${\ displaystyle z}-dirección. Por lo tanto, las superficies coordinadasson prismas de elipsis e hipérbola confocales . Los dos focos $${\ displaystyle F_ {1}} y $${\ displaystyle F_ {2}} generalmente se toman para ser fijados en $${\ displaystyle -a} y $${\ displaystyle + a}, respectivamente, en el $${\ displaystyle x}- Eje del sistema de coordenadas cartesiano .

Definición básica [ editar ]

La definición más común de coordenadas cilíndricas elípticas. $${\ displaystyle (\ mu, \ nu, z)} es

$${\ displaystyle x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu}

$${\ displaystyle y = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu}

$${\ displaystyle z = z}

dónde $${\ displaystyle \ mu} es un número real no negativo y $${\ displaystyle \ nu \ en [0,2 \ pi)}.

Estas definiciones corresponden a elipsis e hipérbola. La identidad trigonométrica.

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sinh ^ { 2} \ mu}} = \ cos ^ {2} \ nu + \ sin ^ {2} \ nu = 1}

muestra que las curvas de constante $${\ displaystyle \ mu}Forma elipsis , mientras que la identidad trigonométrica hiperbólica.

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ nu}} - {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} \ sin ^ { 2} \ nu}} = \ cosh ^ {2} \ mu - \ sinh ^ {2} \ mu = 1}

muestra que las curvas de constante $${\ displaystyle \ nu}forma hipérbola .

Factores de escala [ editar ]

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas elípticas. $${\ displaystyle \ mu} y $${\ displaystyle \ nu} son iguales

$${\ displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}}}

mientras que el factor de escala restante $${\ displaystyle h_ {z} = 1}. En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a

$${\ displaystyle dV = a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu dz}

y los iguales laplacianos

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ mu ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial \ nu ^ {2}} } \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial z ^ {2}}}}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}} Se puede expresar en las coordenadas. $${\ displaystyle (\ mu, \ nu, z)}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

Definición alternativa [ editar ]

Un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas elípticas. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, z)} se utilizan a veces, donde $${\ displaystyle \ sigma = \ cosh \ mu} y $${\ displaystyle \ tau = \ cos \ nu}. De ahí, las curvas de constante.$${\ displaystyle \ sigma} Son elipsis, mientras que las curvas de constante. $${\ displaystyle \ tau}son hipérboles. La coordenada$${\ displaystyle \ tau} debe pertenecer al intervalo [-1, 1], mientras que $${\ displaystyle \ sigma} la coordenada debe ser mayor o igual que uno.

Las coordenadas $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, z)} Tener una relación simple con las distancias a los focos. $${\ displaystyle F_ {1}} y $${\ displaystyle F_ {2}}. Para cualquier punto en el plano (x, y), la suma $${\ displaystyle d_ {1} + d_ {2}} De sus distancias a los focos iguales. $${\ displaystyle 2a \ sigma}, mientras que su diferencia $${\ displaystyle d_ {1} -d_ {2}} es igual a $${\ displaystyle 2a \ tau}. Por lo tanto, la distancia a$${\ displaystyle F_ {1}} es $${\ displaystyle a (\ sigma + \ tau)}, mientras que la distancia a $${\ displaystyle F_ {2}} es $${\ displaystyle a (\ sigma - \ tau)}. (Recordar que$${\ displaystyle F_ {1}} y $${\ displaystyle F_ {2}} se encuentran en $${\ displaystyle x = -a} y $${\ displaystyle x = + a}, respectivamente.)

Un inconveniente de estas coordenadas es que no tienen una transformación 1 a 1 a las coordenadas cartesianas

$${\ displaystyle x = a \ sigma \ tau}

$${\ displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}

Factores de escala alternativos [ editar ]

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, z)} son

$${\ displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2} -1}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {1- \ tau ^ {2}}}}}

y por supuesto, $${\ displaystyle h_ {z} = 1}. Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en

$${\ displaystyle dV = a ^ {2} {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sqrt {\ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1 - \ tau ^ {2} \ right)}}} d \ sigma d \ tau dz}

y los iguales laplacianos

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ right)}} \ left [{\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma}} \ left ({\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ sigma}} \ right) + {\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ left ({\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ tau}} \ right) \ right] + {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial z ^ { 2}}}}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}} Se puede expresar en las coordenadas. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

Aplicaciones [ editar ]

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas elípticas son para resolver ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas cilíndricas elípticas permiten una separación de variables . Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana de ancho.$${\ displaystyle 2a}.

La ecuación de onda tridimensional , cuando se expresa en coordenadas cilíndricas elípticas, puede resolverse mediante la separación de variables, lo que lleva a las ecuaciones diferenciales de Mathieu .

Las propiedades geométricas de las coordenadas elípticas también pueden ser útiles. Un ejemplo típico podría implicar una integración sobre todos los pares de vectores$${\ displaystyle \ mathbf {p}} y $${\ displaystyle \ mathbf {q}} esa suma a un vector fijo $${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {p} + \ mathbf {q}}, donde el integrando era una función de las longitudes del vector $${\ displaystyle \ left | \ mathbf {p} \ right |} y $${\ displaystyle \ left | \ mathbf {q} \ right |}. (En tal caso, uno posicionaría$${\ displaystyle \ mathbf {r}} entre los dos focos y alineado con el $${\ displaystyle x}-axis, es decir, $${\ displaystyle \ mathbf {r} = 2a \ mathbf {\ hat {x}}}.) Por concreción, $${\ displaystyle \ mathbf {r}}, $${\ displaystyle \ mathbf {p}} y $${\ displaystyle \ mathbf {q}}podría representar los impulsos de una partícula y sus productos de descomposición, respectivamente, y el integrando podría implicar las energías cinéticas de los productos (que son proporcionales a las longitudes de cuadrados de las cantidades de movimiento).