SISTEMAS DE COORDENADAS

sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto en un plano está determinado por una distancia desde un punto de referencia y un ángulo desde una dirección de referencia.

El punto de referencia (análogo al origen de un sistema de coordenadas cartesiano ) se denomina polo , y el rayo desde el polo en la dirección de referencia es el eje polar . La distancia desde el polo se denomina coordenada radial , distancia radial o simplemente radio , y el ángulo se denomina coordenada angular , ángulo polar o acimut . 

Puntos en el polar sistema con el poste de coordenadas O y polar eje L . En verde, el punto con coordenada radial 3 y coordenada angular 60 grados o (3,  60 °). En azul, el punto (4,  210 °).

Historia [ editar ]

Ver también: Historia de las funciones trigonométricas.

Hiparco

Los conceptos de ángulo y radio ya fueron utilizados por los pueblos antiguos del primer milenio antes de Cristo . El astrónomo y astrólogo griego Hiparco (190–120 aC) creó una tabla de funciones de acordes que dan la longitud del acorde para cada ángulo, y hay referencias a su uso de coordenadas polares para establecer posiciones estelares. ^[2] En On Spirals , Archimedes describe la espiral de Archimedean , una función cuyo radio depende del ángulo. El trabajo griego, sin embargo, no se extendió a un sistema de coordenadas completo.

A partir del siglo VIII dC, los astrónomos desarrollaron métodos para aproximar y calcular la dirección a La Meca ( qibla ), y su distancia, desde cualquier lugar de la Tierra. ^[3] Desde el siglo noveno en adelante, utilizaron trigonometría esférica y métodos de proyección de mapas para determinar estas cantidades con precisión. El cálculo es esencialmente la conversión de las coordenadas polares ecuatoriales de La Meca (es decir, su longitud y latitud ) a sus coordenadas polares (es decir, su qibla y distancia) en relación con un sistema cuyo meridiano de referencia es el gran círculoa través de la ubicación dada y los polos de la Tierra, y cuyo eje polar es la línea a través de la ubicación y su punto antípodas . ^[4]

Hay varias cuentas de la introducción de coordenadas polares como parte de un sistema de coordenadas formal. La historia completa de la materia se describe en El origen de las coordenadas polares del profesor Julian Lowell Coolidge de Harvard . ^[5] Grégoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron los conceptos de forma independiente a mediados del siglo XVII. Saint-Vincent escribió sobre ellos en privado en 1625 y publicó su trabajo en 1647, mientras que Cavalieri publicó su versión en 1635 con una versión corregida que apareció en 1653. Cavalieri utilizó por primera vez las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el área dentro de una espiral arquimediana . Blaise Pascal Posteriormente se utilizaron las coordenadas polares para calcular la longitud de los arcos parabólicos .

En Method of Fluxions (escrito en 1671, publicado en 1736), Sir Isaac Newton examinó las transformaciones entre coordenadas polares, a las que se refirió como "Séptima Manera: Para Espirales", y otros nueve sistemas de coordenadas. ^[6] En la revista Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli usó un sistema con un punto en una línea, llamado polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se especificaron por la distancia desde el polo y el ángulo desde el eje polar . El trabajo de Bernoulli se extendió hasta encontrar el radio de curvatura de las curvas expresado en estas coordenadas.

El término actual, coordenadas polares, se ha atribuido a Gregorio Fontana y fue utilizado por escritores italianos del siglo XVIII. El término apareció en Inglés en George Peacock 's traducción de 1816 Lacroix ' s cálculo diferencial e integral . ^[7] [8] Alexis Clairaut fue el primero en pensar en coordenadas polares en tres dimensiones, y Leonhard Euler fue el primero en desarrollarlas. ^[5]

Convenciones [ editar ]

Una cuadrícula polar con varios ángulos, que aumenta en orientación ccw y se etiqueta en grados

La coordenada radial a menudo se denota por r o ρ , y la coordenada angular por φ , θ o t . La coordenada angular se especifica como φ por la norma ISO 31-11 . Sin embargo, en la literatura matemática, el ángulo a menudo se denota por θ en lugar de φ .

Los ángulos en notación polar generalmente se expresan en grados o radianes (2 π rad es igual a 360 °). Los grados se usan tradicionalmente en navegación , topografía y muchas disciplinas aplicadas, mientras que los radianes son más comunes en matemáticas y física matemática . ^[9]

El ángulo φ se define para comenzar en 0 ° desde una dirección de referencia y para aumentar las rotaciones en sentido contrario a las agujas del reloj (ccw) o en el sentido de las agujas del reloj (cw) . En matemáticas, por ejemplo, la dirección de referencia generalmente se dibuja como un rayo desde el polo horizontalmente hacia la derecha, y el ángulo polar aumenta a ángulos positivos para las rotaciones de ccw, mientras que en la navegación ( rumbo , rumbo ) el encabezado de 0 ° se dibuja verticalmente Hacia arriba y el ángulo aumenta para las rotaciones de cw. Los ángulos polares disminuyen hacia valores negativos para rotaciones en las orientaciones opuestas respectivamente.

Unicidad de las coordenadas polares [ editar ]

Agregar cualquier número de giros completos (360 °) a la coordenada angular no cambia la dirección correspondiente. De manera similar, cualquier coordenada polar es idéntica a la coordenada con el componente radial negativo y la dirección opuesta (agregando 180 ° al ángulo polar). Por lo tanto, el mismo punto ( r , φ ) se puede expresar con un número infinito de diferentes coordenadas polares ( r , φ + n × 360 °) y (- r , φ + 180 ° + n × 360 °) = (- r , φ + (2 n + 1) × 180 °) , donde nes un entero arbitrario . ^[10] Por otra parte, el polo en sí mismo puede ser expresado como (0,  φ ) para cualquier ángulo φ . ^[11]

Cuando se necesita una representación única para cualquier punto además del polo, es usual limitar r a números positivos ( r > 0 ) y φ al intervalo [0, 360 °) o (−180 °, 180 °] (en radianes , [0, 2 π ) o (- π ,  π ]). ^[12] Otra convención, en referencia al codominio habitual de la función arctan , es permitir valores reales no nulos arbitrarios de la componente radial y restringir el polar ángulo a (−90 °,  90 °] . En todos los casos, debe elegirse un acimut único para el polo ( r = 0), por ejemplo, φ  = 0.

Conversión entre coordenadas polares y cartesianas [ editar ]

Un diagrama que ilustra la relación entre coordenadas polares y cartesianas.

Una curva en el plano cartesiano se puede mapear en coordenadas polares. En esta animación,$${\ displaystyle y = \ sin (6x) +2} se asigna en $${\ displaystyle r = \ sin (6 \ varphi) +2}. Haz clic en la imagen para los detalles.

Las coordenadas polares r y φ se pueden convertir a las coordenadas cartesianas x e y usando las funciones trigonométricasseno y coseno:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r \ cos \ varphi \\ y & = r \ sin \ varphi \ end {alineado}}}

Las coordenadas cartesianas x e y se pueden convertir en coordenadas polares r y φ con r  ≥ 0 y φ en el intervalo (- π , π ] mediante: ^[13]

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad}(como en el teorema de Pitágoras o la norma euclidiana ), y

$${\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} (y, x) \ quad},

donde atan2 es una variación común en la función arcotangentedefinida como

{\ displaystyle \ operatorname {atan2} (y, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) & {\ mbox {if}} x> 0 \ \\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi & {\ mbox {if}} x <0 -="" 0="" amp="" and="" arctan="" derecha="" frac="" geq="" if="" left="" mbox="" pi="" x="0" y=""> 0 \\ - {\ frac {\ pi} {2}} & {\ mbox {if}} x = 0 {\ mbox {y}} y <0 amp="" and="" cases="" end="" font="" if="" mbox="" text="" undefined="" x="0" y="0">

Si r se calcula primero como antes, entonces esta fórmula para φ se puede expresar un poco más simplemente usando la función de arccosina estándar :

{\ displaystyle \ varphi = {\ begin {cases} \ arccos \ left ({\ frac {x} {r}} \ right) & {\ mbox {if}} y \ geq 0 {\ mbox {and}} r \ neq 0 \\ - \ arccos \ left ({\ frac {x} {r}} \ right) & {\ mbox {if}} y <0 amp="" cases="" end="" font="" if="" mbox="" r="0" text="" undefined="">

El valor de φ anterior es el valor principal de la función de número complejo arg aplicada a x + iy . Se puede obtener un ángulo en el rango [0, 2 π ) sumando 2 π al valor en caso de que sea negativo (en otras palabras, cuando y es negativo).

Ecuación polar de una curva [ editar ]

La ecuación que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares se conoce como ecuación polar. En muchos casos, tal ecuación puede especificarse simplemente definiendo r como una función de φ . La curva resultante consiste entonces en puntos de la forma ( r ( φ ),  φ ) y puede considerarse como el gráfico de la función polar r . Tenga en cuenta que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, la variable independiente φes la segunda entrada en el par ordenado.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría a partir de la ecuación de una función polar r . Si r (- φ ) = r ( φ )la curva será simétrica respecto al rayo horizontal (0 ° / 180 °), si r ( π - φ ) = r ( φ ) será simétrica respecto a la vertical (90 ° / 270 °) rayo, y si r ( φ - α) = r ( φ ) será rotacionalmente simétrico por α hacia la derecha y hacia la izquierda sobre el polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polares, muchas curvas pueden describirse mediante una ecuación polar bastante simple, mientras que su forma cartesiana es mucho más intrincada. Entre las más conocidas de estas curvas se encuentran la rosa polar , la espiral arquimediana , el lemniscado , el limaçon y el cardioide .

Para el círculo, la línea y la rosa polar a continuación, se entiende que no hay restricciones en el dominio y el rango de la curva.

Círculo [ editar ]

Un círculo con la ecuación r ( φ ) = 1

La ecuación general para un círculo con un centro en ( r ₀ ,$${\ displaystyle \ gamma}) y el radio aes

$${\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2}.}

Esto se puede simplificar de varias maneras, para ajustarse a casos más específicos, como la ecuación

$${\ displaystyle r (\ varphi) = a}

para un círculo con un centro en el polo y el radio a . ^[14]

Cuando r ₀ = a , o cuando el origen se encuentra en el círculo, la ecuación se convierte en

$${\ displaystyle r = 2a \ cos (\ varphi - \ gamma).}

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando

$${\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ varphi - \ gamma) }},}

La solución con un signo menos delante de la raíz cuadrada da la misma curva.

Línea [ editar ]

Las líneas radiales (aquellas que pasan por el polo) están representadas por la ecuación

$${\ displaystyle \ varphi = \ gamma,}

donde ɣ es el ángulo de elevación de la recta; es decir, ɣ = arctan m donde m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesiano. La línea no radial que cruza la línea radial φ = ɣ perpendicularmente en el punto ( r ₀ , ɣ) tiene la ecuación

$${\ displaystyle r (\ varphi) = {r_ {0}} \ sec (\ varphi - \ gamma).}

De lo contrario, se indica ( r ₀ , ɣ) el punto en el que la tangente cruza el círculo imaginario del radio r ₀ .

Rosa polar [ editar ]

Una rosa polar con ecuación r ( φ ) = 2 sen 4 φ

Una rosa polar es una curva matemática que se parece a una flor de pétalo, y que se puede expresar como una simple ecuación polar,

$${\ displaystyle r (\ varphi) = a \ cos \ left (k \ varphi + \ gamma _ {0} \ right)}

para cualquier constante ɣ ₀ (incluyendo 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones se producen una k -petaled Rose Si k es impar , o un 2 k -petaled Rose Si k es par. Si k es racional pero no es un número entero, se puede formar una forma de rosa, pero con pétalos superpuestos. Tenga en cuenta que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Espiral de Arquímedes [ editar ]

Un brazo de una espiral arquimediana con la ecuación r ( φ ) = φ / 2 π para 0 < φ <6 font="" nbsp="">π

La espiral de Arquímedes es una espiral que fue descubierta por Arquímedes , que también puede expresarse como una simple ecuación polar. Está representado por la ecuación.

$${\ displaystyle r (\ varphi) = a + b \ varphi.}

Cambiar el parámetro a girará la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, que para una espiral dada siempre es constante. La espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para φ > 0 y otro para φ <0 font=""> . Los dos brazos están conectados suavemente en el polo. Si toma la imagen de espejo de un brazo a través de la línea de 90 ° / 270 °, obtendrá el otro brazo. Esta curva es notable como una de las primeras curvas, después de las secciones cónicas , que se describirá en un tratado matemático, y como ejemplo principal de una curva que está mejor definida por una ecuación polar.

Secciones cónicas [ editar ]

Elipse, mostrando el semieltero recto

Una sección cónica con un enfoque en el polo y la otra en algún lugar del rayo de 0 ° (de modo que el eje mayor de la cónica se encuentra a lo largo del eje polar) viene dada por:

$${\ displaystyle r = {\ ell \ sobre {1-e \ cos \ varphi}}}

donde e es la excentricidad y$${\ displaystyle \ ell}es el recto semi-latus (la distancia perpendicular en un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1 , esta ecuación define una hipérbola ; si e = 1 , define una parábola ; y si e <1 font=""> , define una elipse . El caso especial e = 0 de este último da como resultado un círculo del radio$${\ displaystyle \ ell}.

Intersección de dos curvas polares [ editar ]

Las gráficas de dos funciones polares. $${\ displaystyle r = f (\ theta)} y $${\ displaystyle r = g (\ theta)} Tienen posibles intersecciones de tres tipos:

1. En el origen si las ecuaciones. $${\ displaystyle f (\ theta) = 0} y $${\ displaystyle g (\ theta) = 0} tener al menos una solución cada uno.
2. Todos los puntos $${\ displaystyle [g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}]} dónde $${\ displaystyle \ theta _ {i}} son las soluciones a la ecuación $${\ displaystyle f (\ theta + 2k \ pi) = g (\ theta)} dónde $${\ displaystyle k} es un entero
3. Todos los puntos $${\ displaystyle [g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}]} dónde $${\ displaystyle \ theta _ {i}} son las soluciones a la ecuación $${\ displaystyle f (\ theta + (2k + 1) \ pi) = - g (\ theta)}dónde $${\ displaystyle k} es un entero

Números complejos [ editar ]

Una ilustración de un número complejo ztrazado en el plano complejo

Una ilustración de un número complejo trazado en el plano complejo usando la fórmula de Euler

Cada número complejo puede representarse como un punto en el plano complejo y, por lo tanto, puede expresarse especificando las coordenadas cartesianas del punto (llamadas forma rectangular o cartesiana) o las coordenadas polares del punto (llamadas formas polares). El número complejo z se puede representar en forma rectangular como

$${\ displaystyle z = x + iy}

donde i es la unidad imaginaria , o alternativamente puede escribirse en forma polar (a través de las fórmulas de conversión dadas arriba ) como

$${\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

y desde allí como

$${\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi}}

donde e es el número de Euler , que son equivalentes como se muestra en la fórmula de Euler . ^[15] (Tenga en cuenta que esta fórmula, al igual que todas las que involucran exponenciales de ángulos, asume que el ángulo φ se expresa en radianes ). Para convertir entre las formas rectangulares y polares de un número complejo, se pueden usar las fórmulas de conversión dadas anteriormente .

Para las operaciones de multiplicación , división y exponenciaciónde números complejos, generalmente es mucho más simple trabajar con números complejos expresados ​​en forma polar en lugar de forma rectangular. De las leyes de la exponenciación:

Multiplicación

$${\ displaystyle r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0}} \, r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}} = r_ {0} r_ {1} e ^ {i \ left (\ varphi _ {0} + \ varphi _ {1} \ right)}}

División

$${\ displaystyle {\ frac {r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0}}} {r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}}}} = {\ frac {r_ {0} } {r_ {1}}} e ^ {i (\ varphi _ {0} - \ varphi _ {1})}}

Exponentiación ( fórmula de De Moivre )

$${\ displaystyle \ left (re ^ {i \ varphi} \ right) ^ {n} = r ^ {n} e ^ {in \ varphi}}

Cálculo [ editar ]

El cálculo se puede aplicar a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. ^[16] [17]

La coordenada angular φ se expresa en radianes a lo largo de esta sección, que es la opción convencional cuando se hace el cálculo.

El cálculo diferencial [ editar ]

Utilizando x = r cos φ y y = r pecado φ , se puede derivar una relación entre los derivados en coordenadas cartesianas y polares. Para una función dada, u ( x , y ), se sigue que (calculando sus derivadas totales )

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} & = r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} { \ parcial r}} + r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial y} {\ parcial r}}, \\ [2pt] {\ frac {\ parcial u} { \ parcial \ varphi}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial \ varphi}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y }} {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}}, \ end {alineado}}}

o

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} & = r {\ frac u \ parcial u} {\ parcial x}} \ cos \ varphi + r {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} \ sin \ varphi = x {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + y {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}}, \\ [2pt] {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ varphi}} & = - {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} r \ sin \ varphi + {\ frac {\ parcial u} { \ parcial y}} r \ cos \ varphi = -y {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} + x {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}}. \ final {alineado}} }

Por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} & = x {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + y {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \\ [2pt] {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ varphi}} & = - y {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + x {\ frac {\ parcial} { \ parcial y}}. \ final {alineado}}}

Usando la transformación de coordenadas inversas, se puede derivar una relación recíproca análoga entre las derivadas. Dada una función u ( r , φ ), se deduce que

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} {\ frac {\ parcial r} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ varphi}} {\ frac {\ parcial \ varphi} {\ parcial x}}, \\ [2pt] {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} {\ frac {\ parcial r} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}}, \ end {alineado}}}

o

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial x}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ \ [2pt] & = \ cos \ varphi {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ varphi {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ varphi}}, \\ [2pt] {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} & = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}} {\ frac {y} {\ sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}} + {\ frac {\ parcial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\ [2pt] & = \ sin \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ parcial \ varphi}}. \ end {alineado}}}

Por lo tanto, tenemos las siguientes fórmulas:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} & = \ cos \ varphi {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} - {\ frac {1} {r }} \ sin \ varphi {\ frac {\ parcial} {\ partial \ varphi}} \\ [2pt] {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} & = \ sin \ varphi {\ frac {\ parcial } {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}}. \ end {alineado}}}

Para encontrar la pendiente cartesiana de la recta tangente a una curva polar r ( φ ) en cualquier punto dado, la curva se expresa primero como un sistema de ecuaciones paramétricas .

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r (\ varphi) \ cos \ varphi \\ y & = r (\ varphi) \ sin \ varphi \ end {alineado}}}

Diferenciando ambas ecuaciones con respecto a φ rendimientos.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {dx} {d \ varphi}} & = r '(\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi \\ [2pt] {\ frac {dy} {d \ varphi}} & = r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi. \ end {alineado}}}

Al dividir la segunda ecuación por la primera, se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto ( r ( φ ),  φ ) :

$${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi} {r' (\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi}}.}

Para otras fórmulas útiles que incluyen divergencia, gradiente y laplaciano en coordenadas polares, vea coordenadas curvilíneas .

Cálculo integral (longitud de arco) [ editar ]

La longitud del arco (longitud de un segmento de línea) definida por una función polar se encuentra por la integración sobre la curva r ( φ ). Let L denotan esta longitud a lo largo de la curva a partir de los puntos A a través de a punto B , en las que estos puntos corresponden a phi = una y φ = b tales que 0 < b - un <2 font="" nbsp="">π . La longitud de L viene dada por la siguiente integral

$${\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left [r (\ varphi) \ right] ^ {2} + \ left [{\ tfrac {dr (\ varphi)} {d \ varphi}} \ right] ^ {2}}} d \ varphi}

Cálculo integral (área) [ editar ]

La región de integración R está delimitada por la curva r ( φ ) y los rayos φ = a y φ = b .

Deje que R denota la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ= una y φ = b , en donde 0 < b - un ≤ 2 π . Entonces, el área de R es

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left [r (\ varphi) \ right] ^ {2} \, d \ varphi.}

La región R se aproxima por nsectores (aquí, n = 5).

Un planímetro , que computa mecánicamente las integrales polares.

Este resultado se puede encontrar de la siguiente manera. Primero, el intervalo [ a , b ] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo arbitrario. Así, Δ φ , la longitud de cada subintervalo, es igual a b - a (la longitud total del intervalo), dividida por n , el número de subintervalos. Para cada subintervalo i = 1, 2,…, n , sea φ _i el punto medio del subintervalo y construya un sector con el centro en el polo, el radio r ( φ _i), Ángulo central Delta φ y longitud de arco r ( φ _i ) Delta φ . El área de cada sector construido es por lo tanto igual a

$${\ displaystyle \ left [r (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ pi \ cdot {\ frac {\ Delta \ varphi} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 }} \ left [r (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ Delta \ varphi.}

Por lo tanto, el área total de todos los sectores es

$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ tfrac {1} {2}} r (\ varphi _ {i}) ^ {2} \, \ Delta \ varphi.}

A medida que aumenta el número de subintervalos n , la aproximación del área continúa mejorando. En el límite como n → ∞ , la suma se convierte en la suma de Riemann para la integral anterior.

Un dispositivo mecánico que calcula las integrales área es el planímetro , que mide el área de figuras planas mediante el trazado a cabo: esta replica integración en coordenadas polares mediante la adición de una articulación de modo que los 2-elemento de vinculación efectos teorema de Green , la conversión de la cuadrática polar integral a una integral lineal.

Generalización [ editar ]

Usando coordenadas cartesianas , un elemento de área infinitesimal se puede calcular como dA = dx dy . La regla de sustitución para múltiples integrales establece que, cuando se usan otras coordenadas, el determinante jacobiano de la fórmula de conversión de coordenadas debe considerarse:

{\ displaystyle J = \ det {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial r} } & {\ frac {\ parcial x} {\ parcial \ varphi}} \\ [2pt] {\ frac {\ parcial y} {\ parcial r}} & {\ frac {\ parcial y} {\ parcial \ varphi }} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi & -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & r \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = r \ cos ^ {2 } \ varphi + r \ sin ^ {2} \ varphi = r.}

Por lo tanto, un elemento de área en coordenadas polares se puede escribir como

$${\ displaystyle dA = dx \, dy \ = J \, dr \, d \ varphi = r \, dr \, d \ varphi.}

Ahora, una función, que se da en coordenadas polares, se puede integrar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle \ iint _ {R} f (x, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {0} ^ {r (\ varphi)} f (r, \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.}

Aquí, R es la misma región que anteriormente, a saber, la región encerrada por una curva r ( φ ) y los rayos φ = una y φ = b . La fórmula para el área de R mencionada anteriormente se recupera tomando f idénticamente igual a 1.

La integral gaussiana

Una aplicación más sorprendente de este resultado produce la integral de Gauss , aquí denotada K :

$${\ displaystyle K = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}

Cálculo vectorial [ editar ]

El cálculo vectorial también se puede aplicar a las coordenadas polares. Para un movimiento planar, vamos$${\ displaystyle \ mathbf {r}}sea ​​el vector de posición ( r  cos ( φ ), r  sin ( φ )) , con r y φ dependiendo del tiempo t .

Definimos los vectores unitarios.

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi))}

en la dirección de r y

$${\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} = (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi)) = {\ hat {\ mathbf {k}}} \ times {\ hat { \ mathbf {r}}} \,}

en el plano del movimiento perpendicular a la dirección radial, donde $${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}} Es un vector unitario normal al plano del movimiento.

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$

Términos centrífugos y coriolis [ editar ]

Ver también: Mecánica del movimiento de partículas planas y fuerza centrífuga (marco de referencia giratorio).

El vector de posición r , siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

El vector de aceleración a no es paralelo al movimiento radial, sino que se desplaza por las aceleraciones angular y de Coriolis, no es tangente a la trayectoria, sino que se desplaza por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Observe que la configuración no está restringida al espacio 2d, sino a un plano en cualquier dimensión superior.

El termino $${\ displaystyle r {\ dot {\ varphi}} ^ {2}}a veces se le conoce como la aceleración centrípeta , y el término$${\ displaystyle 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}}}Como la aceleración de Coriolis . Por ejemplo, ver Shankar. ^[18]

Nota: estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación; aparecen cuando se usan coordenadas polares. En la dinámica de partículas planas, estas aceleraciones aparecen cuando se configura la segunda ley de movimiento de Newton en un marco de referencia giratorio. Aquí estos términos adicionales a menudo se llaman fuerzas ficticias; ficticios porque son simplemente el resultado de un cambio en el marco de coordenadas. Eso no significa que no existan, sino que existen solo en el marco giratorio.

Marco de referencia inercial S y marco de rotación simultánea no inercial de referencia ′ . El marco de rotación conjunta gira a una velocidad angular Ω igual a la velocidad de rotación de la partícula sobre el origen de S ′ en el momento particular t . La partícula se encuentra en la posición del vector r ( t ) y los vectores unitarios se muestran en la dirección radial a la partícula desde el origen, y también en la dirección del ángulo creciente ϕnormal a la dirección radial. Estos vectores unitarios no necesitan estar relacionados con la tangente y normales con la trayectoria. Además, la distancia radial r no tiene que estar relacionada con el radio de curvatura de la trayectoria.

Marco de co-rotación [ editar ]

Para una partícula en movimiento plano, un enfoque para adjuntar significado físico a estos términos se basa en el concepto de un marco de referencia de rotación simultánea . ^[19] Para definir un marco de rotación conjunta, primero se selecciona un origen a partir del cual se define la distancia r ( t ) a la partícula. Se establece un eje de rotación que es perpendicular al plano de movimiento de la partícula y pasa a través de este origen. Luego, en el momento t seleccionado , la velocidad de rotación del marco de co-rotación se hace para coincidir con la velocidad de rotación de la partícula sobre este eje, dφ / dt. A continuación, los términos de la aceleración en el marco inercial se relacionan con los del marco de rotación conjunta. Deje que la ubicación de la partícula en el marco inercial sea ( r ( t ), φ ( t )), y en el marco de rotación conjunta sea ( r (t), φ ′ (t) ). Debido a que el marco de rotación conjunta gira a la misma velocidad que la partícula, dφ ′ / dt = 0. La fuerza centrífuga ficticia en el marco de rotación conjunta es mrΩ ² , radialmente hacia afuera. La velocidad de la partícula en el marco de co-rotación también es radialmente hacia afuera, porque dφ ′ / dt = 0. La fuerza ficticia de Coriolispor lo tanto, tiene un valor de −2 m ( dr / dt ) Ω, apuntado en la dirección de aumentar φ solo. Así, usando estas fuerzas en la segunda ley de Newton encontramos:

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {cf}} + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {Cor}} = m {\ ddot {\ boldsymbol {r}}} \,}

donde sobre puntos representan diferenciaciones de tiempo, y F es la fuerza real neta (en oposición a las fuerzas ficticias). En términos de componentes, esta ecuación vectorial se convierte en:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} F_ {r} + mr \ Omega ^ {2} & = m {\ ddot {r}} \\ F _ {\ varphi} -2m {\ dot {r}} \ Omega & = mr {\ ddot {\ varphi}} \, \ end {alineado}}}

que puede compararse con las ecuaciones para el marco inercial:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} F_ {r} & = m {\ ddot {r}} - mr {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \\ F _ {\ varphi} & = mr {\ ddot {\ varphi}} + 2m {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \. \ end {alineado}}}

Esta comparación, más el reconocimiento de que mediante la definición del marco de rotación conjunta en el tiempo t tiene una velocidad de rotación Ω = dφ / dt , muestra que podemos interpretar los términos en la aceleración (multiplicado por la masa de la partícula) tal como se encuentra en el marco inercial como el negativo de las fuerzas centrífugas y de Coriolis que se verían en el marco co-rotatorio instantáneo, no inercial.

Para el movimiento general de una partícula (a diferencia del movimiento circular simple), las fuerzas centrífugas y de Coriolis en el marco de referencia de una partícula se refieren comúnmente al círculo de oscilacióninstantáneo de su movimiento, no a un centro fijo de coordenadas polares. Para más detalles, ver Fuerza centrípeta .

Geometría diferencial [ editar ]

En la terminología moderna de la geometría diferencial , las coordenadas polares proporcionan gráficos de coordenadas para la variedad diferenciable ℝ ² \ {(0,0)}, el plano menos el origen. En estas coordenadas, el tensor métrico euclidiano está dado por

$$$${\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2}.}

Esto se puede ver a través de la fórmula de cambio de variables para el tensor métrico, o calculando las formas diferenciales dx , dy mediante la derivada exterior de las formas 0 x = r cos (θ), y = r sin (θ) y sustituyendo ellos en el tensor métrico euclídeo ds ² = dx ² + dy ² . Un marco ortonormal con respecto a esta métrica está dado por

$$$${\ displaystyle e_ {r} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}}, \ quad e _ {\ theta} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}},}

con doble coframe

$$$${\ displaystyle e ^ {r} = dr, \ quad e ^ {\ theta} = rd \ theta.}

La forma de conexión relativa a este marco y la conexión de Levi-Civita viene dada por la matriz de simetría sesgada de 1-formas

{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} 0 & -d \ theta \\ d \ theta & 0 \ end {pmatrix}}}

y por lo tanto, la forma de curvatura Ω = dω + ω∧ω se desvanece de manera idéntica. Por lo tanto, como se esperaba, el plano pinchado es una variedad plana .

Extensiones en 3D [ editar ]

El sistema de coordenadas polares se extiende en tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes, el sistema de coordenadas cilíndrico y esférico .

Aplicaciones [ editar ]

Las coordenadas polares son bidimensionales y, por lo tanto, solo se pueden usar donde las posiciones de los puntos se encuentran en un plano bidimensional único. Son los más apropiados en cualquier contexto en el que el fenómeno que se considera está inherentemente vinculado a la dirección y la longitud desde un punto central. Por ejemplo, los ejemplos anteriores muestran cómo las ecuaciones polares elementales son suficientes para definir curvas, como la espiral arquimediana, cuya ecuación en el sistema de coordenadas cartesiano sería mucho más intrincada. Además, muchos sistemas físicos, como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central o con fenómenos que se originan desde un punto central, son más simples e intuitivos de modelar utilizando coordenadas polares. La motivación inicial para la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y orbital..

Posición y navegación [ editar ]

Las coordenadas polares se utilizan a menudo en la navegación, ya que el destino o la dirección del viaje se pueden dar como un ángulo y una distancia desde el objeto que se considera. Por ejemplo, las aeronaves utilizan una versión ligeramente modificada de las coordenadas polares para la navegación. En este sistema, el que generalmente se usa para cualquier tipo de navegación, el rayo de 0 ° generalmente se llama rumbo 360, y los ángulos continúan en el sentido de las agujas del reloj , en lugar de en sentido contrario a las agujas del reloj, como en el sistema matemático. La partida 360 corresponde al norte magnético , mientras que las partidas 90, 180 y 270 corresponden al este, sur y oeste magnéticos, respectivamente. ^[20]Por lo tanto, una aeronave que recorre 5 millas náuticas hacia el este viajará 5 unidades en la partida 90 (lea cero niner-cero en el control de tráfico aéreo ). ^[21]

Modelado [ editar ]

Los sistemas que muestran simetría radial proporcionan ajustes naturales para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como el polo. Un buen ejemplo de este uso es la ecuación del flujo de agua subterránea cuando se aplica a pozos radialmente simétricos. Los sistemas con una fuerza radial también son buenos candidatos para el uso del sistema de coordenadas polares. Estos sistemas incluyen campos gravitacionales , que obedecen la ley del cuadrado inverso , así como sistemas con fuentes puntuales , como antenas de radio .

Los sistemas radialmente asimétricos también pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo, un micrófono 's patrón de captación ilustra su respuesta proporcional a un sonido entrante de una dirección dada, y estos patrones se puede representar como curvas polares. La curva para un micrófono cardioide estándar, el micrófono unidireccional más común, se puede representar como r = 0.5 + 0.5sin ( ϕ ) en su frecuencia de diseño objetivo. ^[22] El patrón se desplaza hacia la omnidireccionalidad a frecuencias más bajas.