SISTEMAS DE COORDENADAS

coordenadas de línea se usan para especificar la posición de una línea, así como las coordenadas de punto (o simplemente las coordenadas ) se usan para especificar la posición de un punto.

Líneas en el plano [ editar ]

Hay varias formas posibles de especificar la posición de una línea en el plano. Una forma simple es por el par ( m , b ) donde la ecuación de la línea es y  = mx  +  b . Aquí m es la pendiente y b es el intercepto y . Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas que no son verticales. Sin embargo, es más común y más simple algebraicamente usar coordenadas ( l , m ) donde la ecuación de la recta es lx  +  my + 1 = 0. Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas, excepto aquellas que pasan por el origen. Las interpretaciones geométricas de l y m son los recíprocos negativos de las intersecciones x e y respectivamente.

La exclusión de las líneas que pasan por el origen se puede resolver utilizando un sistema de tres coordenadas ( l , m , n ) para especificar la línea en la cual la ecuación, lx  +  my  +  n  = 0. Aquí l y m pueden no ser ambas. 0. en esta ecuación, sólo las proporciones entre l , m y n son significativos, en otras palabras si las coordenadas se multiplican por un escalar no nulo entonces representado línea sigue siendo el mismo. Entonces ( l , m , n ) es un sistema deCoordenadas homogéneas para la línea.

Si los puntos en el plano proyectivo real están representados por coordenadas homogéneas ( x , y , z ) , la ecuación de la línea es lx  +  my  +  nz  = 0, siempre ( l , m , n ) ≠ (0,0,0) . En particular, la coordenada de línea (0, 0, 1) representa la línea z  = 0, que es la línea en el infinito en el plano proyectivo . Las coordenadas de línea (0, 1, 0) y (1, 0, 0) representan la xy y -axes respectivamente.

Ecuaciones tangenciales [ editar ]

Así como f ( x ,  y ) = 0 puede representar una curva como un subconjunto de los puntos en el plano, la ecuación φ ( l ,  m ) = 0 representa un subconjunto de las líneas en el plano. El conjunto de líneas en el plano puede, en un sentido abstracto, ser considerado como el conjunto de puntos en un plano proyectivo, el dual del plano original. La ecuación φ ( l ,  m ) = 0 representa una curva en el plano dual.

Para una curva f ( x ,  y ) = 0 en el plano, las tangentes a la curva forman una curva en el espacio dual llamada curva dual . Si φ ( l ,  m ) = 0 es la ecuación de la curva dual, entonces se llama ecuación tangencial , para la curva original. Una ecuación dada φ ( l ,  m ) = 0 representa una curva en el plano original determinada como la envolvente de las líneas que satisfacen esta ecuación. De manera similar, si φ ( l ,  m ,  n ) es una función homogénea, entonces φ ( l,  m ,  n ) = 0 representa una curva en el espacio dual dado en coordenadas homogéneas, y puede denominarse ecuación tangencial homogénea de la curva envuelta.

Las ecuaciones tangenciales son útiles en el estudio de curvas definidas como envolventes, así como las ecuaciones cartesianas son útiles en el estudio de curvas definidas como loci.

Ecuación tangencial de un punto [ editar ]

Una ecuación lineal en coordenadas de línea tiene la forma al  +  bm  +  c  = 0, donde a , b y c son constantes. Supongamos que ( l ,  m ) es una línea que satisface esta ecuación. Si c no es 0, entonces lx  +  mi  + 1 = 0, donde x  =  un / c y y  =  b / c , por lo que cada línea que satisface la ecuación original pasa a través del punto ( x,  y ). Por el contrario, cualquier línea a través de ( x,  y ) satisface la ecuación original, por lo que al  +  bm  +  c  = 0 es la ecuación del conjunto de líneas a través de ( x ,  y ). Para un punto dado ( x ,  y ), la ecuación del conjunto de líneas es lx  +  my  + 1 = 0, por lo que se puede definir como la ecuación tangencial del punto. De manera similar, para un punto ( x ,  y ,  z ) dado en coordenadas homogéneas, la ecuación del punto en coordenadas tangenciales homogéneas es lx  +  my  +  nz  = 0.

Fórmulas [ editar ]

La intersección de las líneas ( l ₁ ,  m ₁ ) y ( l ₂ ,  m ₂ ) es la solución a las ecuaciones lineales.

$${\ displaystyle l_ {1} x + m_ {1} y + 1 = 0}

$${\ displaystyle l_ {2} x + m_ {2} y + 1 = 0.}

Por la regla de Cramer , la solución es

$${\ displaystyle x = {\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}, \, y = - {\ frac {l_ {1} -l_ {2}} {l_ {1} m_ {2} -l_ {2} m_ {1}}}.}

Las líneas ( l ₁ ,  m ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ) y ( l ₃ ,  m ₃ ) son concurrentes cuando el determinante

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & 1 \\ l_ {2} & m_ {2} & 1 \\ l_ {3} & m_ {3} & 1 \ end {vmatrix}} = 0.}

Para coordenadas homogéneas, la intersección de las líneas ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ) y ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) es

$${\ displaystyle (m_ {1} n_ {2} -m_ {2} n_ {1}, \, l_ {2} n_ {1} -l_ {1} n_ {2}, \, l_ {1} m_ { 2} -l_ {2} m_ {1}).}

Las líneas ( l ₁ ,  m ₁ ,  n ₁ ), ( l ₂ ,  m ₂ ,  n ₂ ) y ( l ₃ ,  m ₃ ,  n ₃ ) son concurrentes cuando el determinante

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l_ {1} & m_ {1} & n_ {1} \\ l_ {2} & m_ {2} & n_ {2} \\ l_ {3} & m_ {3} & n_ {3} \ end {vmatrix}} = 0.}

Dualmente, las coordenadas de la línea que contiene ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ) son

$${\ displaystyle (y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2}, \, x_ {1} y_ { 2} -x_ {2} y_ {1}).}

Líneas en el espacio tridimensional [ editar ]

Artículo principal: coordenadas Plücker

Para dos puntos dados en el plano proyectivo real , ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ), los tres determinantes

$${\ displaystyle y_ {1} z_ {2} -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {2} z_ {1} -x_ {1} z_ {2}, \, x_ {1} y_ {2 } -x_ {2} y_ {1}}

Determinar la línea proyectiva que los contiene.

De manera similar, para dos puntos en RP ³ , ( x ₁ ,  y ₁ ,  z ₁ ,  w ₁ ) y ( x ₂ ,  y ₂ ,  z ₂ ,  w ₂ ), la línea que los contiene está determinada por los seis determinantes

$${\ displaystyle x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}, \, x_ {1} z_ {2} -x_ {1} z_ {2}, \, y_ {1} z_ {2 } -y_ {2} z_ {1}, \, x_ {1} w_ {2} -x_ {2} w_ {1}, \, y_ {1} w_ {2} -y_ {2} w_ {1} , \, z_ {1} w_ {2} -z_ {2} w_ {1}.}

Esta es la base para un sistema de coordenadas de línea homogéneas en un espacio tridimensional llamado coordenadas Plücker . Seis números en un conjunto de coordenadas solo representan una línea cuando satisfacen una ecuación adicional. Este sistema mapea el espacio de líneas en el espacio tridimensional al espacio proyectivo RP ⁵ , pero con el requisito adicional, el espacio de líneas corresponde al cuadriculado de Klein , que es una variedad de dimensión cuatro.

Más generalmente, las líneas en el espacio proyectivo n- dimensional están determinadas por un sistema de n ( n - 1) / 2 coordenadas homogéneas que satisfacen un conjunto de ( n  - 2) ( n  - 3) / 2 condiciones, lo que resulta en una variedad de dimensión 2 ( n  - 1).

Con números complejos [ editar ]

Isaak Yaglom ha demostrado ^[1] cómo los números duales proporcionan coordenadas para las líneas orientadas en el plano euclidiano, y los números de complejo dividido forman coordenadas de línea para el plano hiperbólico. Las coordenadas dependen de la presencia de un origen y una línea de referencia en él. Luego, dada una línea arbitraria, sus coordenadas se encuentran desde la intersección con la línea de referencia. Se utilizan la distancia s desde el origen hasta la intersección y el ángulo incl de inclinación entre las dos líneas:

$${\ displaystyle z = (\ tan {\ frac {\ theta} {2}}) (1 + s \ epsilon)}es el número dual ^[1] : 81 para una línea euclidiana, y

$${\ displaystyle z = (\ tan {\ frac {\ theta} {2}}) (\ cosh s + j \ sinh s)}es el número de complejo dividido ^[1] : 118 para una línea en el plano de Lobachevski.

Como hay líneas ultra paralelas a la línea de referencia en el plano de Lobachevski, también necesitan coordenadas: existe una única perpendicular común , es decir, s es la distancia desde el origen a esta perpendicular, yd es la longitud del segmento entre la referencia y línea dada

$${\ displaystyle z = (\ tanh {\ frac {d} {2}}) (\ sinh s + j \ cosh s)}Denota la línea ultra paralela. ^[1] : 118

Los movimientos de la geometría de línea se describen con transformaciones fraccionales lineales en los planos complejos apropiados.

2 dimensiones [ editar ]

Sean (x, y) las coordenadas cartesianas estándar , y r y θ las coordenadas polares estándar .

A las coordenadas cartesianas [ editar ]

De coordenadas polares [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r \, \ cos \ theta \\ y & = r \, \ sin \ theta \\ {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ theta)}} & = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & -r \, \ sin \ theta \\eta \ theta & r \, \ cos \ theta \ end {pmatrix}} \\\ det {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ theta)}} & = r \ end {alineado}}}

De coordenadas log-polares [ editar ]

Artículo principal: coordenadas log-polares

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = e ^ {\ rho} \ cos \ theta, \\ y & = e {{rho} \ sin \ theta. \ end {alineado}}}

Usando números complejos $${\ displaystyle (x, y) = x + iy '}, la transformación se puede escribir como

$${\ displaystyle x + iy = e ^ {\ rho + i \ theta}}

Es decir, está dada por la función exponencial compleja.

De coordenadas bipolares [ editar ]

Artículo principal: coordenadas bipolares.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = a {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \\ y & = a {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ end {alineado}}}

De coordenadas bipolares de 2 centros [ editar ]

Artículo principal: coordenadas bipolares de dos centros.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = {\ frac {1} {4c}} \ left (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} \ right) \\ y & = \ pm {\ frac {1} {4c}} {\ sqrt {16c ^ {2} r_ {1} ^ {2} - (r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} + 4c ^ { 2}) ^ {2}}} \ end {alineado}}}

De la ecuación de Cesàro [ editar ]

Artículo principal: Ecuación de Cesàro.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ int \ cos \ left [\ int \ kappa (s) \, ds \ right] ds \\ y & = \ int \ sin \ left [\ int \ kappa (s) \, ds \ right] ds \ end {alineado}}}

A coordenadas polares [ editar ]

De coordenadas cartesianas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta ^ {\ prime} & = \ arctan \ left | {\ frac {y} {x}} \ right | \ end {alineado}}}

Nota: resolviendo para $${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}} devuelve el ángulo resultante en el primer cuadrante ({\ displaystyle 0 <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}). Encontrar$${\ displaystyle \ theta}, uno debe referirse a la coordenada cartesiana original, determinar el cuadrante en el cual $${\ displaystyle \ theta} mintiendo (ex (3, -3) [Cartesiano] se encuentra en QIV), luego use lo siguiente para resolver $${\ displaystyle \ theta}:

• por $${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}} en QI:

  $${\ displaystyle \ theta = \ theta ^ {\ prime}}

• por $${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}} en QII:

  $${\ displaystyle \ theta = \ pi - \ theta ^ {\ prime}}

• por $${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}} en QIII:

  $${\ displaystyle \ theta = \ pi + \ theta ^ {\ prime}}

• por $${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime}} en QIV:

  $${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi - \ theta ^ {\ prime}}

El valor para $${\ displaystyle \ theta} debe ser resuelto de esta manera porque para todos los valores de $${\ displaystyle \ theta}, $${\ displaystyle \ tan \ theta} solo se define para {\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <+ {\ frac {\ pi} {2}}}, y es periódica (con punto $${\ displaystyle \ pi}). Esto significa que la función inversa solo dará valores en el dominio de la función, pero restringida a un solo período. Por lo tanto, el rango de la función inversa es solo la mitad de un círculo completo.

Tenga en cuenta que también se puede utilizar

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta ^ {\ prime} & = 2 \ arctan {\ frac {y} {x + r}} \ end {alineado}}}

De coordenadas bipolares de 2 centros [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {\ frac {r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2}} {2}}} \\\ theta & = \ arctan \ left [{\ sqrt {{\ frac {8c ^ {2} (r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2c ^ {2})} {r_ { 1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2}}} - 1}} \ right] \ end {alineado}}}

Donde 2 c es la distancia entre los polos.

Para registrar las coordenadas polares de las coordenadas cartesianas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho & = \ log {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \\ theta & = \ arctan {\ frac {y} {x} }. \ end {alineado}}}

Longitud de arco y la curvatura [ editar ]

En coordenadas cartesianas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ kappa & = {\ frac {x'y '' - y'x ''} {({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ s & = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt {{x '} ^ {2} + {y'} ^ {2}}} \ , dt \ end {alineado}}}

En coordenadas polares [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ kappa & = {\ frac {r ^ {2} +2 {r '} ^ {2} -rr' '} {(r ^ {2} + {r'} ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ s & = \ int _ {a} ^ {\ phi} {\ sqrt {r ^ {2} + {r '} ^ {2} }} \, d \ phi \ end {alineado}}}

3 dimensiones [ editar ]

Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas estándar y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas , con θ el ángulo medido desde el eje + Z (como [1] , consulte las convenciones en coordenadas esféricas ). Como φ tiene un rango de 360 ​​°, se aplican las mismas consideraciones que en las coordenadas polares (bidimensionales) cada vez que se toma un arcotangente. θ tiene un rango de 180 °, que va de 0 ° a 180 °, y no plantea ningún problema cuando se calcula a partir de una arccosina, pero tenga cuidado con una arcotangente.

Si, en la definición alternativa, θ es elegido para funcionar a partir de -90 ° a + 90 °, en dirección opuesta de la definición anterior, se puede encontrar de forma única a partir de un arco seno, pero cuidado de un arccotangent. En este caso, en todas las fórmulas a continuación, todos los argumentos en θ deberían intercambiarse seno y coseno, y como derivado también se intercambiaron más y menos.

Todas las divisiones por cero dan como resultado casos especiales de ser direcciones a lo largo de uno de los ejes principales y, en la práctica, se resuelven más fácilmente mediante observación.

A las coordenadas cartesianas [ editar ]

De coordenadas esféricas [ editar ]

Artículo principal: coordenadas esféricas

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = \ rho \, \ sin \ theta \, \ cos \ phi \\ y & = \ rho \, \ sin \ theta \, \ sin \ phi \\ z & = \ rho \ , \ cos \ theta \\ {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ phi)}} & = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ phi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ phi & - \ rho \ sin \ theta \ sin \ phi \\\ sin \ theta \ sin \ phi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ phi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ phi \\\ cos \ theta & - \ rho \ sin \ theta & 0 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Así que para el elemento de volumen:

$${\ displaystyle dx \; dy \; dz = \ det {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (\ rho, \ theta, \ phi)}} d \ rho \; d \ theta \; d \ phi = \ rho ^ {2} \ sin \ theta \; d \ rho \; d \ theta \; d \ phi}

De coordenadas cilíndricas [ editar ]

Artículo principal: coordenadas cilíndricas.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} x & = r \, \ cos \ theta \\ y & = r \, \ sin \ theta \\ z & = z \, \\ {\ frac {\ partial (x, y, z )} {\ partial (r, \ theta, z)}} & = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta & 0 \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Así que para el elemento de volumen:

$${\ displaystyle dV = dx \; dy \; dz = \ det {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (r, \ theta, z)}} dr \; d \ theta \; dz = r \; dr \; d \ theta \; dz}

A coordenadas esféricas [ editar ]

Artículo principal: coordenadas esféricas

De coordenadas cartesianas [ editar ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)\\\phi &=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)\\{\frac {\partial \left(\rho ,\theta ,\phi \right)}{\partial \left(x,y,z\right)}}&={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\rho ^{2}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Vea también el artículo en atan2 para saber cómo manejar con elegancia algunos casos de borde.

Así que para el elemento:

$${\ displaystyle d \ rho \ d \ theta \ d \ phi = \ det {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ phi)} {\ partial (x, y, z)}} dx \ dy \ dz = {\ frac {1} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} } dx \ dy \ dz}

De coordenadas cilíndricas [ editar ]

Artículo principal: coordenadas cilíndricas.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ rho & = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}} \\\ theta & = \ theta \\\ phi & = \ arctan {\ frac { r} {h}} \\ {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ phi)} {\ partial (r, h, \ phi)}} & = {\ begin {pmatrix} {\ frac { r} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} & {\ frac {h} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} & 0 \\ {\ frac {h} {r ^ {2} + h ^ {2}}} & {\ frac {-r} {r ^ {2} + h ^ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix }} \\\ det {\ frac {\ partial (\ rho, \ theta, \ phi)} {\ partial (r, h, \ phi)}} & = {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}} \ end {alineado}}}

A coordenadas cilíndricas [ editar ]

De coordenadas cartesianas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\\ theta & = \ arctan {\ left ({\ frac {y} {x}} \ right {}}} \\ z & = z \ quad \ end {alineado}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial (r, \ theta, h)} {\ partial (x, y, z)}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}}} & {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} & 0 \\ {\ frac {-y} {x ^ { 2} + y ^ {2}}} & {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

De coordenadas esféricas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} r & = \ rho \ sin \ phi \\ h & = \ rho \ cos \ phi \\\ theta & = \ theta \\ {\ frac {\ partial (r, h, \ theta )} {\ partial (\ rho, \ phi, \ theta)}} & = {\ begin {pmatrix} \ sin \ phi & \ rho \ cos \ phi & 0 \\\ cos \ phi & - \ rho \ sin \ phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ end {pmatrix}} \\\ det {\ frac {\ partial (r, h, \ theta)} {\ partial (\ rho, \ phi, \ theta)}} & = - \ rho \ end {alineado}}}

Longitud de arco, curvatura y torsión de coordenadas cartesianas [ editar ]

{\ displaystyle {\ begin {alineado} s & = \ int _ {0} ^ {t} {\ sqrt {{x '} ^ {2} + {y'} ^ {2} + {z '} ^ {2 }}} \, dt \\ [3pt] \ kappa & = {\ frac {\ sqrt {(z''y'-y''z ') ^ {2} + (x''z'-z' ' x ') ^ {2} + (y''x'-x''y') ^ {2}}} {({x '} ^ {2} + {y'} ^ {2} + {z ' } ^ {2}) ^ {\ frac {3} {2}}}} \\ [3pt] \ tau & = {\ frac {z '' '(x'y' '- y'x' ') + z '' (x '' 'y'-x'y' '') + z '(x''y' '' - x '' 'y')} {({x '} ^ {2} + {y '} ^ {2} + {z'} ^ {2}) ({x ''} ^ {2} + {y ''} ^ {2} + {z ''} ^ {2})} } \ end {alineado}}}