domingo, 28 de abril de 2019

SISTEMAS DE COORDENADAS


coordenadas de línea se usan para especificar la posición de una línea, así como las coordenadas de punto (o simplemente las coordenadas ) se usan para especificar la posición de un punto.

Líneas en el plano editar ]

Hay varias formas posibles de especificar la posición de una línea en el plano. Una forma simple es por el par m , b ) donde la ecuación de la línea es y  = mx  +  b . Aquí m es la pendiente y b es el intercepto y . Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas que no son verticales. Sin embargo, es más común y más simple algebraicamente usar coordenadas l , m ) donde la ecuación de la recta es lx  +  my + 1 = 0. Este sistema especifica coordenadas para todas las líneas, excepto aquellas que pasan por el origen. Las interpretaciones geométricas de l y m son los recíprocos negativos de las intersecciones x e y respectivamente.
La exclusión de las líneas que pasan por el origen se puede resolver utilizando un sistema de tres coordenadas l , m , n ) para especificar la línea en la cual la ecuación, lx  +  my  +  n  = 0. Aquí l y m pueden no ser ambas. 0. en esta ecuación, sólo las proporciones entre l , m y n son significativos, en otras palabras si las coordenadas se multiplican por un escalar no nulo entonces representado línea sigue siendo el mismo. Entonces l , m , n ) es un sistema deCoordenadas homogéneas para la línea.
Si los puntos en el plano proyectivo real están representados por coordenadas homogéneas x , y , z ) , la ecuación de la línea es lx  +  my  +  nz  = 0, siempre l , m , n ) ≠ (0,0,0) . En particular, la coordenada de línea (0, 0, 1) representa la línea z  = 0, que es la línea en el infinito en el plano proyectivo . Las coordenadas de línea (0, 1, 0) y (1, 0, 0) representan la xy -axes respectivamente.

Ecuaciones tangenciales editar ]

Así como f ( x ,  y ) = 0 puede representar una curva como un subconjunto de los puntos en el plano, la ecuación φ ( l ,  m ) = 0 representa un subconjunto de las líneas en el plano. El conjunto de líneas en el plano puede, en un sentido abstracto, ser considerado como el conjunto de puntos en un plano proyectivo, el dual del plano original. La ecuación φ ( l ,  m ) = 0 representa una curva en el plano dual.
Para una curva f ( x ,  y ) = 0 en el plano, las tangentes a la curva forman una curva en el espacio dual llamada curva dual . Si φ ( l ,  m ) = 0 es la ecuación de la curva dual, entonces se llama ecuación tangencial , para la curva original. Una ecuación dada φ ( l ,  m ) = 0 representa una curva en el plano original determinada como la envolvente de las líneas que satisfacen esta ecuación. De manera similar, si φ ( l ,  m ,  n ) es una función homogénea, entonces φ ( l,  m ,  n ) = 0 representa una curva en el espacio dual dado en coordenadas homogéneas, y puede denominarse ecuación tangencial homogénea de la curva envuelta.
Las ecuaciones tangenciales son útiles en el estudio de curvas definidas como envolventes, así como las ecuaciones cartesianas son útiles en el estudio de curvas definidas como loci.

Ecuación tangencial de un punto editar ]

Una ecuación lineal en coordenadas de línea tiene la forma al  +  bm  +  c  = 0, donde a , b y c son constantes. Supongamos que ( l ,  m ) es una línea que satisface esta ecuación. Si c no es 0, entonces lx  +  mi  + 1 = 0, donde x  =  un / c y y  =  b / c , por lo que cada línea que satisface la ecuación original pasa a través del punto ( x,  y ). Por el contrario, cualquier línea a través de ( x,  y ) satisface la ecuación original, por lo que al  +  bm  +  c  = 0 es la ecuación del conjunto de líneas a través de ( x ,  y ). Para un punto dado ( x ,  y ), la ecuación del conjunto de líneas es lx  +  my  + 1 = 0, por lo que se puede definir como la ecuación tangencial del punto. De manera similar, para un punto ( x ,  y ,  z ) dado en coordenadas homogéneas, la ecuación del punto en coordenadas tangenciales homogéneas es lx  +  my  +  nz  = 0.

Fórmulas editar ]

La intersección de las líneas ( 1 ,  1 ) y ( 2 ,  2 ) es la solución a las ecuaciones lineales.
Por la regla de Cramer , la solución es
Las líneas ( 1 ,  1 ), ( 2 ,  2 ) y ( 3 ,  3 ) son concurrentes cuando el determinante
Para coordenadas homogéneas, la intersección de las líneas ( 1 ,  1 ,  1 ) y ( 2 ,  2 ,  2 ) es
Las líneas ( 1 ,  1 ,  1 ), ( 2 ,  2 ,  2 ) y ( 3 ,  3 ,  3 ) son concurrentes cuando el determinante
Dualmente, las coordenadas de la línea que contiene ( 1 ,  1 ,  1 ) y ( 2 ,  2 ,  2 ) son

Líneas en el espacio tridimensional editar ]

Para dos puntos dados en el plano proyectivo real , ( 1 ,  1 ,  1 ) y ( 2 ,  2 ,  2 ), los tres determinantes
Determinar la línea proyectiva que los contiene.
De manera similar, para dos puntos en RP 3 , ( 1 ,  1 ,  1 ,  1 ) y ( 2 ,  2 ,  2 ,  2 ), la línea que los contiene está determinada por los seis determinantes
Esta es la base para un sistema de coordenadas de línea homogéneas en un espacio tridimensional llamado coordenadas Plücker . Seis números en un conjunto de coordenadas solo representan una línea cuando satisfacen una ecuación adicional. Este sistema mapea el espacio de líneas en el espacio tridimensional al espacio proyectivo RP 5 , pero con el requisito adicional, el espacio de líneas corresponde al cuadriculado de Klein , que es una variedad de dimensión cuatro.
Más generalmente, las líneas en el espacio proyectivo n- dimensional están determinadas por un sistema de n ( n - 1) / 2 coordenadas homogéneas que satisfacen un conjunto de ( n  - 2) ( n  - 3) / 2 condiciones, lo que resulta en una variedad de dimensión 2 ( n  - 1).

Con números complejos editar ]

Isaak Yaglom ha demostrado [1] cómo los números duales proporcionan coordenadas para las líneas orientadas en el plano euclidiano, y los números de complejo dividido forman coordenadas de línea para el plano hiperbólicoLas coordenadas dependen de la presencia de un origen y una línea de referencia en él. Luego, dada una línea arbitraria, sus coordenadas se encuentran desde la intersección con la línea de referencia. Se utilizan la distancia s desde el origen hasta la intersección y el ángulo incl de inclinación entre las dos líneas:
es el número dual [1] : 81 para una línea euclidiana, y
es el número de complejo dividido [1] : 118 para una línea en el plano de Lobachevski.
Como hay líneas ultra paralelas a la línea de referencia en el plano de Lobachevski, también necesitan coordenadas: existe una única perpendicular común , es decir, s es la distancia desde el origen a esta perpendicular, yd es la longitud del segmento entre la referencia y línea dada
Denota la línea ultra paralela. [1] : 118

Los movimientos de la geometría de línea se describen con transformaciones fraccionales lineales en los planos complejos apropiados.


2 dimensiones editar ]

Sean (x, y) las coordenadas cartesianas estándar , y r y θ las coordenadas polares estándar .

A las coordenadas cartesianas editar ]

De coordenadas polares editar ]

De coordenadas log-polares editar ]

Usando números complejos , la transformación se puede escribir como
Es decir, está dada por la función exponencial compleja.

De coordenadas bipolares editar ]

De coordenadas bipolares de 2 centros editar ]

De la ecuación de Cesàro editar ]

A coordenadas polares editar ]

De coordenadas cartesianas editar ]

Nota: resolviendo para  devuelve el ángulo resultante en el primer cuadrante (). Encontrar, uno debe referirse a la coordenada cartesiana original, determinar el cuadrante en el cual  mintiendo (ex (3, -3) [Cartesiano] se encuentra en QIV), luego use lo siguiente para resolver :
  • por  en QI:
  • por  en QII:
  • por  en QIII:
  • por  en QIV:
El valor para  debe ser resuelto de esta manera porque para todos los valores de  solo se define para , y es periódica (con punto ). Esto significa que la función inversa solo dará valores en el dominio de la función, pero restringida a un solo período. Por lo tanto, el rango de la función inversa es solo la mitad de un círculo completo.
Tenga en cuenta que también se puede utilizar

De coordenadas bipolares de 2 centros editar ]

Donde 2 c es la distancia entre los polos.

Para registrar las coordenadas polares de las coordenadas cartesianas editar ]

Longitud de arco y la curvatura editar ]

En coordenadas cartesianas editar ]

En coordenadas polares editar ]

3 dimensiones editar ]

Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas estándar y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas , con θ el ángulo medido desde el eje + Z (como [1] , consulte las convenciones en coordenadas esféricas ). Como φ tiene un rango de 360 ​​°, se aplican las mismas consideraciones que en las coordenadas polares (bidimensionales) cada vez que se toma un arcotangente. θ tiene un rango de 180 °, que va de 0 ° a 180 °, y no plantea ningún problema cuando se calcula a partir de una arccosina, pero tenga cuidado con una arcotangente.
Si, en la definición alternativa, θ es elegido para funcionar a partir de -90 ° a + 90 °, en dirección opuesta de la definición anterior, se puede encontrar de forma única a partir de un arco seno, pero cuidado de un arccotangent. En este caso, en todas las fórmulas a continuación, todos los argumentos en θ deberían intercambiarse seno y coseno, y como derivado también se intercambiaron más y menos.
Todas las divisiones por cero dan como resultado casos especiales de ser direcciones a lo largo de uno de los ejes principales y, en la práctica, se resuelven más fácilmente mediante observación.

A las coordenadas cartesianas editar ]

De coordenadas esféricas editar ]

Así que para el elemento de volumen:

De coordenadas cilíndricas editar ]

Así que para el elemento de volumen:

A coordenadas esféricas editar ]

De coordenadas cartesianas editar ]

Vea también el artículo en atan2 para saber cómo manejar con elegancia algunos casos de borde.
Así que para el elemento:

De coordenadas cilíndricas editar ]

A coordenadas cilíndricas editar ]

De coordenadas cartesianas editar ]

De coordenadas esféricas editar ]

Longitud de arco, curvatura y torsión de coordenadas cartesianas editar ]

No hay comentarios:

Publicar un comentario