SISTEMAS DE COORDENADAS

Las coordenadas sinérgicas es el intento de Clifford Nelson de describir, desde otro punto de vista matemático, el "sistema de coordenadas de 60 grados" de Buckminster Fuller para comprender la naturaleza. Sinergética es la palabra que Fuller utiliza para etiquetar su enfoque de las matemáticas . 

Definición geométrica [ editar ]

Un sistema de coordenadas sinérgicas usa solo un tipo de simplex ( triángulo , tetraedro , pentacorón , ..., n-simplex) como unidades espaciales , y de hecho usa un simple simplex , como las coordenadas cartesianas usan hipercubos ( cuadrado , cubo , tesseract) , ..., n-cubo.)

Coordenadas sinergéticas en dos dimensiones.

Los n ejes de coordenadas de Synergetics son perpendiculares a los n objetos geométricos que definen un símplex regular; 2 puntos finales para segmentos de línea, 3 líneas para triángulos, 4 planos para tetraedros, etc. Los ángulos entre las direcciones de los ejes de coordenadas son Coseno de Arco (-1 / (n-1)). Las coordenadas pueden ser positivas o negativas o cero y también su suma. La suma de las n coordenadas es la longitud del borde del simplex regular definido moviendo los n objetos geométricos en incrementos de la altura del simplex regular dimensional n-1 que tiene una longitud de borde de uno. Si la suma de las n coordenadas es negativa, el triángulo (n = 3) o el tetraedro (n = 4) está al revés y al revés.

Ejemplos algebraicos [ editar ]

Las coordenadas triangulares regulares están en una cuadrícula de triángulos equiláteros y tienen la forma$${\ displaystyle (x, y, z)} tal que $${\ displaystyle x, y, z} son iguales o mayores que 0.

Las coordenadas tetraédricas regulares están en una 'cuadrícula' euclidiana de 3 espacios de tetraedros equiláteros y tienen la forma$${\ displaystyle (w, x, y, z)} tal que $${\ displaystyle w, x, y, z} son iguales o mayores que 0.

Las coordenadas de Talairach , también conocidas como espacio de Talairach , son un sistema de coordenadas tridimensional (conocido como 'atlas') del cerebro humano, que se utiliza para mapear la ubicación de las estructuras cerebrales independientemente de las diferencias individuales en el tamaño y la forma general de el cerebro. Todavía es común utilizar las coordenadas de Talairach en los estudios funcionales de imágenes cerebrales y dirigirse a la estimulación transcraneal de las regiones del cerebro. ^[1] Sin embargo, los métodos alternativos, como el Sistema de coordenadas MNI originado en el Instituto y Hospital Neurológico de Montreal, han reemplazado en gran medida a Talairach por estereotaxia y otros procedimientos.

Historia [ editar ]

El sistema de coordenadas fue creado por primera vez por los neurocirujanos Jean Talairach y Gabor Szikla en su trabajo sobre el Atlas de Talairach en 1967, creando una red estandarizada para la neurocirugía. ^[3] La cuadrícula se basó en la idea de que las distancias a las lesiones en el cerebro son proporcionales al tamaño general del cerebro (es decir, la distancia entre dos estructuras es mayor en un cerebro más grande). En 1988 salió una segunda edición del Atlas de Talairach que fue coautada por Tournoux, y en ocasiones se conoce como el sistema de Talairach-Tournoux. Este atlas se basaba en una única disección post mortem de un cerebro humano. ^[4]

El Atlas de Talairach utiliza las áreas de Brodmann como etiquetas para las regiones del cerebro. ^[5]

Descripción [ editar ]

El sistema de coordenadas de Talairach se define mediante dos anclajes, la comisura anterior y la comisura posterior , que se encuentran en una línea recta horizontal. ^[6] Como estos dos puntos se encuentran en el plano medioagital, el sistema de coordenadas se define completamente al requerir que este plano sea vertical. Las distancias en las coordenadas de Talairach se miden desde la comisura anterior como el origen (como se define en la edición de 1998). Los puntos del eje y posteriores y anteriores a las comisuras, el izquierdo y el derecho son los ejes x, y el eje z está en las direcciones ventral-dorsal (hacia abajo y hacia arriba). ^[7]Una vez que el cerebro se reorienta hacia estos ejes, los investigadores también deben delinear los seis contornos corticales del cerebro: anterior, posterior, izquierdo, derecho, inferior y superior. ^[8] En el atlas de 1967, la izquierda es con coordenadas positivas mientras que en el atlas de 1988, la izquierda tiene coordenadas negativas.

Al definir puntos de referencia anatómicos estándar que podrían identificarse en diferentes sujetos (las comisuras anterior y posterior), se hizo más fácil deformar espacialmente una imagen cerebral individual obtenida a través de imágenes de resonancia magnética (IRM), tomografía por emisión de positrones (PET) y otros métodos de imagen para Este espacio estándar de Talairach. Luego se pueden hacer inferencias sobre la identidad del tejido en una ubicación específica refiriéndose al atlas.

Conversión a otros sistemas de coordenadas [ editar ]

Otro atlas común para el cerebro humano es el sistema de coordenadas del Hospital y Hospital Neurológico de Montreal (MNI), que es la plantilla utilizada para la GDS y el Consorcio Internacional para el Mapeo Cerebral. La mayoría de los paquetes de software de neuroimagen pueden convertir de Talairach a coordenadas MNI.

Toroidal y poloidal

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

Este artículo es sobre coordenadas toroidales y poloidales. Para campos vectoriales toroidales y poloidales, consulte Descomposición poloidal-toroidal .

Un diagrama que representa el poloidal ($${\ displaystyle \ theta}) dirección, representada por la flecha roja, y la toroidal ($${\ displaystyle \ zeta} o $${\ displaystyle \ phi}) Dirección, representada por la flecha azul.

El uso más antiguo de estos términos citados por el Oxford English Dictionary (OED) es de Walter M. Elsasser (1946) en el contexto de la generación del campo magnético de la Tierra por corrientes en el núcleo, con "toroidal" paralela a las líneas de la latitud y "poloidal" están en la dirección del campo magnético (es decir, hacia los polos).

La OED también registra el uso posterior de estos términos en el contexto de plasmas confinados toroidalmente, como se encuentra en la fusión por confinamiento magnético . En el contexto de plasma, la dirección toroidal es el camino largo alrededor del toro, la coordenada correspondiente se denota por z en la aproximación de la losa o$${\ displaystyle \ zeta} o $${\ displaystyle \ phi}en coordenadas magnéticas; la dirección poloidal es el camino corto alrededor del toro, la coordenada correspondiente se denota por y en la aproximación de la losa o$${\ displaystyle \ theta}en coordenadas magneticas. (La tercera dirección, normal a las superficies magnéticas, a menudo se denomina "dirección radial", denotada por x en la aproximación de la losa y de diversas maneras$${\ displaystyle \ psi}, $${\ displaystyle \ chi}, R ,$${\ displaystyle \ rho}, o s en coordenadas magnéticas.)

Toroidal y coordenadas poloidales [ editar ]

Como un ejemplo simple de la física de los plasmas confinados magnéticamente, considere un sistema de simetría axial con superficies circulares, magnéticas de flujo magnético de radio. $${\ displaystyle r} (una aproximación cruda a la geometría del campo magnético en un [Tokamak] temprano pero topológicamente equivalente a cualquier sistema de confinamiento magnético toroidal con superficies de flujo anidadas) y denota el ángulo toroidal por $${\ displaystyle \ zeta} y el ángulo poloidal por $${\ displaystyle \ theta}. Luego, el sistema de coordenadas toroidal / poloidal se relaciona con las coordenadas cartesianas estándar mediante estas reglas de transformación:

$${\ displaystyle x = (R_ {0} + r \ cos \ theta) \ cos \ zeta}

$${\ displaystyle y = s _ {\ zeta} (R_ {0} + r \ cos \ theta) \ sin \ zeta}

$${\ displaystyle z = s _ {\ theta} r \ sin \ theta.}

dónde $${\ displaystyle s _ {\ theta} = \ pm 1, s _ {\ zeta} = \ pm 1}.

La elección natural geométricamente es tomar$${\ displaystyle s _ {\ theta} = s _ {\ zeta} = + 1}, dando las direcciones toroidales y poloidales mostradas por las flechas en la figura de arriba, pero esto hace que $${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}Un sistema de coordenadas curvilíneas para zurdos. Como se suele asumir en la configuración de coordenadas de flujo para describir plasmas confinados magnéticamente que el conjunto$${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}forma un sistema de coordenadas a la derecha ,{\ displaystyle \ nabla r \ cdot \ nabla \ theta \ times \ nabla \ zeta> 0}, debemos revertir la dirección poloidal tomando $${\ displaystyle s _ {\ theta} = - 1, s _ {\ zeta} = + 1}, o invertir la dirección toroidal tomando $${\ displaystyle s _ {\ theta} = + 1, s _ {\ zeta} = - 1}. Ambas opciones se utilizan en la literatura.

Cinemática en coordenadas toroidales y poloidales [ editar ]

Para estudiar el movimiento de partículas individuales en dispositivos de plasma toroidalmente confinados, se deben conocer los vectores de velocidad y aceleración. Teniendo en cuenta la elección natural$${\ displaystyle s _ {\ theta} = s _ {\ zeta} = + 1}, los vectores unitarios del sistema de coordenadas toroidal y poloidal. $${\ displaystyle \ left (r, \ theta, \ zeta \ right)} se puede expresar como:

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ cos \ zeta \\\ cos \ theta \ sin \ zeta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ theta \ cos \ zeta \\ - \ sin \ theta \ sin \ zeta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {\ zeta} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ zeta \\\ cos \ zeta \\ 0 \ end {pmatrix}}}

Según coordenadas cartesianas. El vector de posición se expresa como:

$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ left (r + R_ {0} \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {r} -R_ {0} \ sin \ theta \ mathbf {e} _ { \ theta}}

El vector de velocidad es entonces dado por:

$${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} = {\ dot {r}} \ mathbf {e} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ dot {\ zeta}} \ left (R_ {0} + r \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {\ zeta}}

y el vector de aceleración es:

$${\ displaystyle \ mathbf {\ ddot {r}} = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} -r {\ dot {\ zeta}} ^ {2 } \ cos ^ {2} \ theta -R_ {0} {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {r}}

$${\ displaystyle + \ left (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} + r {\ ddot {\ theta}} + r {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta + R_ {0} {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ sin \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {\ theta}}

$${\ displaystyle + \ left (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ zeta}} \ cos \ theta -2r {\ dot {\ theta}} {\ dot {\ zeta}} \ sin \ theta + {\ ddot {\ zeta}} \ left (R_ {0} + r \ cos \ theta \ right) \ right) \ mathbf {e} _ {\ zeta}}

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Saltar a navegaciónSaltar a búsqueda

Ilustración de coordenadas toroidales, que se obtienen al girar un sistema de coordenadas bipolar bidimensional alrededor del eje que separa sus dos focos. Los focos se ubican a una distancia 1 del eje z vertical . La esfera roja es la isosuperficie σ = 30 °, el toro azul es la isosuperficie τ = 0.5, y el semiplano amarillo es la isosuperficie φ = 60 °. El semiplano verde marca el plano x - z , desde el cual se mide φ. El punto negro se encuentra en la intersección de las isosuperficies roja, azul y amarilla, en las coordenadas cartesianas aproximadamente (0.996, −1.725, 1.911).

Las coordenadas toroidales son un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional que resulta de rotar el sistema de coordenadas bipolarbidimensional alrededor del eje que separa sus dos focos. Así, los dos focos. $${\ displaystyle F_ {1}} y $${\ displaystyle F_ {2}}En coordenadas bipolares se convierte en un anillo de radio.$${\ displaystyle a} en el $${\ displaystyle xy}plano del sistema de coordenadas toroidal; la$${\ displaystyle z}-El eje es el eje de rotación. El anillo focal también se conoce como el círculo de referencia.

Definición [ editar ]

La definición más común de coordenadas toroidales $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)} es

$${\ displaystyle x = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ cos \ phi}

$${\ displaystyle y = a \ {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \ sin \ phi}

$${\ displaystyle z = a \ {\ frac {\ sin \ sigma} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}

donde el $${\ displaystyle \ sigma} coordenada de un punto $${\ displaystyle P} es igual al ángulo $${\ displaystyle F_ {1} PF_ {2}} y el $${\ displaystyle \ tau}coordenada es igual al logaritmo naturalde la relación de las distancias$${\ displaystyle d_ {1}} y $${\ displaystyle d_ {2}} a lados opuestos del anillo focal

$${\ displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}.}

Los rangos de coordenadas son {\ displaystyle - \ pi <\ sigma \ leq \ pi} y $${\ displaystyle \ tau \ geq 0} y {\ displaystyle 0 \ leq \ phi <2 font="" pi.="">

Coordinar superficies [ editar ]

La rotación de este sistema de coordenadas bipolarbidimensional sobre el eje vertical produce el sistema de coordenadas toroidal tridimensional anterior. Un círculo en el eje vertical se convierte en la esfera roja , mientras que un círculo en el eje horizontal se convierte en el toro azul .

Superficies de constante. $${\ displaystyle \ sigma} Corresponden a esferas de diferentes radios.

$${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) + \ left (za \ cot \ sigma \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ sigma}}}

Que todos pasan por el anillo focal pero no son concéntricos. Las superficies de constante.$${\ displaystyle \ tau} Son toros no intersecantes de diferentes radios.

$${\ displaystyle z ^ {2} + \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - a \ coth \ tau \ right) ^ {2} = {\ frac {a ^ { 2}} {\ sinh ^ {2} \ tau}}}

Que rodean el anillo focal. Los centros de la constante$${\ displaystyle \ sigma} las esferas se encuentran a lo largo del $${\ displaystyle z}-axis, mientras que la constante-$${\ displaystyle \ tau} tori se centran en el $${\ displaystyle xy} avión.

Transformación inversa [ editar ]

Las coordenadas (σ, τ, φ) se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal φ viene dado por la fórmula

$${\ displaystyle \ tan \ phi = {\ frac {y} {x}}}

El radio cilíndrico ρ del punto P está dado por

$${\ displaystyle \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}

y sus distancias a los focos en el plano definido por φ están dadas por

$${\ displaystyle d_ {1} ^ {2} = (\ rho + a) ^ {2} + z ^ {2}}

$${\ displaystyle d_ {2} ^ {2} = (\ rho -a) ^ {2} + z ^ {2}}

Interpretación geométrica de las coordenadas σ y τ de un punto P . Observadas en el plano del ángulo acimutal constante φ, las coordenadas toroidales son equivalentes a las coordenadas bipolares . El ángulo σ está formado por los dos focos en este plano y P , mientras que τ es el logaritmo de la relación de distancias a los focos. Los círculos correspondientes de la constante σ y τ se muestran en rojo y azul, respectivamente, y se encuentran en ángulos rectos (caja magenta); son ortogonales.

La coordenada τ es igual al logaritmo natural de las distancias focales

$${\ displaystyle \ tau = \ ln {\ frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}

mientras que la coordenada σ es igual al ángulo entre los rayos y los focos, que puede determinarse a partir de la ley de los cosenos

$${\ displaystyle \ cos \ sigma = - {\ frac {4a ^ {2} -d_ {1} ^ {2} -d_ {2} ^ {2}} {2d_ {1} d_ {2}}}}

donde el signo de σ se determina si la esfera de la superficie de coordenadas está por encima o por debajo del plano x - y .

Factores de escala [ editar ]

Los factores de escala para las coordenadas toroidales. $${\ displaystyle \ sigma} y $${\ displaystyle \ tau} son iguales

$${\ displaystyle h _ {\ sigma} = h _ {\ tau} = {\ frac {a} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}

mientras que el factor de escala azimutal es igual

$${\ displaystyle h _ {\ phi} = {\ frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}

Así, el elemento de volumen infinitesimal es igual a

$${\ displaystyle dV = {\ frac {a ^ {3} \ sinh \ tau} {\ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {3}}} \, d \ sigma \, d \ tau \, d \ phi}

y el laplaciano está dado por

{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {\ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right) ^ {3}} {a ^ {2} \ sinh \ tau}} & \ left [\ sinh \ tau {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma}} \ left ({\ frac {1} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ sigma}} \ right) \ right. \\ [8pt] & {} \ quad + \ left. {\ frac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ left ( {\ frac {\ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ tau}} \ right) + {\ frac {1} {\ sinh \ tau \ left (\ cosh \ tau - \ cos \ sigma \ right)}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right] \ end {alineado }}}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}} Se puede expresar en las coordenadas. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

Armónicos toroidales [ editar ]

Separación estándar [ editar ]

La ecuación de Laplace de 3 variables.

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = 0}

Admite solución mediante separación de variables en coordenadas toroidales. Haciendo la sustitucion

$${\ displaystyle \ Phi = U {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}}

Luego se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por separación de variables es:

$${\ displaystyle \ Phi = {\ sqrt {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}} \, \, S _ {\ nu} (\ sigma) T _ {\ mu \ nu} (\ tau) V _ {\ mu} (\ phi)}

donde cada función es una combinación lineal de:

$${\ displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, e ^ {- i \ nu \ sigma}}

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ nu -1/2} ^ {\ mu} (\ cosh \ tau) \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, Q _ {\ nu -1/2} ^ {\ mu} (\ cosh \ tau)}

$${\ displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, e ^ {- i \ mu \ phi}}

Donde P y Q están asociadas a las funciones de Legendre del primer y segundo tipo. Estas funciones de Legendre a menudo se conocen como armónicos toroidales.

Los armónicos toroidales tienen muchas propiedades interesantes. Si haces una sustitución variable.{\ displaystyle z = \ cosh \ tau> 1} luego, por ejemplo, con orden de fuga $${\ displaystyle \ mu = 0} (la convención es no escribir el orden cuando desaparece) y $${\ displaystyle \ nu = 0}

$${\ displaystyle Q _ {- {\ frac {1} {2}}} (z) = {\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} K \ left ({\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} \ derecha)}

y

$${\ displaystyle P _ {- {\ frac {1} {2}}} (z) = {\ frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {\ frac {2} {1 + z}}} K \ izquierda ({\ sqrt {\ frac {z-1} {z + 1}}} \ derecha)}

dónde $${\ displaystyle \, \! K} y $${\ displaystyle \, \! E}Son las integrales elípticas completas del primer y segundo tipo, respectivamente. El resto de los armónicos toroidales se pueden obtener, por ejemplo, en términos de las integrales elípticas completas, mediante el uso de relaciones de recurrencia para las funciones asociadas de Legendre.

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas toroidales están en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace para la cual las coordenadas toroidales permiten una separación de variables o la ecuación de Helmholtz , para las cuales las coordenadas toroidales no permiten una separación de variables. Ejemplos típicos serían el potencial eléctrico y el campo eléctrico de un toro conductor, o en el caso degenerado, un anillo de corriente eléctrica (Hulme 1982).

Una separación alternativa [ editar ]

Alternativamente, se puede hacer una sustitución diferente (Andrews 2006)

$${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {U} {\ sqrt {\ rho}}}}

dónde

$${\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {a \ sinh \ tau} {\ cosh \ tau - \ cos \ sigma}}.}

De nuevo, se obtiene una ecuación separable. Una solución particular obtenida por separación de variables es entonces:

$${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {a} {\ sqrt {\ rho}}} \, \, S _ {\ nu} (\ sigma) T _ {\ mu \ nu} (\ tau) V _ {\ mu} (\ phi)}

donde cada función es una combinación lineal de:

$${\ displaystyle S _ {\ nu} (\ sigma) = e ^ {i \ nu \ sigma} \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, e ^ {- i \ nu \ sigma}}

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} (\ tau) = P _ {\ mu -1/2} ^ {\ nu} (\ coth \ tau) \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, Q _ {\ mu -1/2} ^ {\ nu} (\ coth \ tau)}

$${\ displaystyle V _ {\ mu} (\ phi) = e ^ {i \ mu \ phi} \, \, \, \, \ mathrm {y} \, \, \, \, e ^ {- i \ mu \ phi}.}

Tenga en cuenta que aunque los armónicos toroidales se utilizan de nuevo para la   función T , el argumento es$${\ displaystyle \ coth \ tau} más bien que $${\ displaystyle \ cosh \ tau} y el $${\ displaystyle \ mu} y $${\ displaystyle \ nu}Se intercambian los índices. Este método es útil para situaciones en las que las condiciones de contorno son independientes del ángulo esférico.$${\ displaystyle \ theta}, como el anillo cargado, un semiplano infinito o dos planos paralelos. Para las identidades que relacionan los armónicos toroidales con el coseno hiperbólico argumento con los del cotangente hiperbólico argumento, consulte las fórmulas de Whipple .