MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

 número racional es cualquier número que puede expresarse como el cociente o fracción p / q de dos enteros , un numerador p y un denominador no cero q . ^[1] Como q puede ser igual a 1, cada entero es un número racional. El conjunto de todos los números racionales, a menudo referido como " los racionales ", el campo de los racionales o el campo de los números racionales, generalmente se denota con una Q en negrita (opizarra negrita $${\ displaystyle \ mathbb {Q}}, Unicode ℚ); ^[2] así fue denotado en 1895 por Giuseppe Peano después de quoziente , italiano para " cociente ".

La expansión decimal de un número racional siempre termina después de un número finito de dígitos o comienza a repetir la misma secuenciafinita de dígitos una y otra vez. Además, cualquier decimal repetitivo o de terminación representa un número racional. Estas declaraciones son válidas no solo para la base 10 , sino también para cualquier otra base deenteros (por ejemplo , binario , hexadecimal ).

Un número real que no es racional se llama irracional . Los números irracionales incluyen √ 2 , π , e , y φ . La expansión decimal de un número irracional continúa sin repetirse. Dado que el conjunto de números racionales es contable , y el conjunto de números reales es incontable , casi todos los números reales son irracionales. ^[1]

Los números racionales se pueden definir formalmente como clases de equivalencia de pares de números enteros ( p , q ) de manera que q ≠ 0 , para la relación de equivalencia definida por ( p ₁ , q ₁ ) ~ ( p ₂ , q ₂ ) if, y solo si p ₁ q ₂ = p ₂ q ₁ . Con esta definición formal, la fracción p / qse convierte en la notación estándar para la clase de equivalencia de ( p , q ) .

Los números racionales junto con la suma y la multiplicación forman un campo que contiene los números enterosy está contenido en cualquier campo que contenga los números enteros. En otras palabras, el campo de los números racionales es un campo primo , y un campo tiene una característica cero si y solo si contiene los números racionales como un subcampo. Las extensiones finitas de Q se denominan campos de números algebraicos , y el cierre algebraico de Q es el campo de los números algebraicos . ^[3]

En el análisis matemático , los números racionales forman un subconjunto denso de los números reales. Los números reales se pueden construir a partir de los números racionales al completarlos , utilizando secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind o decimales infinitos .

Los números racionales (ℚ) se incluyen en los números reales (ℝ). Por otro lado, incluyen los enteros (ℤ), que a su vez incluyen los números naturales (ℕ)

Terminología [ editar ]

El término racional en referencia al conjunto Q se refiere al hecho de que un número racional representa una relación de dos enteros. En matemáticas, "racional" se utiliza a menudo como un nombre que abrevie "número racional". El adjetivo racional a veces significa que los coeficientes son números racionales. Por ejemplo, un punto racional es un punto con coordenadas racionales (es decir, un punto cuyas coordenadas son números racionales); una matriz racional es una matriz de números racionales; un polinomio racionalpuede ser un polinomio con coeficientes racionales, aunque generalmente se prefiere el término "polinomio sobre los racionales", para evitar la confusión con " expresión racional " y " función racional " (un polinomio es una expresión racional y define una función racional, incluso si su Los coeficientes no son números racionales). Sin embargo, una curva racional no es una curva definida sobre los racionales, sino una curva que puede parametrizarse mediante funciones racionales.

Aritmética [ editar ]

Ver también: Fracción (matemáticas) § Aritmética con fracciones.

Fracción irreducible [ editar ]

Cada número racional puede expresarse de una manera única como una fracción irreducible a / b , donde a y bson números enteros de coprime , y b > 0 . Esto a menudo se llama la forma canónica .

Partiendo de un número racional a / b , su forma canónica se puede obtener dividiendo a y b por su máximo común divisor y, si b <0 font=""> , cambiando el signo del numerador y el denominador resultantes.

Incrustación de enteros [ editar ]

Cualquier número entero n puede expresarse como el número racional n / 1 , que es su forma canónica como un número racional.

Igualdad [ editar ]

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}} si y solo si $${\ displaystyle ad = bc.}

Si ambas fracciones están en forma canónica entonces

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}} si y solo si $${\ displaystyle a = c} y $${\ displaystyle b = d}

Ordenar [ editar ]

Si ambos denominadores son positivos y, en particular, si ambas fracciones están en forma canónica,

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}} si y solo si {\ displaystyle ad

Si cualquiera de los dos denominadores es negativo, cada fracción con un denominador negativo debe primero convertirse en una forma equivalente con un denominador positivo cambiando los signos de su numerador y denominador.

Adición [ editar ]

Se agregan dos fracciones de la siguiente manera:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y solo si b y d son números enteros de coprima .

Resta [ editar ]

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} - {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.}

Si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado está en forma canónica si y solo si b y d son números enteros de coprima .

Multiplicación [ editar ]

La regla para la multiplicación es:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.

Incluso si ambas fracciones están en forma canónica, el resultado puede ser una fracción reducible .

Inverso [ editar ]

Cada número racional a / b tiene un inverso aditivo , a menudo llamado su opuesto ,

$${\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}}.}

Si a / b está en forma canónica, lo mismo es cierto para su opuesto.

Un número racional distinto de cero a / b tiene un inverso multiplicativo , también llamado su recíproco ,

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}}.}

Si a / b está en forma canónica, entonces la forma canónica de su recíproco es$${\ displaystyle {\ frac {b} {a}}} o $${\ displaystyle {\ frac {-b} {- a}}}, dependiendo del signo de a .

División [ editar ]

Si ambos b y c son distintos de cero, la regla de la división es

$${\ displaystyle {\ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}} = {\ frac {ad} {bc}}.

Por lo tanto, dividir a / b por c / d es equivalente a multiplicar a / b por el recíproco de c / d :

$${\ displaystyle {\ frac {ad} {bc}} = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {d} {c}}.

Exposiciónción a potencia entera [ editar ]

Si n es un entero no negativo, entonces

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {n} = {\ frac {a ^ {n}} {b ^ {n}}}.}

El resultado está en forma canónica si lo mismo es cierto para a / b . En particular,

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {0} = 1.}

Si un ≠ 0 , entonces

$${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- n} = {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}.

Si a / b está en forma canónica, la forma canónica del resultado es$${\ displaystyle {\ frac {b ^ {n}} {a ^ {n}}}}si o bien un > 0 o n es par. De lo contrario, la forma canónica del resultado es.$${\ displaystyle {\ frac {-b ^ {n}} {- a ^ {n}}}.

Representación fracción continua [ editar ]

Artículo principal: fracción continua

Una fracción continua finita es una expresión tal como

$${\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {\ ddots + {\ cfrac {1} {a_ {norte}}}}}}}}},}

donde a _n son números enteros. Cada número racional a / b puede representarse como una fracción finita continua, cuyos coeficientes a _n pueden determinarse aplicando el algoritmo euclidiano a ( a , b ).

Otras representaciones [ editar ]

• fracción común :$${\ displaystyle {\ frac {8} {3}}}
• numeral mixto :$${\ displaystyle 2 {\ tfrac {2} {3}}}
• Repetir decimal usando un vinculo :$${\ displaystyle 2. {\ overline {6}}}
• Repetir decimal usando paréntesis :$${\ displaystyle 2. (6)}
• fracción continua utilizando tipografía tradicional:$${\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2}}}}}
• fracción continua en notación abreviada: [2; 1, 2]
• fracción egipcio :$${\ displaystyle 2 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}}}
• Descomposición de poder principal :$${\ displaystyle 2 ^ {3} \ times 3 ^ {- 1}}
• notación de cotización : 3! 6

Son diferentes formas de representar el mismo valor racional.

Construcción formal [ editar ]

Un diagrama que muestra una representación de las clases equivalentes de pares de enteros.

Los números racionales pueden construirse como clases de equivalencia de pares ordenados de enteros .

Más precisamente, sea ( Z × ( Z \ {0})) el conjunto de los pares ( m , n ) de enteros como n n 0 . Una relación de equivalencia se define en este conjunto por

( m ₁ , n ₁ ) ~ ( m ₂ , n ₂ ) si y solo si m ₁ n ₂ = m ₂ n ₁ .

La suma y la multiplicación se pueden definir mediante las siguientes reglas:

$${\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) + \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} n_ {2} + n_ { 1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ derecha),}

$${\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ times \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ derecha).}

Esta relación de equivalencia es una relación de congruencia , lo que significa que es compatible con la suma y la multiplicación definidas anteriormente; el conjunto de números racionales Q se define como el cociente establecido por esta relación de equivalencia, ( Z × ( Z \ {0})) / ~ , equipado con la suma y la multiplicación inducida por las operaciones anteriores. (Esta construcción puede llevarse a cabo con cualquier dominio integral y produce su campo de fracciones ).

La clase de equivalencia de un par ( m , n ) se denota$${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}.} Dos pares ( m ₁ , n ₁ ) y ( m ₂ , n ₂ ) pertenecen a la misma clase de equivalencia (es decir, son equivalentes) si y solo si$${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.} esto significa que $${\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} = {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}} si y solo $${\ displaystyle m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}

Cada clase de equivalencia $${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}} Puede ser representado por infinitos pares, ya que

$${\ displaystyle \ cdots = {\ frac {-2m} {- 2n}} = {\ frac {-m} {- n}} = {\ frac {m} {n}} = {\ frac {2m} { 2n}} = \ cdots.}

A menudo es conveniente elegir, de una vez por todas, en cada clase de equivalencia un elemento específico denominado elemento representativo canónico . Este representante canónico es el par único ( m , n ) en la clase de equivalencia, de modo que m y n son coprime , y n > 0 . Se llama la representación en los términos más bajos del número racional.

Se puede considerar que los enteros son números racionales que identifican al entero n con el número racional$${\ displaystyle {\ frac {n} {1}}.}

Se puede definir un orden total en los números racionales, que extiende el orden natural de los enteros. Uno tiene$${\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ leq {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}} Si

{\ displaystyle (m_ {1} n_ {2} \ leq n_ {1} m_ {2} \ quad {\ text {if}} \ quad n_ {1} n_ {2}> 0) \ quad {\ text { o}} \ quad (m_ {1} n_ {2} \ geq n_ {1} m_ {2} \ quad {\ text {if}} \ quad n_ {1} n_ {2} <0 font="">

Propiedades [ editar ]

Un diagrama que ilustra la contabilidad de los racionales positivos.

El conjunto Q , junto con las operaciones de suma y multiplicación se muestran arriba, forma un campo , el campo de las fracciones de los números enteros Z .

Los números racionales son el campo más pequeño con característica cero: cada otro cuerpo de característica cero contiene una copia de Q . Los números racionales son, por lo tanto, el campo principal para la característica cero.

El cierre algebraico de Q , es decir, el campo de raíces de los polinomios racionales, son los números algebraicos .

El conjunto de todos los números racionales es contable . Como el conjunto de todos los números reales es incontable, decimos que casi todos los números reales son irracionales, en el sentido de la medida de Lebesgue , es decir, que el conjunto de números racionales es un conjunto nulo .

Los racionales son un conjunto densamente ordenado : entre dos racionales, hay otro, y, por lo tanto, infinitos otros. Por ejemplo, para cualesquiera dos fracciones tales que

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}

(dónde $${\ displaystyle b, d} son positivos), tenemos

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {ad + bc} {2bd}} <{\ frac {c} {d}}.

Cualquier conjunto totalmente ordenado que sea contable, denso (en el sentido anterior), y que no tenga un elemento mínimo o máximo, es el orden isomorfo de los números racionales.

Números reales y propiedades topológicas [ editar ]

Los racionales son un subconjunto denso de los números reales: cada número real tiene números racionales arbitrariamente cercanos a él. Una propiedad relacionada es que los números racionales son los únicos números con expansiones finitas como fracciones continuas regulares .

En virtud de su orden, los racionales llevan una topología de orden . Los números racionales, como un subespacio de los números reales, también llevan una topología de subespacio . Los números racionales forman un espacio métrico utilizando la métrica de diferencia absoluta d ( x , y ) = | x - y |, y esto produce una tercera topología de Q . Las tres topologías coinciden y convierten los racionales en un campo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no es localmente compacto . Los racionales se caracterizan topológicamente como únicos. Espacio metrizable contable sin puntos aislados . El espacio también está totalmente desconectado . Los números racionales no forman un espacio métrico completo ; los números reales son la terminación de Q bajo la métrica d ( x , y ) = | x - y |, arriba.

p -adic numeros [ editar ]

Artículo principal: número p-adic

Además de la métrica de valor absoluto mencionada anteriormente, hay otras métricas que convierten a Q en un campo topológico:

Sea p un número primo y, para cualquier número entero que no sea cero a , sea | un | _p = p ^- n , donde p ⁿ es la potencia más alta de p que divide a .

Además establece | 0 | _p = 0. Para cualquier número racional a / b , establecemos | a / b | _p = | un | _p / | b | _p .

Entonces d _p ( x , y ) = | x - y | _p define una métrica en q .

El espacio métrico ( Q , d _p ) no es completa, y su conclusión es la p campo de número -adic Q _p . El teorema de Ostrowski establece que cualquier no trivial valor absoluto de los números racionales Q es equivalente a cualquiera de los dos el valor absoluto real de lo habitual o un p -adic valor absoluto.

la racionalización de la raíz es un proceso mediante el cual se eliminan los radicalesen el denominador de una fracción algebraica .

Si el denominador es un monomio en algún radical, diga$${\ displaystyle a {\ sqrt [{n}] {x}} ^ {k},}con k < n , la racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador por$${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} ^ {nk},} y reemplazando $${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {x}} ^ {n}} por $${\ displaystyle \ left | x \ right |,}si n es par o por x si n es impar (si k ≥ n , el mismo reemplazo nos permite reducir k hasta que sea menor que n .

Si el denominador es lineal en alguna raíz cuadrada, diga$${\ displaystyle a + b {\ sqrt {x}},} La racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador por $${\ displaystyle ab {\ sqrt {x}},} Y expandiendo el producto en el denominador.

Esta técnica se puede extender a cualquier denominador algebraico, multiplicando el numerador y el denominador por todos los conjugados algebraicos del denominador, y expandiendo el nuevo denominador a la norma del antiguo denominador. Sin embargo, excepto en casos especiales, las fracciones resultantes pueden tener numeradores y denominadores enormes, y, por lo tanto, la técnica generalmente se usa solo en los casos elementales anteriores.

Racionalización de una raíz cuadrada monomial y raíz cúbica [ editar ]

Para la técnica fundamental, el numerador y el denominador deben multiplicarse por el mismo factor.

Ejemplo 1:

$${\ displaystyle {\ frac {10} {\ sqrt {a}}}}

Para racionalizar este tipo de monomio , traiga el factor$${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}:

$${\ displaystyle {\ frac {10} {\ sqrt {a}}} = {\ frac {10} {\ sqrt {a}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {a} }} = {\ frac {10 {\ sqrt {a}}} {{\ sqrt {a}} ^ {2}}}}

La raíz cuadrada desaparece del denominador, porque está cuadrada:

$${\ displaystyle {\ frac {10 {\ sqrt {a}}} {{\ sqrt {a}} ^ {2}}} = {\ frac {10 {\ sqrt {a}}} {a}}}

Esto da el resultado, después de la simplificación:

$${\ displaystyle {\ frac {10 {\ sqrt {a}}} {a}}}

Ejemplo 2:

$${\ displaystyle {\ frac {10} {\ sqrt [{3}] {b}}}}

Para racionalizar este radical, traiga el factor. $${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}}:

$${\ displaystyle {\ frac {10} {\ sqrt [{3}] {b}}} = {\ frac {10} {\ sqrt [{3}] {b}}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {{\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}}} = {\ frac {10 {\ sqrt [{3}] {b }} ^ {2}} {{\ sqrt [{3}] {b}} ^ {3}}}}

La raíz cúbica desaparece del denominador, porque está en cubos:

$${\ displaystyle {\ frac {10 {\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {{\ sqrt [{3}] {b}} ^ {3}}} = {\ frac {10 {\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {b}}}

Esto da el resultado, después de la simplificación:

$${\ displaystyle {\ frac {10 {\ sqrt [{3}] {b}} ^ {2}} {b}}}

Tratar con raíces más cuadrados [ editar ]

Para un denominador que es:

$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}} \,}

La racionalización se puede lograr multiplicando por el conjugado :

$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}} \,}

y aplicando la diferencia de identidad de dos cuadrados , que aquí producirá −1. Para obtener este resultado, la fracción entera debe ser multiplicada por

$${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}} {{\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}}} = 1.}

Esta técnica funciona mucho más en general. Se puede adaptar fácilmente para eliminar una raíz cuadrada a la vez, es decir, para racionalizar

$${\ displaystyle x + {\ sqrt {y}} \,}

por multiplicación por

$${\ displaystyle x - {\ sqrt {y}}}

Ejemplo:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {{\ sqrt {3}} + {\ sqrt {5}}}}}

La fracción debe ser multiplicada por un cociente que contenga. $${\ displaystyle {{\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}}}}.

$${\ displaystyle {\ frac {3} {{\ sqrt {3}} + {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}}} { {\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}})} {{\ sqrt {3}} ^ {2} - {\ sqrt {5}} ^ {2}}}}

Ahora, podemos proceder a eliminar las raíces cuadradas en el denominador:

$${\ displaystyle {\ frac {3 ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}})} {{\ sqrt {3}} ^ {2} - {\ sqrt {5}} ^ {2} }} = {\ frac {3 ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}})} {3-5}} = {\ frac {3 ({\ sqrt {3}} - {\ sqrt {5}})} {- 2}}}

Ejemplo 2:

Este proceso también funciona con números complejos con$${\ displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}

$${\ displaystyle {\ frac {7} {1 + {\ sqrt {-5}}}}}

La fracción debe ser multiplicada por un cociente que contenga. $${\ displaystyle {1 - {\ sqrt {-5}}}}.

$${\ displaystyle {\ frac {7} {1 + {\ sqrt {-5}}}} \ cdot {\ frac {1 - {\ sqrt {-5}}} {1 - {\ sqrt {-5}} }} = {\ frac {7 (1 - {\ sqrt {-5}})} {1 ^ {2} - {\ sqrt {-5}} ^ {2}}} = {\ frac {7 (1 - {\ sqrt {-5}})} {1 - (- 5)}} = {\ frac {7-7 {\ sqrt {5}} i} {6}}}

Generalizaciones [ editar ]

La racionalización puede extenderse a todos los números algebraicos y funciones algebraicas (como una aplicación de formas normativas ). Por ejemplo, para racionalizar una raíz cúbica , se deben usar dos factores lineales que involucran las raíces cúbicas de la unidad , o equivalentemente un factor cuadrático.