El decimal sistema de numeración (también llamada base- diez sistema de numeración posicional , y en ocasiones llamado denary ) es el sistema estándar para denotar enterosy no enteros números . Es la extensión a números no enteros del sistema de numeración hindú-árabe . [1] La forma de denotar números en el sistema decimal a menudo se denomina notación decimal . [2]
Un número decimal , o simplemente decimal , o número decimal ocasional , se refiere generalmente a la notación de un número en el sistema de numeración decimal. Los decimales aveces se pueden identificar por contener un separador decimal(por ejemplo, el "." En 10.00 o 3.14159 ). "Decimal" también puede referirse específicamente a los dígitos después del separador decimal, como en " 3.14 es la aproximación de π a dos decimales ".
Los números que se pueden representar en el sistema decimal son las fracciones decimales , es decir, las fracciones de la forma a / 10 n , donde a es un número entero, y n es un número entero no negativo .
El sistema decimal se ha extendido a infinitos decimales , para representar cualquier número real , mediante el uso de una secuencia infinita de dígitos después del separador decimal (ver Representación decimal ). En este contexto, los números decimales con un número finito de lugares distintos de cero después del separador decimal a veces se denominan decimales de terminación . Un decimal de repetición es un decimal infinito que después de algún lugar repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (por ejemplo, 5.123144144144144 ... = 5.123 144 ). [3] Un decimal infinito representa un número racional si y solo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.
Origen [ editar ]
Muchos sistemas de numeración de civilizaciones antiguas usan diez y sus poderes para representar números, probablemente porque hay diez dedos en dos manos y la gente comenzó a contar usando sus dedos. [ cita requerida ] Ejemplos son los números brahmi , números griegos , números hebreos , números romanos y números chinos . Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos sistemas numéricos antiguos, y solo los mejores matemáticos podían multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron completamente con la introducción del sistema de numeración hindú-árabe para representar enteros. Este sistema se ha ampliado para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales para formar el sistema de numeración decimal .
Notación decimal [ editar ]
Para escribir números, el sistema decimal usa diez dígitos decimales , una marca decimal y, para números negativos , un signo menos "-". Los dígitos decimales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; [4] el separador decimal es el punto " . " En muchos países (incluidos todos los que hablan inglés), pero puede ser una coma " , " en otros países (principalmente en Europa continental ).
- ya sea una secuencia (finita) de dígitos como 2017, o en general generalidad,
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- (en este caso, el decimal (entero) representa un número entero)
- o dos secuencias de dígitos separados por una marca decimal, como 3.14159, 15.00 o en generalidad completa
En general, se supone que, si m > 0 , el primer dígito a m no es cero, pero, en algunas circunstancias, puede ser útil tener uno o más 0 a la izquierda. Esto no cambia el valor representado por el decimal. Por ejemplo, 3.14 = 03.14 = 003.14 . De forma similar, si b n = 0 , se puede eliminar y, a la inversa, se pueden agregar ceros finales sin cambiar el número representado: por ejemplo, 15 = 15.0 = 15.00 y 5.2 = 5.20 = 5.200 . A veces, los ceros adicionales se utilizan para indicar la precisión de una medición. Por ejemplo, 15.00 m puede indicar que el error de medición es menor a un centímetro (0.01 m), mientras que 15 m puede significar que la longitud es aproximadamente de quince metros, y que el error puede exceder los 10 cm.
El numero representa el número
Por lo tanto, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el número. Es decir, el sistema decimal es un sistema de numeración posicional.
Las fracciones decimales [ editar ]
Los números que están representados por números decimales son las fracciones decimales (a veces llamadas números decimales ), es decir, los números racionales que pueden expresarse como una fracción , cuyo denominador es una potencia de diez. [5] Por ejemplo, los numerales.representan las fracciones 810 , 1 489100 , 24100000 . Más generalmente, un decimal con n dígitos después del separador representa la fracción con denominador 10 n , cuyo numerador es el número entero obtenido al eliminar el separador.
Expresados como una fracción totalmente reducida , los números decimales son aquellos cuyo denominador es un producto de una potencia de 2 y una potencia de 5. Así, los denominadores más pequeños de los números decimales son
La parte entera o la parte integral de un decimal es el entero escrito a la izquierda del separador decimal (ver también truncamiento ). Para un decimal no negativo, es el entero más grande que no es mayor que el decimal. La parte del separador decimal a la derecha es la parte fraccionaria , que es igual a la diferencia entre el número y su parte entera.
Cuando la parte integral de un número es cero, puede ocurrir, normalmente al calcular , que la parte entera no se escribe (por ejemplo , .1234 , en lugar de 0.1234 ). En la escritura normal, esto generalmente se evita debido al riesgo de confusión entre la marca decimal y otra puntuación.
Aproximación de número real [ editar ]
Los números decimales no permiten una representación exacta para todos los números reales , por ejemplo, para el número real π . Sin embargo, permiten aproximar cada número real con cualquier precisión deseada, por ejemplo, el decimal 3.14159 se aproxima al π real , siendo menos de 10 −5 apagado; Y así, los decimales son ampliamente utilizados en la ciencia , la ingeniería y la vida cotidiana.
Más precisamente, para cada número real x , y cada entero positivo n , hay dos decimales L y u , con un máximo de n dígitos después de la marca decimal, de modo que L ≤ x ≤ u y ( u - L ) = 10 - n .
Los números se obtienen muy a menudo como resultado de una medición . Como las mediciones generalmente se ven afectadas por algún error de medición con un límite superior conocido , el resultado de una medición está bien representado por un decimal con n dígitos después de la marca decimal, tan pronto como el error de medición absoluto se limita desde arriba por 10 - n. En la práctica, los resultados de las mediciones a menudo se dan con una cierta cantidad de dígitos después del punto decimal, que indican los límites de error. Por ejemplo, aunque 0.080 y 0.08 denotan el mismo número decimal, el número 0.080 sugiere una medición con un error inferior a 0.001, mientras que el número 0.08 indica un error absoluto delimitado por 0.01. En ambos casos, el verdadero valor de la cantidad medida podría ser, por ejemplo, 0.0803 o 0.0796 (ver también cifras significativas).
Expansión decimal infinito [ editar ]
Para un número real x y un entero n ≥ 0, vamos a [ x ] n denotar la expansión decimal (finita) del mayor número que no es mayor que x , que tiene exactamente n dígitos después de la marca decimal. Sea d i el último dígito de [ x ] i . Es sencillo ver que [ x ] n puede obtenerse añadiendo d n a la derecha de [ x ] n –1 . De esta manera uno tiene
- [ x ] n = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n −1 d n ,
y la diferencia de [ x ] n –1 y [ x ] n equivale a
- | [ x ] n - [ x ] n –1 | = d n ⋅ 10 - n <10 font="" nbsp="">- n +1 ,
que es 0, si d n = 0, o se vuelve arbitrariamente pequeño, cuando n tiende a infinito. Según la definición de un límite , x es el límite de [ x ] n cuando n tiende a infinito . Esto se escribe como o
![{\ textstyle \; x = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} [x] _ {n} \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4726bcc43d70340455e0f0340fa72d52ee7e420d)
- x = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n ...,
que se llama una expansión decimal infinita de x .
A la inversa, para cualquier entero [ x ] 0 y cualquier secuencia de dígitosla expresión (infinita)[ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n ... es una expansión decimal infinita de un número real x . Esta expansión es único si ninguno todo d n son iguales a 9 ni todo d n son iguales a 0 para n suficientemente grande (para todos n mayor que algún número natural N ).
Si todo d n para n > N es igual a 9 y [ x ] n = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n , el límite de la secuenciaes la fracción decimal que se obtiene al reemplazar el último dígito que no es un 9, es decir: d N , por d N + 1, y al reemplazar todos los siguientes 9s por 0s (consulte 0.999 ... ).
![{\ textstyle \; ([x] _ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ebb69f79147f59b60a7fc1079add44c50c1331)
Cualquier fracción decimal, es decir, d n = 0 para n > N , se puede convertir a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando d N por d N - 1, y reemplazando todos los 0s posteriores por 9s (vea 0.999 ... ).
En resumen, cada número real que no sea una fracción decimal tiene una expansión decimal infinita única. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas, una que contiene solo 0s después de algún lugar, que se obtiene mediante la definición anterior de [ x ] n , y la otra que contiene solo 9s después de algún lugar, que se obtiene al definir [ x ] n como el número más grande que es menor que x , con exactamente ndígitos después de la marca decimal.
Números racionales [ editar ]
La división larga permite calcular la expansión decimal infinita de un número racional . Si el número racional es una fracción decimal , la división se detiene eventualmente, produciendo un número decimal, que puede prolongarse en una expansión infinita agregando infinitos ceros. Si el número racional no es una fracción decimal, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, como todos los residuos sucesivos son menores que el divisor, solo hay un número finito de posibles residuos, y después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos debe repetirse indefinidamente en el cociente. Es decir, uno tiene un decimal periódico . Por ejemplo,
- 181 = 0. 012 345 679 012 ... (con el grupo 012345679 indefinidamente repitiendo).
A la inversa, cada secuencia de dígitos que se repite finalmente es la expansión decimal infinita de un número racional. Esto es una consecuencia del hecho de que la parte recurrente de una representación decimal es, de hecho, una serie geométrica infinita que se suma a un número racional. Por ejemplo,
Cómputo decimal [ editar ]
La mayoría de los sistemas de hardware y software de computadoras comúnmente usan una representación binaria internamente (aunque muchas computadoras antiguas, como ENIAC o IBM 650 , usaban una representación decimal internamente). [6] Para uso externo por especialistas en computación, esta representación binaria a veces se presenta en los sistemas octal o hexadecimal relacionados .
Para la mayoría de los propósitos, sin embargo, los valores binarios se convierten ao de los valores decimales equivalentes para ser presentados o recibidos de humanos; Los programas informáticos expresan literales en decimal por defecto. (123.1, por ejemplo, está escrito como tal en un programa de computadora, aunque muchos lenguajes de computadora no pueden codificar ese número con precisión).
Tanto el hardware como el software de la computadora también utilizan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y realizar operaciones aritméticas. A menudo, esta aritmética se realiza en datos que se codifican utilizando alguna variante de decimal codificado en binario , [7] [8]especialmente en implementaciones de base de datos, pero hay otras representaciones decimales en uso (como en el nuevo estándar IEEE 754 para flotación). Aritmética de puntos ). [9]
La aritmética decimal se usa en computadoras para que los resultados fraccionarios decimales de sumar (o restar) valores con una longitud fija de su parte fraccionaria siempre se calculen con la misma precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, que requieren en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña para fines de contabilidad. Esto no es posible en binario, porque los poderes negativos deno tienen representación fraccionaria binaria finita; y es generalmente imposible para la multiplicación (o división). [10] [11] Ver aritmética de precisión arbitraria para cálculos exactos.
Historia [ editar ]
Muchas culturas antiguas calculadas con números basados en diez, a veces argumentadas debido a que las manos humanas suelen tener diez dígitos. [12]Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo (c.3300-1300 BCE) se basaron en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20 , 50, 100, 200 y 500, mientras que su regla estandarizada, la regla de Mohenjo-daro , se dividió en diez partes iguales. [13] [14] [15] Los jeroglíficos egipcios , en evidencia desde alrededor del año 3000 aC, usaron un sistema puramente decimal, [16] al igual que los jeroglíficos cretenses (ca. 1625-1500 aC) de los minoicos cuyos números se basan estrechamente en El modelo egipcio. [17][18] El sistema decimal se transmitió a las culturas consecutivas de la Edad de Bronce de Grecia , incluyendo Linear A (ca. siglo XVIII aC - 1450 aC) y Linear B (ca. 1375–1200 aC) - el sistema numérico de la Grecia clásica también usó potencias de diez, incluyendo, números romanos , una base intermedia de 5. [19]Notablemente, el arsenal de Arquímedes (ca. 287-212 aC) inventó un sistema de posición decimal en su Sand Reckoner que se basó en 10 8 [19] y más tarde dirigió el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.para lamentar las alturas que la ciencia ya habría alcanzado en sus días si Arquímedes se hubiera dado cuenta del potencial de su ingenioso descubrimiento. [20] Los jeroglíficos hititas(desde el siglo XV aC) también fueron estrictamente decimales. [21]
Algunos textos antiguos no matemáticos como los Vedas , que datan de 1900–1700 aC, utilizan decimales y fracciones decimales matemáticas. [22]
Los números hieráticos egipcios, los números del alfabeto griego, los números del alfabeto hebreo, los números romanos, los números chinos y los números tempranos de Brahmi de la India son sistemas decimales no posicionales y requieren un gran número de símbolos. Por ejemplo, los números egipcios usaron símbolos diferentes para 10, 20, a 90, 100, 200, a 900, 1000, 2000, 3000, 4000, a 10,000. [23] El sistema decimal posicional más antiguo del mundo era el cálculo de la vara china . [24]
Historia de las fracciones decimales [ editar ]
Las fracciones decimales fueron desarrolladas y utilizadas por primera vez por los chinos a fines del siglo IV aC, [25] y luego se extendieron a Oriente Medio y de allí a Europa. [24] [26] Las fracciones decimales chinas escritas no eran posicionales. [26]Sin embargo, el conteo de fracciones de varilla era posicional. [24]
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J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito en el siglo X. [28] El matemático judío Immanuel Bonfils usó fracciones decimales alrededor de 1350, anticipando a Simon Stevin , pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. [29] El matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto fracciones decimales en el siglo XV. [28] Al Khwarizmifracción introducida a los países islámicos a principios del siglo IX; un autor chino ha alegado que la presentación de su fracción era una copia exacta de la fracción matemática tradicional china de Sunzi Suanjing . [24] Esta forma de fracción con numerador en la parte superior y denominador en la parte inferior sin una barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi del siglo X y por la "Clave aritmética" de Jamshīd al-Kāshī del siglo X. [24] [30]
Lenguajes naturales [ editar ]
El ingenioso método de expresar cada número posible utilizando un conjunto de diez símbolos surgió en la India. Varias lenguas indias muestran un sistema decimal sencillo. Muchas lenguas indo-arias y dravidianas tienen números entre 10 y 20 expresados en un patrón regular de adición a 10. [32]
La lengua húngara también utiliza un sistema decimal directo. Todos los números entre 10 y 20 se forman regularmente (por ejemplo, 11 se expresa como "tizenegy" literalmente "uno en diez"), como con aquellos entre 20 y 100 (23 como "huszonhárom" = "tres en veinte").
Un sistema sencillo decimal rango con una palabra para cada orden (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10000 万 ), y en el que 11 se expresa como diez-uno y 23 como dos-ten-tres , y 89345 se expresa como 8 (diez mil) 万 9 (mil) 千 3 (cien) 百 4 (decenas) 十 5 se encuentra en chino y en vietnamita con algunas irregularidades. Japonés , coreanoy tailandésHan importado el sistema decimal chino. Muchos otros idiomas con un sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20, y décadas. Por ejemplo, en inglés 11 es "once" no "diez-one" o "one-teen".
Los idiomas incas como el quechua y el aymara tienen un sistema decimal casi directo, en el que 11 se expresa como diez con uno y 23 como dos-diez con tres .
Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades de los nombres en inglés de los números pueden dificultar la capacidad de conteo de los niños. [33]
Otras bases [ editar ]
| Unidades de información |
Algunas culturas usan, o hicieron, otras bases de números.
- Las culturas mesoamericanas precolombinas, como la maya, usaron un sistema de base 20 (quizás basado en el uso de los veinte dedos de las manos y los pies ).
- La lengua Yuki en California y las lenguas pameanas [34] en México tienen sistemas octales (base-8) porque los hablantes utilizan los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos. [35]
- La existencia de una base no decimal en los primeros rastros de las lenguas germánicas se confirma por la presencia de palabras y glosas, lo que significa que la cuenta está en decimal (se denomina "diez cuentas" o "en palabras"); esto se esperaría si el conteo normal no es decimal, e inusual si lo fuera. [36] [37] Cuando se conoce este sistema de conteo, se basa en el "largo cien" = 120 y un "largo mil" de 1200. Las descripciones como "largo" solo aparecen después del "pequeño centenar" de 100 Apareció con los cristianos. La Introducción de Gordon a Nórdico antiguo p. 293, da nombres de números que pertenecen a este sistema. Una expresión relacionada con "ciento ochenta" se traduce a 200, y la relacionada con "doscientos"detalla el uso de los cien largos en Escocia en la Edad Media, dando ejemplos como cálculos en los que el acarreo implica i C (es decir, cien) como 120, etc. El hecho de que la población en general no se alarmara al encontrar tales números sugiere un uso suficientemente común . También es posible evitar los números de cien como utilizando unidades intermedias, como piedras y libras, en lugar de una larga cuenta de libras. Goodare da ejemplos de números como el puntaje vii, donde uno evita los cien usando puntajes extendidos. También hay un artículo de WH Stevenson, sobre 'Long Hundred and its use in England'. [ cita requerida ]
- Muchos o todos los idiomas de Chumashan utilizaron originalmente un sistema de conteo de base 4 , en el que los nombres de los números se estructuraron de acuerdo con los múltiplos de 4 y 16 . [38]
- Muchos idiomas [39] utilizan sistemas numéricos quinarios (base 5) , incluidos Gumatj , Nunggubuyu , [40]Kuurn Kopan Noot [41] y Saraveca . De estos, Gumatj es el único lenguaje verdadero de 5 a 25 conocido, en el que 25 es el grupo superior de 5.
- Algunos nigerianos usan sistemas duodecimales . [42] También lo hicieron algunas pequeñas comunidades en India y Nepal, como lo indican sus idiomas. [43]
- Se informa que el idioma Huli de Papua Nueva Guinea tiene una base de 15 números. [44] Ngui significa 15, ngui ki significa 15 × 2 = 30, y ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
- Se informa que Umbu-Ungu , también conocido como Kakoli, tiene números de base 24 . [45] Tokapu significa 24, tokapu talu significa 24 × 2 = 48, y tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
- Se informa que Ngiti tiene un sistema numérico de base 32 con ciclos de base 4. [39]
- Se informa que el lenguaje Ndom de Papua Nueva Guinea tiene números de base 6 . [46] Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36, y nif thef significa 36 × 2 = 72.
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