Las coordenadas curvilíneas se pueden formular en el cálculo del tensor , con importantes aplicaciones enfísica e ingeniería , en particular para describir el transporte de cantidades físicas y la deformación de la materia en la mecánica de fluidos y la mecánica continua .
Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales [ editar ]
- Nota: la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.
Álgebra de vectores elementales y tensoriales en coordenadas curvilíneas se utiliza en la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo desde principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. [1] En esta sección se proporcionan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, [2] Naghdi, [3] Simmonds, [4] Green y Zerna, [1] Basar y Weichert, [5] y Ciarlet. [6]
Transformaciones de coordenadas [ editar ]
Considere dos sistemas de coordenadas con variables de coordenadas
y
, que vamos a representar en definitiva como
y
respectivamente y siempre asumir nuestro índice
se ejecuta de 1 a 3. Supondremos que estos sistemas de coordenadas están integrados en el espacio euclidiano tridimensional. Coordenadas
y
pueden usarse para explicarse entre sí, porque a medida que nos movemos a lo largo de la línea de coordenadas en un sistema de coordenadas podemos usar el otro para describir nuestra posición. De esta manera Coordina
y
son funciones de cada uno
para ![{\ displaystyle i = 1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87b7e5d81c62b040a35078417fb9294b1ec7c7)
que se puede escribir como
para ![{\ displaystyle {\ acute {i}}, i = 1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412929e1656ba1db21300bd268aead4968fa034b)
Estas tres ecuaciones juntas también se llaman una transformación de coordenadas de
a
. Permítanos denotar esta transformación por
. Por lo tanto, representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas.
al sistema de coordenadas con coordenadas
como:
![{\ displaystyle Z = T ({\ acute {z}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60177b07ea3429f3085f76cec095e55d9b5d59e)
Del mismo modo podemos representar
como una función de
como sigue:
para ![{\ displaystyle {\ acute {i}} = 1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96db1657a39b3330375434d00c3e3636c2e8e30d)
Del mismo modo podemos escribir las ecuaciones libres de forma más compacta como
para ![{\ displaystyle {\ acute {i}}, i = 1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412929e1656ba1db21300bd268aead4968fa034b)
Estas tres ecuaciones juntas también se llaman una transformación de coordenadas de
a
. Denotemos esta transformación por
. Representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas.
al sistema de coordenadas con coordenadas
como:
![{\ displaystyle {\ acute {z}} = S (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d1ea64e0145d5c52699d8ccf96f349f57545b0)
Si la transformacion
Es biyectivo, entonces llamamos a la imagen de la transformación, a saber.
, un conjunto de coordenadas admisibles para
. Si
Es lineal el sistema de coordenadas.
se llamará un sistema de coordenadas afines , de lo contrario
Se llama un sistema de coordenadas curvilíneas.
El jacobiano [ editar ]
Como ahora vemos que las coordenadas
y
Son funciones de unos a otros, podemos tomar la derivada de la variable de coordenadas.
con respecto a la variable de coordenadas ![{\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66faf60e11c6ec2f8d53c066256c8fa52febe3e)
considerar
![{\ displaystyle \ partial {Z ^ {i}} \ over \ partial {Z ^ {\ acute {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ec54be2f617f51583517b8d45aeb5f9dd9c682)
![{\ displaystyle {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9598af070f042e9c9dae0ed1ee8f52370d2de9)
para
, estos derivados se pueden disponer en una matriz, digamos
,en el cual
es el elemento en el
fila y
columna
![{\ displaystyle J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053)
![{\ displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
![{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} J _ {\ acute {1}} ^ {1} & J _ {\ acute {2}} ^ {1} & J _ {\ acute {3}} ^ {1} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {2} & J _ {\ agudo {2}} ^ {2} & J _ {\ agudo {3}} ^ {2} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {3} & J _ {\ agudo {2}} ^ {3} & J _ {\ agudo {3}} ^ {3} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5e9738826fb1138a5d87865f9bc313a3d6e9ca)
![{\ displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743)
![{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {2} } \ over \ parcial {Z ^ {\ acute {1}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ over \ partial {Z ^ {\ acute {2}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3} }}} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c20aa553c4cf116ab9e498de8e3705f12a6859)
La matriz resultante se llama matriz jacobiana.
Vectores en coordenadas curvilíneas [ editar ]
Sea ( b 1 , b 2 , b 3 ) una base arbitraria para el espacio euclidiano tridimensional. En general, los vectores de base no son vectores unitarios ni ortogonales entre sí . Sin embargo, se requiere que sean linealmente independientes. Entonces, un vector v se puede expresar como [4] ( p27 )
![\ mathbf {v} = v ^ k \, \ mathbf {b} _k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579b0cbe94c84465f9f481dd53fb5412f918c459)
El componentes v k son los contravariantes componentes del vector v .
La base recíproca ( b 1 , b 2 , b 3 ) se define por la relación [4] ( pp28-29 )
![\ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} _j = \ delta ^ i_j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fb43b44f089c4155a13074bb6ffac70ceb8046)
El vector v también se puede expresar en términos de la base recíproca:
![\ mathbf {v} = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c01742a838b37159b0f15f613f5b1c53614dfe)
El componentes v k son los covariantes componentes del vector
.
Tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas [ editar ]
Un tensor de segundo orden se puede expresar como
![\ boldsymbol {S} = S ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = S ^ {i} _ {~ j} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b } ^ j = S_ {i} ^ {~ j} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _j = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623298a0dadac578164ded48ee0f681dd0523c5f)
Los componentes S ij se denominan componentes contravariantes , S i j los componentes mixtos covariantes derechos , S i j los componentes mixtos covariantes izquierdos y S ij los componentes covariantes del tensor de segundo orden.
Tensor métrico y relaciones entre componentes [ editar ]
Las cantidades g ij , g ij se definen como [4] ( p39 )
![g_ {ij} = \ mathbf {b} _i \ cdot \ mathbf {b} _j = g_ {ji} ~; ~~ g ^ {ij} = \ mathbf {b} ^ i \ cdot \ mathbf {b} ^ j = g ^ {ji}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd5d5c099e1611dd2be8e6afbb9c9663c03d14e)
De las ecuaciones anteriores tenemos
![v ^ i = g ^ {ik} ~ v_k ~; ~~ v_i = g_ {ik} ~ v ^ k ~; ~~ \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _j ~ ; ~~ \ mathbf {b} _i = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5064d396b043afc9a808f509c920779c6bf9a729)
Los componentes de un vector están relacionados por [4] ( pp30–32 )
![\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v ^ k ~ \ delta ^ i_k = v ^ i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9ff486670594a0ee79aab286a51c405d2d252f2)
![\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} _i = v_k ~ \ delta_i ^ k = v_i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e152c8de4cf816d4556eb19e1dabc6d8e35cc03)
También,
![\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _i = v ^ k ~ \ mathbf {b} _k \ cdot \ mathbf {b} _i = g_ {ki} ~ v ^ k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08ecf11e15077a6410a0dc58178f4bed5458b50)
![\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ i = v_k ~ \ mathbf {b} ^ k \ cdot \ mathbf {b} ^ i = g ^ {ki} ~ v_k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/290fdb1479d79128720004460da375f9c3cd9b78)
Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por
![S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_k ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S ^ i_ {~ k} = g ^ {ik} ~ g ^ {jl} ~ S_ {kl}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f64d7ac7bf9d5950169c8e4da67c78bf3a40a7f)
El tensor alterno [ editar ]
En una base ortonormal con la mano derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como
![\ boldsymbol {\ mathcal {E}} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ mathbf {e} ^ i \ otimes \ mathbf {e} ^ j \ otimes \ mathbf {e} ^ k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/779f563dc732f61884936dd4d8e6fb599d7446ad)
En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como
![\ boldsymbol {\ mathcal {E}} = \ mathcal {E} _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j \ otimes \ mathbf {b} ^ k = \ mathcal {E } ^ {ijk} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j \ otimes \ mathbf {b} _k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658d9d112b8cd6913efdaaf58ffe95c87802ebec)
Se puede demostrar que
![\ mathcal {E} _ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} _i, \ mathbf {b} _j, \ mathbf {b} _k \ right] = (\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b } _j) \ cdot \ mathbf {b} _k ~; ~~ \ mathcal {E} ^ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} ^ i, \ mathbf {b} ^ j, \ mathbf {b} ^ k \ derecha]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff8cee95f0d851c6e17855f9efa90baacfcb500)
Ahora,
![\ mathbf {b} _i \ times \ mathbf {b} _j = J ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ p = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ p](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7b5ba002025bb5688f2fafa16a03e2da16644)
Por lo tanto,
![\ mathcal {E} _ {ijk} = J ~ \ varepsilon_ {ijk} = \ sqrt {g} ~ \ varepsilon_ {ijk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28c2caf1bd4201d65d4a6ad083fe48d3331b902)
Del mismo modo, podemos mostrar que
![\ mathcal {E} ^ {ijk} = \ cfrac {1} {J} ~ \ varepsilon ^ {ijk} = \ cfrac {1} {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon ^ {ijk}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb185f2e4c6b6e04df90884d6fce077327871c2)
Operaciones vectoriales [ editar ]
- Mapa de identidad
- El mapa de identidad que definí
puede mostrarse como [4] ( p39 )
![\ mathsf {I} = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52d7b4d8620b583ecfdaeba62245ad7c1cce4dfd)
- Producto escalar (punto)
- El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es [4] ( p32 )
![\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ i ~ v_i = u_i ~ v ^ i = g_ {ij} ~ u ^ i ~ v ^ j = g ^ {ij} ~ u_i ~ v_j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab9d86c05b378ceff7595a60230dd764bd082db)
- Producto vectorial (transversal)
- El producto cruzado de dos vectores está dado por [4] ( pp32-34 )
![\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ {u} _j ~ {v} _k ~ \ mathbf {e} _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a2723bc48712c5cdff74c90093295ebdebe4d6)
- donde ε ijk es el símbolo de permutación y e i es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es
![\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316c491176058cfffb31f3f6878d44eda4f0653e)
- dónde
Es el tensor alterno de tercer orden . - El producto cruzado de dos vectores está dado por
![\ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat {v} _k ~ \ mathbf {e} _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2135ce660abd5cd84a813dd814db3829adc1d45e)
- donde ε ijk es el símbolo de permutación y
Es un vector de base cartesiana. Por lo tanto,
![\ mathbf {e} _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ mathbf {e} _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b0138d41b11754038b5de7238a8212ad333d25d)
- y
![\ begin {align} \ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n & = \ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ m} \ times \ frac {\ partial \ mathbf {x }} {\ partial q ^ n} = \ frac {\ partial (x_p ~ \ mathbf {e} _p)} {\ partial q ^ m} \ times \ frac {\ partial (x_q ~ \ mathbf {e} _q) } {\ parcial q ^ n} \\ [8pt] & = \ frac {\ parcial x_p} {\ parcial q ^ m} ~ \ frac {\ parcial x_q} {\ parcial q ^ n} ~ \ mathbf {e} _p \ times \ mathbf {e} _q = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ parcial x_p} {\ parcial q ^ m} ~ \ frac {\ parcial x_q} {\ parcial q ^ n} ~ \ mathbf {e } _i \ end {alinear}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e260f052daf21c2aafe16c46c40d01f2471495d)
- Por lo tanto,
![(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s = \ varepsilon_ {ipq} ~ \ frac {\ parcial x_p} {\ parcial q ^ m} ~ \ frac {\ parcial x_q} {\ parcial q ^ n} ~ \ frac {\ parcial x_i} {\ parcial q ^ s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc149f8cb01f9760c67cd2748547dd8e8e53ba2)
- Volviendo al producto vectorial y utilizando las relaciones.
![\ hat {u} _j = \ frac {\ partial x_j} {\ partial q ^ m} ~ u ^ m ~; ~~ \ hat {v} _k = \ frac {\ partial x_k} {\ partial q ^ n} ~ v ^ n ~; ~~ \ mathbf {e} _i = \ frac {\ partial x_i} {\ partial q ^ s} ~ \ mathbf {b} ^ s](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f0593dc0dce3b6b4490ef4d25484ad7eb72f574)
- Nos da
![\ begin {align} \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} & = \ varepsilon_ {ijk} ~ \ hat {u} _j ~ \ hat {v} _k ~ \ mathbf {e} _i = \ varepsilon_ {ijk } ~ \ frac {\ parcial x_j} {\ parcial q ^ m} ~ \ frac {\ parcial x_k} {\ parcial q ^ n} ~ \ frac {\ parcial x_i} {\ parcial q ^ s} ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s \\ [8pt] & = [(\ mathbf {b} _m \ times \ mathbf {b} _n) \ cdot \ mathbf {b} _s] ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s = \ mathcal {E} _ {smn} ~ u ^ m ~ v ^ n ~ \ mathbf {b} ^ s \ end {align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9663d103d89692c7e93cc2b5041d56e275ef20a)
Operaciones de tensor [ editar ]
- Mapa de identidad :
- El mapa de identidad
definido por
puede mostrarse como [4] ( p39 )
![\ mathsf {I} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} _j = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = \ mathbf { b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ i = \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} _i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fba461e5ce353c9cabc4c2c818fbee7c0eea0d3e)
- Acción de un tensor de segundo orden sobre un vector:
- La acción
Se puede expresar en coordenadas curvilíneas como
![v ^ i \ mathbf {b} _i = S ^ {ij} u_j \ mathbf {b} _i = S ^ i_ {j} u ^ j \ mathbf {b} _i; \ qquad v_i \ mathbf {b} ^ i = S_ {ij} u ^ i \ mathbf {b} ^ i = S_ {i} ^ {j} u_j \ mathbf {b} ^ i](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53017e2ad341122c3efa50df4724fddc703e538e)
- Producto interior de dos tensores de segundo orden:
- El producto interior de dos tensores de segundo orden.
Se puede expresar en coordenadas curvilíneas como
![U_ {ij} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_ {ik} T ^ k _ {. J} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j = S_i ^ {. k} T_ {kj} \ mathbf {b} ^ i \ otimes \ mathbf {b} ^ j](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6007a019b4d8b9043a7f822bd5aa56527c0640b6)
- Alternativamente,
![\ boldsymbol {U} = S ^ {ij} T ^ m _ {. n} g_ {jm} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ i _ {. m} T ^ m_ {. n} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n = S ^ {ij} T_ {jn} \ mathbf {b} _i \ otimes \ mathbf {b} ^ n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571b1a283ce3f6e37cfa0003ef9ee2e71bde55d1)
- Determinante de un tensor de segundo orden:
- Si
es un tensor de segundo orden, entonces el determinante se define por la relación
![\ left [\ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {u}, \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {v}, \ boldsymbol {S} \ cdot \ mathbf {w} \ right] = \ det \ boldsymbol { S} \ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d45df1a660b1f145e06b8f8b86f04d8d69fcf2c)
- dónde
Son vectores arbitrarios y
![\ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]: = \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11e2a58fd353028bb79dda5a46e874563e9ab21a)
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