SISTEMAS DE COORDENADAS

Las coordenadas curvilíneas se pueden formular en el cálculo del tensor , con importantes aplicaciones enfísica e ingeniería , en particular para describir el transporte de cantidades físicas y la deformación de la materia en la mecánica de fluidos y la mecánica continua .

Álgebra vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales [ editar ]

Nota: la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.

Álgebra de vectores elementales y tensoriales en coordenadas curvilíneas se utiliza en la literatura científica más antigua en mecánica y física y puede ser indispensable para comprender el trabajo desde principios y mediados del siglo XX, por ejemplo, el texto de Green y Zerna. ^[1] En esta sección se proporcionan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, ^[2] Naghdi, ^[3] Simmonds, ^[4] Green y Zerna, ^[1] Basar y Weichert, ^[5] y Ciarlet. ^[6]

Transformaciones de coordenadas [ editar ]

Considere dos sistemas de coordenadas con variables de coordenadas $${\ displaystyle (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})} y $${\ displaystyle (Z ^ {\ acute {1}}, Z ^ {\ acute {2}}, Z ^ {\ acute {3}})}, que vamos a representar en definitiva como $${\ displaystyle Z ^ {i}} y $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} respectivamente y siempre asumir nuestro índice $${\ displaystyle i}se ejecuta de 1 a 3. Supondremos que estos sistemas de coordenadas están integrados en el espacio euclidiano tridimensional. Coordenadas $${\ displaystyle Z ^ {i}} y $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}}pueden usarse para explicarse entre sí, porque a medida que nos movemos a lo largo de la línea de coordenadas en un sistema de coordenadas podemos usar el otro para describir nuestra posición. De esta manera Coordina $${\ displaystyle Z ^ {i}} y $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} son funciones de cada uno

$${\ displaystyle Z ^ {i} = f ^ {i} (Z ^ {\ agudo {1}}, Z ^ {\ agudo {2}}, Z ^ {\ agudo {3}})} para $${\ displaystyle i = 1,2,3}

que se puede escribir como

$${\ displaystyle Z ^ {i} = Z ^ {i} (Z ^ {\ agudo {1}}, Z ^ {\ agudo {2}}, Z ^ {\ agudo {3}}) = Z ^ {i } (Z ^ {\ agudo {i}})} para $${\ displaystyle {\ acute {i}}, i = 1,2,3}

Estas tres ecuaciones juntas también se llaman una transformación de coordenadas de $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} a $${\ displaystyle Z ^ {i}}. Permítanos denotar esta transformación por $${\ displaystyle T}. Por lo tanto, representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas.$${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} al sistema de coordenadas con coordenadas $${\ displaystyle Z ^ {i}} como:

$${\ displaystyle Z = T ({\ acute {z}})}

Del mismo modo podemos representar $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} como una función de $${\ displaystyle Z ^ {i}} como sigue:

$${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}} = g ^ {\ acute {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3})} para $${\ displaystyle {\ acute {i}} = 1,2,3}

Del mismo modo podemos escribir las ecuaciones libres de forma más compacta como

$${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}} = Z ^ {\ sharp {i}} (Z ^ {1}, Z ^ {2}, Z ^ {3}) = Z ^ {\ acute {i} } (Z ^ {i})} para $${\ displaystyle {\ acute {i}}, i = 1,2,3}

Estas tres ecuaciones juntas también se llaman una transformación de coordenadas de $${\ displaystyle Z ^ {i}} a $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}}. Denotemos esta transformación por$${\ displaystyle S}. Representaremos la transformación del sistema de coordenadas con variables de coordenadas.$${\ displaystyle Z ^ {i}} al sistema de coordenadas con coordenadas $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} como:

$${\ displaystyle {\ acute {z}} = S (z)}

Si la transformacion $${\ displaystyle T} Es biyectivo, entonces llamamos a la imagen de la transformación, a saber. $${\ displaystyle Z ^ {i}}, un conjunto de coordenadas admisibles para $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}}. Si$${\ displaystyle T} Es lineal el sistema de coordenadas. $${\ displaystyle Z ^ {i}}se llamará un sistema de coordenadas afines , de lo contrario$${\ displaystyle Z ^ {i}}Se llama un sistema de coordenadas curvilíneas.

El jacobiano [ editar ]

Como ahora vemos que las coordenadas $${\ displaystyle Z ^ {i}} y $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}} Son funciones de unos a otros, podemos tomar la derivada de la variable de coordenadas. $${\ displaystyle Z ^ {i}} con respecto a la variable de coordenadas $${\ displaystyle Z ^ {\ acute {i}}}

considerar

$${\ displaystyle \ partial {Z ^ {i}} \ over \ partial {Z ^ {\ acute {i}}}}$${\ displaystyle {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}}}$${\ displaystyle J _ {\ acute {i}} ^ {i}} para $${\ displaystyle {\ acute {i}}, i = 1,2,3}, estos derivados se pueden disponer en una matriz, digamos $${\ displaystyle J},en el cual $${\ displaystyle J _ {\ acute {i}} ^ {i}} es el elemento en el $${\ displaystyle i ^ {th}}fila y $${\ displaystyle {\ acute {i}} ^ {th}}columna

$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle =}{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} J _ {\ acute {1}} ^ {1} & J _ {\ acute {2}} ^ {1} & J _ {\ acute {3}} ^ {1} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {2} & J _ {\ agudo {2}} ^ {2} & J _ {\ agudo {3}} ^ {2} \\ J _ {\ agudo {1}} ^ {3} & J _ {\ agudo {2}} ^ {3} & J _ {\ agudo {3}} ^ {3} \ end {pmatrix}}}$${\ displaystyle =}{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {1}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {2} } \ over \ parcial {Z ^ {\ acute {1}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ over \ partial {Z ^ {\ acute {2}}}} & {\ partial {Z ^ {2}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3}}}} \\ {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {1}}}} & {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {2}}}} & {\ parcial {Z ^ {3}} \ sobre \ parcial {Z ^ {\ agudo {3} }}} \ end {pmatrix}}}

La matriz resultante se llama matriz jacobiana.

Vectores en coordenadas curvilíneas [ editar ]

Sea ( b ₁ , b ₂ , b ₃ ) una base arbitraria para el espacio euclidiano tridimensional. En general, los vectores de base no son vectores unitarios ni ortogonales entre sí . Sin embargo, se requiere que sean linealmente independientes. Entonces, un vector v se puede expresar como ^{[4] ( p27 )}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {k} \, \ mathbf {b} _ {k}}

El componentes v ^k son los contravariantes componentes del vector v .

La base recíproca ( b ¹ , b ² , b ³ ) se define por la relación ^{[4] ( pp28-29 )}

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = \ delta _ {j} ^ {i}}

donde δ ⁱ _j es el delta de Kronecker .

El vector v también se puede expresar en términos de la base recíproca:

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k}}

El componentes v _k son los covariantes componentes del vector$${\ displaystyle \ mathbf {v}}.

Tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas [ editar ]

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = S ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {~ j} ^ {i} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {~ j} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = S_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

Los componentes S ^ij se denominan componentes contravariantes , S ⁱ _j los componentes mixtos covariantes derechos , S _i ^j los componentes mixtos covariantes izquierdos y S _ij los componentes covariantes del tensor de segundo orden.

Tensor métrico y relaciones entre componentes [ editar ]

Las cantidades g _ij , g ^ij se definen como ^{[4] ( p39 )}

$${\ displaystyle g_ {ij} = \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ji} ~; ~~ g ^ {ij} = \ mathbf {b} ^ { i} \ cdot \ mathbf {b} ^ {j} = g ^ {ji}}

De las ecuaciones anteriores tenemos

$${\ displaystyle v ^ {i} = g ^ {ik} ~ v_ {k} ~; ~~ v_ {i} = g_ {ik} ~ v ^ {k} ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {i } = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {j} ~; ~~ \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ {j}}

Los componentes de un vector están relacionados por ^{[4] ( pp30–32 )}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v ^ { k} ~ \ delta _ {k} ^ {i} = v ^ {i}}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v_ {k} ~ \ delta _ {i} ^ {k} = v_ {i}}

También,

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = v ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = g_ {ki } ~ v ^ {k}}

$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = v_ {k} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} ^ {i} = g ^ {ki } ~ v_ {k}}

Los componentes del tensor de segundo orden están relacionados por

$${\ displaystyle S ^ {ij} = g ^ {ik} ~ S_ {k} ^ {~ j} = g ^ {jk} ~ S_ {~ k} ^ {i} = g ^ {ik} ~ g ^ { jl} ~ S_ {kl}}

El tensor alterno [ editar ]

En una base ortonormal con la mano derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = \ varepsilon _ {ijk} ~ \ mathbf {e} ^ {i} \ otimes \ mathbf {e} ^ {j} \ otimes \ mathbf {e} ^ {k}}

En una base curvilínea general, el mismo tensor puede expresarse como

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {E}}} = {\ mathcal {E}} _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} = {\ mathcal {E}} ^ {ijk} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} \ otimes \ mathbf {b} _ { k}}

Se puede demostrar que

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} _ {i}, \ mathbf {b} _ {j}, \ mathbf {b} _ {k} \ right] = (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j}) \ cdot \ mathbf {b} _ {k} ~; ~~ {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = \ left [\ mathbf {b} ^ {i}, \ mathbf {b} ^ {j}, \ mathbf {b} ^ {k} \ right]}

Ahora,

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j} = J ~ \ varepsilon _ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ {p} = {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon _ {ijp} ~ \ mathbf {b} ^ {p}}

Por lo tanto,

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk} = J ~ \ varepsilon _ {ijk} = {\ sqrt {g}} ~ \ varepsilon _ {ijk}}

Del mismo modo, podemos mostrar que

$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {J}} ~ \ varepsilon ^ {ijk} = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} ~ \ varepsilon ^ {ijk}}

Operaciones vectoriales [ editar ]

1. Mapa de identidad

   El mapa de identidad que definí$${\ displaystyle {\ mathsf {I}} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}puede mostrarse como ^{[4] ( p39 )}

   $${\ displaystyle {\ mathsf {I}} = g ^ {ij} ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} ~ \ mathbf {b} ^ { i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b } _{yo}}

2. Producto escalar (punto)

   El producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilíneas es ^{[4] ( p32 )}

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = u ^ {i} ~ v_ {i} = u_ {i} ~ v ^ {i} = g_ {ij} ~ u ^ {i} ~ v ^ {j} = g ^ {ij} ~ u_ {i} ~ v_ {j}}

3. Producto vectorial (transversal)

   El producto cruzado de dos vectores está dado por ^{[4] ( pp32-34 )}

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} ~ {u} _ {j} ~ {v} _ {k} ~ \ mathbf {e} _ {i}}

   donde ε _ijk es el símbolo de permutación y e _i es un vector de base cartesiana. En coordenadas curvilíneas, la expresión equivalente es

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s} ] ~ u ^ {m} ~ v ^ {n} ~ \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} ~ u ^ {m} ~ v ^ {n} ~ \ mathbf {b} ^ {s}}

   dónde $${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {ijk}}Es el tensor alterno de tercer orden .

   El producto cruzado de dos vectores está dado por

   $${\ displaystyle \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = \ varepsilon _ {ijk} ~ {\ hat {u}} _ {j} ~ {\ hat {v}} _ {k} ~ \ mathbf { e} _ {i}}

   donde ε _ijk es el símbolo de permutación y$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}}Es un vector de base cartesiana. Por lo tanto,

   $${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {p} \ times \ mathbf {e} _ {q} = \ varepsilon _ {ipq} ~ \ mathbf {e} _ {i}}

   y

   {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n} & = {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {m }}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {n}}} = {\ frac {\ partial (x_ {p} ~ \ mathbf {e} _ {p}) } {\ partial q ^ {m}}} \ times {\ frac {\ partial (x_ {q} ~ \ mathbf {e} _ {q})} {\ partial q ^ {n}}} \\ [8pt ] & = {\ frac {\ parcial x_ {p}} {\ parcial q ^ {m}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {q}} {\ parcial q ^ {n}}} ~ \ mathbf { e} _ {p} \ times \ mathbf {e} _ {q} = \ varepsilon _ {ipq} ~ {\ frac {\ parcial x_ {p}} {\ parcial q ^ {m}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {q}} {\ parcial q ^ {n}}} ~ \ mathbf {e} _ {i} \ end {alineado}}}

   Por lo tanto,

   $${\ displaystyle (\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s} = \ varepsilon _ {ipq} ~ {\ frac {\ partial x_ {p}} {\ parcial q ^ {m}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {q}} {\ parcial q ^ {n}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {i}} { \ parcial q ^ {s}}}}

   Volviendo al producto vectorial y utilizando las relaciones.

   $${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {j} = {\ frac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {m}}} ~ u ^ {m} ~; ~~ {\ hat { v}} _ {k} = {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {n}}} ~ v ^ {n} ~; ~~ \ mathbf {e} _ {i} = { \ frac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {s}}} ~ \ mathbf {b} ^ {s}

   Nos da

   {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} & = \ varepsilon _ {ijk} ~ {\ hat {u}} _ {j} ~ {\ hat {v}} _ {k} ~ \ mathbf {e} _ {i} = \ varepsilon _ {ijk} ~ {\ frac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {m}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {n}}} ~ {\ frac {\ parcial x_ {i}} {\ parcial q ^ {s}}} ~ u ^ {m} ~ v ^ {n} ~ \ mathbf {b} ^ {s} \\ [8pt] & = [(\ mathbf {b} _ {m} \ times \ mathbf {b} _ {n}) \ cdot \ mathbf {b} _ {s}] ~ u ^ {m} ~ v ^ {n} ~ \ mathbf {b} ^ {s} = {\ mathcal {E}} _ {smn} ~ u ^ {m} ~ v ^ {n} ~ \ mathbf { b} ^ {s} \ end {alineado}}}

Operaciones de tensor [ editar ]

1. Mapa de identidad :

   El mapa de identidad $${\ displaystyle {\ mathsf {I}}} definido por $${\ displaystyle {\ mathsf {I}} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {v}}puede mostrarse como ^{[4] ( p39 )}

   $${\ displaystyle {\ mathsf {I}} = g ^ {ij} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {j} = g_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} _ {yo}}

2. Acción de un tensor de segundo orden sobre un vector:

   La acción $${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {u}} Se puede expresar en coordenadas curvilíneas como

   $${\ displaystyle v ^ {i} \ mathbf {b} _ {i} = S ^ {ij} u_ {j} \ mathbf {b} _ {i} = S_ {j} ^ {i} u ^ {j} \ mathbf {b} _ {i}; \ qquad v_ {i} \ mathbf {b} ^ {i} = S_ {ij} u ^ {i} \ mathbf {b} ^ {i} = S_ {i} ^ {j} u_ {j} \ mathbf {b} ^ {i}}

3. Producto interior de dos tensores de segundo orden:

   El producto interior de dos tensores de segundo orden. $${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} = {\ boldsymbol {S}} \ cdot {\ boldsymbol {T}}} Se puede expresar en coordenadas curvilíneas como

   $${\ displaystyle U_ {ij} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {ik} T _ {. j} ^ {k} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} = S_ {i} ^ {. k} T_ {kj} \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

   Alternativamente,

   $${\ displaystyle {\ boldsymbol {U}} = S ^ {ij} T _ {. n} ^ {m} g_ {jm} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n} = S _ {. M} ^ {i} T _ {. N} ^ {m} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n} = S ^ {ij} T_ {jn} \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {n}}

4. Determinante de un tensor de segundo orden:

   Si $${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}} es un tensor de segundo orden, entonces el determinante se define por la relación

   $${\ displaystyle \ left [{\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {u}, {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {v}, {\ boldsymbol {S}} \ cdot \ mathbf {w} \ right] = \ det {\ boldsymbol {S}} \ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]}

   dónde $${\ displaystyle \ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w}} Son vectores arbitrarios y

   $${\ displaystyle \ left [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}, \ mathbf {w} \ right]: = \ mathbf {u} \ cdot (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {w}). }