MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

billón es el recíproco de un billón , lo que significa que tiene una de dos definiciones dependiendo de si el sistema de numeración de escala larga o corta está en uso.

Países de pequeña escala [ editar ]

En la mayoría de los países de habla inglesa, una billonésima es igual a 0,000 000 000 001, o 1 x 10 ⁻¹² en notación científica . El prefijo para un número de esta magnitud es pico (pronunciado " peeko "), y se abrevia como p minúscula.

Países de gran escala [ editar ]

En la mayoría de los países europeos, una billonésima es igual a 0,000 000 000 000 000 001, o 1 x 10 ⁻¹⁸ en notación científica . El prefijo para un número de esta magnitud es atto , y se abrevia como minúscula a.

fracción unitaria es un número racional escrito como una fracción donde el numerador es uno y el denominador es un entero positivo . Una fracción unitaria es, por lo tanto, el recíproco de un entero positivo, 1 / n. Los ejemplos son 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.

La aritmética elemental [ editar ]

Al multiplicar cualquiera de las fracciones de dos unidades, se obtiene un producto que es otra fracción de unidad:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ times {\ frac {1} {y}} = {\ frac {1} {xy}}.

Sin embargo, sumar , restar o dividir fracciones de dos unidades produce un resultado que generalmente no es una fracción unitaria:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} = {\ frac {x + y} {xy}}}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} - {\ frac {1} {y}} = {\ frac {yx} {xy}}}

$${\ displaystyle {\ frac {1} {x}} \ div {\ frac {1} {y}} = {\ frac {y} {x}}.

Aritmética modular [ editar ]

Las fracciones unitarias desempeñan un papel importante en la aritmética modular , ya que pueden usarse para reducir la división modular al cálculo de los mayores divisores comunes. Específicamente, supongamos que deseamos realizar divisiones por un valor x , módulo y . Para que la división por x esté bien definida, módulo y , xe y deben ser relativamente primos . Luego, al usar el algoritmo euclidiano extendido para los divisores comunes más grandes, podemos encontrar a y b tales que

$${\ displaystyle \ displaystyle ax + by = 1,}

de lo que se deduce que

$${\ displaystyle \ displaystyle ax \ equiv 1 {\ pmod {y}},}

o equivalente

$${\ displaystyle a \ equiv {\ frac {1} {x}} {\ pmod {y}}.

Por lo tanto, para dividir por x (módulo y ) necesitamos simplemente multiplicar por a .

Sumas finitas de fracciones unitarias [ editar ]

Artículo principal: Lista de sumas de recíprocos § Finitamente muchos términos

Cualquier número racional positivo puede escribirse como la suma de fracciones unitarias, de múltiples maneras. Por ejemplo,

$${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {10}}.}

Las civilizaciones egipcias antiguas utilizaron sumas de distintas fracciones unitarias en su notación para números racionales más generales , por lo que tales sumas a menudo se llaman fracciones egipcias . Todavía hay interés hoy en analizar los métodos utilizados por los antiguos para elegir entre las posibles representaciones para un número fraccional y para calcular con tales representaciones. ^[1] El tema de las fracciones egipcias también ha visto interés en la teoría numérica moderna ; por ejemplo, la conjetura de Erdős-Graham y la conjetura de Erdős-Straus se refieren a sumas de fracciones unitarias, al igual que la definición de los números armónicos de Ore .

En la teoría de grupos geométricos , los grupos de triángulos se clasifican en casos euclidianos, esféricos e hiperbólicos según si una suma asociada de fracciones unitarias es igual a uno, mayor que uno o menor que uno, respectivamente.

Serie de fracciones unitarias [ editar ]

Artículo principal: Lista de sumas de recíprocos § Infinitamente muchos términos

Muchas series infinitas conocidas tienen términos que son fracciones unitarias. Éstos incluyen:

• La serie armónica , la suma de todas las fracciones unitarias positivas. Esta suma diverge, y sus sumas parciales

$${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}}}

Se aproxima mucho a ln  n  +  γ a medida que n aumenta.

• El problema de Basilea se refiere a la suma de las fracciones unitarias cuadrados, que converge a ¸ ² /6
• La constante de Apéry es la suma de las fracciones de unidades en cubos.
• La serie geométrica binaria , que se suma a 2, y la constante de Fibonacci recíproca son ejemplos adicionales de una serie compuesta de fracciones unitarias.

Matrices de fracciones unitarias [ editar ]

La matriz de Hilbert es la matriz con elementos.

$${\ displaystyle B_ {i, j} = {\ frac {1} {i + j-1}}.

Tiene la propiedad inusual de que todos los elementos en su matriz inversa son enteros. ^[2] Del mismo modo, Richardson (2001) definió una matriz con elementos.

$${\ displaystyle C_ {i, j} = {\ frac {1} {F_ {i + j-1}}},}

donde F _i denota el número i Fibonacci . Él llama a esta matriz la matriz de Filbert y tiene la misma propiedad de tener un entero inverso. ^[3]

Fracciones adyacentes [ editar ]

Dos fracciones se llaman adyacentes si su diferencia es una fracción unitaria. ^[4] [5]

Fracciones unitarias en probabilidad y estadística [ editar ]

En una distribución uniforme en un espacio discreto , todas las probabilidades son fracciones de unidades iguales. Debido al principio de indiferencia , las probabilidades de esta forma surgen frecuentemente en los cálculos estadísticos. ^[6] Además, la ley de Zipf establece que, para muchos fenómenos observados que involucran la selección de elementos de una secuencia ordenada, la probabilidad de que se seleccione el elemento n es proporcional a la fracción unitaria 1 / n . ^[7]

Fracciones unitarias en física [ editar ]

Los niveles de energía de los fotones que pueden ser absorbidos o emitidos por un átomo de hidrógeno son, según la fórmula de Rydberg , proporcionales a las diferencias de las fracciones de dos unidades. El modelo de Bohr proporciona una explicación de este fenómeno , según la cual los niveles de energía de los orbitales de electrones en un átomo de hidrógeno son inversamente proporcionales a las fracciones de unidades cuadradas, y la energía de un fotón se cuantifica a la diferencia entre dos niveles. ^[8]

Arthur Eddington argumentó que la constante de la estructura fina era una fracción unitaria, primero 1/136 luego 1/137. Esta afirmación ha sido falsificada, dado que las estimaciones actuales de la constante de estructura fina son (hasta 6 dígitos significativos) 1 / 137.036.

fracción egipcia es una suma finita de fracciones unitarias distintas , como

$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {16}}.}

Es decir, cada fracción en la expresión tiene un numeradorigual a 1 y un denominador que es un entero positivo , y todos los denominadores difieren entre sí. El valor de una expresión de este tipo es un número racional positivo a / b ; por ejemplo, la fracción egipcia por encima de las sumas a 43/48. Cada número racional positivo puede ser representado por una fracción egipcia. Las sumas de este tipo, y sumas similares también incluyendo 2/3 y 3/4 como sumandos , fueron utilizados como una notación seria para los números racionales por los antiguos egipcios, y continuaron siendo utilizados por otras civilizaciones en la época medieval. En la notación matemática moderna, las fracciones egipcias han sido reemplazadas por las fracciones vulgares y la notación decimal . Sin embargo, las fracciones egipcias siguen siendo un objeto de estudio en la teoría numérica moderna y las matemáticas recreativas , así como en los estudios históricos modernos de las matemáticas antiguas .

Aplicaciones motivadoras [ editar ]

Más allá de su uso histórico, las fracciones egipcias tienen algunas ventajas prácticas sobre otras representaciones de números fraccionarios. Por ejemplo, las fracciones egipcias pueden ayudar a dividir una cantidad de objetos en partes iguales (Knott). Por ejemplo, si uno quiere dividir 5 pizzas en partes iguales entre 8 comensales, la fracción egipcia

$${\ displaystyle {\ frac {5} {8}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {8}}}

significa que cada comensal obtiene la mitad de una pizza más otra octava parte de la pizza, por ejemplo, dividiendo 4 pizzas en 8 mitades, y la pizza restante en 8 octavos.

De manera similar, aunque se podría dividir 13 pizzas entre 12 comensales al darle a cada comensal una pizza y dividir la pizza restante en 12 partes (tal vez destruirla), se podría notar que

$${\ displaystyle {\ frac {13} {12}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}}}

y divida 6 pizzas en mitades, 4 en tercios y las 3 restantes en cuartos, y luego dé a cada comensal la mitad, un tercio y un cuarto.

Historia temprana [ editar ]

Para obtener más información sobre este tema, consulte Números egipcios , Ojo de Horus y Matemáticas egipcias .

Ojo de Horus

La notación de fracción egipcia se desarrolló en el Reino Medio de Egipto , alterando el sistema de numeración del Ojo de Horus del Antiguo Reino . Los cinco primeros textos en los que aparecen las fracciones egipcias fueron el rollo matemático de cuero egipcio , el papiro matemático de Moscú , el papiro Reisner , el papiro Kahun y la tableta de madera Akhmim . Un texto posterior, el Rhind Mathematical Papyrus , introdujo formas mejoradas de escribir fracciones egipcias. El papiro Rhind fue escrito por Ahmes y data del Segundo Período Intermedio ; incluye untabla de expansiones de fracciones egipcias para números racionales 2 / n , así como 84 problemas de palabras . Las soluciones para cada problema se escribieron en forma abreviada de los escribas, y las respuestas finales de los 84 problemas se expresaron en notación de fracción egipcia. 2 / n tablas similares a la del papiro Rhind también aparecen en algunos de los otros textos. Sin embargo, como muestra el papiro de Kahun , los escribas también utilizaron las fracciones vulgares en sus cálculos.

Notación [ editar ]

Para escribir las fracciones unitarias usadas en su notación de fracción egipcia, en la escritura de jeroglíficos, los egipcios colocaron el jeroglífico.

( er , "[uno] entre" o posiblemente re , boca) sobre un número para representar el recíproco de ese número. De manera similar, en un script hierático, dibujaron una línea sobre la letra que representa el número. Por ejemplo:

$${\ displaystyle = {\ frac {1} {3}}}

$${\ displaystyle = {\ frac {1} {10}}}

Los egipcios tenían símbolos especiales para 1/2, 2/3 y 3/4 que se usaron para reducir el tamaño de los números mayores que 1/2 cuando dichos números se convirtieron en una serie de fracciones egipcias. El número restante después de restar una de estas fracciones especiales se escribió como una suma de fracciones unitarias distintas de acuerdo con la notación de la fracción egipcia habitual.

$${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}}}

$${\ displaystyle = {\ frac {2} {3}}}

$${\ displaystyle = {\ frac {3} {4}}}

Los egipcios también utilizaron una notación alternativa modificada del Reino Antiguo para denotar un conjunto especial de fracciones de la forma 1/2 ^k (para k = 1, 2, ..., 6) y sumas de estos números, que son necesariamente diádicas. Números racionales . Estas han sido llamadas "fracciones de ojo de Horus" después de una teoría (ahora desacreditada) ^[1] que se basaron en las partes del símbolo Ojo de Horus . Fueron utilizados en el Reino Medio junto con la notación posterior para las fracciones egipcias para subdividir un hekat , la medida de volumen principal del antiguo Egipto para el grano, el pan y otras pequeñas cantidades de volumen, como se describe en la Tableta de madera Akhmim. Si quedaba algún resto después de expresar una cantidad en las fracciones Eye of Horus de un hekat, el resto se escribía utilizando la notación de la fracción egipcia habitual como múltiplos de un ro , una unidad igual a 1/320 de un hekat.

Métodos de cálculo [ editar ]

Los historiadores modernos de las matemáticas han estudiado el papiro Rhind y otras fuentes antiguas en un intento por descubrir los métodos que los egipcios usaron para calcular con fracciones egipcias. En particular, el estudio en esta área se ha concentrado en comprender las tablas de expansiones para números de la forma 2 / nen el papiro Rhind. Aunque estas expansiones generalmente se pueden describir como identidades algebraicas, los métodos utilizados por los egipcios pueden no corresponder directamente a estas identidades. Además, las expansiones en la tabla no coinciden con ninguna identidad individual; más bien, diferentes identidades coinciden con las expansiones de los denominadores primo y compuesto , y más de una identidad se ajusta a los números de cada tipo:

• Para los pequeños denominadores primos impares p , se utilizó la expansión 2 / p = 2 / ( p + 1) + 2 / p ( p + 1).
• Para denominadores primos más grandes, se utilizó una expansión de la forma 2 / p = 1 / A + (2 A - p ) / Ap , donde A es un número con muchos divisores (como un número práctico ) entre p / 2 y p . El término restante (2 A - p ) / Ap se expandió representando el número (2 A - p ) / Ap como una suma de divisores de A y formando una fracción d / Ap para cada uno de dichos divisoresd en esta suma. ^[2] Como ejemplo, la expansión de Ahmes 1/24 + 1/111 + 1/296 para 2/37 ajusta este patrón con A = 24 y (2 A - p ) / Ap = 11 = 3 + 8 , como 1 / 24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3 / (24 × 37) + 8 / (24 × 37) . Puede haber muchas expansiones diferentes de este tipo para una p dada ; sin embargo, como observó KS Brown, la expansión elegida por los egipcios fue a menudo la que causó que el mayor denominador fuera lo más pequeño posible, entre todas las expansiones que se ajustaban a este patrón.
• Para denominadores compuestos, factorizados como p × q , se puede expandir 2 / pq usando la identidad 2 / pq = 1 / aq + 1 / apq , donde a = ( p +1) / 2. Por ejemplo, la aplicación de este método para pq = 21 da p = 3, q = 7 y a = (3 + 1) / 2 = 2, produciendo la expansión 2/21 = 1/14 + 1/42 del papiro Rhind . Algunos autores han preferido escribir esta expansión como 2 / A × A / pq , donde A = p +1; ^[3]reemplazando el segundo término de este producto por p / pq + 1 / pq , aplicando la ley distributiva al producto, y simplificando, se obtiene una expresión equivalente a la primera expansión descrita aquí. Este método parece haber sido utilizado para muchos de los números compuestos en el papiro Rhind, ^[4] pero hay excepciones, en particular 2/35, 2/91 y 2/95. ^[5]
• También se puede expandir 2 / pq como 1 / pr + 1 / qr , donde r = ( p + q ) / 2. Por ejemplo, Ahmes expande 2/35 = 1/30 + 1/42, donde p = 5, q = 7 y r = (5 + 7) / 2 = 6. Los escribas posteriores usaron una forma más general de esta expansión, n / pq = 1 / pr + 1 / qr , donde r = ( p + q ) / n , que funciona cuando p + q es un múltiplo de n . ^[6]
• Para algunos otros denominadores compuestos, la expansión para 2 / pq tiene la forma de una expansión para 2 / q con cada denominador multiplicado por p . Por ejemplo, 95 = 5 × 19, y 2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 (como se puede encontrar usando el método para primos con A = 12), entonces 2/95 = 1 / (5 × 12) + 1 / (5 × 76) + 1 / (5 × 114) = 1/60 + 1/380 + 1/570. ^[6] Esta expresión se puede simplificar como 1/380 + 1/570 = 1/228 pero el papiro Rhind usa la forma no simplificada.
• La expansión final (principal) en el papiro Rhind, 2/101, no se ajusta a ninguna de estas formas, sino que utiliza una expansión 2 / p = 1 / p + 1/2 p + 1/3 p + 1/6 p que puede aplicarse independientemente del valor de p . Es decir, 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Una expansión relacionada también se usó en el rollo de cuero matemático egipcio para varios casos.

Uso posterior [ editar ]

Para obtener más información sobre este tema, consulte el algoritmo Liber Abaci y Greedy para fracciones egipcias .

Notación de fracción egipcia continuó siendo utilizada en tiempos de los griegos y en la Edad Media, ^[7] a pesar de las quejas tan pronto como Ptolomeo 's Almagesto sobre la torpeza de la notación en comparación con otras alternativas tales como la Babilonia de base-60 notación . Un importante texto de las matemáticas medievales, el Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci), proporciona una idea de los usos de las fracciones egipcias en la Edad Media, e introduce temas que siguen siendo importantes en matemática moderna. Estudio de estas series.

El tema principal del Liber Abaci son los cálculos que involucran la notación de fracción decimal y vulgar, que eventualmente reemplazó a las fracciones egipcias. El mismo Fibonacci usó una notación compleja para las fracciones que involucran una combinación de una notación de radix mixta con sumas de fracciones. Muchos de los cálculos a lo largo del libro de Fibonacci involucran números representados como fracciones egipcias, y una sección de este libro ^[8] proporciona una lista de métodos para la conversión de fracciones vulgares a fracciones egipcias. Si el número no es ya una fracción unitaria, el primer método en esta lista es intentar dividir el numerador en una suma de divisores del denominador; esto es posible siempre que el denominador sea un número práctico , yLiber Abaci incluye tablas de expansiones de este tipo para los números prácticos 6, 8, 12, 20, 24, 60 y 100.

Los siguientes varios métodos involucran identidades algebraicas tales como $${\ displaystyle {\ tfrac {a} {ab-1}} = {\ tfrac {1} {b}} + {\ tfrac {1} {b (ab-1)}}.} Por ejemplo, Fibonacci representa la fracción. $${\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}}} dividiendo el numerador en una suma de dos números, cada uno de los cuales divide uno más el denominador: $${\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {6} {11}} + {\ tfrac {2} {11}}.} Fibonacci aplica la identidad algebraica arriba a cada una de estas dos partes, produciendo la expansión $${\ displaystyle {\ tfrac {8} {11}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {22}} + {\ tfrac {1} {6}} + {\ tfrac {1} {66}}.} Fibonacci describe métodos similares para denominadores que son dos o tres menos que un número con muchos factores.

En el raro caso de que todos estos otros métodos fallen, Fibonacci sugiere un algoritmo codicioso para calcular las fracciones egipcias, en el cual uno elige repetidamente la fracción unitaria con el denominador más pequeño que no es más grande que la fracción restante para expandir: es decir, en más Notación moderna, reemplazamos una fracción x / y por la expansión.

$${\ displaystyle {\ frac {x} {y}} = {\ frac {1} {\ lceil y / x \ rceil}} + {\ frac {(-y) \, {\ bmod {\,}} x } {y \ lceil y / x \ rceil}},}

dónde $${\ displaystyle \ lceil \ ldots \ rceil}representa la función de techo ; ya que (-y) mod x < x , este método produce una expansión finita.

Fibonacci sugiere cambiar a otro método después de la primera expansión de este tipo, pero también da ejemplos en los que esta expansión codiciosa se iteró hasta que se construyó una expansión de fracción egipcia completa: $${\ displaystyle {\ tfrac {4} {13}} = {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {18}} + {\ tfrac {1} {468}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {17} {29}} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {12}} + {\ tfrac {1} {348}}.}

Comparado con las antiguas expansiones egipcias o con métodos más modernos, este método puede producir expansiones que son bastante largas, con grandes denominadores, y el propio Fibonacci notó la incomodidad de las expansiones producidas por este método. Por ejemplo, el método codicioso se expande.

$${\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {25}} + {\ frac {1} {757}} + {\ frac {1} {763309}} + {\ frac {1} {873960180913}} + {\ frac {1} {1527612795642093418846225}},}

Mientras que otros métodos conducen a la expansión más corta.

$${\ displaystyle {\ frac {5} {121}} = {\ frac {1} {33}} + {\ frac {1} {121}} + {\ frac {1} {363}}.}

La secuencia de Sylvester 2, 3, 7, 43, 1807, ... puede verse como generada por una expansión codiciosa infinita de este tipo para el número uno, donde en cada paso elegimos el denominador$${\ displaystyle \ lfloor y / x \ rfloor +1} en lugar de $${\ displaystyle \ lceil y / x \ rceil}, y algunas veces el algoritmo codicioso de Fibonacci se atribuye a Sylvester .

Después de su descripción del algoritmo codicioso, Fibonacci sugiere otro método, expandiendo una fracción. $${\ displaystyle a / b}buscando un número c que tenga muchos divisores, con{\ displaystyle b / 2 , reemplazando $${\ displaystyle a / b} por $${\ displaystyle ac / bc}, y en expansión $${\ displaystyle ac} como suma de divisores de $${\ displaystyle bc}, similar al método propuesto por Hultsch y Bruins para explicar algunas de las expansiones en el papiro Rhind.

La teoría de números moderna [ editar ]

Para obtener más información sobre este tema, consulte el problema de Erdős-Graham , el problema de Znám y la expansión de Engel .

Aunque las fracciones egipcias ya no se usan en la mayoría de las aplicaciones prácticas de las matemáticas, los teóricos de los números modernos han continuado estudiando muchos problemas diferentes relacionados con ellas. Estos incluyen problemas para delimitar la longitud o el máximo denominador en representaciones de fracciones egipcias, encontrar expansiones de ciertas formas especiales o en las que los denominadores son todos de algún tipo especial, la terminación de varios métodos para la expansión de fracciones egipcias y mostrar que existen expansiones para cualquier Conjunto suficientemente denso de números suficientemente suaves .

• Una de las primeras publicaciones de Paul Erdős demostró que no es posible que una progresión armónicaforme una fracción egipcia de un número entero . La razón es que, necesariamente, al menos un denominador de la progresión será divisible por un número primo que no divide ningún otro denominador. ^[9]La última publicación de Erdős, casi 20 años después de su muerte, demuestra que cada entero tiene una representación en la que todos los denominadores son productos de tres números primos. ^[10]
• La conjetura de Erdős-Graham en la teoría de números combinatoria establece que, si los enteros mayores que 1 se dividen en muchos subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos tiene un subconjunto de sí mismo cuyos recíprocos suman uno. Es decir, para cada r > 0, y cada coloración r de los enteros mayores que uno, hay un subconjunto monocromático finito S de estos enteros tal que

$${\ displaystyle \ sum _ {n \ en S} 1 / n = 1.}

La conjetura fue probada en 2003 por Ernest S. Croot, III .

• El problema de Znám y los números de seudoperfectos primarios están estrechamente relacionados con la existencia de fracciones egipcias de la forma

$${\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {x_ {i}}} + \ prod {\ frac {1} {x_ {i}}} = 1.}

Por ejemplo, el número de seudoperfecto primario 1806 es el producto de los números primos 2, 3, 7 y 43, y da lugar a la fracción egipcia 1 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1 / 1806.

• Las fracciones egipcias normalmente se definen como que requieren que todos los denominadores sean distintos, pero este requisito se puede relajar para permitir denominadores repetidos. Sin embargo, esta forma relajada de las fracciones egipcias no permite que se represente ningún número utilizando menos fracciones, ya que cualquier expansión con fracciones repetidas se puede convertir en una fracción egipcia de igual o menor longitud mediante la aplicación repetida del reemplazo.

$${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {2} {k + 1}} + {\ frac {2} {k (k + 1 )}}}

si k es impar, o simplemente reemplazando 1 / k + 1 / k por 2 / k si k es par. Este resultado fue probado por primera vez por Takenouchi (1921) .

• Graham y Jewett ^[11] demostraron que es igualmente posible convertir expansiones con denominadores repetidos a fracciones egipcias (más largas), a través del reemplazo

$${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {k}} + {\ frac {1} {k + 1}} + { \ frac {1} {k (k + 1)}}.}

Este método puede llevar a expansiones largas con denominadores grandes, como

$${\ displaystyle {\ frac {4} {5}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {31}} + {\ frac {1} {32}} + {\ frac {1} {42} } + {\ frac {1} {43}} + {\ frac {1} {56}} + {\ frac {1} {930}} + {\ frac {1} {931}} + {\ frac { 1} {992}} + {\ frac {1} {1806}} + {\ frac {1} {865830}}.

Botts (1967) originalmente usó esta técnica de reemplazo para mostrar que cualquier número racional tiene representaciones de fracciones egipcias con denominadores mínimos arbitrariamente grandes.

• Cualquier fracción x / y tiene una representación de fracción egipcia en la que el denominador máximo está delimitado por ^[12]

$${\ displaystyle O \ left (y \ log y (\ log \ log y) ^ {4} (\ log \ log \ log y) ^ {2} \ right)}

y una representación con a lo sumo

$${\ displaystyle O \ left ({\ sqrt {\ log y}} \ right)}

condiciones. ^[13] El número de términos a veces debe ser al menos proporcional a$${\ displaystyle \ log \ log y}; por ejemplo, esto es cierto para las fracciones en la secuencia 1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... cuyos denominadores forman la secuencia de Sylvester . Se ha conjeturado que$${\ displaystyle O (\ log \ log y)}Los términos son siempre suficientes. ^[14]También es posible encontrar representaciones en las que tanto el máximo denominador como el número de términos son pequeños. ^[15]

• Graham (1964) caracterizó los números que pueden representarse por fracciones egipcias en las que todos los denominadores son n potencias. En particular, un número racional q puede representarse como una fracción egipcia con denominadores cuadrados si y solo si q se encuentra en uno de los dos intervalos semiabiertos

$${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - 1 \ right) \ cup \ left [1, {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} \Correcto).}

• Martin (1999) mostró que cualquier número racional tiene expansiones muy densas, utilizando una fracción constante de los denominadores hasta N para cualquier N suficientemente grande .
• La expansión de Engel , a veces llamada producto egipcio , es una forma de expansión de fracción egipcia en la que cada denominador es un múltiplo del anterior:

$${\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots.}

Además, se requiere que la secuencia de los multiplicadores a _i no disminuya. Cada número racional tiene una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita.

• Anshel y Goldfeld (1991) estudian números que tienen múltiples representaciones de fracciones egipcias distintas con el mismo número de términos y el mismo producto de denominadores; por ejemplo, uno de los ejemplos que ofrecen es

$${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} = {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {15}} = {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {20}}.

A diferencia de los antiguos egipcios, permiten que los denominadores se repitan en estas expansiones. Aplican sus resultados para este problema a la caracterización de los productos libres de los grupos abelianos por un pequeño número de parámetros numéricos: el rango del subgrupo del conmutador , el número de términos en el producto libre y el producto de las órdenes de los factores.

• El número de representaciones de fracción egipcias de término n diferentes del número uno está delimitado arriba y abajo por funciones exponenciales dobles de n . ^[dieciséis]

Problemas abiertos [ editar ]

Para obtener más información sobre este tema, vea la expansión codiciosa impar y la conjetura de Erdős-Straus .

Algunos problemas notables siguen sin resolverse con respecto a las fracciones egipcias, a pesar del considerable esfuerzo de los matemáticos.

• La conjetura de Erdős-Straus ^{[14] se} refiere a la longitud de la expansión más corta para una fracción de la forma 4 / n . Hace una expansion

$${\ displaystyle {\ frac {4} {n}} = {\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}} + {\ frac {1} {z}}}

existen para cada n ? Se sabe que es verdad para todos n <10 font="" nbsp="">¹⁴ , y para todos menos una fracción muy pequeña de valores posibles de n , pero la verdad general de la conjetura sigue siendo desconocida.

• Se desconoce si existe una expansión codiciosa impar para cada fracción con un denominador impar. Si se modifica el método codicioso de Fibonacci para que siempre elija el denominador impar más pequeño posible , ¿en qué condiciones este algoritmo modificado produce una expansión finita? Una condición obvia necesaria es que la fracción de inicio x / y tenga un denominador impar y , se conjetura pero no se sabe que esta es también una condición suficiente. Se sabe ^[17] que cada x / y con impar y tiene una expansión en distintas fracciones de unidades impares, construidas utilizando un método diferente que el algoritmo codicioso.
• Es posible usar algoritmos de búsqueda de fuerza bruta para encontrar la representación de la fracción egipcia de un número dado con la menor cantidad de términos posibles ^[18] o minimizando el denominador más grande; sin embargo, tales algoritmos pueden ser bastante ineficientes. La existencia de algoritmos polinomiales de tiempo para estos problemas, o más generalmente la complejidad computacional de tales problemas, sigue siendo desconocida.

Guy (2004) describe estos problemas con más detalle y enumera numerosos problemas abiertos adicionales.

Otra aplicación [ editar ]

Las fracciones egipcias proporcionan una solución al rompecabezas del temporizador de quema de cuerdas , en el que se mide una duración determinada al encender cuerdas no uniformes que se queman después de un tiempo determinado, por ejemplo, una hora. El tiempo necesario para quemar completamente una cuerda es linealmente proporcional al número de frentes de llama mantenidos en la cuerda. Cualquier fracción racional de una hora puede cronometrarse encontrando la expansión de la fracción egipcia equivalente y quemando secuencialmente los cables con el número apropiado de frentes de llama para las fracciones. La restricción habitual de que cada fracción es diferente puede ser relajada. ^[19]

Por ejemplo, para medir 40 minutos (2/3 horas), podemos descomponer 2/3 en 1/2 + 1/6. Primero, una cuerda de una hora se enciende en ambos extremos. Cuando se quema en media hora, se enciende otra cuerda en ambos extremos y dos puntos intermedios, dando tres segmentos, cada uno con ambos extremos ardiendo. Cuando un segmento se quema, cualquier punto en un segmento restante se enciende, dividiéndolo en dos segmentos, manteniendo así un total de seis frentes de llama. En teoría, todos los segmentos se queman en 1/6 de hora, dando un total de 2/3 de hora según sea necesario.