SISTEMAS DE COORDENADAS

Cuadro sincrónico

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Un cuadro de referencia en el que la coordenada de tiempo define el tiempo adecuado para todos los observadores de movimiento conjunto se denomina "síncrono". Se construye eligiendo una hipersuperficie temporal como un origen, tal que tenga en cada punto una normal a lo largo de la línea de tiempo (se encuentra dentro del cono de luz con un vértice en ese punto); Todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son como un espacio . Una familia de geodésicas normal a esta hipersuperficie se dibuja y se define como las coordenadas de tiempo con un comienzo en la hipersuperficie.

Tal construcción, y por lo tanto, la elección de trama síncrona, siempre es posible aunque no sea única. Permite cualquier transformación de coordenadas espaciales que no dependa del tiempo y, además, una transformación provocada por la elección arbitraria de hipersuperficie utilizada para esta construcción geométrica.

Sincronización sobre un espacio curvo [ editar ]

La sincronización de los relojes ubicados en diferentes puntos espaciales significa que los eventos que ocurren en diferentes lugares se pueden medir de forma simultánea si esos relojes muestran los mismos tiempos. En la teoría de la relatividad especial, el elemento de distancia espacial dl se define como los intervalos entre dos eventos muy cercanos que ocurren en el mismo momento del tiempo. En la teoría de la relatividad general esto no se puede hacer, es decir, no se puede definir dl simplemente sustituyendo dx ⁰ = 0 en la métrica. La razón de esto es la dependencia diferente entre el tiempo adecuado y la coordenada de tiempo x ⁰ en diferentes puntos del espacio.

Figura 1. Sincronización de relojes en espacio curvo a través de señales luminosas.

Para encontrar dl en este caso, primero se puede sincronizar el tiempo en todo el espacio de la siguiente manera (Fig. 1): Bob envía una señal luminosa desde algún punto del espacio B con coordenadas x ^α  +  dx ^α a Alice, que se encuentra muy cierre el punto A con las coordenadas x ^α y luego Alice inmediatamente refleja la señal de vuelta a Bob. El tiempo necesario para esta operación (medido por Bob), multiplicado por c es, obviamente, la doble distancia entre Alice y Bob .

El intervalo cuadrado, con coordenadas separadas de espacio y tiempo, es:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta} + 2g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {0} \, dx ^ {\ alpha} + g_ {00} \ left (dx ^ {0} \ right) ^ {2},}

( eq. 1 )

donde un índice griego repetido dentro de un término significa la suma de los valores 1, 2, 3. El intervalo entre los eventos de llegada de la señal en el punto A y su reflejo inmediato es cero (dos eventos en el mismo momento en el mismo punto). La ecuación ds ² = 0 resuelta para dx ⁰ da dos raíces:

$${\ displaystyle dx ^ {0 (1)} = {\ frac {1} {g_ {00}}} \ left (-g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha} - {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}} \ right), }

$${\ displaystyle dx ^ {0 (2)} = {\ frac {1} {g_ {00}}} \ left (-g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha} + {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}} \ right), }

( eq. 2 )

que corresponden a la propagación de la señal en ambas direcciones entre Alicia y Bob. Si x ⁰ es el momento de llegada / reflexión de la señal hacia / desde Alicia, los momentos de salida de la señal de Bob y su llegada de regreso a Bob corresponden, respectivamente, a x ⁰ + dx ^{0 (1)} y x ⁰ + dx ^{0 (2)} . Las líneas gruesas en la Fig. 1 son las líneas del mundo de Alice y Bob con coordenadas x ^α y x ^α + dx ^α , respectivamente, mientras que las líneas rojas son las líneas del mundo de las señales. La figura 1 supone que dx ^{0 (2)}es positivo y dx ^{0 (1)} es negativo, lo que, sin embargo, no es necesariamente el caso: dx ^{0 (1)} y dx ^{0 (2)} pueden tener el mismo signo. El hecho de que en este último caso el valor x ⁰ (Alicia) en el momento de la llegada de la señal a la posición de Alicia puede ser menor que el valor x ⁰ (Bob) en el momento de la salida de la señal de Bob no contiene una contradicción porque los relojes en No se supone que los diferentes puntos del espacio estén sincronizados. Está claro que el intervalo completo de "tiempo" entre la salida y la llegada de la señal en el lugar de Bob es

$${\ displaystyle dx ^ {0 (2)} - dx ^ {0 (1)} = {\ frac {2} {g_ {00}}} {\ sqrt {\ left (g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta} -g _ {\ alpha \ beta} g_ {00} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}}}.

El respectivo intervalo de tiempo apropiado se obtiene de la relación anterior mediante la multiplicación por $${\ displaystyle {\ sqrt {g_ {00}}} / c}, y la distancia dl entre los dos puntos - por multiplicación adicional por c / 2. Como resultado:

$${\ displaystyle dl ^ {2} = \ left (-g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta}} {g_ {00}}} \ right) \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta}.}

( ec. 3 )

Esta es la relación requerida que define la distancia a través de los elementos de coordenadas del espacio.

Es obvio que dicha sincronización se debe realizar mediante el intercambio de señales de luz entre puntos. Considere nuevamente la propagación de señales entre los puntos A y B infinitamente próximos en la Fig. 1. La lectura del reloj en B, que es simultánea con el momento x ⁰ en A, se encuentra en el medio entre los momentos de envío y recepción de la señal en B ; este es el momento

$${\ displaystyle x ^ {0} + \ Delta x ^ {0} = x ^ {0} + {\ tfrac {1} {2}} \ left (dx ^ {0 (2)} + dx ^ {0 ( 1)} \ derecha).}

Sustituir aquí eq. 2 para encontrar la diferencia en "tiempo" x ⁰ entre dos eventos simultáneos que ocurren en puntos infinitamente cercanos como

$${\ displaystyle \ Delta x ^ {0} = - {\ frac {g_ {0 \ alpha} \, dx ^ {\ alpha}} {g_ {00}}} \ equivg _ {\ alpha} \, dx ^ { \ alpha}.}

( ec. 4 )

Esta relación permite la sincronización del reloj en cualquier volumen de espacio infinitesimalmente pequeño. Al continuar dicha sincronización más lejos del punto A , se pueden sincronizar los relojes, es decir, determinar la simultaneidad de eventos a lo largo de cualquier línea abierta. La condición de sincronización se puede escribir de otra forma multiplicando la ecuación. 4 por g ₀₀ y trayendo términos al lado izquierdo

$${\ displaystyle \ Delta x_ {0} = g_ {0i} dx ^ {i} = 0}

( eq. 5 )

o, el dx ₀ "diferencial covariante" entre dos puntos infinitesimalmente cercanos debe ser cero.

Sin embargo, es imposible, en general, sincronizar los relojes a lo largo de un contorno cerrado: comenzando a lo largo del contorno y volviendo al punto de inicio, se obtendría un valor de Δ x ⁰ diferente de cero. Por lo tanto, la sincronización inequívoca de los relojes en todo el espacio es imposible. Una excepción son los marcos de referencia en los que todos los componentes g _0α son ceros.

Tenga en cuenta que la incapacidad para sincronizar todos los relojes es una propiedad del marco de referencia y no del propio espacio-tiempo. Siempre es posible de infinitas formas en cualquier campo gravitacional elegir el marco de referencia para que los tres g _{0α se} conviertan en ceros y, por lo tanto, permitan una sincronización completa de los relojes. A esta clase se les asignan casos en los que g _0α se puede convertir en ceros mediante un simple cambio en la coordenada de tiempo que no implica la elección de un sistema de objetos que definen las coordenadas del espacio.

También en la teoría de la relatividad especial, el tiempo apropiado transcurre de manera diferente para los relojes que se mueven relativamente entre sí. En la relatividad general, el tiempo apropiado es diferente incluso en el mismo marco de referencia en diferentes puntos del espacio. Esto significa que el intervalo de tiempo apropiado entre dos eventos que ocurren en algún punto del espacio y el intervalo de tiempo entre los eventos simultáneos con los de otro punto del espacio son, en general, diferentes entre sí.

Tensor métrico espacial [ editar ]

Reescribir eq. 3 en el formulario

$${\ displaystyle dl ^ {2} = \ gamma _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta},}

( ec. 6 )

dónde

$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ alpha \ beta} + {\ frac {g_ {0 \ alpha} g_ {0 \ beta}} {g_ {00}}}}

( ec. 7 )

es el tensor métrico tridimensional que determina la métrica, es decir, las propiedades geométricas del espacio. Ecuaciones eq. 7 da las relaciones entre la métrica del espacio tridimensional y la métrica del espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

En general, sin embargo, la métrica g _ik depende de x ⁰ para que la métrica del espacio eq. 7 cambios con el tiempo. Por lo tanto, no tiene sentido integrar dl : esta integral depende de la elección de la línea del mundo entre los dos puntos en los que se toma. Se deduce que, en general, la relatividad no puede determinarse la distancia entre dos cuerpos en general; esta distancia se determina solo para puntos infinitesimalmente cercanos. La distancia se puede determinar también para regiones de espacio finito solo en dichos marcos de referencia en los que g _ik no depende del tiempo y, por lo tanto, la integral ∫ dl a lo largo de la curva de espacio adquiere un sentido definido.

El tensor –γ _αβ es inverso al tensor tridimensional contravariante g ^αβ . De hecho, escribiendo la ecuación g ^ik g _kl=$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ delta _ {l} ^ {i}}} en componentes, uno tiene:

$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta \ gamma} + g ^ {\ alpha 0} g_ {0 \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha},}

$${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta 0} + g ^ {\ alpha 0} g_ {00} = 0,}

( ecs. 8 )

$${\ displaystyle g ^ {0 \ beta} g _ {\ beta 0} + g ^ {00} g_ {00} = 1.}

Determine g ^{α0 a} partir de la segunda ecuación y sustitúyalo en la primera para obtener

$${\ displaystyle -g ^ {\ alpha \ beta} \ gamma _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma} ^ {\ alpha},}

( ec. 9 )

lo que quedaba por demostrar. Este resultado se puede presentar de otro modo diciendo que g ^αβ son componentes de un tensor tridimensional contravariante correspondiente a la eq métrica . 7 :

$${\ displaystyle \ gamma ^ {\ alpha \ beta} = - g ^ {\ alpha \ beta}.}

( ec. 10 )

Los determinantes g y γ compuestos por los elementos g _ik y γ _αβ , respectivamente, están relacionados entre sí por la relación simple:

$${\ displaystyle -g = g_ {00} \ gamma.}

( ec. 11 )

En muchas aplicaciones, es conveniente definir un vector tridimensional g con componentes covariantes

$${\ displaystyle g _ {\ alpha} = - {\ frac {g_ {0 \ alpha}} {g_ {00}}}.}

( ec. 12 )

Considerando g como un vector en el espacio con la métrica eq. 7 , sus componentes contravariantes pueden escribirse como g ^α = γ ^αβ g _β . Utilizando eq. 11 y el segundo de eqs. 8 , es fácil ver que

$${\ displaystyle g ^ {\ alpha} = \ gamma ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ beta} = - g ^ {0 \ alpha}.}

( ec. 13 )

A partir del tercero de eqs. 8 , sigue

$${\ displaystyle g ^ {00} = {\ frac {1} {g_ {00}}} - g _ {\ alpha} g ^ {\ alpha}.}

( ec. 14 )

Coordenadas síncronas [ editar ]

Como se concluyó a partir de la ec. 5 , la condición que permite la sincronización del reloj en diferentes puntos del espacio es que los componentes del tensor métrico g _0α son ceros. Si, además, g ₀₀ = 1, entonces la coordenada de tiempo x ⁰ = t es el tiempo adecuado en cada punto del espacio (con c = 1). Un marco de referencia que satisface las condiciones.

$${\ displaystyle g_ {00} = 1, \ quad g_ {0 \ alpha} = 0,}

( ec. 15 )

Se llama cuadro síncrono . El elemento de intervalo en este sistema está dado por la expresión

$${\ displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} -g _ {\ alpha \ beta} \, dx ^ {\ alpha} \, dx ^ {\ beta},}

( ec. 16 )

con los componentes del tensor métrico espacial idénticos (con signo opuesto) a los componentes g _αβ :

$${\ displaystyle \ gamma _ {\ alpha \ beta} = - g _ {\ alpha \ beta}.}

( ec. 17 )

Figura 2. Un marco de referencia síncrono construido con la opción de la hipersuperficie de tiempo t = const (color verde azulado). Solo se muestra una coordenada espacial x ¹ = x . Los cuatro observadores tienen los mismos tiempos apropiados x ⁰ = t que son normales a la hipersuperficie en sus espacios espaciales localmente planos (mostrados por los conos de luz ). El vector unitario n ⁰ = u ⁰ = 1 se muestra en amarillo. No hay componentes espaciales ( u ^α = 0), por lo que el tiempo adecuado común es una línea geodésica con un comienzo en la hipersuperficie y una dirección positiva (flechas rojas).

En el tiempo de cuadro síncrono, las líneas de tiempo son normales a las hipersuperficies t = const. De hecho, la unidad de cuatro vectores normal a tal hipersuperficie n _i = ∂ t / ∂ x ⁱ tiene componentes covariantes n _α = 0, n ₀ = 1. Los componentes contravariantes respectivos con las condiciones eq. 15 son de nuevo n ^α = 0, n ⁰ = 1.

Las componentes de la unidad normal coinciden con las de los cuatro vectores u ⁱ = dx ⁱ / ds que es tangente a la línea mundial x ¹ , x ² , x ³ = const. La u ⁱ con componentes u ^α = 0, u ⁰ = 1 satisface automáticamente las ecuaciones geodésicas :

$${\ displaystyle {\ frac {du ^ {i}} {ds}} + \ Gamma _ {kl} ^ {i} u ^ {k} u ^ {l} = \ Gamma _ {00} ^ {i} = 0,}

ya que, a partir de las condiciones eq. 15 , los símbolos de Christoffel$${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {\ alpha}} y $${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0}}desaparecer de forma idéntica. Por lo tanto, en el sistema de referencia síncrono, las líneas de tiempo son geodésicas en el espacio-tiempo.

Estas propiedades se pueden usar para construir un cuadro síncrono en cualquier espacio-tiempo (Fig. 2). Para este fin, elija alguna hipersuperficie espaciadora como origen, tal que tenga en cada punto una normal a lo largo de la línea de tiempo (se encuentra dentro del cono de luz con un vértice en ese punto); Todos los elementos de intervalo en esta hipersuperficie son como un espacio. Luego dibuja una familia de geodésicas normal a esta hipersuperficie. Elija estas líneas como líneas de coordenadas de tiempo y defina la coordenada de tiempo t como la longitud s de la geodésica medida con un comienzo en la hipersuperficie; El resultado es un cuadro síncrono.

Con el uso de la ecuación de Hamilton-Jacobi se puede hacer una transformación analítica a un cuadro síncrono . El principio de este método se basa en el hecho de que las trayectorias de partículas en los campos gravitacionales son geodésicas. La ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula (cuya masa es igual a la unidad) en un campo gravitacional es

$${\ displaystyle g ^ {ik} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x ^ {k}}} = 1,}

( ec. 18a )

donde S es la acción. Su integral completo tiene la forma:

$${\ displaystyle S = f \ left (\ xi ^ {\ alpha}, x ^ {i} \ right) + A \ left (\ xi ^ {\ alpha} \ right),}

( ec. 18b )

donde f es una función de las cuatro coordenadas x ⁱ y los tres parámetros ξ ^α ; La constante A se trata como una función arbitraria de los tres ξ ^α . Con tal representación para S, las ecuaciones para la trayectoria de la partícula se pueden obtener al igualar las derivadas ∂ S / ∂ξ ^α a cero, es decir

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial \ xi ^ {\ alpha}}} = - {\ frac {\ partial A} {\ partial \ xi ^ {\ alpha}}}.}

( ec. 18c )

Para cada conjunto de valores asignados de los parámetros ξ ^α , los lados derechos de las ecuaciones 18a-18ctienen valores constantes definidos, y la línea del mundo determinada por estas ecuaciones es una de las posibles trayectorias de la partícula. Al elegir las cantidades ξ ^α , que son constantes a lo largo de la trayectoria, como nuevas coordenadas de espacio, y la cantidad S como la nueva coordenada de tiempo, se obtiene un sistema de referencia síncrono; la transformación de las coordenadas antiguas a las nuevas viene dada por las ecuaciones 18b-18c . De hecho, se garantiza que para tal transformación las líneas de tiempo serán geodésicas y serán normales a las hipersuperficies S= const. El último punto es obvio a partir de la analogía mecánica: el cuatro vector ∂ S / ∂ x ⁱ que es normal a la hipersuperficie coincide en la mecánica con el de cuatro impulso de la partícula, y por lo tanto coincide en dirección con su cuadrivelocidad u ⁱ Es decir, con la tangente de cuatro vectores a la trayectoria. Finalmente, la condición g ₀₀ = 1 se cumple obviamente, ya que la derivada - dS / ds de la acción a lo largo de la trayectoria es la masa de la partícula, que se estableció igual a 1; por lo tanto | dS / ds | = 1. 

El medidor condiciona eq. 15 no arreglan completamente el sistema de coordenadas y, por lo tanto, no son un calibre fijo , ya que la hipersuperficie espaciadora en$${\ displaystyle t = 0}Puede ser elegido arbitrariamente. Uno todavía tiene la libertad de realizar algunas transformaciones de coordenadas que contienen cuatro funciones arbitrarias dependiendo de las tres variables espaciales x ^α , que se resuelven fácilmente en forma infinitesimal:

$${\ displaystyle x ^ {i} = {\ acute {x}} ^ {i} + \ xi ^ {i} ({\ acute {x}}).}

( ec. 18 )

Aquí, las colecciones de las cuatro coordenadas antiguas ( t , x ^α ) y cuatro nuevas coordenadas$${\ displaystyle ({\ acute {t}}, {\ acute {x}} ^ {\ alpha})}se designan por los símbolos x y$${\ displaystyle {\ acute {x}}}, respectivamente. Las funciones$${\ displaystyle \ xi ^ {i} ({\ acute {x}})}Junto con sus primeras derivadas son infinitesimalmente pequeñas cantidades. Después de tal transformación, el intervalo de cuatro dimensiones toma la forma:

$${\ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ik} (x) dx ^ {i} dx ^ {k} = g_ {ik} ^ {(nuevo)} ({\ acute {x}}) d {\ acute {x}} ^ {i} d {\ acute {x}} ^ {k},}

( ec. 19 )

dónde

$${\ displaystyle g_ {ik} ^ {(nuevo)} ({\ acute {x}}) = g_ {ik} ({\ acute {x}}) + g_ {il} ({\ acute {x}}) {\ frac {\ parcial \ xi ^ {l} ({\ agudo {x}})} {\ parcial {\ agudo {x}} ^ {k}}} + g_ {kl} ({\ agudo {x} }) {\ frac {\ parcial \ xi ^ {l} ({\ agudo {x}})} {\ parcial {\ agudo {x}} ^ {i}}} + {\ frac {\ parcial g_ {ik } ({\ agudo {x}})} {\ parcial {\ agudo {x}} ^ {l}}} \ xi ^ {l} ({\ agudo {x}}).}

( ec. 20 )

En la última fórmula, la $${\ displaystyle g_ {ik} ({\ acute {x}})}son las mismas funciones g _ik ( x ) en las que x debería reemplazarse simplemente por$${\ displaystyle {\ acute {x}}}. Si se desea preservar el calibre eq. 15 también para el nuevo tensor métrico.$${\ displaystyle g_ {ik} ^ {(nuevo)} ({\ acute {x}})} en las nuevas coordenadas $${\ displaystyle {\ acute {x}}}, es necesario imponer las siguientes restricciones a las funciones. $${\ displaystyle \ xi ^ {i} ({\ acute {x}})}:

$${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ xi ^ {0} ({\ acute {x}})} {\ partial {\ acute {x}}}} = 0, \ quad g _ {\ alpha \ beta} ( {\ agudo {x}}) {\ frac {\ parcial \ xi ^ {\ beta} ({\ agudo {x}})} {\ parcial {\ agudo {t}}}} - {\ frac {\ parcial \ xi ^ {0} ({\ acute {x}})} {\ partial {\ acute {x}} ^ {\ alpha}}} = 0.}

( ec. 21 )

Las soluciones de estas ecuaciones son:

$${\ displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ left ({\ acute {x}} ^ {1}, {\ sharp {x}} ^ {2}, {\ acute {x}} ^ {3} \ derecha), \ quad \ xi ^ {\ alpha} = \ int {g ^ {\ alpha \ beta} ({\ acute {x}}) {\ frac {\ partial f ^ {0} \ left ({\ agudo {x}} ^ {1}, {\ agudo {x}} ^ {2}, {\ agudo {x}} ^ {3} \ derecha)} {\ parcial {\ agudo {x}} ^ {\ beta}}} d {\ acute {x}} ^ {0}} + f ^ {\ alpha} \ left ({\ acute {x}} ^ {1}, {\ acute {x}} ^ {2}, {\ agudo {x}} ^ {3} \ derecha),}

( ec. 22 )

donde f ⁰ y f ^α son cuatro funciones arbitrarias que dependen solo de las coordenadas espaciales$${\ displaystyle {\ acute {x}} ^ {\ alpha}}.

Para una explicación geométrica más elemental, considere la Fig. 2. Primero, la línea de tiempo síncrona ξ ⁰ = tpuede ser elegida arbitrariamente (de Bob, Carol, Dana o cualquiera de los infinitos observadores). Esto hace que una función elegida arbitrariamente:$${\ displaystyle \ xi ^ {0} = f ^ {0} \ left ({\ acute {x}} ^ {1}, {\ sharp {x}} ^ {2}, {\ acute {x}} ^ {3} \ derecha)}. En segundo lugar, la hipersuperficie inicial puede elegirse de infinitas formas. Cada una de estas opciones cambia tres funciones: una función para cada una de las tres coordenadas espaciales$${\ displaystyle \ xi ^ {\ alpha} = f ^ {\ alpha} \ left ({\ agudo {x}} ^ {1}, {\ agudo {x}} ^ {2}, {\ agudo {x} } ^ {3} \ derecha)}. En total, cuatro funciones (= 1 + 3) son arbitrarias.

Cuando se discuten las soluciones generales g _αβ de las ecuaciones de campo en medidores síncronos, es necesario tener en cuenta que los potenciales gravitacionales g _αβ contienen, entre todos los posibles parámetros funcionales arbitrarios presentes en ellas, cuatro funciones arbitrarias de 3 espacios que representan el indicador. Libertad y, por tanto, sin significado físico directo.

Otro problema con el sistema de referencia es que pueden producirse cáusticos que causan la ruptura de la elección del medidor. Estos problemas han causado algunas dificultades para hacer la teoría de perturbación cosmológica en este sistema, pero los problemas ahora se comprenden bien. Las coordenadas síncronas generalmente se consideran el sistema de referencia más eficiente para realizar cálculos, y se utilizan en muchos códigos de cosmología modernos, como CMBFAST . También son útiles para resolver problemas teóricos en los que es necesario arreglar una hipersuperficie espacial, como ocurre con las singularidades espaciales .

Ecuaciones de Einstein en marco síncrono [ editar ]

La introducción de un cuadro síncrono permite separar las operaciones de diferenciación de espacio y tiempo en las ecuaciones de campo de Einstein . Para hacerlos más concisos, la notación.

$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta} = {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ alpha \ beta}} {\ partial t}}}

( ec. 23 )

se introduce para las derivadas de tiempo del tensor métrico tridimensional; estas cantidades también forman un tensor tridimensional. En el cuadro síncrono.$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}Es proporcional a la segunda forma fundamental (tensor de forma). Todas las operaciones de los índices de desplazamiento y la diferenciación covariante del tensor.$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}Se realizan en espacio tridimensional con la métrica γ _αβ . Esto no se aplica a las operaciones de los índices de desplazamiento en los componentes espaciales de los cuatro tensores R _ik , T _ik . Por lo tanto, debe entenderse que T _α ^β es g ^βγ T _γα + g ^β0 T _0α , que se reduce a g ^βγ T _γα y difiere en el signo de γ ^βγ T _γα . La suma$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}es la derivada logarítmica del determinante γ ≡ | γ _αβ | = - g :

$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha} = \ gamma ^ {\ alpha \ beta} {\ frac {\ partial \ gamma _ {\ alpha \ beta}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ ln {(\ gamma)}.}

( ec. 24 )

Luego para el conjunto completo de símbolos de Christoffel. $${\ displaystyle \ Gamma _ {kl} ^ {i}} Se obtiene:

$${\ displaystyle \ Gamma _ {00} ^ {0} = \ Gamma _ {00} ^ {\ alpha} = \ Gamma _ {0 \ alpha} ^ {0} = 0, \ quad \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ varkappa _ {\ alpha \ beta}, \ quad \ Gamma _ {0 \ beta} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} { 2}} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha}, \ quad \ Gamma _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}

( ec. 25 )

dónde $${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}son los símbolos de Christoffel tridimensionales construidos a partir de γ _αβ :

$${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} = {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {\ gamma \ mu} \ left (\ gamma _ {\ mu \ alpha, \ beta} + \ gamma _ {\ mu \ beta, \ beta} - \ gamma _ {\ alpha \ beta, \ mu} \ derecha),}

( ec. 26 )

donde la coma denota derivada parcial por la coordenada respectiva.

Con los símbolos de Christoffel eq. 25 , los componentes R ⁱ _k = g ^il R _lk del tensor de Ricci se pueden escribir en la forma:

$${\ displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ varkappa}} - {\ frac {1} {4}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha},}

( ec. 27 )

$${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha; \ beta} ^ {\ beta} - \ varkappa _ {, \ alpha} \Correcto),}

( ec. 28 )

$${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ dot {\ left ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ right)}} - P _ {\ alpha} ^ {\ beta}.}

( ec. 29 )

Los puntos en la parte superior indican la diferenciación en el tiempo, los puntos y comas (";") indican la diferenciación covariante que, en este caso, se realiza con respecto a la métrica tridimensional γ _αβ con símbolos Christoffel tridimensionales$${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}, $${\ displaystyle \ varkappa \ equiv \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ alpha}}, y P _α ^β es un tensor de Ricci tridimensional construido a partir de$${\ displaystyle \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma}}:

$${\ displaystyle P _ {\ alpha} ^ {\ beta} = \ gamma ^ {\ beta \ gamma} P _ {\ gamma \ alpha}, \ quad P _ {\ alpha \ beta} = \ lambda _ {\ alpha \ beta, \ gamma} ^ {\ gamma} - \ lambda _ {\ gamma \ alpha, \ beta} ^ {\ gamma} + \ lambda _ {\ alpha \ beta} ^ {\ gamma} \ lambda _ {\ gamma \ mu} ^ {\ mu} - \ lambda _ {\ alpha \ mu} ^ {\ gamma} \ lambda _ {\ beta \ gamma} ^ {\ mu}.}

( ec. 30 )

Se sigue de la ec. 27–29 que las ecuaciones de Einstein$${\ displaystyle R_ {i} ^ {k} = 8 \ pi k \ left (T_ {i} ^ {k} - {\ frac {1} {2}} \ delta _ {i} ^ {k} T \ Correcto)}(con las componentes del tensor de energía-momento T ₀ ⁰ = - T ₀₀ , T _α ⁰ = - T _0α , T _α ^β = γ ^βγ T _γα ) se convierten en un sistema de coordenadas síncronas:

$${\ displaystyle R_ {0} ^ {0} = - {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ varkappa}} - {\ frac {1} {4}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ varkappa _ {\ beta} ^ {\ alpha} = 8 \ pi k \ left (T_ {0} ^ {0} - {\ frac {1} {2}} T \ right),}

( ec. 31 )

$${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {0} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ varkappa _ {\ alpha; \ beta} ^ {\ beta} - \ varkappa _ {, \ alpha} \ right) = 8 \ pi kT _ {\ alpha} ^ {0},}

( ec. 32 )

$${\ displaystyle R _ {\ alpha} ^ {\ beta} = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {\ gamma}}}} {\ dot {\ left ({\ sqrt {\ gamma}} \ varkappa _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ right)}} - P _ {\ alpha} ^ {\ beta} = 8 \ pi k \ left (T _ {\ alpha} ^ {\ beta} - {\ frac {1 } {2}} \ delta _ {\ alpha} ^ {\ beta} T \ right).}

( ec. 33 )

Un rasgo característico de los sistemas de referencia síncronos es que no son estacionarios: el campo gravitatorio no puede ser constante en dicho sistema. En un campo constante$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}se convertiría en cero. Pero en presencia de la materia la desaparición de todos.$${\ displaystyle \ varkappa _ {\ alpha \ beta}}contradeciria la ecuacion 31 (que tiene un lado derecho diferente de cero). En espacio vacío desde eq. 33 sigue que todo P _αβ , y con ellos todas las componentes del tensor de curvatura tridimensional P _αβγδ ( tensor de Riemann ) desaparecen, es decir, el campo desaparece por completo (en un sistema síncrono con una métrica espacial euclidiana el espacio-tiempo es plano) .

Al mismo tiempo, la materia que llena el espacio no puede, en general, descansar en relación con el marco de referencia síncrono. Esto es obvio por el hecho de que las partículas de materia dentro de las cuales hay presiones generalmente se mueven a lo largo de líneas que no son geodésicas; La línea del mundo de una partícula en reposo es una línea de tiempo, y por lo tanto es una geodésica en el sistema de referencia síncrono. Una excepción es el caso del polvo ( p= 0). Aquí las partículas que interactúan entre sí se moverán a lo largo de líneas geodésicas; en consecuencia, en este caso, la condición para un sistema de referencia síncrono no contradice la condición de que esté relacionado con la materia. Incluso en este caso, para poder elegir un sistema de referencia de referencia sincrónica, todavía es necesario que la materia se mueva sin rotación. En el sistema comoving, los componentes contravariantes de la velocidad son u ⁰ = 1, u ^α = 0. Si el sistema de referencia también es síncrono, los componentes covariantes deben satisfacer u ₀ = 1, u _α = 0, de modo que su cuatro dimensiones rizo debe desaparecer:

$${\ displaystyle u_ {i; k} -u_ {k; i} \ equiv {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x ^ {k}}} - {\ frac {\ parcial u_ {k} } {\ parcial x ^ {i}}} = 0.}

Pero esta ecuación de tensor también debe ser válida en cualquier otro marco de referencia. Por lo tanto, en un sistema síncrono, pero no de tipo, la condición curl v = 0 para la velocidad tridimensional v es adicionalmente necesaria. Para otras ecuaciones de estado, una situación similar puede ocurrir solo en casos especiales cuando el gradiente de presión se desvanece en todas o en ciertas direcciones.