SISTEMAS DE COORDENADAS

TENSORES EN COORDENADAS CURVILÍNEAS

Relaciones entre vectores de base curvilínea y cartesiana [ editar ]

Sean ( e ₁ , e ₂ , e ₃ ) los vectores cartesianos de base habituales para el espacio de interés euclidiano y dejemos

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}

donde F _i es un tensor de transformación de segundo orden que mapea e _i a b _i . Entonces,

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {i} = ({\ boldsymbol {F}} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}) \ otimes \ mathbf {e } _ {i} = {\ boldsymbol {F}} \ cdot (\ mathbf {e} _ {i} \ otimes \ mathbf {e} _ {i}) = {\ boldsymbol {F}} ~.}

De esta relación podemos mostrar que

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = {\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {T}}} \ cdot \ mathbf {e} ^ {i} ~; ~~ g ^ {ij } = [{\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {1}}} \ cdot {\ boldsymbol {F}} ^ {- {\ rm {T}}}] _ {ij} ~; ~~ g_ {ij} = [g ^ {ij}] ^ {- 1} = [{\ boldsymbol {F}} ^ {\ rm {T}} \ cdot {\ boldsymbol {F}}] _ {ij}}

Dejar $${\ displaystyle J: = \ det {\ boldsymbol {F}}}Sé el jacobiano de la transformación. Entonces, a partir de la definición del determinante,

$${\ displaystyle \ left [\ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ mathbf {b} _ {3} \ right] = \ det {\ boldsymbol {F}} \ left [\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3} \ right] ~.}

Ya que

$${\ displaystyle \ left [\ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3} \ right] = 1}

tenemos

$${\ displaystyle J = \ det {\ boldsymbol {F}} = \ left [\ mathbf {b} _ {1}, \ mathbf {b} _ {2}, \ mathbf {b} _ {3} \ right] = \ mathbf {b} _ {1} \ cdot (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3})}

Se pueden obtener varios resultados interesantes utilizando las relaciones anteriores.

Primero, considera

$${\ displaystyle g: = \ det [g_ {ij}]}

Entonces

$${\ displaystyle g = \ det [{\ boldsymbol {F}} ^ {\ rm {T}}] \ cdot \ det [{\ boldsymbol {F}}] = J \ cdot J = J ^ {2}}

Del mismo modo, podemos mostrar que

$${\ displaystyle \ det [g ^ {ij}] = {\ cfrac {1} {J ^ {2}}}}

Por lo tanto, utilizando el hecho de que $${\ displaystyle [g ^ {ij}] = [g_ {ij}] ^ {- 1}},

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial g} {\ partial g_ {ij}}} = 2 ~ J ~ {\ cfrac {\ partial J} {\ partial g_ {ij}}} = g ~ g ^ {ij} }

Otra relación interesante se deriva a continuación. Recordar que

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} = \ delta _ {j} ^ {i} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {1} = 1, ~ \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {2} = \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b } _ {3} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} ^ {1} = A ~ (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3})}

donde A es una constante constante. Entonces

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {1} \ cdot \ mathbf {b} _ {1} = A ~ \ mathbf {b} _ {1} \ cdot (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3}) = AJ = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad A = {\ cfrac {1} {J}}}

Esta observación conduce a las relaciones.

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {1} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {2} \ times \ mathbf {b} _ {3}) ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {2} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {3} \ times \ mathbf {b} _ {1}) ~; ~~ \ mathbf {b} ^ {3} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {1} \ times \ mathbf {b} _ {2})}

En notación de índice,

$${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {k} = {\ cfrac {1} {J}} (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j }) = {\ cfrac {1} {\ sqrt {g}}} (\ mathbf {b} _ {i} \ times \ mathbf {b} _ {j})}

dónde $${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}Es el símbolo de permutación habitual .

No hemos identificado una expresión explícita para el tensor de transformación F porque es más útil una forma alternativa de mapeo entre las bases curvilíneas y cartesianas. Asumiendo un grado suficiente de suavidad en el mapeo (y un poco de abuso de notación), tenemos

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ parcial x_ {j}}} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {j}} {\ parcial q ^ {i}}} = \ mathbf {e} _ {j} ~ {\ cfrac {\ parcial x_ {j} } {\ parcial q ^ {i}}}}

Similar,

$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {b} _ {j} ~ {\ cfrac {\ partial q ^ {j}} {\ partial x_ {i}}}}

De estos resultados tenemos

$${\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {k} \ cdot \ mathbf {b} _ {i} = {\ frac {\ partial x_ {k}} {\ partial q ^ {i}}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {\ parcial x_ {k}} {\ parcial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = \ mathbf {e} ^ {k} \ cdot (\ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}) = \ mathbf {e} ^ {k}}

y

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {k} = {\ frac {\ partial q ^ {k}} {\ partial x_ {i}}} ~ \ mathbf {e} ^ {i}}

Cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas tridimensionales [ editar ]

Nota: la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos se utiliza a continuación.

Simmonds, ^[4] en su libro sobre el análisis del tensor , cita a Albert Einstein diciendo ^[7]

La magia de esta teoría no dejará de imponerse a quien la haya entendido realmente; representa un auténtico triunfo del método de cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se usa en el análisis tensorial de múltiplescurvilíneas cuatridimensionales en la relatividad general , ^[8] en la mecánica de conchas curvas , ^[6] en el examen de las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell en las que ha sido de interés metamateriales ^[9] [10] y en muchos otros campos.

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y los contenidos son principalmente de Ogden, ^[2] Simmonds, ^[4] Green y Zerna, ^[1] Basar y Weichert, ^[5] y Ciarlet. ^[6]

Definiciones básicas [ editar ]

Deje que la posición de un punto en el espacio se caracterice por tres variables de coordenadas $${\ displaystyle (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}.

La curva de coordenadas q ¹ representa una curva en la que q ² , q ³ son constantes. Sea x el vector de posicióndel punto en relación con algún origen. Luego, asumiendo que tal mapeo y su inverso existen y son continuos, podemos escribir ^{[2] ( p55 )}

$${\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3}) ~; ~~ q ^ {i} = \ psi ^ { i} (\ mathbf {x}) = [{\ boldsymbol {\ varphi}} ^ {- 1} (\ mathbf {x})] ^ {i}}

Los campos ψ ⁱ ( x ) se denominan funciones de coordenadas curvilíneas del sistema de coordenadas curvilíneas ψ ( x ) = ψ ⁻¹ ( x ).

Las curvas de coordenadas q ⁱ están definidas por la familia de funciones de un solo parámetro dada por

$${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {i} (\ alpha) = {\ boldsymbol {\ varphi}} (\ alpha, q ^ {j}, q ^ {k}) ~, ~~ i \ neq j \ neq k}

con q ^j , q ^k fijo.

Vector tangente para coordinar curvas [ editar ]

El vector tangente a la curva x _i en el punto x _i (α) (o a la curva de coordenadas q _i en el punto x ) es

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ rm {{d} \ mathbf {x} _ {i}}} {\ rm {{d} \ alpha}}} \ equiv {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ parcial q ^ {i}}}}

Gradiente [ editar ]

Campo escalar [ editar ]

Sea f ( x ) un campo escalar en el espacio. Entonces

$${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = f [{\ boldsymbol {\ varphi}} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})] = f _ {\ varphi} (q ^ {1}, q ^ {2}, q ^ {3})}

El gradiente del campo f está definido por

$${\ displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ rm {d}} {\ rm {{d} \ alpha}} } f (\ mathbf {x} + \ alpha \ mathbf {c}) {\ biggr |} _ {\ alpha = 0}}

donde c es un vector constante arbitrario. Si definimos los componentes c ⁱ de c son tales que

$${\ displaystyle q ^ {i} + \ alpha ~ c ^ {i} = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x} + \ alpha ~ \ mathbf {c})}

entonces

$${\ displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ rm {d}} {\ rm {{d} \ alpha}} } f _ {\ varphi} (q ^ {1} + \ alpha ~ c ^ {1}, q ^ {2} + \ alpha ~ c ^ {2}, q ^ {3} + \ alpha ~ c ^ {3 }) {\ biggr |} _ {\ alpha = 0} = {\ cfrac {\ partial f _ {\ varphi}} {\ partial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = {\ cfrac {\ partial f} {\ parcial q ^ {i}}} ~ c ^ {i}}

Si nos ponemos $${\ displaystyle f (\ mathbf {x}) = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})}, entonces desde $${\ displaystyle q ^ {i} = \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})}, tenemos

$${\ displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ psi ^ {i} (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ partial \ psi ^ {i}} {\ partial q ^ {j}}} ~ c ^ {j} = c ^ {i}}

que proporciona un medio para extraer el componente contravariante de un vector c .

Si b _i es la base covariante (o natural) en un punto, y si b ⁱ es la base contravariante (o recíproca) en ese punto, entonces

$${\ displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = \ left ({\ cfrac {\ partial f} {\ partial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ right) \ left (c ^ {i} ~ \ mathbf { b} _ {i} \ right) \ quad \ Rightarrow \ quad {\ boldsymbol {\ nabla}} f (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ partial f} {\ partial q ^ {i}}} ~ \ mathbf {b} ^ {i}}

En la siguiente sección se ofrece una breve explicación de esta elección de base.

Campo vectorial [ editar ]

Se puede usar un proceso similar para llegar al gradiente de un campo vectorial f ( x ). El gradiente está dado por

$${\ displaystyle [{\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} (\ mathbf {x})] \ cdot \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial q ^ {i}}} ~ c ^ {i}}

Si consideramos el gradiente del campo del vector de posición r ( x ) = x , entonces podemos mostrar que

$${\ displaystyle \ mathbf {c} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ {i}}} ~ c ^ {i} = \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {x}) ~ c ^ {i} ~; ~~ \ mathbf {b} _ {i} (\ mathbf {x}): = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {x}} {\ partial q ^ { yo}}}}

El campo vectorial b _i es tangente a la curva de coordenadas q ⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se discutió al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante. También podemos definir una base recíproca , o una base curvilínea contravariante , b ⁱ . Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de base, como se discutió en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican para la base natural y su recíproco en cada punto x .

Como c es arbitrario, podemos escribir

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial q ^ {i}}} \ otimes \ mathbf {b} ^ {i}}

Tenga en cuenta que el vector de base contravariante b ⁱ es perpendicular a la superficie de la constante ψ ⁱ y está dado por

$${\ displaystyle \ mathbf {b} ^ {i} = {\ boldsymbol {\ nabla}} \ psi ^ {i}}

Símbolos de Christoffel del primer tipo [ editar ]

Los símbolos de Christoffel del primer tipo se definen como

$${\ displaystyle \ mathbf {b} _ {i, j} = {\ frac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}}: = \ Gamma _ {ijk} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ quad \ Rightarrow \ quad \ mathbf {b} _ {i, j} \ cdot \ mathbf {b} _ {l} = \ Gamma _ {ijl}}

Para expresar Γ _ijk en términos de g _ij notamos que

{\ displaystyle {\ begin {alineado} g_ {ij, k} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k} = \ mathbf {b} _ {i, k} \ cdot \ mathbf {b} _ {j} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j, k} = \ Gamma _ {ikj} + \ Gamma _ {jki} \\ g_ {ik, j} & = (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} = \ mathbf {b} _ {i , j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, j} = \ Gamma _ {ijk} + \ Gamma _ {kji } \\ g_ {jk, i} & = (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} = \ mathbf {b} _ {j, i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k} + \ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k, i} = \ Gamma _ {jik} + \ Gamma _ {kij} \ end {alineado}}}

Como b _{i, j} = b _{j, i} tenemos Γ _ijk = Γ _jik . El uso de estos para reorganizar las relaciones anteriores da

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} (g_ {ik, j} + g_ {jk, i} -g_ {ij, k}) = {\ frac {1} { 2}} [(\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, j} + (\ mathbf {b} _ {j} \ cdot \ mathbf {b} _ {k}) _ {, i} - (\ mathbf {b} _ {i} \ cdot \ mathbf {b} _ {j}) _ {, k}]}

Símbolos de Christoffel del segundo tipo [ editar ]

Los símbolos de Christoffel del segundo tipo se definen como

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = \ Gamma _ {ji} ^ {k}}

en el cual

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} }

Esto implica que

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} _ {i}} {\ partial q ^ {j}}} \ cdot \ mathbf {b} ^ {k } = - \ mathbf {b} _ {i} \ cdot {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {k}} {\ partial q ^ {j}}}}

Otras relaciones que siguen son

$${\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ mathbf {b} ^ {i}} {\ partial q ^ {j}}} = - \ Gamma _ {jk} ^ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {k } ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} _ {i} = \ Gamma _ {ij} ^ {k} ~ \ mathbf {b} _ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j} ~; ~~ {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {b} ^ {i} = - \ Gamma _ {jk} ^ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {k} \ otimes \ mathbf {b} ^ {j}}

Otra relación particularmente útil, que muestra que el símbolo de Christoffel depende solo del tensor métrico y sus derivados, es

$${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ frac {g ^ {km}} {2}} \ left ({\ frac {\ partial g_ {mi}} {\ partial q ^ {j} }} + {\ frac {\ parcial g_ {mj}} {\ parcial q ^ {i}}} - {\ frac {\ parcial g_ {ij}} {\ parcial q ^ {m}}} \ derecha)}

Expresión explícita para el gradiente de un campo vectorial [ editar ]

Las siguientes expresiones para el gradiente de un campo vectorial en coordenadas curvilíneas son muy útiles.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ boldsymbol {\ nabla}} \ mathbf {v} & = \ left [{\ cfrac {\ partial v ^ {i}} {\ partial q ^ {k}}} + \ Gamma _ {lk} ^ {i} ~ v ^ {l} \ right] ~ \ mathbf {b} _ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \\ [8pt] & = \ left [ {\ cfrac {\ partial v_ {i}} {\ partial q ^ {k}}} - \ Gamma _ {ki} ^ {l} ~ v_ {l} \ right] ~ \ mathbf {b} ^ {i} \ otimes \ mathbf {b} ^ {k} \ end {alineado}}}

Representando un campo vectorial físico [ editar ]

El campo vectorial v puede representarse como

$${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {i} ~ \ mathbf {b} ^ {i} = {\ hat {v}} _ {i} ~ {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i }}

dónde $${\ displaystyle v_ {i}} son los componentes covariantes del campo, $${\ displaystyle {\ hat {v}} _ {i}}son los componentes físicos, y (sin suma )

$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {b}}} ^ {i} = {\ cfrac {\ mathbf {b} ^ {i}} {\ sqrt {g ^ {ii}}}}}

Es el vector de base contravariante normalizado.