MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES , CONTINUACIÓN

Aritmética con fracciones [ editar ]

Al igual que los números enteros, las fracciones obedecen las leyes conmutativas , asociativas y distributivas , y la regla contra la división por cero .

Fracciones equivalentes [ editar ]

Al multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero), se obtiene una fracción que es equivalente a la fracción original. Esto es cierto porque para cualquier número que no sea cero$${\ displaystyle n}, la fracción $${\ displaystyle {\ tfrac {n} {n}} = 1}. Por lo tanto, multiplicando por$${\ displaystyle {\ tfrac {n} {n}}}es equivalente a multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comienza con la fracción$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}. Cuando el numerador y el denominador se multiplican por 2, el resultado es$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}}}, que tiene el mismo valor (0.5) que $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}. Para imaginar esto visualmente, imagina cortar un pastel en cuatro pedazos; dos de las piezas juntas ($${\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}}}) componen la mitad del pastel ($${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}).

Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero también dará una fracción equivalente. Esto se llama reducir o simplificar la fracción. Se dice que una fracción simple en la que el numerador y el denominador son coprimos (es decir, el único entero positivo que va tanto al numerador como al denominador es 1) es irreductible , en los términos más bajos o en los términos más simples. Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {9}}} no está en los términos más bajos porque tanto el 3 como el 9 se pueden dividir exactamente por 3. En contraste, $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {8}}}está en los términos más bajos: el único entero positivo que se incluye en 3 y 8 de manera uniforme es 1.

Usando estas reglas, podemos mostrar que $${\ displaystyle {\ tfrac {5} {10}}} = $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}} = $${\ displaystyle {\ tfrac {10} {20}}} = $${\ displaystyle {\ tfrac {50} {100}}}.

Una fracción común se puede reducir a los términos más bajos al dividir tanto el numerador como el denominador por su mayor divisor común . Por ejemplo, como el mayor divisor común de 63 y 462 es 21, la fracción$${\ displaystyle {\ tfrac {63} {462}}} se puede reducir a los términos más bajos dividiendo el numerador y el denominador entre 21:

$${\ displaystyle {\ tfrac {63} {462}} = {\ tfrac {63 \ div 21} {462 \ div 21}} = {\ tfrac {3} {22}}}

El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el mayor divisor común de dos enteros positivos.

Comparando fracciones [ editar ]

Al comparar fracciones con el mismo denominador positivo se obtiene el mismo resultado que al comparar los numeradores:

{\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}> {\ tfrac {2} {4}}}porque 3> 2 , y los denominadores iguales$${\ displaystyle 4} son positivos

Si los denominadores iguales son negativos, entonces el resultado opuesto de comparar los numeradores se mantiene para las fracciones:

{\ displaystyle {\ tfrac {3} {- 4}} <{\ tfrac {2} {- 4}}} porque $${\ displaystyle {\ tfrac {a} {- b}} = {\ tfrac {-a} {b}}} y {\ displaystyle -3 <-2 font="">.

Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador más pequeño es el número más grande. Cuando un entero se divide en partes iguales, si se necesitan menos partes iguales para formar el todo, entonces cada pieza debe ser más grande. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan el mismo número de partes, pero en la fracción con el denominador más pequeño, las partes son más grandes.

Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Comparar$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {c} {d}}}, estos se convierten a $${\ displaystyle {\ tfrac {a \ cdot d} {b \ cdot d}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {b \ cdot c} {b \ cdot d}}}. Entonces bd es un denominador común y los numeradores ad y bc se pueden comparar. Esta modificación de las dos fracciones se conoce como "multiplicación cruzada" ^{[ cita requerida ]} , y no es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones; se puede comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparar$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}} ? $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}} da {\ displaystyle {\ tfrac {4} {6}}> {\ tfrac {3} {6}}}.

Para la pregunta más laboriosa. $${\ displaystyle {\ tfrac {5} {18}}} ? $${\ displaystyle {\ tfrac {4} {17}},} multiplica la parte superior e inferior de cada fracción por el denominador de la otra fracción, para obtener un denominador común, produciendo $${\ displaystyle {\ tfrac {5 \ times 17} {18 \ times 17}}} ? $${\ displaystyle {\ tfrac {18 \ times 4} {18 \ times 17}}}. No es necesario calcular.$${\ displaystyle 18 \ times 17}- Solo los numeradores necesitan ser comparados. Como 5 × 17 (= 85) es mayor que 4 × 18 (= 72), el resultado de la comparación es{\ displaystyle {\ tfrac {5} {18}}> {\ tfrac {4} {17}}}.

Debido a que cada número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y cada número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.

Reducir fracciones [ editar ]

Esta sección está vacía. Puedes ayudar añadiéndolo . ( Abril de 2019 )

Adición [ editar ]

La primera regla de adición es que solo se pueden agregar cantidades similares; por ejemplo, varias cantidades de cuartos. A diferencia de las cantidades, como agregar tercios a cuartos, primero se debe convertir a cantidades similares como se describe a continuación: Imagine un bolsillo que contiene dos cuartos, y otro bolsillo que contiene tres cuartos; En total, hay cinco cuartos. Dado que cuatro trimestres es equivalente a uno (dólar), esto se puede representar de la siguiente manera:

$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {5} {4}} = 1 {\ tfrac {1} {4}}}.

Si $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}} de un pastel se debe agregar a $${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}}} de un pastel, las piezas deben convertirse en cantidades comparables, como octavos de pastel o cuartos de pastel.

Agregando cantidades a diferencia [ editar ]

Para agregar fracciones que contengan cantidades diferentes (p. Ej., Cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades a cantidades similares. Es fácil calcular el tipo de fracción elegida para convertirla; simplemente multiplica los dos denominadores (número inferior) de cada fracción. En el caso de un número entero, aplicar el denominador invisible. $${\ displaystyle 1.}

Para agregar cuartos a tercios, ambos tipos de fracción se convierten a doceavos, por lo tanto:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} \ + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {1 \ veces 3} {4 \ veces 3}} \ + {\ frac {1 \ veces 4} {3 \ veces 4}} = {\ frac {3} {12}} \ + {\ frac {4} {12}} = {\ frac {7} {12}}.

Considere agregar las siguientes dos cantidades:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

Primero, convertir $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {5}}} en quince veces multiplicando el numerador y el denominador por tres: $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {5}} \ times {\ tfrac {3} {3}} = {\ tfrac {9} {15}}}. Ya que$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {3}}} es igual a 1, multiplicación por $${\ displaystyle {\ tfrac {3} {3}}} No cambia el valor de la fracción.

Segundo, convertir $${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}} en quince veces multiplicando el numerador y el denominador por cinco: $${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {5} {5}} = {\ tfrac {10} {15}}}.

Ahora se puede ver que:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {5}} + {\ frac {2} {3}}}

es equivalente a:

$${\ displaystyle {\ frac {9} {15}} + {\ frac {10} {15}} = {\ frac {19} {15}} = 1 {\ frac {4} {15}}}

Este método se puede expresar algebraicamente:

$${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + cb} {bd}}}

Este método algebraico siempre funciona, lo que garantiza que la suma de las fracciones simples sea siempre una fracción simple. Sin embargo, si los denominadores individuales contienen un factor común, se puede usar un denominador más pequeño que el producto de estos. Por ejemplo, al agregar$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}}} y $${\ displaystyle {\ tfrac {5} {6}}} Los denominadores únicos tienen un factor común. $${\ displaystyle 2,} y, por lo tanto, en lugar del denominador 24 (4 × 6), se puede usar el denominador dividido en dos 12, no solo reduciendo el denominador en el resultado, sino también los factores en el numerador.

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {3} {4}} + {\ frac {5} {6}} & = {\ frac {3 \ cdot 6} {4 \ cdot 6}} + { \ frac {4 \ cdot 5} {4 \ cdot 6}} = {\ frac {18} {24}} + {\ frac {20} {24}} & = {\ frac {19} {12}} \ \ & = {\ frac {3 \ cdot 3} {4 \ cdot 3}} + {\ frac {2 \ cdot 5} {2 \ cdot 6}} = {\ frac {9} {12}} + {\ frac {10} {12}} & = {\ frac {19} {12}} \ end {alineado}}}

El denominador más pequeño posible está dado por el mínimo común múltiplo de los denominadores únicos, que resulta de dividir el múltiplo de memoria entre todos los factores comunes de los denominadores únicos. Esto se llama el mínimo denominador común.

Resta [ editar ]

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que para agregarlas: encuentre un denominador común y cambie cada fracción a una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador, y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} - {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {4} {6}} - {\ tfrac {3} {6}} = {\ tfrac {1} {6}}}

Multiplicación [ editar ]

Multiplicando una fracción por otra fracción [ editar ]

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. Así:

$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {12}}}

Para explicar el proceso, considere un tercio de un trimestre. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas de igual tamaño conforman un cuarto, y cuatro cuartos conforman un todo, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales conforman un todo. Por lo tanto, un tercio de un cuarto es un duodécimo. Ahora considera los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es dos veces más grande que un tercio. Como un tercio de un cuarto es una doceava parte, dos tercios de un cuarto es dos doceavo. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces más grande que un cuarto, por lo que dos tercios de los tres cuartos es tres veces más grande que dos tercios de un cuarto. Así, dos tercios por tres cuartos son seis doceavos.

Un atajo para multiplicar fracciones se llama "cancelación". En efecto, la respuesta se reduce a los términos más bajos durante la multiplicación. Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {{\ cancel {2}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {3} } ^ {~ 1}}} \ times {\ tfrac {{\ cancel {3}} ^ {~ 1}} {{\ cancel {4}} ^ {~ 2}}} = {\ tfrac {1} { 1}} \ times {\ tfrac {1} {2}} = {\ tfrac {1} {2}}}

Un dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción izquierda como en el denominador de la derecha y se divide de ambos. Tres es un factor común del denominador izquierdo y del numerador derecho y se divide de ambos.

Multiplicando una fracción por un número entero [ editar ]

Dado que un número entero se puede reescribir dividido por 1, las reglas de multiplicación de fracciones normales aún se pueden aplicar.

$${\ displaystyle 6 \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {6} {1}} \ times {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {18} {4}} } Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un todo.

Multiplicando numeros mixtos [ editar ]

Al multiplicar números mixtos, se considera preferible ^{[ citación necesaria ]} para convertir el número mixto en una fracción impropia. Por ejemplo:

$${\ displaystyle 3 \ times 2 {\ tfrac {3} {4}} = 3 \ times \ left ({\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}} \ right) = 3 \ times {\ tfrac {11} {4}} = {\ tfrac {33} {4}} = 8 {\ tfrac {1} {4}}}

En otras palabras, $${\ displaystyle 2 {\ tfrac {3} {4}}} es lo mismo que $${\ displaystyle {\ tfrac {8} {4}} + {\ tfrac {3} {4}}}, haciendo 11 trimestres en total (porque 2 pasteles, cada división en cuartos hace 8 trimestres en total) y 33 trimestres son $${\ displaystyle 8 {\ tfrac {1} {4}}}, ya que 8 tortas, cada una hecha de cuartos, es 32 cuartos en total.

División [ editar ]

Para dividir una fracción por un número entero, puede dividir el numerador por el número, si va uniformemente en el numerador, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo,$${\ displaystyle {\ tfrac {10} {3}} \ div 5} es igual a $${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}} y también es igual $${\ displaystyle {\ tfrac {10} {3 \ cdot 5}} = {\ tfrac {10} {15}}}, que se reduce a $${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}. Para dividir un número por una fracción, multiplica ese número por el recíproco de esa fracción. Así,$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ div {\ tfrac {3} {4}} = {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {4} {3}} = { \ tfrac {1 \ cdot 4} {2 \ cdot 3}} = {\ tfrac {2} {3}}}.

Conversión entre decimales y fracciones [ editar ]

Para cambiar una fracción común a un decimal, haga una división larga de las representaciones decimales del numerador por el denominador (esto también se expresa idiomáticamente como "divide el denominador en el numerador"), y redondea la respuesta con la precisión deseada. Por ejemplo, para cambiar ¼ a un decimal, divide$${\ displaystyle 1.00} por $${\ displaystyle 4} "$${\ displaystyle 4} dentro $${\ displaystyle 1.00}"), para obtener $${\ displaystyle 0.25}. Para cambiar ⅓ a un decimal, divide$${\ displaystyle 1.000 ...} por $${\ displaystyle 3} "$${\ displaystyle 3}dentro $${\ displaystyle 1.0000 ...}"), y se detiene cuando se obtiene la precisión deseada, por ejemplo, en $${\ displaystyle 4} decimales con $${\ displaystyle 0.3333}. Tenga en cuenta que ¼ se puede escribir exactamente con dos dígitos decimales, mientras que la fracción no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos. Para cambiar un decimal a una fracción, escribe en el denominador a$${\ displaystyle 1}seguido de tantos ceros como dígitos haya a la derecha del punto decimal, y escriba en el numerador todos los dígitos del decimal original, simplemente omitiendo el punto decimal. Así$${\ displaystyle 12.3456 = {\ tfrac {123456} {10000}}.

Convertir decimales repetidos a fracciones [ editar ]

Ver también: Repetir decimal.

Los números decimales, aunque posiblemente sean más útiles para trabajar cuando se realizan cálculos, a veces carecen de la precisión que tienen las fracciones comunes. A veces se requiere una repetición decimal infinita para alcanzar la misma precisión. Por lo tanto, a menudo es útil convertir decimales repetidos en fracciones.

La forma preferida de indicar un decimal de repetición es colocar una barra (conocida como vinculum ) sobre los dígitos que se repiten, por ejemplo 0. 789 = 0.789789789 ... Para patrones de repetición donde el patrón de repetición comienza inmediatamente después del punto decimal, una división simple del patrón por el mismo número de nueves que los números que tiene será suficiente. Por ejemplo:

0. 5 = 5/9

0. 62 = 62/99

0. 264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

En caso de que los ceros a la izquierda preceden al patrón, los nueves están sufijados por el mismo número de ceros al final :

0.0 5 = 5/90

0.000 392 = 392/999000

0.00 12 = 12/9900

En caso de que un conjunto de decimales no repetitivo preceda al patrón (como 0.1523 987 ), podemos escribirlo como la suma de las partes no repetitivas y repetitivas, respectivamente:

0.1523 + 0.0000 987

Luego, convierta ambas partes a fracciones y agréguelas usando los métodos descritos anteriormente:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

Alternativamente, se puede usar álgebra, como a continuación:

1. Sea x = el decimal repetitivo:

   x = 0.1523 987

2. Multiplica ambos lados por el poder de 10 lo suficientemente grande (en este caso, 10 ⁴ ) para mover el punto decimal justo antes de la parte repetida del número decimal:

   10.000 x = 1.523. 987

3. Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10 ³ ) que es igual al número de lugares que se repiten:

   10,000,000 x = 1,523,987. 987

4. Resta las dos ecuaciones una de la otra (si a = b y c = d , entonces a - c = b - d ):

   10,000,000 x - 10,000 x = 1,523,987. 987 - 1,523. 987

5. Continúa con la operación de resta para borrar el decimal que se repite:

   9,990,000 x = 1,523,987 - 1,523

    = 1,522,464

6. Divide ambos lados por 9,990,000 para representar x como una fracción

   x = 1522464/9990000

Las fracciones en matemática abstracta [ editar ]

Además de ser de gran importancia práctica, los matemáticos también estudian las fracciones, que verifican que las reglas para las fracciones dadas anteriormente sean consistentes y confiables . Los matemáticos definen una fracción como un par ordenado.$${\ displaystyle (a, b)}de enteros $${\ displaystyle a} y $${\ displaystyle b \ neq 0,}para lo cual las operaciones de suma , resta , multiplicación y división se definen de la siguiente manera: ^[18]

$${\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) \,}

$${\ displaystyle (a, b) - (c, d) = (ad-bc, bd) \,}

$${\ displaystyle (a, b) \ cdot (c, d) = (ac, bd)}

$${\ displaystyle (a, b) \ div (c, d) = (ad, bc) \ quad ({\ text {with, adicionalmente,}} c \ neq 0)}

Estas definiciones concuerdan en cada caso con las definiciones dadas anteriormente; Sólo la notación es diferente. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones "inversas" con respecto a la suma y la multiplicación podrían definirse como:

{\ displaystyle {\ begin {array} {llrrl} & - (a, b) & = & (- a, b) & \ quad {\ text {fracciones inversas aditivas,}} \\ &&&& \ quad {\ text { con}} (0, b) {\ text {como unidades aditivas, y}} \\ & \; \; \ (a, b) ^ {- 1} & = & (b, a) & \ quad {\ text {fracciones inversas multiplicativas, para}} a \ neq 0, \\ &&&&& quad {\ text {with}} (b, b) {\ text {como unidades multiplicativas}}. \ end {array}}}

Además, la relación , especificada como

$${\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d) \ quad \ iff \ quad ad = bc,}

Es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia puede considerarse como un representante de toda la clase, y cada clase entera puede considerarse como una fracción abstracta. Esta equivalencia se conserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar con fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para sumar fracciones.

$${\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ quad} y $${\ displaystyle \ quad (c, d) \ sim (c ', d') \ quad} implicar

$${\ displaystyle ((a, b) + (c, d)) \ sim ((a ', b') + (c ', d'))}

y similarmente para las otras operaciones.

En el caso de fracciones de enteros las fracciones con $${\ displaystyle (a, b)}los coprimos a menudo se toman como representantes determinados de manera única para sus fracciones equivalentes , que se consideran el mismonúmero racional. De esta manera, las fracciones de enteros forman el campo de los números racionales.

Más en general, una y b pueden ser elementos de cualquier dominio integral R , en cuyo caso una fracción es un elemento del campo de las fracciones de R . Por ejemplo, los polinomios en una indeterminada, con coeficientes de algún dominio integral D , son en sí mismas un dominio de integridad, llamarlo P . Así que para una y belementos de P , el generado de fracciones es el campo de fracciones racionales (también conocido como el campo de funciones racionales ).

Fracciones algebraicas [ editar ]

Artículo principal: fracción algebraica

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas . Al igual que con las fracciones de enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son$${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}} y $${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}}. Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas propiedades de campo que las fracciones aritméticas.

Si el numerador y el denominador son polinomios , como en$${\ displaystyle {\ frac {3x} {x ^ {2} + 2x-3}}}, la fracción algebraica se llama fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es una que no es racional, como, por ejemplo, una que contiene la variable bajo un exponente fraccional o raíz, como en$${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x ^ {2} -3}}}.

La terminología utilizada para describir fracciones algebraicas es similar a la utilizada para fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en los términos más bajos si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y −1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como$${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ tfrac {1} {x}}} {1 - {\ tfrac {1} {x}}}}}, se llama fracción compleja .

El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los enteros, mientras que los enteros en sí mismos no son un campo sino un dominio integral . Del mismo modo, las expresiones racionales son el campo de fracciones de polinomios . Hay diferentes dominios integrales de los polinomios, dependiendo del dominio integral de donde provienen los coeficientes de los polinomios (por ejemplo, de enteros, números reales , números complejos , ...). Considerando el campo de fracciones generado por polinomios con coeficientes reales, expresiones radicales como$${\ displaystyle \ textstyle {\ sqrt {2}} / 2} También son fracciones racionales, como lo es la expresión trascendental. $${\ displaystyle \ pi / 2}, ya que todos $${\ displaystyle {\ sqrt {2}}, \ pi,} y $${\ displaystyle 2}Son polinomios (constantes) sobre los reales . Estas mismas expresiones, sin embargo, no serían consideradas elementos del campo de fracciones generadas por polinomios con coeficientes enteros . Este campo específico contendría sólo el$${\ displaystyle 2} de los tres polinomios de arriba, o $${\ displaystyle 1/2} Como fracción, pero sin expresiones radicales o trascendentales.

El término fracción parcial se usa al descomponer expresiones racionales en sumas. El objetivo es escribir la expresión racional como la suma de otras expresiones racionales con denominadores de menor grado. Por ejemplo, la expresión racional.$${\ displaystyle {\ frac {2x} {x ^ {2} -1}}} Se puede reescribir como la suma de dos fracciones: $${\ displaystyle {\ frac {1} {x + 1}} + {\ frac {1} {x-1}}}. Esto es útil en muchas áreas, como el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales.

Expresiones radicales [ editar ]

Artículos principales: Raíz Nth y Racionalización (Matemáticas).

Una fracción también puede contener radicales en el numerador y / o el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede ser útil racionalizarlo (comparar la forma simplificada de una expresión radical ), especialmente si se deben llevar a cabo otras operaciones, como agregar o comparar esa fracción con otra. También es más conveniente si la división se realiza manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomial , se puede racionalizar multiplicando la parte superior e inferior de la fracción por el denominador:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} = {\ frac {3} {\ sqrt {7}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7} }} = {\ frac {3 {\ sqrt {7}}} {7}}}

El proceso de racionalización de los denominadores binomiales consiste en multiplicar la parte superior y la parte inferior de una fracción por el conjugado del denominador para que el denominador se convierta en un número racional. Por ejemplo:

$${\ displaystyle {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3-2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3+ 2 {\ sqrt {5}}} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3 + 2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9 + 6 {\ sqrt {5}}} {11}}}

$${\ displaystyle {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3} {3 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {3- 2 {\ sqrt {5}}} {3-2 {\ sqrt {5}}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {{3} ^ {2} - (2 {\ sqrt {5}}) ^ {2}}} = {\ frac {3 (3-2 {\ sqrt {5}})} {9-20}} = - {\ frac {9-6 {\ sqrt {5}}} {11}}}

Incluso si este proceso da como resultado que el numerador sea irracional, como en los ejemplos anteriores, el proceso todavía puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir el número de irracionales con los que se tiene que trabajar en el denominador.

Variaciones tipográficas [ editar ]

En las pantallas de computadora y en la tipografía , las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, por ejemplo, ½ (la mitad ). Consulte el artículo en Formas de números para obtener información sobre cómo hacer esto en Unicode .

La publicación científica distingue cuatro formas de establecer fracciones, junto con las pautas de uso: ^[19]

• fracciones especiales: fracciones que se presentan como un solo carácter con una barra inclinada, con aproximadamente la misma altura y anchura que otros caracteres en el texto. Generalmente se usa para fracciones simples, tales como: ½, ⅓, ⅔, ¼ y ¾. Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede ser un problema, especialmente para las fuentes de tamaño pequeño. Estos no se utilizan en la notación matemática moderna, pero en otros contextos.
• fracciones de caso: similares a las fracciones especiales, se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, haciéndolas en posición vertical . Un ejemplo sería$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}, pero renderizado con la misma altura que otros personajes. Algunas fuentes incluyen todas las representaciones de fracciones como fracciones de caso si solo ocupan un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. ^[20]
• chelín o fracciones sólidas: 1/2, así se llama porque esta notación se usó para la moneda británica anterior al decimal ( £ sd ), como en 2/6 para una media corona , es decir, dos chelines y seis peniques. Mientras que la notación "dos chelines y seis peniques" no representaba una fracción, la barra diagonal hacia adelante ahora se usa en fracciones, especialmente para las fracciones en línea con la prosa (en lugar de mostrarse), para evitar líneas desiguales. También se usa para fracciones dentro de fracciones ( fracciones complejas ) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de pieza , ^[21] se escriben todas en una línea tipográfica, pero toman 3 o más espacios tipográficos.
• fracciones acumuladas: $${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}. Esta notación utiliza dos o más líneas de texto ordinario, y produce una variación en el espaciado entre líneas cuando se incluye dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden ser perjudiciales, particularmente para fracciones simples o dentro de fracciones complejas.

Historia [ editar ]

Las primeras fracciones fueron recíprocas de números enteros : símbolos antiguos que representan una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro y así sucesivamente. ^[22] Los egipcios usaron fracciones egipcias c.  1000  antes de cristo . Hace unos 4000 años, los egipcios se dividían con fracciones usando métodos ligeramente diferentes. Usaron los múltiplos menos comunes con fracciones unitarias . Sus métodos dieron la misma respuesta que los métodos modernos. ^[23] Los egipcios también tenían una notación diferente para las fracciones diádicas en la Tableta de madera Akhmim y varios problemas con el papiro matemático Rhind .

Los griegos usaron fracciones unitarias y (más tarde) fracciones continuas. Los seguidores del filósofo griego Pitágoras (c.  530 ac ) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción de números enteros . (Esto se suele atribuir erróneamente a Hippasus of Metapontum , quien se dice que fue ejecutado por revelar este hecho). En el año 150 ac, matemáticos jainistas de la India escribieron el " Sutra de Sthananga.   ", que contiene trabajos sobre la teoría de los números, operaciones aritméticas y operaciones con fracciones.

Una expresión moderna de fracciones conocida como bhinnarasi parece haberse originado en la India en el trabajo de Aryabhatta (c. 500 d . c. ), ^{[ cita requerida ]} Brahmagupta (c.  628 ), y Bhaskara (c.  1150 ). ^[24] Sus obras forman fracciones al colocar los numeradores ( sánscrito : amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. ^[24] En la literatura sánscrita , las fracciones siempre se expresaban como una suma o resta de un entero. ^{El  cita requerida ]}El entero se escribió en una línea y la fracción en sus dos partes en la siguiente línea. Si la fracción estaba marcada con un pequeño círculo ⟨०⟩ o una cruz ⟨+⟩, se resta del número entero; Si no aparece tal signo, se entiende que se agrega. Por ejemplo,Bhaskara Iescribe^[25]

६ १ २

१ १ _०

४ ५ ९

que es el equivalente de

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

y sería escrito en notación moderna como 6 1/4 , 1 1/5 , y 2- 1/9 (es decir, 1 8/9 ).

La barra de fracción horizontal se atestigua por primera vez en el trabajo de Al-Hassār ( fl.  1200 ), ^[24] un matemático musulmán de Fez , Marruecos , especializado en jurisprudencia de herencia islámica . En su discusión, escribe: "... por ejemplo, si te dicen que escribas tres quintos y un tercio de un quinto, escribe así:$${\ displaystyle {\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}}}" ^[26] La misma notación fraccionaria, con la fracción dada antes del entero ^[24], aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo 13. ^[27]

Al discutir los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik afirma: ^[28]

"La introducción de las fracciones decimales como práctica computacional común puede remontarse al folleto flamenco De Thiende , publicado en Leyden en 1585, junto con una traducción al francés, La Disme , por el matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), luego Se estableció en el norte de los Países Bajos . Es cierto que las fracciones decimales fueron usadas por los chinos muchos siglos antes de Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī usó fracciones tanto decimales como sexagesimales con gran facilidad en su Clave de la aritmética ( Samarcanda , principios del siglo XV) . "^[29]

Mientras que el matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto fracciones decimales él mismo en el siglo XV, J. Lennart Berggren señala que se equivocó, ya que las fracciones decimales se utilizaron por primera vez cinco siglos antes que el matemático de Baghdadi, Abu'l-Hasan al. -Uqlidisi ya en el siglo x . ^{[30] [n 2]}

En la educación formal [ editar ]

Herramientas pedagógicas [ editar ]

En las escuelas primarias , se han demostrado fracciones a través de barras de Cuisenaire , barras de fracciones, tiras de fracciones, círculos de fracciones, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones , piezas en forma de pie, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel de puntos , geoboards , contadores y software de ordenador.

Documentos para profesores [ editar ]

Varios estados de los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las pautas de la Common Core Standards Standards Initiative para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de fracción: "Un número expresable en la forma$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}} dónde $${\ displaystyle a} es un número entero y $${\ displaystyle b}es un número entero positivo. (La fracción depalabra en los estándares siempre se refiere a un número no negativo). " ^[32] El documento en sí también se refiere a fracciones negativas.