tabletas de madera Akhmim , también conocidas como las tabletas de madera de El Cairo (Cairo Cat. 25367 y 25368 [ aclaración necesaria ] ), son dos tabletas de escritura de madera del antiguo Egipto . Cada una mide alrededor de 18 por 10 pulgadas (460 mm x 250 mm) y están cubiertas con yeso . Las tabletas están inscritas en ambos lados. Las inscripciones jeroglíficas en la primera tableta incluyen una lista de servidores, seguida de un texto matemático. [1] El texto está fechado en el año 38 (al principio se pensó que era del año 28) de un reinado de un rey por lo demás sin nombre. El general que data del antiguo Reino Medio egipcio.combinado con el alto año regnal sugiere que las tabletas pueden datar al reinado del faraón Senusret I de la XII dinastía I , ca. 1950 a. [2] La segunda tableta también enumera varios servidores y contiene más textos matemáticos. [1]
Las tabletas se encuentran actualmente en el Museo de Antigüedades Egipcias en El Cairo . El texto fue publicado por Daressy en 1901 [3] y, posteriormente, analizado y publicado en 1906. [4]
La primera mitad de la tableta detalla cinco multiplicaciones de un hekat , una unidad de volumen compuesta por 64 dja , por 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 y 1/13. Las respuestas se escribieron en cocientes binarios del Ojo de Horus y losresiduos exactos de las fracciones egipcias , escaladas a un factor 1/320 llamado ro . La segunda mitad del documento demostró la exactitud de las respuestas de las cinco divisiones al multiplicar el cociente de dos partes y la respuesta restante por su respectivo dividendo (3, 7, 10, 11 y 13) que devolvió la unidad ab initio hekat, 64/64 .
En 2002, Hana Vymazalová obtuvo una copia nueva del texto del Museo de El Cairo y confirmó que las cinco respuestas de dos partes fueron verificadas correctamente por el escriba que devolvió una unidad de hekat de 64/64. Errores tipográficos menores en la copia de Daressy de dos problemas, la división por 11 y 13 datos, se corrigieron en este momento. [5] La prueba de que las cinco divisiones habían sido exactas fue sospechada por Daressy pero no fue probada hasta 1906.
Contenido matemático [ editar ]
1/3 caso [ editar ]
El primer problema divide 1 hekat escribiéndolo como+ (5 ro ) (que es igual a 1) y dividiendo esa expresión por 3.
- El escriba primero divide el resto de 5 ro por 3 y determina que es igual a (1 + 2/3) ro .
- A continuación, el escriba encuentra 1/3 del resto de la ecuación y determina que es igual a .
- El paso final en el problema consiste en verificar que la respuesta sea correcta. El escriba se multiplica.por 3 y muestra que la respuesta es (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64) + (5 ro ), que sabe que es igual a 1.
En la notación matemática moderna, se podría decir que el escriba mostró que 3 veces la fracción hekat (1/4 + 1/16 + 1/64) es igual a 63/64, y que 3 veces la parte restante, (1 + 2 / 3) ro , es igual a 5 ro , que es igual a 1/64 de un hekat , que se suma a la unidad hekat inicial (64/64).
Otras fracciones [ editar ]
Los otros problemas en las tabletas fueron computados por la misma técnica. El escriba usó la identidad 1 hekat= 320 ro y dividió 64 por 7, 10, 11 y 13. Por ejemplo, en el cálculo de 1/11, la división de 64 por 11 dio 5 con un resto de 45/11 ro . Esto fue equivalente a (1/16 + 1/64) hekat + (4 + 1/11) ro . La verificación del trabajo requirió que el escriba multiplicara el número de dos partes por 11 y mostró el resultado 63/64 + 1/64 = 64/64, como informaron las cinco pruebas.
Precisión [ editar ]
Los cálculos muestran varios errores menores. Por ejemplo, en los cálculos de 1/7,se decía que era 12 y el doble de ese 24 en todas las copias del problema. El error tiene lugar exactamente en el mismo lugar en cada una de las versiones de este problema, pero el escriba logra encontrar la respuesta correcta a pesar de este error, ya que la unidad de 64/64 hekat guió su pensamiento. La cuarta copia de la división 1/7 contiene un error menor adicional en una de las líneas.
El cómputo de 1/11 ocurre cuatro veces y los problemas aparecen uno al lado del otro, dejando la impresión de que el escriba estaba practicando el procedimiento de cómputo. El cálculo de 1/13 aparece una vez en su forma completa y dos veces más con solo cálculos parciales. Hay errores en los cálculos, pero el escriba encuentra la respuesta correcta. 1/10 es la única fracción calculada una sola vez. No hay errores en los cálculos para este problema. [5]
Hekat problemas en otros textos [ editar ]
El Rhind Mathematical Papyrus (RMP) contenía más de 60 ejemplos de multiplicación y división de hekat en RMP 35, 36, 37, 38, 47, 80, 81, 82, 83 y 84. Los problemas fueron diferentes ya que la unidad hekat se cambió de la 64/64 hekat binario y el resto del estándar según sea necesario para un segundo estándar 320/320 registrado en declaraciones de 320 ro. Algunos ejemplos incluyen:
- Los problemas 35–38 encuentran fracciones del hekat. El problema 38 escaló un hekat a 320 ro y se multiplicó por 7/22. La respuesta 101 9/11 ro fue probada multiplicando por 22/7, hechos no mencionados por Claggett y eruditos antes de Vymazalova. [6]
- El problema 47 escaló 100 hekat a (6400/64) y se multiplicó (6400/64) por 1/10, 1/20, 1/30, 1/40, 1/50, 1/60, 1/70, 1/80 , Fracciones de 1/90 y 1/100 a cociente binario y 1/1320 (ro) de la serie de fracciones de unidades restantes.
- El problema 80 dio 5 fracciones oculares de Horus del hekat y fracciones equivalentes como expresiones de otra unidad llamada hinu . [6] Estos se dejaron sin aclarar antes de Vymazalova. El problema 81 generalmente convirtió el cociente binario de hekat unity y el resto de las declaraciones en unidades equivalentes de 1/10 hinu, lo que deja en claro el significado de los datos de RMP 80.
El papiro de Ebers es un famoso texto médico de finales del Reino Medio. Sus datos sin procesar fueron escritos en hekat de una sola pieza sugeridos por las tabletas de madera Akhim, que manejan divisores mayores de 64.
la antigua multiplicación egipcia (también conocida como la multiplicación egipcia , la multiplicación de Etiopía , la multiplicación de Rusia , o la multiplicación campesino ), uno de los dos métodos de multiplicación utilizados por los escribas, era un método sistemático para la multiplicación de dos números que no requiere la tabla de multiplicar , sólo se La habilidad de multiplicar y dividir por 2 , y sumar . Descompone uno de los multiplicandos (preferiblemente el más pequeño) en una suma de poderes de dos y crea una tabla de duplicaciones del segundo multiplicando. Este método puede ser llamadomediación y duplación , donde mediación significa reducir a la mitad un número y duplación significa duplicar el otro número. Todavía se utiliza en algunas áreas.
La segunda técnica egipcia de multiplicación y división se conocía de la jerática de Moscú y Rhind Mathematical Papyri escrita en el siglo XVII aC por el escriba Ahmes .
Aunque en el antiguo Egipto el concepto de base 2 no existía, el algoritmo es esencialmente el mismo algoritmo que la multiplicación larga después de que el multiplicador y el multiplicando se conviertan a binario . Por lo tanto, el método tal como se interpreta mediante la conversión a binario todavía se usa ampliamente como se implementa mediante circuitos multiplicadores binarios en los procesadores de computadoras modernos.
La descomposición [ editar ]
Los antiguos egipcios habían dispuesto mesas de un gran número de poderes de dos, en lugar de recalcularlas cada vez. La descomposición de un número, por lo tanto, consiste en encontrar los poderes de dos que lo constituyen. Los egipcios sabían empíricamente que un poder dado de dos solo aparecería una vez en un número. Para la descomposición, procedieron metódicamente; inicialmente encontrarían la mayor potencia de dos menor o igual que el número en cuestión, restarían y repetirían hasta que no quedara nada. (Los egipcios no usaron el número cero en matemáticas).
Para encontrar la potencia más grande de 2, siga duplicando su respuesta comenzando con el número 1, por ejemplo
2 ^ 0 = 1 2 ^ 1 = 2 2 ^ 2 = 4 2 ^ 3 = 8 2 ^ 4 = dieciséis 2 ^ 5 = 32
Ejemplo de la descomposición del número 25:
La mayor potencia de dos menos o igual a 25. es 16: 25 - 16 = 9 . La mayor potencia de dos menos o igual a 9 es 8: 9 - 8 = 1 . La mayor potencia de dos menos o igual a 1. es 1: 1 - 1 = 0 . 25 es así la suma de: 16, 8 y 1.
La tabla [ editar ]
Después de la descomposición del primer multiplicando, es necesario construir una tabla de poderes de dos veces el segundo multiplicando (generalmente el más pequeño) desde uno hasta el mayor poder de dos encontrado durante la descomposición. En la tabla, una línea se obtiene multiplicando la línea anterior por dos.
Por ejemplo, si la mayor potencia de dos encontradas durante la descomposición es 16 (como en el caso de la descomposición de 25, vea el ejemplo anterior), y el segundo multiplicando es 7, la tabla se crea de la siguiente manera:
| 1 | 7 |
| 2 | 14 |
| 4 | 28 |
| 8 | 56 |
| dieciséis | 112 |
El resultado [ editar ]
El resultado se obtiene sumando los números de la segunda columna para los cuales la potencia correspondiente de dos forma parte de la descomposición del primer multiplicando.
La principal ventaja de esta técnica es que utiliza solo la suma, resta y multiplicación por dos.
Ejemplo [ editar ]
Aquí, en cifras reales, es cómo se multiplica 238 por 13. Las líneas se multiplican por dos, de una a la siguiente. Una marca de verificación es colocada por los poderes de dos en la descomposición de 238.
| 1 | |||||||
| ✓ | 2 | 26 | |||||
| ✓ | 4 | 52 | |||||
| ✓ | 8 | 104 | |||||
| dieciséis | |||||||
| ✓ | 32 | 416 | |||||
| ✓ | 64 | 832 | |||||
| ✓ | 128 | 1664 | |||||
| 238 | 3094 | ||||||
Dado que 238 = 2 + 4 + 8 + 32 + 64 + 128, la distribución de la multiplicación sobre la suma da:
| 238 × 13 | = (128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2) × 13 |
| = 128 × 13 + 64 × 13 + 32 × 13 + 8 × 13 + 4 × 13 + 2 × 13 | |
| = 1664 + 832 + 416 + 104 + 52 + 26 | |
| = 3094 |
Campesino multiplicación de Rusia [ editar ]
En el método campesino ruso, los poderes de dos en la descomposición del multiplicando se encuentran al escribirlo a la izquierda y dividiendo a la mitad la columna de la izquierda, descartando cualquier resto, hasta que el valor sea 1 (o −1, en cuyo caso el eventual la suma se niega), mientras se duplica la columna derecha como antes. Las líneas con números pares en la columna de la izquierda están tachadas y los números restantes de la derecha se suman. [1]
| Por ejemplo, para multiplicar 238 por 13, el menor de los números (para reducir el número de pasos), 13, se escribe a la izquierda y el más grande a la derecha. El número de la izquierda se reduce a la mitad (descartando cualquier resto) y el de la derecha se duplica, hasta que el número de la izquierda es 1: | ||||
| 13 | 238 | |||
| 6 | (resto descartado) | 476 | ||
| 3 | 952 | |||
| 1 | (resto descartado) | 1904 | ||
| Las líneas con números pares en la columna izquierda están tachadas y los números restantes a la derecha se agregan, dando la respuesta como 3094: | ||||
| 13 | 238 | |||
| 3 | 952 | |||
| 1 | + 1904 | |||
| 3094 | ||||
| El algoritmo se puede ilustrar con la representación binaria de los números: | ||||
| 110 1 | (13) | 11101110 | (238) | |
| 1 1 | (3) | 11101110 00 | (952) | |
| 1 | (1) | 11101110000 | (1904) | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | (238) | |||||
| × | 1 | 1 | 0 | 1 | (13) | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | (238) | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | (0) | ||||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | (952) | |||
| + | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | (1904) | |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | (3094) | |
Información de fondo [ editar ]
Desde la década de 1880, como se formalizó en la década de 1920, una visión incompleta ha definido la multiplicación egipcia. La enciclopedia en línea de Springer resume la vista de la década de 1920: [2]
Las conclusiones de la década de 1920 decodificaron adecuadamente una versión aditiva incompleta de la multiplicación egipcia. Los historiadores de la década de 1920 no habían seguido un informe de 1895 que sugería que una segunda forma de método de multiplicación estaba presente en la tabla RMP 2 / n de Ahmes y RMP 36. El segundo método incluía partes alícuotas., como sugirió Springer. Las partes alícuotas fueron reportadas por F. Hultsch en 1895. Hultsch analizó la tabla 2 / n de Ahmes revelando patrones de partes alícuotas. Sin embargo, la entrada de la enciclopedia de multiplicación egipcia de Springer no especificó detalles operativos de partes críticas de alícuotas que se requieren para traducir la información en declaraciones aritméticas modernas. Lamentablemente, los historiadores matemáticos de la década de 1920 omitieron varios detalles operativos, como los puntos de discusión de partes de alícuotas de F. Hultsch de 1895, lo que concluyó incorrectamente que los patrones de partes de partes alícuotas no se habían visto en la tabla 2 / n de Ahmes .
La línea de la historia de la parte alícuota seguía siendo un problema sin resolver hasta el siglo XXI. Poco después de 2002, Kahun Papyrus y la tabla RMP 2 / n revelaron dos métodos operativos de partes alícuotas: (1) nuevos métodos de multiplicación y división inversos, y (2) un método de número LCM escrito en rojo (RMP 38). Los métodos de multiplicación y división se habían ocultado en los pasos operativos de la parte alícuota de Hultsch, incluidos los pasos de números auxiliares rojos que seleccionaban los divisores "optimizados" del LCM. En 2006, el método Hultsch-Bruins de 1895 se confirmó desde una segunda dirección, detallando un método de alícuota común utilizado en el RMP y el rollo de cuero matemático egipcio . Este método escala la conversión de los números racionales 1 / p, 1 / pq, 2 / p, 2 / pq, n / p y n / pq por un m LCM, escrito como m / m.
Los pasos de división de partes alícuotas de Ahmes, percibidos en el siglo XIX, no decodificados durante el siglo XX, comenzaron a revelar sus secretos después de 2001, cada vez más en 2006 y 2009 (por RMP 36). Dos razones habían dirigido mal a los historiadores de matemáticas de la década de 1920. El primero cerró prematuramente el tema de las operaciones aritméticas de fracciones egipcias al concluir que la multiplicación egipcia contenía solo pasos aditivos. En segundo lugar, se sugirió que la división de los escribas ha seguido un proceso no inverso llamado "única posición falsa".
Además, Springer siguió la definición tradicional de la división egipcia en la década de 1920 al sugerir: "La división se llevó a cabo restando del número para dividir los números obtenidos al duplicar sucesivamente el divisor". Los historiadores de matemáticas consideran que el método de división egipcia propuesto para la década de 1920 era 'una sola posición falsa', aunque fue documentado por primera vez en el año 800 DC. Los textos árabes posteriores mejoraron su raíz encontrando el método de "doble posición falsa".
La definición de Springer de la división egipcia era históricamente incompleta. Para completar una definición de división egipcia de los primeros seis problemas de RMP, se consulta una serie de problemas de división por 10 tasas de mano de obra (definidas anteriormente en el papiro de Reisner ). Además, se consultan problemas y métodos de álgebra RMP. Por ejemplo, Ahmes dividió 28 por 97, en RMP 31 (confirmado en RMP 34) resolviendo: x + (2/3 + 1/2 + 1/7) x = 33 y x + (2/3 + 1/2 + 1/7) x = 37, ya que otros problemas de fracciones vulgares se resolvieron en las tablas Kahun Papyrus y Rhind Papyrus 2 / n. Las partes alícuotas se ocultaron en operaciones de multiplicación teórica y división durante más de 100 años.
Ahmes no mencionó la " posición falsa única " en los problemas de álgebra, un punto válido hecho por Robins-Shute en 1987. La suposición inexacta de la década de 1920 se reemplazó analizando grandes fracciones vulgares eliminando la notación de la fracción de unidades. Por ejemplo, 28/97, en RMP 31, y RMP 23 exponen el método de multiplicación LCM de Ahmes. En RMP 23, donde se introdujo un multiplicador de 45 para resolver la mayor parte del problema. Sin embargo, para leer el problema completo, se necesitó LCM 360, ya que se resolvieron otros problemas de álgebra de RMP.
En el siglo XXI, Ahmes se está informando claramente al convertir las fracciones vulgares en series de fracciones de unidades optimizadas dentro de un método de LCM. El método LCM también aplicó partes alícuotas del denominador para resolver 2/97 en RMP 31, y en la tabla 2 / n. Ahmes convirtió 28/97 en dos problemas, 2/97 y 26/97, seleccionando dos multiplicadores de LCM de tal manera que:
- Para convertir 2 por 97: la tabla 2 / n de Ahmes escribió 2 / n conversiones menores que 2/101, seleccionó un número m altamente divisible como un multiplicador de optimización m / m. En el 2/97 se seleccionó el caso 56, creando un multiplicador 56/56 de modo que las partes alícuotas de 56 (28, 14, 8, 7, 4, 2, 1) se introdujeron en la solución escribiendo:
y,
- Para convertir 26/97 en una fracción fraccionada, Ahmes buscó un multiplicador m / m que aumentaría el numerador a más de 97. Ahmes encontró 4/4. Al considerar las partes alícuotas de 4 (4, 2, 1) Ahmes escribió:
tal que
y,
- Ahmes combinó los pasos 2/97 y 26/97 en una serie de fracciones egipcias escribiendo:
como RMP 36 convirtió 30/53 por 2/53 + 28/53 con 2/53 escalada en (30/30) y 28/53 escalada en (2/2).
- La multiplicación egipcia fue una operación inversa a la operación de división egipcia, y viceversa. Las operaciones de multiplicación y división de aspecto moderno se habían ocultado dentro de la notación de fracción egipcia.
Una implicación es que 'una sola posición falsa' representaba una suposición del siglo XX que fallaba en la lectura histórica de los numeradores aditivos de Ahmes escritos en problemas de multiplicación . Las operaciones de división de Ahmes, descritas en partes alícuotas en más de 20 problemas de álgebra, incluyen métodos de división antiguos y modernos, como inversos a las multiplicaciones egipcias. Los escribas egipcios aplicaron varias ideas teóricas modernas, en su mayoría aritméticas, como se registra en la caja de herramientas matemáticas de Ahmes.
Una segunda implicación está contenida en el RMP 38. Detalla a Ahmes multiplicando 320 ro, un hekat, por 35/11 veces 1/10 = 7/22, obteniendo 101 + 9/11. Ahmes demostró que 101 + 9/11 era correcto multiplicando por el inverso de 7/22, o 22/7. La división egipcia generalmente aplicó un inverso de la multiplicación egipcia en la Tableta de madera Akhmim (AWT) de 1900 aC y todos los demás textos matemáticos del Reino Medio. El AWT, por ejemplo. dividió un hekat, (64/64), por n = 3, 7, 10, 11 y 13. Las respuestas de cociente y resto se multiplicaron por los divisores inversos, 1/3, 1/7, 1/10, 1/11 y 1 / 13, devolviendo exactamente el número racional inicial (64/64).
Finalmente, los numeradores de números rojos implicados en la tabla 2 / n se trataron directamente en RMP 36. Ahmes convirtió, 2/53, 3/53, 5/53, 15/53, 28/53 y 30/53 mediante dos reglas. La primera regla escaló 2/53 * (30/30) = 60/1590, 3/53 (20/20) = 60/1060, 5/53 * (12/12) = 60/636, 15/53 * ( 4/4) = 60/212, 28/53 * (2/2) = 56/106. La segunda regla convirtió 30/53 al analizar 30/53 en 2/53 + 28/53. Ahmes ha convertido 28/97 al analizar 29/97 en 2/97 + 26/97.
Conclusión: Para comprender la multiplicación y división del antiguo Egipto, los pasos operacionales aritméticos de la parte alícuota de la tabla 2 / n de Ahmes deben traducirse a declaraciones aritméticas modernas. Los métodos de multiplicación y división de Ahmes fueron inversos entre sí, con RMP 38, y el AWT proporcionó ejemplos vívidos de las relaciones aritméticas. [ aclaración necesaria ] RMP 36 se detallaron los detalles de dos métodos de conversión de números racionales, uno para n / p, n / pq, 2 / p y 2 / pq y otro para los números racionales difíciles de convertir n / p que se analizaron en solucionables 2 / p y (n-2) / p declaraciones.
La multiplicación egipcia contenía dos aspectos, un lado teórico y un lado práctico. La división egipcia por un número racional era la multiplicación egipcia por un inverso del número racional. Los primeros estudiosos egipcios no habían considerado los aspectos teóricos del RMP y otros textos egipcios hasta el siglo XXI. Las definiciones teóricas se habían ocultado en la conversión de números racionales mediante multiplicadores escalados aplicados en una regla de parte alícuota. RMP 38 multiplicó un hekat, declarado como 320 ro, por 7/22, y devolvió 320 ro multiplicando la respuesta por 22/7. La división egipcia estaba basada en el cociente y el resto, aspectos teóricos que los estudiosos estudian cada vez más en términos de partes alícuotas, tablas 2 / n y otras aplicaciones de antiguos escribas después de 2005.
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