SISTEMAS DE COORDENADAS

 coordenadas trilineales x: y: z de un punto en relación con un triángulo dado describen las distancias dirigidas relativas de las tres líneas laterales del triángulo. Las coordenadas trilineales son un ejemplo de coordenadas homogéneas . La relación x: y es la relación de las distancias perpendiculares desde el punto hasta los lados ( extendido si es necesario) los vértices opuestos A y B respectivamente; la relación y: z es la relación de las distancias perpendiculares desde el punto hasta los márgenes opuestos B yCrespectivamente; y del mismo modo para z: x y vértices C y A .

En el diagrama a la derecha, las coordenadas trilineales del punto interior indicado son las distancias reales ( a ' , b' , c ' ), o equivalentemente en forma de relación, ka' : kb ' : kc' para cualquier constante positiva k . Si un punto está en una línea lateral del triángulo de referencia, su correspondiente coordenada trilineal es 0. Si un punto exterior está en el lado opuesto de una línea lateral desde el interior del triángulo, su coordenada trilineal asociada con esa línea lateral es negativa. Es imposible que las tres coordenadas trilineales no sean positivas.

El nombre "coordenadas trilineal" a veces se abrevia a "trilinear".

Notación [ editar ]

La notación de relación x : y : z para las coordenadas trilineales es diferente de la notación triple ordenada ( a ' , b' , c ' ) para las distancias dirigidas reales. Aquí cada uno de x , y , y z no tiene significado por sí mismo; su relación con uno de los otros sí tienen significado. Por lo tanto, se debe evitar la "notación de coma" para las coordenadas trilineales, porque la notación ( x , y , z ), que significa un triple ordenado, no permite, por ejemplo, ( x , y , z ) = (2x , 2 y , 2 z ), mientras que la "notación de los dos puntos" permite x  : y  : z = 2 x  : 2 y  : 2 z .

Ejemplos [ editar ]

Las coordenadas trilineales del incentivo de un triángulo ABC son 1: 1: 1; es decir, las distancias (dirigidas) desde el incentivo al margen BC , CA , AB son proporcionales a las distancias reales denotadas por ( r , r , r ), donde res el radio del triángulo ABC . Dados los largos de los lados a, b, c tenemos:

• A = 1: 0: 0
• B = 0: 1: 0
• C = 0: 0: 1
• incentivo = 1: 1: 1
• centroide = bc  : ca  : ab = 1 / a  : 1 / b  : 1 / c = csc A  : csc B  : csc C .
• circuncentro = cos A  : cos B  : cos C .
• ortocentro = sec A  : sec B  : sec C .
• centro de nueve puntos = cos ( B - C ): cos ( C - A ): cos ( A - B ).
• punto simediano = un  : b  : c = sen A  : Sin B  : Sin C .
• Un -excenter = −1: 1: 1
• B -excenter = 1: −1: 1
• C -excenter = 1: 1: −1.

Tenga en cuenta que, en general, el incentivo no es el mismo que el centroide ; el centroide tiene coordenadas baricéntricas 1: 1: 1 (estas son proporcionales a las áreas firmadas reales de los triángulos BGC , CGA , AGB , donde G = centroide).

El punto medio de, por ejemplo, el lado BC tiene coordenadas trilineales en distancias laterales reales $${\ displaystyle (0, {\ frac {\ Delta} {b}}, {\ frac {\ Delta} {c}})} para el area triangular $${\ displaystyle \ Delta}, que en distancias relativas especificadas arbitrariamente se simplifica a $${\ displaystyle 0: ca: ab.}Las coordenadas en las distancias laterales reales del pie de la altitud de A a BC son$${\ displaystyle (0, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos C, {\ frac {2 \ Delta} {a}} \ cos B),} lo que en distancias puramente relativas simplifica a $${\ displaystyle 0: \ cos C: \ cos B.}^{[1] : p. 96}

Fórmulas [ editar ]

Colinealidades y concurrencias [ editar ]

Las coordenadas trilineales permiten muchos métodos algebraicos en geometría de triángulos. Por ejemplo, tres puntos.

P = p  : q  : r

U = u  : v  : w

X = x  : y  : z

son colineales si y solo si el determinante

{\ displaystyle D = {\ begin {vmatrix} p & q & r \\ u & v & w \\ x & y & z \ end {vmatrix}}}

es igual a cero. Por lo tanto, si x: y: z es un punto variable, la ecuación de una línea que pasa por los puntos P y U es D = 0. ^{[1] : p. 23} A partir de esto, cada línea recta tiene una ecuación lineal homogénea en x, y, z . Cada ecuación de la forma lx + my + nz = 0 en coeficientes reales es una línea recta real de puntos finitos, a menos que l: m: n sea ​​proporcional a a: b: c , las longitudes de los lados, en cuyo caso tenemos el locus de puntos al infinito. ^{[1] : p. 40}

El doble de esta proposición es que las líneas

pα + qβ + rγ = 0

uα + vβ + wγ = 0 ,

xα + yβ + zγ = 0

coincida en un punto (α, β, γ) si y solo si D = 0. ^{[1] : p. 28}

Además, si las distancias dirigidas reales se utilizan al evaluar el determinante de D , entonces el área del triángulo PUX es KD , donde K = abc / 8∆ ² (y donde ∆ es el área del triángulo ABC , como se muestra arriba) si el triángulo PUX tiene la misma orientación (hacia la derecha o hacia la izquierda) que el triángulo ABC , y K = –abc / 8∆ ^{2 de lo} contrario.

Líneas paralelas [ editar ]

Dos líneas con ecuaciones trilineales. $${\ displaystyle lx + my + nz = 0} y $${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}son paralelos si y solo si ^{[1] : p. 98, # xi}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} l & m & n \\ l '& m' & n '\\ a & b & c \ end {vmatrix}} = 0,}

donde a, b, c son las longitudes de los lados.

Ángulo entre dos líneas [ editar ]

Las tangentes de los ángulos entre dos líneas con ecuaciones trilineales.$${\ displaystyle lx + my + nz = 0} y $${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0}están dados por ^[1] : p.50

$${\ displaystyle \ pm {\ frac {(mn'-m'n) \ sin A + (nl'-n'l) \ sin B + (lm'-l'm) \ sin C} {ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C}}.}

Lineas perpendiculares [ editar ]

Así dos líneas con ecuaciones trilineales. $${\ displaystyle lx + my + nz = 0} y $${\ displaystyle l'x + m'y + n'z = 0} son perpendiculares si y solo si

$${\ displaystyle ll '+ mm' + nn '- (mn' + m'n) \ cos A- (nl '+ n'l) \ cos B- (lm' + l'm) \ cos C = 0. }

Altitud [ editar ]

La ecuación de la altitud del vértice A al lado BC es ^{[1] : p.98, # x}

$${\ displaystyle y \ cos Bz \ cos C = 0.}

Línea en términos de distancias desde vértices [ editar ]

La ecuación de una línea con distancias variables p, q, r de los vértices A , B , C cuyos lados opuestos son a, b, ces ^{[1] : p. 97, # viii}

$${\ displaystyle apx + bqy + crz = 0.}

Coordenadas trilineales de distancia real [ editar ]

Los trilineales con los valores de las coordenadas a ', b', siendo c ' las distancias perpendiculares reales a los lados satisfacen ^{[1] : p. 11}

$${\ displaystyle aa '+ bb' + cc '= 2 \ Delta}

para los lados del triángulo a, b, c y área$${\ displaystyle \ Delta}. Esto se puede ver en la figura en la parte superior de este artículo, con el punto interior P dividiendo el triángulo ABC en tres triángulos PBC , PCA y PAB con áreas respectivas (1/2) aa ' , (1/2) bb' , y (1/2) cc ' .

Distancia entre dos puntos [ editar ]

La distancia d entre dos puntos con trilineales de distancia real a ' _i  : b' _i  : c ' _i viene dada por ^{[1] : p. 46}

$${\ displaystyle d ^ {2} \ sin ^ {2} C = (a '_ {1} -a' _ {2}) ^ {2} + (b '_ {1} -b' _ {2} ) ^ {2} +2 (a '_ {1} -a' _ {2}) (b '_ {1} -b' _ {2}) \ cos C.}

Distancia desde un punto a una línea [ editar ]

La distancia d desde un punto a ' ₀  : b' ₀  : c ' ₀ , en coordenadas trilineales de distancias reales, hasta una línea recta lx + my + nz = 0 es ^{[1] : p. 48}

$${\ displaystyle d = {\ frac {la '_ {0} + mb' _ {0} + nc '_ {0}} {\ sqrt {l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2 } -2mn \ cos A-2nl \ cos B-2lm \ cos C}}}.}

Curvas cuadráticas [ editar ]

La ecuación de una sección cónica en la variable punto trilineal x  : y  : z es ^{[1] : p.118}

$${\ displaystyle rx ^ {2} + sy ^ {2} + tz ^ {2} + 2uyz + 2vzx + 2wxy = 0.}

No tiene términos lineales ni término constante.

La ecuación de un círculo de radio r que tiene el centro en las coordenadas de la distancia real ( a ', b', c ' ) es ^{[1] : p.287}

$${\ displaystyle (x-a ') ^ {2} \ sin 2A + (y-b') ^ {2} \ sin 2B + (z-c ') ^ {2} \ sin 2C = 2r ^ {2} \ sin A \ sin B \ sin C.}

Circuncones [ editar ]

La ecuación en coordenadas trilineales x, y, z de cualquier circuncón de un triángulo es ^{[1] : p. 192}

$${\ displaystyle lyz + mzx + nxy = 0.}

Si los parámetros l, m, n son, respectivamente, iguales a las longitudes de los lados a, b, c (o los senos de los ángulos opuestos a ellos), la ecuación da el circuncírculo . ^{[1] : p. 199}

Cada circuncón distinto tiene un centro único para sí mismo. La ecuación en coordenadas trilineales de la circunferencia con el centro x ': y': z ' es ^{[1] : p. 203}

$${\ displaystyle yz (x'-y'-z ') + zx (y'-z'-x') + xy (z'-x'-y ') = 0.}

Inconics [ editar ]

Cada sección cónica inscrita en un triángulo tiene una ecuación en coordenadas trilineales: ^{[1] : p. 208}

$${\ displaystyle l ^ {2} x ^ {2} + m ^ {2} y ^ {2} + n ^ {2} z ^ {2} \ pm 2mnyz \ pm 2nlzx \ pm 2lmxy = 0,}

con exactamente uno o tres de los signos no especificados que son negativos.

La ecuación del incircle se puede simplificar a ^{[1] : p. 210, p.214}

$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0,}

mientras que la ecuación de, por ejemplo, el excircle adyacente al segmento lateral opuesto al vértice A se puede escribir como ^{[1] : p. 215}

$${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {-x}} \ cos {\ frac {A} {2}} \ pm {\ sqrt {y}} \ cos {\ frac {B} {2}} \ pm {\ sqrt {z}} \ cos {\ frac {C} {2}} = 0.}

Curvas cúbicas [ editar ]

Muchas curvas cúbicas se representan fácilmente utilizando coordenadas trilineales. Por ejemplo, el autoisoconjugado pivote cúbico Z (U, P) , como el locus de un punto X tal que el P -isoconjugado de X está en la línea UX viene dado por la ecuación determinante

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x & y & z \\ qryz & rpzx & pqxy \\ u & v & w \ end {vmatrix}} = 0.}

Entre los cúbicos nombrados Z (U, P) se encuentran los siguientes:

Thomson cúbico: Z (X (2), X (1)) , donde X (2) = centroide , X (1) = incentivo

Feuerbach cúbico: Z (X (5), X (1)) , donde X (5) = punto de Feuerbach

Darboux cúbico: Z (X (20), X (1)) , donde X (20) = De Longchamps point

Neuberg cúbico: Z (X (30), X (1)) , donde X (30) = punto infinito de Euler .

Conversiones [ editar ]

Entre coordenadas trilineales y distancias al margen [ editar ]

Para cualquier elección de coordenadas trilineales x: y: z para ubicar un punto, las distancias reales del punto desde las líneas laterales vienen dadas por a '= kx , b' = ky , c '= kz donde k puede ser determinada por la fórmula$${\ displaystyle k = {\ frac {2 \ Delta} {ax + by + cz}}}donde a , b , c son las respectivas longitudes laterales BC , CA , AB y ∆ es el área de ABC .

Entre coordenadas baricéntricas y trilineales [ editar ]

Un punto con coordenadas trilineales x  : y  : z tiene coordenadas baricéntricas ax  : by  : cz donde a , b , c son las longitudes laterales del triángulo. A la inversa, un punto con baricéntricos α  : β  : γ tiene coordenadas trilineales α / a  : β / b  : γ / c .

Entre coordenadas cartesianas y trilineales [ editar ]

Dado un triángulo de referencia ABC , exprese la posición del vértice B en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas y represéntelas algebraicamente como un vector B , utilizando el vértice C como origen. Definir similar, el vector de posición del vértice A como A . Entonces, cualquier punto P asociado con el triángulo de referencia ABC se puede definir en un sistema cartesiano como un vector P = k ₁ A + k ₂ B . Si este punto Ptiene coordenadas trilineales x: y: zentonces la fórmula de conversión de los coeficientes k ₁ y k ₂ en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para las longitudes de los lados a , b , c vértices opuestos A , B , C ,

$${\ displaystyle x: y: z = {\ frac {k_ {1}} {a}}: {\ frac {k_ {2}} {b}}: {\ frac {1-k_ {1} -k_ { 2}} {c}},}

y la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales a los coeficientes en la representación cartesiana es

$${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}}, \ quad k_ {2} = {\ frac {by} {ax + by + cz}}.}

Más generalmente, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores A , B y C y si el punto P tiene coordenadas trilineales x  : y  : z , entonces las coordenadas cartesianas de P son las siguientes. promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de estos vértices usando las coordenadas baricéntricas ax , by y cz como los pesos. De ahí la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales x, y, z al vector de las coordenadas cartesianas P del punto está dado por

$${\ displaystyle {\ underline {P}} = {\ frac {ax} {ax + by + cz}} {\ underline {A}} + {\ frac {by} {ax + by + cz}} {\ underline {B}} + {\ frac {cz} {ax + by + cz}} {\ underline {C}},}

donde están las longitudes de los lados | C - B | = a , | A - C | = b y | B - A | = c .

 las coordenadas bipolares de dos centros son un sistema de coordenadas , basado en dos coordenadas que dan distancias desde dos centros fijos,$${\ displaystyle c_ {1}} y $${\ displaystyle c_ {2}}. ^[1] Este sistema es muy útil en algunas aplicaciones científicas (por ejemplo, calcular el campo eléctrico de un dipolo en un plano). 

Coordenadas bipolares de dos centros.

Transformación a coordenadas cartesianas [ editar ]

Coordenadas cartesianas y coordenadas polares.

La transformación a coordenadas cartesianas. $${\ displaystyle (x, \ y)} a partir de coordenadas bipolares de dos centros $${\ displaystyle (r_ {1}, \ r_ {2})} es

$${\ displaystyle x = {\ frac {r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2}} {4a}}}

$${\ displaystyle y = \ pm {\ frac {1} {4a}} {\ sqrt {16a ^ {2} r_ {2} ^ {2} - (r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2} + 4a ^ {2}) ^ {2}}}}

donde están los centros de este sistema de coordenadas $${\ displaystyle (+ a, \ 0)} y $${\ displaystyle (-a, \ 0)}. ^[1]

Transformación a coordenadas polares [ editar ]

Cuando x > 0 la transformación a coordenadas polares de coordenadas bipolares de dos centros es

$${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ frac {r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2} -2a ^ {2}} {2}}}}

$${\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {r_ {1} ^ {4} -8a ^ {2} r_ {1} ^ {2} -2r_ {1} ^ {2} r_ {2} ^ {2} - (4a ^ {2} -r_ {2} ^ {2}) ^ {2}}} {r_ {2} ^ {2} -r_ {1} ^ {2}}} \Correcto)}

dónde $${\ displaystyle 2a} Es la distancia entre los polos (centro de coordenadas del sistema).