AMIGOS PARA SIEMPRE: SISTEMAS DE COORDENADAS

las coordenadas ortogonales se definen como un conjunto de d coordenadas q = ( q ¹ , q ² , ..., q ^d ) en las cuales todas las superficies de coordenadas se encuentran en ángulos rectos (nota: los superíndices son índices , no exponentes). Una superficie de coordenadas para una coordenada particular q ^k es la curva, superficie o hipersuperficie en la que q ^k es una constante. Por ejemplo, las coordenadas cartesianastridimensionales ( x , y , z) es un sistema de coordenadas ortogonales, ya que sus superficies de coordenadas x= constante, y = constante y z = constante son planos que se encuentran en ángulos rectos entre sí, es decir, son perpendiculares. Las coordenadas ortogonales son un caso especial pero extremadamente común de coordenadas curvilíneas .

Motivación [ editar ]

Un mapa conforme que actúa sobre una cuadrícula rectangular. Tenga en cuenta que la ortogonalidad de la rejilla curva se mantiene.

Mientras que las operaciones vectoriales y las leyes físicas son normalmente más fáciles de derivar en coordenadas cartesianas , las coordenadas ortogonales no cartesianas se usan a menudo para la solución de varios problemas, especialmente los problemas de valor de límite , como los que surgen en las teorías de campo de la mecánica cuántica , flujo de fluidos , La electrodinámica , la física del plasma y la difusión de especies químicas o calor .

La principal ventaja de las coordenadas no cartesianas es que se pueden elegir para que coincidan con la simetría del problema. Por ejemplo, la onda de presión debida a una explosión lejos del suelo (u otras barreras) depende del espacio 3D en las coordenadas cartesianas, sin embargo, la presión se aleja predominantemente del centro, por lo que en las coordenadas esféricas el problema se vuelve casi unidimensional. (ya que la onda de presión depende predominantemente del tiempo y la distancia desde el centro). Otro ejemplo es el fluido (lento) en una tubería circular recta: en coordenadas cartesianas, uno tiene que resolver un problema de valor de límite bidimensional (difícil) que involucra una ecuación diferencial parcial, pero en coordenadas cilíndricas el problema se convierte en unidimensional con unaEcuación diferencial ordinaria en lugar de una ecuación diferencial parcial .

La razón para preferir coordenadas ortogonales en lugar de coordenadas curvilíneas generales es la simplicidad: muchas complicaciones surgen cuando las coordenadas no son ortogonales. Por ejemplo, en coordenadas ortogonales muchos problemas pueden resolverse mediante la separación de variables . La separación de variables es una técnica matemática que convierte un complejo d problema -dimensional en d problemas unidimensionales que se pueden resolver en términos de funciones conocidas. Muchas ecuaciones se pueden reducir a la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz . La ecuación de Laplace se puede separar en 13 sistemas de coordenadas ortogonales (los 14 enumerados en la tabla a continuación)con la excepción de toroidal ), y la ecuación de Helmholtz se puede separar en 11 sistemas de coordenadas ortogonales. ^[1]^[2]

Las coordenadas ortogonales nunca tienen términos fuera de diagonal en su tensor métrico . En otras palabras, la distancia al cuadrado infinitesimal ds ² siempre se puede escribir como una suma escalada de los desplazamientos de coordenadas infinitesimales al cuadrado

ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}

donde d es la dimensión y las funciones de escala (o factores de escala)

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|

es igual a las raíces cuadradas de las componentes diagonales del tensor métrico, o las longitudes de los vectores de base local

\mathbf {e} _{k}

descrito abajo. Estas funciones de escala h _i se utilizan para calcular los operadores diferenciales en las nuevas coordenadas, por ejemplo, el gradiente , el laplaciano , la divergencia y el enrollamiento .

Un método simple para generar sistemas de coordenadas ortogonales en dos dimensiones es mediante un mapeo conforme de una cuadrícula bidimensional estándar de coordenadas cartesianas ( x , y ) . Un número complejo z = x + iy puede formarse a partir de las coordenadas reales x e y , donde i representa la unidad imaginaria . Cualquier función holomórfica w = f ( z ) con derivado complejo distinto de cero producirá un mapeo conforme; si el número complejo resultante se escribe w = u + iv , entonces las curvas de constante u y v se cruzan en ángulo recto, al igual que las líneas originales de constante x y y lo hicieron.

Las coordenadas ortogonales en tres y mayores dimensiones pueden generarse a partir de un sistema de coordenadas bidimensionales ortogonales, ya sea proyectándola en una nueva dimensión ( coordenadas cilíndricas ) o rotando el sistema bidimensional alrededor de uno de sus ejes de simetría. Sin embargo, hay otros sistemas de coordenadas ortogonales en tres dimensiones que no pueden obtenerse proyectando o rotando un sistema bidimensional, como las coordenadas elipsoidales . Se pueden obtener coordenadas ortogonales más generales comenzando con algunas superficies de coordenadas necesarias y considerando sus trayectorias ortogonales .

Bases de vectores [ editar ]

Base covariante [ editar ]

En las coordenadas cartesianas , los vectores de base son fijos (constantes). En la configuración más general de coordenadas curvilíneas , un punto en el espacio está especificado por las coordenadas, y en cada uno de esos puntos hay un conjunto de vectores de base, que generalmente no son constantes: esta es la esencia de las coordenadas curvilíneas en general y es Un concepto muy importante. Lo que distingue las coordenadas ortogonales es que, aunque los vectores de base varían, siempre son ortogonales entre sí. En otras palabras,

\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j

Estos vectores de base son, por definición, los vectores tangentes de las curvas obtenidas al variar una coordenada, manteniendo los otros fijos:

Visualización de coordenadas ortogonales 2D. Se muestran las curvas obtenidas al mantener todas las coordenadas excepto una constante, junto con los vectores de base. Tenga en cuenta que los vectores de base no tienen la misma longitud: no necesitan serlo, solo necesitan ser ortogonales.

\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}

donde r es algún punto y q ⁱ es la coordenada para la cual se extrae el vector base. En otras palabras, una curva se obtiene fijando todas las coordenadas menos una; la coordenada no fijada varía como en una curva paramétrica , y la derivada de la curva con respecto al parámetro (la coordenada variable) es el vector base para esa coordenada.

Tenga en cuenta que los vectores no son necesariamente de igual longitud. Las funciones útiles conocidas como factores de escala de las coordenadas son simplemente las longitudes

h_{i}

de los vectores base

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

(vea la tabla de abajo). Los factores de escala se denominan a veces coeficientes de Lamé, pero es mejor evitar esta terminología, ya que algunos coeficientes más conocidos en elasticidad linealllevan el mismo nombre.

Los vectores de base normalizados se anotan con un sombrero y se obtienen al dividirlos por la longitud:

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i}\right|}}

Un campo vectorial puede especificarse por sus componentes con respecto a los vectores de base o los vectores de base normalizados, y uno debe estar seguro de qué caso se refiere. Los componentes en la base normalizada son más comunes en aplicaciones para claridad de las cantidades (por ejemplo, uno puede querer tratar con velocidad tangencial en lugar de velocidad tangencial por un factor de escala); en derivaciones la base normalizada es menos común ya que es más complicada.

Base contravariante [ editar ]

Los vectores de base que se muestran arriba son vectores de base covariantes (porque "co-varían" con los vectores). En el caso de las coordenadas ortogonales, los vectores de base contravariantes son fáciles de encontrar ya que estarán en la misma dirección que los vectores covariantes pero de longitud recíproca (por esta razón, se dice que los dos conjuntos de vectores de base son recíprocos con respecto a cada uno de ellos). otro):

\mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}

esto se deduce del hecho de que, por definición,

\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}

, utilizando el delta de Kronecker . Tenga en cuenta que:

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}={\hat {\mathbf {e} }}^{i}

Ahora nos enfrentamos a tres conjuntos de bases diferentes comúnmente utilizados para describir vectores en coordenadas ortogonales: la base covariante e _i , la base contravariante e ⁱ , y la base normalizada ê ⁱ . Si bien un vector es una cantidad objetiva , lo que significa que su identidad es independiente de cualquier sistema de coordenadas, los componentes de un vector dependen de en qué base se representa el vector.

Para evitar confusiones, los componentes del vector x con respecto a la base e _i se representan como x ⁱ , mientras que los componentes con respecto a la base e ⁱ se representan como x _i :

\mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}

La posición de los índices representa cómo se calculan los componentes (los índices superiores no deben confundirse con exponenciación ). Tenga en cuenta que los símbolos de suma Σ ( Sigma capital ) y el rango de suma, que indican la suma de todos los vectores básicos ( i = 1, 2, ..., d ), a menudo se omiten . Los componentes están relacionados simplemente por:

h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}

No hay una notación generalizada distintiva en uso para componentes vectoriales con respecto a la base normalizada; en este artículo usaremos subíndices para componentes vectoriales y notaremos que los componentes se calculan de forma normalizada.

Álgebra vectorial [ editar ]

La adición y la negación de vectores se realizan en forma de componentes, al igual que en las coordenadas cartesianas sin complicaciones. Consideraciones adicionales pueden ser necesarias para otras operaciones vectoriales.

Sin embargo, tenga en cuenta que todas estas operaciones suponen que dos vectores en un campo vectorialestán vinculados al mismo punto (en otras palabras, las colas de los vectores coinciden). Como los vectores de base generalmente varían en coordenadas ortogonales, si se agregan dos vectores cuyas componentes se calculan en diferentes puntos del espacio, los diferentes vectores de base requieren consideración.

Producto punto [ editar ]

El producto puntual en coordenadas cartesianas ( espacio euclidiano con una base ortonormal establecida) es simplemente la suma de los productos de los componentes. En coordenadas ortogonales, el producto escalar de dos vectores x y y toma esta forma familiar cuando los componentes de los vectores se calculan en la base normalizada:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}

Esto es una consecuencia inmediata del hecho de que la base normalizada en algún punto puede formar un sistema de coordenadas cartesianas: el conjunto de bases es ortonormal .

Para componentes en las bases covariantes o contravariantes,

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}

Esto se puede derivar fácilmente escribiendo los vectores en forma de componentes, normalizando los vectores básicos y tomando el producto puntual. Por ejemplo, en 2D:

{\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}

donde se ha utilizado el hecho de que las bases covariantes y contravariantes normalizadas son iguales.

Producto cruzado [ editar ]

El producto cruzado en coordenadas cartesianas 3D es:

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}

La fórmula anterior sigue siendo válida en coordenadas ortogonales si los componentes se calculan de forma normalizada.

Para construir el producto cruzado en coordenadas ortogonales con bases covariantes o contravariantes, nuevamente debemos simplemente normalizar los vectores de base, por ejemplo:

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}

el cual, escrito expandido,

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}

La notación concisa para el producto cruzado, que simplifica la generalización a coordenadas no ortogonales y dimensiones más altas, es posible con el tensor Levi-Civita , que tendrá componentes distintos de ceros y unos si los factores de escala no son todos iguales.

Cálculo vectorial [ editar ]

La diferenciación [ editar ]

Mirando un desplazamiento infinitesimal desde algún punto, es evidente que

d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}

Por definición , el gradiente de una función debe satisfacer (esta definición sigue siendo verdadera si ƒ es un tensor )

df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}

De ello se deduce que del operador debe ser:

\nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}

y esto pasa a permanecer verdadero en coordenadas curvilíneas generales. Cantidades como el gradiente y el laplaciano siguen la aplicación adecuada de este operador.

Bases de fórmulas vectoriales [ editar ]

A partir de d r y vectores de base normalizados ê _i , se pueden construir los siguientes. ^[3]^[4]

Elemento diferencial	Vectores	Escalar
Elemento de linea	Vector tangente para coordinar la curva q ⁱ : $d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}$	Longitud infinitesimal $d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}$
Elemento de superficie	Normal a coordinar la superficieq ^k = constante: ${\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}$	Superficie infinitesimal $dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}$
Elemento de volumen	N / A	Volumen infinitesimal ${\begin{aligned}dV&=\|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})\|\\&=\|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}$

dónde

J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}

es el determinante jacobiano , que tiene la interpretación geométrica de la deformación en volumen desde el cubo infinitesimal d x d y d z al volumen curvo infinitesimal en las coordenadas ortogonales.

Integración [ editar ]

Usando el elemento de línea mostrado arriba, la línea integral a lo largo de una trayectoria

\scriptstyle {\mathcal {P}}

de un vector F es:

\int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}

Un elemento infinitesimal de área para una superficie descrita al mantener una coordenada q _k constante es:

dA=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}

Del mismo modo, el elemento de volumen es:

dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}

donde el símbolo grande Π ( Pi mayúscula ) indica un producto de la misma manera que un large grande indica la suma. Tenga en cuenta que el producto de todos los factores de escala es el determinante jacobiano .

Como ejemplo, la integral de superficie de una función vectorial F sobre una q ¹ = superficie constante

\scriptstyle {\mathcal {S}}

en 3D es:

\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}

Tenga en cuenta que F ¹ / h ₁ es el componente de F normal a la superficie.

Operadores diferenciales en tres dimensiones [ editar ]

Dado que estas operaciones son comunes en la aplicación, todos los componentes del vector en esta sección se presentan con respecto a la base normalizada:

F_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}

Operador	Expresión
Gradientede uncampo escalar	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}$
Divergenciade uncampo vectorial.	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(F_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(F_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(F_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$
Curl de un campo vectorial	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}F_{1}&h_{2}F_{2}&h_{3}F_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$
Laplacianode un campo escalar	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]$

Las expresiones anteriores se pueden escribir en una forma más compacta usando el símbolo Levi-Civita , definiendo

H=h_{1}h_{2}h_{3}

, y asumiendo la suma sobre índices repetidos:

Operador	Expresión
Gradiente de un campo escalar	$(\nabla \phi )_{k}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
Divergencia de un campo vectorial.	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)$
Curl de un campo vectorial (solo 3D)	$\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)$
Laplaciano de un campo escalar	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

Tabla de coordenadas ortogonales [ editar ]

Además de las coordenadas cartesianas habituales, varias otras se tabulan a continuación. ^[5] La notación de intervalo se utiliza para la compacidad en la columna de coordenadas.

Coordenadas curvilíneas ( q ₁ , q ₂ , q ₃ )	Transformación del cartesiano ( x ,y , z )	Factores de escala
Coordenadas polares esféricas $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
Coordenadas polares cilíndricas $(r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
Coordenadas cilíndricas parabólicas $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas parabolicas $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
Coordenadas paraboloidales ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ dónde $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
Coordenadas cilíndricas elípticas $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas esferoidales $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
Coordenadas esferoidales oblatas $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
Coordenadas elipsoidales ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ dónde $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$
Coordenadas cilíndricas bipolares $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
Coordenadas toroidales $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Coordenadas bisféricas $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
Coordenadas cónicas ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$