SISTEMAS DE COORDENADAS

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Figura 1: Coordenadas isosuperficies para un punto  P(mostrado como una esfera negra) en coordenadas esferoides oblatas ( μ ,  ν ,  φ ). El eje z es vertical y los focos están en ± 2. El esferoide oblato rojo (esfera aplanada) corresponde a μ = 1, mientras que el semi-hiperboloide azul corresponde a ν  = 45 °. El azimut φ  = -60 ° medidas el ángulo diedro entre el verde x - z semiplano y el semiplano amarillo que incluye el punto  P . Las coordenadas cartesianas de p son aproximadamente (1.09, −1.89, 1.66).

Las coordenadas esferoidales oblatas son un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional que resulta de la rotación del sistema de coordenadas elípticas bidimensionales sobre el eje no focal de la elipse, es decir, el eje de simetría que separa los focos. Así, los dos focos se transforman en un anillo de radio.$${\ displaystyle a}en el plano x - y . (La rotación alrededor del otro eje produce coordenadas esferoidales prolatas .) Las coordenadas esferoidales oblatas también se pueden considerar como un caso límite de coordenadas elipsoidales en las que los dos semiejes más grandes tienen la misma longitud.

Las coordenadas esferoides oblatas suelen ser útiles para resolver ecuaciones diferenciales parciales cuando las condiciones de contorno se definen en un esferoide oblado o un hiperboloide de revolución . Por ejemplo, jugaron un papel importante en el cálculo de los factores de fricción de Perrin , que contribuyeron a la concesión del Premio Nobel de Física de 1926 a Jean Baptiste Perrin . Estos factores de fricción determinan la difusión rotacional de las moléculas, lo que afecta la viabilidad de muchas técnicas, como la proteína RMN.y de donde se puede inferir el volumen hidrodinámico y la forma de las moléculas. Las coordenadas esferoides oblatas también son útiles en problemas de electromagnetismo (p. Ej., Constante dieléctrica de moléculas oblatas cargadas), acústica (p. Ej., Dispersión de sonido a través de un orificio circular), dinámica de fluidos (p. Ej., Flujo de agua a través de una boquilla de manguera de incendios) y difusión de materiales y calor (p. ej., enfriamiento de una moneda al rojo vivo en un baño de agua).

Definición (µ, ν, φ) [ editar ]

Figura 2: Gráfico de la esferoidal achatada coordina μ y ν en el x - z plano, donde φ es cero y una igual a uno. Las curvas de la constante μ forman elipsis rojas, mientras que las de la constante v forman la mitad de las hipérbola en este plano. El eje z se ejecuta verticalmente y separa los focos; Las coordenadas z y ν siempre tienen el mismo signo. Las superficies de la constante μ y ν en tres dimensiones se obtienen por rotación alrededor del eje z , y son las superficies roja y azul, respectivamente, en la Figura 1.

La definición más común de coordenadas esferoidales oblatas. $${\ displaystyle (\ mu, \ nu, \ varphi)} es

$${\ displaystyle x = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu \ \ cos \ varphi}

$${\ displaystyle y = a \ \ cosh \ mu \ \ cos \ nu \ \ sin \ varphi}

$${\ displaystyle z = a \ \ sinh \ mu \ \ sin \ nu}

dónde $${\ displaystyle \ mu} Es un número real no negativo y el ángulo. $${\ displaystyle \ nu \ in \ left [- \ pi / 2, \ pi / 2 \ right]}. El ángulo azimutal$${\ displaystyle \ varphi} Puede caer en cualquier lugar en un círculo completo, entre $${\ displaystyle \ pm \ pi}. Estas coordenadas se favorecen sobre las alternativas a continuación porque no son degeneradas; el conjunto de coordenadas$${\ displaystyle (\ mu, \ nu, \ varphi)}Describe un punto único en coordenadas cartesianas. $${\ displaystyle (x, y, z)}. Lo contrario también es cierto, excepto en el$${\ displaystyle z}-axis y el disco en el $${\ displaystyle xy} Plano dentro del anillo focal.

Coordinar superficies [ editar ]

Las superficies de la constante μ forman oblato esferoides , por la identidad trigonométrica.

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu}} + {\ frac {z ^ {2}} {a ^ { 2} \ sinh ^ {2} \ mu}} = \ cos ^ {2} \ nu + \ sin ^ {2} \ nu = 1}

ya que son elipsis rotadas sobre el eje z , que separa sus focos. Una elipse en el plano x - z (Figura 2) tiene una semiaxis mayor de longitud a cosh μ a lo largo del eje x , mientras que su semiaxis menor tiene una longitud asinh μ a lo largo del eje z . Los focos de todas las elipses en el plano x - z están ubicados en el eje x en ± a .

De manera similar, las superficies de constante ν forman una mitad de hoja de hiperboloides de revolución por la identidad trigonométrica hiperbólica

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ nu}} - {\ frac {z ^ {2}} {a ^ { 2} \ sin ^ {2} \ nu}} = \ cosh ^ {2} \ mu - \ sinh ^ {2} \ mu = 1}

Para ν positivo, el medio hiperboloide está por encima del plano x - y (es decir, tiene z positivo ), mientras que para el ν negativo, el medio hiperboloide está por debajo del plano x - y (es decir, tiene z negativo ). Geométricamente, el ángulo ν corresponde al ángulo de las asíntotas de la hipérbola. Los focos de todas las hipérboles también se encuentran en el eje x en ± a .

Transformación inversa [ editar ]

Las coordenadas (μ, ν, φ) se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal φ viene dado por la fórmula

$${\ displaystyle \ tan \ phi = {\ frac {y} {x}}}

El radio cilíndrico ρ del punto P está dado por

$${\ displaystyle \ rho ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}

y sus distancias a los focos en el plano definido por φ están dadas por

$${\ displaystyle d_ {1} ^ {2} = (\ rho + a) ^ {2} + z ^ {2}}

$${\ displaystyle d_ {2} ^ {2} = (\ rho -a) ^ {2} + z ^ {2}}

Las coordenadas restantes μ y ν se pueden calcular a partir de las ecuaciones

$${\ displaystyle \ cosh \ mu = {\ frac {d_ {1} + d_ {2}} {2a}}}

$${\ displaystyle \ cos \ nu = {\ frac {d_ {1} -d_ {2}} {2a}}}

donde el signo de μ es siempre no negativo, y el signo de ν es el mismo que el de z .

Otro método para calcular la transformada inversa es

$${\ displaystyle \ mu = \ operatorname {Re} \ operatorname {arcosh} {\ frac {\ rho + zi} {a}}}

$${\ displaystyle \ nu = \ operatorname {Im} \ operatorname {arcosh} {\ frac {\ rho + zi} {a}}}

$${\ displaystyle \ phi = \ arctan {\ frac {y} {x}}}

dónde

$${\ displaystyle \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

Factores de escala [ editar ]

Los factores de escala para las coordenadas μ y ν son iguales.

$${\ displaystyle h _ {\ mu} = h _ {\ nu} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}}}

mientras que el factor de escala azimutal es igual

$${\ displaystyle h _ {\ phi} = a \ cosh \ mu \ \ cos \ nu}

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a

$${\ displaystyle dV = a ^ {3} \ cosh \ mu \ \ cos \ nu \ \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right) d \ mu d \ nu d \ phi}

y el laplaciano se puede escribir

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu \ right)}} \ izquierda [{\ frac {1} {\ cosh \ mu}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mu}} \ left (\ cosh \ mu {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ mu }} \ right) + {\ frac {1} {\ cos \ nu}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ nu}} \ left (\ cos \ nu {\ frac {\ partial \ Phi} { \ partial \ nu}} \ right) \ right] + {\ frac {1} {a ^ {2} \ cosh ^ {2} \ mu \ cos ^ {2} \ nu}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi} {\ partial \ phi ^ {2}}}}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}}se puede expresar en las coordenadas (μ, ν, φ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

Vectores base [ editar ]

Los vectores de base ortonormal para el $${\ displaystyle \ mu, \ nu, \ phi} sistema de coordenadas se puede expresar en coordenadas cartesianas como

$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ mu} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}}} \ left (\ sinh \ mu \ cos \ nu \ cos \ phi {\ boldsymbol {\ hat {i}}} + \ sinh \ mu \ cos \ nu \ sin \ phi {\ boldsymbol {\ hat {j}}} + \ cosh \ mu \ sin \ nu {\ boldsymbol {\ hat {k}}} \ right)}

$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ nu} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ mu + \ sin ^ {2} \ nu}}} \ left (- \ cosh \ mu \ sin \ nu \ cos \ phi {\ boldsymbol {\ hat {i}}} - \ cosh \ mu \ sin \ nu \ sin \ phi {\ boldsymbol {\ hat {j}}} + \ sinh \ mu \ cos \ nu {\ boldsymbol {\ hat {k}}} \ right)}

$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ phi} = - \ sin \ phi {\ boldsymbol {\ hat {i}}} + \ cos \ phi {\ boldsymbol {\ hat {j}}}}

dónde $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {i}}}, {\ boldsymbol {\ hat {j}}}, {\ boldsymbol {\ hat {k}}}}Son los vectores de la unidad cartesiana. Aquí,$${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ mu}} es el vector normal exterior a la superficie esferoidal oblata de la constante $${\ displaystyle \ mu}, $${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ phi}} es el mismo vector unidad azimutal de coordenadas esféricas, y $${\ displaystyle {\ hat {e}} _ {\ nu}} se encuentra en el plano tangente a la superficie esferoide oblata y completa el conjunto de base para diestros.

Definición (ζ, ξ, φ) [ editar ]

Otro conjunto de coordenadas esferoidales oblatas. $${\ displaystyle (\ zeta, \ xi, \ phi)} a veces se usan donde $${\ displaystyle \ zeta = \ sinh \ mu} y $${\ displaystyle \ xi = \ sin \ nu}(Smythe 1968). Las curvas de constante.$${\ displaystyle \ zeta} Son los esferoides oblatos y las curvas de constante. $${\ displaystyle \ xi}Son los hiperboloides de la revolución. La coordenada$${\ displaystyle \ zeta} está restringido por {\ displaystyle 0 \ leq \ zeta <\ infty} y $${\ displaystyle \ xi} está restringido por {\ displaystyle -1 \ leq \ xi <1 font="">.

La relación con las coordenadas cartesianas es

$${\ displaystyle x = a {\ sqrt {(1+ \ zeta ^ {2}) (1- \ xi ^ {2})}} \, \ cos \ phi}

$${\ displaystyle y = a {\ sqrt {(1+ \ zeta ^ {2}) (1- \ xi ^ {2})}} \, \ sin \ phi}

$${\ displaystyle z = a \ zeta \ xi}

Factores de escala [ editar ]

Los factores de escala para $${\ displaystyle (\ zeta, \ xi, \ phi)} son:

$${\ displaystyle h _ {\ zeta} = a {\ sqrt {\ frac {\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2}} {1+ \ zeta ^ {2}}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ xi} = a {\ sqrt {\ frac {\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2}} {1- \ xi ^ {2}}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ phi} = a {\ sqrt {(1+ \ zeta ^ {2}) (1- \ xi ^ {2})}}}

Conociendo los factores de escala, se pueden calcular varias funciones de las coordenadas mediante el método general descrito en el artículo de coordenadas ortogonales . El elemento de volumen infinitesimal es:

$${\ displaystyle dV = a ^ {3} (\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2}) \, d \ zeta \, d \ xi \, d \ phi}

El gradiente es:

$${\ displaystyle \ nabla V = {\ frac {1} {h _ {\ zeta}}} {\ frac {\ partial V} {\ partial \ zeta}} \, {\ hat {\ zeta}} + {\ frac {1} {h _ {\ xi}}} {\ frac {\ partial V} {\ partial \ xi}} \, {\ hat {\ xi}} + {\ frac {1} {h _ {\ phi}} } {\ frac {\ partial V} {\ partial \ phi}} \, {\ hat {\ phi}}}

La divergencia es:

$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {1} {a (\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2})}} \ left \ {{\ frac {\ partial} { \ partial \ zeta}} \ left ({\ sqrt {1+ \ zeta ^ {2}}} {\ sqrt {\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2}}} F _ {\ zeta} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} \ left ({\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}} {\ sqrt {\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2}} } F _ {\ xi} \ right) \ right \} + {\ frac {1} {{\ sqrt {1+ \ zeta ^ {2}}} {\ sqrt {1- \ xi ^ {2}}}} } {\ frac {\ parcial F _ {\ phi}} {\ partial \ phi}}}

y los iguales laplacianos

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ zeta ^ {2} + \ xi ^ {2} \ right)}} \ left \ {{\ frac {\ partial} {\ partial \ zeta}} \ left [\ left (1+ \ zeta ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ zeta}} \ right] + {\ frac {\ partial} {\ partial \ xi}} \ left [\ left (1- \ xi ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial V} {\ partial \ xi}} \ right] \ right \ } + {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (1+ \ zeta ^ {2} \ right) \ left (1- \ xi ^ {2} \ right)}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ phi ^ {2}}}}

Armónicos esféricos oblatas [ editar ]

Ver también función de onda esferoidal oblata .

Como ocurre con las coordenadas esféricas y los armónicos esféricos , la ecuación de Laplace se puede resolver mediante el método de separación de variables para obtener soluciones en forma de armónicos esferoidales oblatos , que son convenientes de usar cuando las condiciones de frontera se definen en una superficie con una constante coordenada esferoidal oblata.

Siguiendo la técnica de separación de variables , se escribe una solución a la ecuación de Laplace:

$${\ displaystyle V = Z (\ zeta) \, \ Xi (\ xi) \, \ Phi (\ phi)}

Esto produce tres ecuaciones diferenciales separadas en cada una de las variables:

$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ zeta}} \ left [(1+ \ zeta ^ {2}) {\ frac {dZ} {d \ zeta}} \ right] + {\ frac {m ^ {2} Z} {1+ \ zeta ^ {2}}} - n (n + 1) Z = 0}

$${\ displaystyle {\ frac {d} {d \ xi}} \ left [(1- \ xi ^ {2}) {\ frac {d \ Xi} {d \ xi}} \ right] - {\ frac { m ^ {2} \ Xi} {1- \ xi ^ {2}}} + n (n + 1) \ Xi = 0}

$${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ Phi} {d \ phi ^ {2}}} = - m ^ {2} \ Phi}

donde m es una constante que es un entero porque la variable es periódica con el período 2π. n será entonces un número entero. La solución a estas ecuaciones son:

$${\ displaystyle Z_ {mn} = A_ {1} P_ {n} ^ {m} (i \ zeta) + A_ {2} Q_ {n} ^ {m} (i \ zeta)}

$${\ displaystyle \ Xi _ {mn} = A_ {3} P_ {n} ^ {m} (\ xi) + A_ {4} Q_ {n} ^ {m} (\ xi)}

$${\ displaystyle \ Phi _ {m} = A_ {5} e ^ {im \ phi} + A_ {6} e ^ {- im \ phi}}

donde el $${\ displaystyle A_ {i}} son constantes y $${\ displaystyle P_ {n} ^ {m} (z)} y $${\ displaystyle Q_ {n} ^ {m} (z)}Se asocian polinomios de Legendre del primer y segundo tipo respectivamente. El producto de las tres soluciones se llama un armónico esferoidal oblato y la solución general a la ecuación de Laplace se escribe:

$${\ displaystyle V = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} \, Z_ {mn} (\ zeta) \, \ Xi _ {mn} ( \ xi) \, \ Phi _ {m} (\ phi)}

Las constantes se combinarán para producir solo cuatro constantes independientes para cada armónico.

Definición (σ, τ, φ) [ editar ]

Figura 3: Coordenadas isosuperficies para un punto P (mostrado como una esfera negra) en las coordenadas esferoidales oblatas alternativas (σ, τ, φ). Como antes, el esferoide oblato correspondiente a σ se muestra en rojo, y φ mide el ángulo acimutal entre los semiplanos verde y amarillo. Sin embargo, la superficie de la constante τ es un hiperboloide completo de una hoja, que se muestra en azul. Esto produce una degeneración doble, mostrada por las dos esferas negras ubicadas en ( x , y , ± z ).

A veces se usa un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales oblatas (σ, τ, φ), donde σ = cosh μ y τ = cos ν. ^[1] Por lo tanto, la coordenada σ debe ser mayor o igual que uno, mientras que τ debe estar entre ± 1, inclusive. Las superficies de la constante σ son esferoides oblatos, al igual que las de la constante μ, mientras que las curvas de la constante τ son hiperboloides de revolución completos, incluidos los semi-hiperboloides correspondientes a ± ν. Por lo tanto, estas coordenadas son degeneradas; dos puntos en coordenadas cartesianas ( x , y , ± z ) se asignan a un conjunto de coordenadas (σ, τ, φ). Esta doble degeneración en el signo dez es evidente a partir de las ecuaciones que se transforman de las coordenadas esferoides oblatas a las coordenadas cartesianas

$${\ displaystyle x = a \ sigma \ tau \ cos \ phi}

$${\ displaystyle y = a \ sigma \ tau \ sin \ phi}

$${\ displaystyle z ^ {2} = a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}

Las coordenadas $${\ displaystyle \ sigma} y $${\ displaystyle \ tau}Tener una relación simple con las distancias al anillo focal. Para cualquier punto, la suma. $${\ displaystyle d_ {1} + d_ {2}} de sus distancias al anillo focal es igual $${\ displaystyle 2a \ sigma}, mientras que su diferencia $${\ displaystyle d_ {1} -d_ {2}} es igual a $${\ displaystyle 2a \ tau}. Por lo tanto, la distancia "lejana" al anillo focal es$${\ displaystyle a (\ sigma + \ tau)}, mientras que la distancia "cercana" es $${\ displaystyle a (\ sigma - \ tau)}.

Coordinar superficies [ editar ]

Similar a su contraparte μ, las superficies de forma constante σ forman esferoides oblatos

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2} \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right)}} = 1}

De manera similar, las superficies de la constante τ forman hiperbolides de revolución de una sola hoja

$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2} \ tau ^ {2}}} - {\ frac {z ^ {2}} {a ^ {2} \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}} = 1}

Factores de escala [ editar ]

Los factores de escala para la alternativa oblata las coordenadas esferoidales. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau, \ phi)} son

$${\ displaystyle h _ {\ sigma} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sigma ^ {2} -1}}}}

$${\ displaystyle h _ {\ tau} = a {\ sqrt {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {1- \ tau ^ {2}}}}}

mientras que el factor de escala azimutal es $${\ displaystyle h _ {\ phi} = a \ sigma \ tau}.

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se puede escribir

$${\ displaystyle dV = a ^ {3} \ sigma \ tau {\ frac {\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2}} {\ sqrt {\ left (\ sigma ^ {2} -1 \ right) \ left (1- \ tau ^ {2} \ right)}}} \, d \ sigma \, d \ tau \, d \ phi}

y los iguales laplacianos

$${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi = {\ frac {1} {a ^ {2} \ left (\ sigma ^ {2} - \ tau ^ {2} \ right)}} \ left \ {{ \ frac {\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} {\ sigma}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma}} \ left [\ left (\ sigma {\ sqrt {\ sigma ^ {2} -1}} \ right) {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ sigma}} \ right] + {\ frac {\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} {\ tau }} {\ frac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ left [\ left (\ tau {\ sqrt {1- \ tau ^ {2}}} \ right) {\ frac {\ partial \ Phi} {\ partial \ tau}} \ right] \ right \} + {\ frac {1} {a ^ {2} \ sigma ^ {2} \ tau ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2 } \ Phi} {\ partial \ phi ^ {2}}}}

Otros operadores diferenciales tales como $${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F}} y $${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F}} Se puede expresar en las coordenadas. $${\ displaystyle (\ sigma, \ tau)}sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales.

Como en el caso de las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplaces se puede resolver mediante el método de separación de variables para obtener soluciones en forma de armónicos esferoidales oblatos , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal oblato constante. (Ver Smythe, 1968).