MATEMÁTICAS ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL - FRACCIONES

El rollo de cuero matemático egipcio (EMLR, por sus siglas en inglés) es un rollo de cuero de 10 × 17 pulgadas (25 × 43 cm) comprado por Alexander Henry Rhind en 1858. Fue enviado al Museo Británico en 1864, junto con el Papiro Matemático Rhind , pero fue no se suavizó ni desenrolló químicamente hasta 1927 (Scott, Hall 1927).

La escritura consiste en caracteres hieráticos del Reino Medioescritos de derecha a izquierda. Los eruditos fechan el EMLR al siglo XVII aC. 

Contenido matemático [ editar ]

Este rollo de cuero es una ayuda para calcular fracciones egipcias . Contiene 26 sumas de fracciones unitarias que equivalen a otra fracción unitaria. Las sumas aparecen en dos columnas, y son seguidas por dos columnas más que contienen exactamente las mismas sumas. ^[2]

El rollo de cuero matemático egipcio ^[2]

Columna 1	Columna 2	Columna 3	Columna 4
$${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {40}} = {\ frac {1} {8}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {45}} + {\ frac {1} {90}} = {\ frac {1} {15}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {40}} = {\ frac {1} {8}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {36}} = {\ frac {1} {12}}}
$${\ displaystyle {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {4}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {48}} = {\ frac {1} {16}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {20}} = {\ frac {1} {4}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {21}} + {\ frac {1} {42}} = {\ frac {1} {14}}}
$${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {1} {3}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {18}} + {\ frac {1} {36}} = {\ frac {1} {12}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {1} {3}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {45}} + {\ frac {1} {90}} = {\ frac {1} {30}}}
$${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {10}} = {\ frac {1} {5}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {21}} + {\ frac {1} {42}} = {\ frac {1} {14}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {10}} = {\ frac {1} {5}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {30}} + {\ frac {1} {60}} = {\ frac {1} {20}}}
$${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {3}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {45}} + {\ frac {1} {90}} = {\ frac {1} {30}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {6}} = {\ frac {1} {3}}}	$${\ displaystyle {\ frac {1} {15}} + {\ frac {1} {30}} = {\ frac {1} {10}}}
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$

De las 26 sumas enumeradas, diez son los números del Ojo de Horus : 1/2, 1/4 (dos veces), 1/8 (tres veces), 1/16 (dos veces), 1/32, 1/64 convertidos de las fracciones egipcias. Hay otras siete sumas que tienen denominadores pares convertidos de fracciones egipcias: 1/6 (enumeradas dos veces, pero incorrectas una vez), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 y 1/30. A modo de ejemplo, las tres conversiones de 1/8 siguieron uno o dos factores de escala como alternativas:

1. 1/8 x 3/3 = 3/24 = (2 + 1) / 24 = 1/12 + 1/24

2. 1/8 x 5/5 = 5/40 = (4 + 1) / 40 = 1/10 + 1/40

3. 1/8 x 25/25 = 25/200 = (8 + 17) / 200 = 1/25 + (17/200 x 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6) / 1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

Finalmente, hubo nueve sumas, con denominadores impares, convertidos de fracciones egipcias: 2/3, 1/3 (dos veces), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 y 1/15 .

Los examinadores del Museo Británico no encontraron ninguna introducción o descripción de cómo o por qué se computaron las series de fracciones de unidades equivalentes. ^[3] Las series de fracciones de unidades equivalentes están asociadas con fracciones 1/3, 1/4, 1/8 y 1/16. Hubo un error trivial asociado con la serie final de fracciones de 1/15 unidades. La serie 1/15 fue catalogada como igual a 1/6. Otro error grave se asoció con 1/13, un problema que los examinadores de 1927 no intentaron resolver.

Análisis moderno [ editar ]

Los textos matemáticos originales nunca explican de dónde provienen los procedimientos y las fórmulas. Esto también es válido para el EMLR. Los estudiosos han intentado deducir qué técnicas pueden haber usado los antiguos egipcios para construir las tablas de fracciones unitarias de EMLR y las tablas 2 / n conocidas del Papiro matemático Rhind y los Papiros matemáticos Lahun . Ambos tipos de tablas se utilizaron para ayudar en los cálculos que tratan con fracciones y para la conversión de unidades de medida. ^[2]

Se ha observado que hay grupos de descomposiciones de fracciones unitarias en el EMLR que son muy similares. Por ejemplo, las líneas 5 y 6 se combinan fácilmente en la ecuación 1/3 + 1/6 = 1/2. Es fácil derivar las líneas 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 y 26 dividiendo esta ecuación por 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 y 32 respectivamente . ^[4]

Algunos de los problemas se prestan a una solución a través de un algoritmo que consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo término y luego reducir la ecuación resultante:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {pq}} = {\ frac {1} {N}} \ times {\ frac {N} {pq}}}

Este método lleva a una solución para la fracción 1/8 que aparece en el EMLR cuando se usa N = 25 (usando la notación matemática moderna):

$${\ displaystyle 1/8 = 1/25 \ veces 25/8 = 1/5 \ veces 25/40 = 1/5 \ veces (3/5 + 1/40)}

$${\ displaystyle = 1/5 \ times (1/5 + 2/5 + 1/40) = 1/5 \ times (1/5 + 1/3 + 1/15 + 1/40) = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200}^[5]

Conclusiones modernos [ editar ]

El EMLR ha sido considerado un documento de prueba de escribano estudiantil desde 1927, el año en que el texto fue desenrollado en el Museo Británico. El escriba practicó las conversiones de los números racionales 1 / p y 1 / pq a series de fracciones de unidades alternativas. Al leer los registros de matemáticas del Reino Medio disponibles, la tabla RMP 2 / n es una, los estudiantes modernos de aritmética egipcia pueden ver que los escribas entrenados mejoraron las conversiones de 2 / n y n / p a series de fracciones de unidades concisas aplicando métodos algorítmicos y no algorítmicos.

Cronología [ editar ]

La siguiente cronología muestra varios hitos que marcaron el progreso reciente hacia la notificación de una comprensión más clara de los contenidos de EMLR, relacionados con la tabla RMP 2 / n .

• 1895 - Hultsch sugirió que todas las series RMP 2 / p estaban codificadas por partes alícuotas. ^[6]
• 1927 - Glanville concluyó que la aritmética EMLR era puramente aditiva. ^[7]
• 1929 - Vogel informó que el EMLR es más importante (que el RMP), aunque solo contiene 25 series de fracciones de unidades. ^[8]
• 1950 - Bruins confirma de forma independiente el análisis RMP 2 / p de Hultsch (Bruins 1950)
• 1972 - Gillings encontró soluciones para un problema de RMP más fácil, la serie 2 / pq (Gillings 1972: 95-96).
• 1982 - Knorr identifica las fracciones de unidad RMP 2/35, 2/91 y 2/95 como excepciones al problema 2 / pq . ^[9]
• 2002 - Gardner identifica cinco patrones abstractos de EMLR.

 expansión de Engel de un número real positivo x es la única secuencia no decreciente de enteros positivos $${\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots \}} tal que

$${\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots.}

Por ejemplo, la constante e de Euler tiene la expansión de Engel ^[1]

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

correspondiente a la serie infinita

$${\ displaystyle e = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4}} + \ cdots}

Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como una fracción egipcia . Las expansiones de Engel llevan el nombre de Friedrich Engel , quien las estudió en 1913.

Una expansión análoga a una expansión de Engel , en la cual los términos alternos son negativos, se llama expansión de Pierce .

Expansiones de Engel, fracciones continuas y Fibonacci [ editar ]

Kraaikamp y Wu (2004) observan que una expansión de Engel también se puede escribir como una variante ascendente de una fracción continua :

$${\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1+ \ cdots} {\ displaystyle a_ {3}}}} {\ displaystyle a_ {2}} }} {\ displaystyle a_ {1}}}.}

Afirman que ascendente continuó fracciones de este tipo han sido estudiados tan pronto como Fibonacci 's Liber Abaci (1202). Esta afirmación parece referirse a la notación de fracción compuesta de Fibonacci en la que una secuencia de numeradores y denominadores que comparten la misma barra de fracción representa una fracción continua ascendente:

$${\ displaystyle {\ frac {a \ b \ c \ d} {e \ f \ g \ h}} = {\ dfrac {d + {\ dfrac {c + {\ dfrac {b + {\ dfrac {a} {e} }} {f}}} {g}}} {h}}.}

Si tal notación tiene todos los numeradores 0 o 1, como ocurre en varios casos en Liber Abaci , el resultado es una expansión de Engel. Sin embargo, la expansión de Engel como técnica general no parece ser descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular las expansiones de Engel [ editar ]

Para encontrar la expansión de Engel de x , deja

$${\ displaystyle u_ {1} = x,}

$${\ displaystyle a_ {k} = \ left \ lceil {\ frac {1} {u_ {k}}} \ right \ rceil,}

y

$${\ displaystyle u_ {k + 1} = u_ {k} a_ {k} -1}

dónde $${\ displaystyle \ left \ lceil r \ right \ rceil}es la función de techo (el entero más pequeño no menor que r ).

Si $${\ displaystyle u_ {i} = 0}Para cualquier i , detener el algoritmo.

Funciones iteradas para computar expansiones de Engel [ editar ]

Otro método equivalente es considerar el mapa ^[2]

$${\ displaystyle g (x) = x \ left (1+ \ left \ lfloor {x} ^ {- 1} \ right \ rfloor \ right) -1}

y establecer

$${\ displaystyle u_ {k} = 1 + \ left \ lfloor {\ frac {1} {g ^ {(n-1)} (x)}} \ right \ rfloor}

dónde

$${\ displaystyle g ^ {(n)} (x) = g (g ^ {(n-1)} (x))} y $${\ displaystyle g ^ {(0)} (x) = x}

Otro método equivalente, llamado la expansión de Engel modificada calculada por

$${\ displaystyle h (x) = \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ rfloor g (x) = \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ rfloor \ left (x \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ rfloor + x-1 \ right)}

y

{\ displaystyle u_ {k} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1+ \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ rfloor & n = 1 \\\ lfloor {\ frac {1} {h ^ {(k-2)} (x)}} \ rfloor \ left (1+ \ lfloor {\ frac {1} {h ^ {(k-1)} (x)}} \ rfloor \ right) & n \ geqslant 2 \ end {array}} \ right.}

El operador de transferencia del mapa de Engel [ editar ]

El operador de transferencia Frobenius-Perron del mapa de Engel$${\ displaystyle g (x)} actúa sobre las funciones $${\ displaystyle f (x)} con

$${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {g} f] (x) = \ sum _ {y: g (y) = x} {\ frac {f (y)} {\ left | {\ frac {d} {dz}} g (z) \ right | _ {z = y}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f \ left ({\ frac {x + 1} {n + 1}} \ derecha)} {n + 1}}}

ya que

$${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (x (n + 1) -1) = n + 1} y la inversa del componente n-th es $${\ displaystyle {\ frac {x + 1} {n + 1}}} que se encuentra resolviendo $${\ displaystyle x (n + 1) -1 = y} para $${\ displaystyle x}.

Relación con el riemann $${\ displaystyle \ zeta}función [ editar ]

La transformada de Mellin del mapa.$${\ displaystyle g (x)} Está relacionado con la función zeta de Riemann por la fórmula.

{\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ int _ {0} ^ {1} g (x) x ^ {s-1} dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {\ frac {1} {n + 1}} ^ {\ frac {1} {n}} (x (n + 1) -1) x ^ {s-1} dx \\ & = \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {- s} (s-1) + (n + 1) ^ {- s-1} (n ^ {2} + 2n + 1) + n ^ {- s-1} sn ^ {1-s}} {(s + 1) s (n + 1)}} \\ & = {\ frac {\ zeta (s)} {s + 1}} - {\ frac {1} {s (s + 1)}} \ end {array}}}

Ejemplo [ editar ]

Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, realizamos los siguientes pasos.

$${\ displaystyle u_ {1} = 1.175, a_ {1} = \ left \ lceil {\ frac {1} {1.175}} \ right \ rceil = 1;}

$${\ displaystyle u_ {2} = u_ {1} a_ {1} -1 = 1.175 \ cdot 1-1 = 0.175, a_ {2} = \ left \ lceil {\ frac {1} {0.175}} \ right \ rceil = 6}

$${\ displaystyle u_ {3} = u_ {2} a_ {2} -1 = 0.175 \ cdot 6-1 = 0.05, a_ {3} = \ left \ lceil {\ frac {1} {0.05}} \ right \ rceil = 20}

$${\ displaystyle u_ {4} = u_ {3} a_ {3} -1 = 0.05 \ cdot 20-1 = 0}

La serie termina aquí. Así,

$${\ displaystyle 1.175 = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 6}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 6 \ cdot 20}}}

y la expansión de Engel de 1.175 es {1, 6, 20}.

Engel expansiones de números racionales [ editar ]

Cada número racional positivo tiene una expansión de Engel finita única. En el algoritmo para la expansión de Engel, si u _i es un número racional x / y , entonces u _i +1 = (- y mod x ) / y . Por lo tanto, en cada paso, el numerador en la fracción restante u _i disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Cada número racional también tiene una expansión infinita única de Engel: usar la identidad

$${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} = \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 1) ^ {r}}}.}

el dígito final n en una expansión de Engel finita puede reemplazarse por una secuencia infinita de ( n  + 1) s sin cambiar su valor. Por ejemplo,

$${\ displaystyle 1.175 = \ {1,6,20 \} = \ {1,6,21,21,21, \ dots \}.}

Esto es análogo al hecho de que cualquier número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (ver 0.999 ... ). Una expansión infinita de Engel en la que todos los términos son iguales es una serie geométrica .

Erdős , Rényi y Szüsz solicitaron límites no triviales sobre la longitud de la expansión finita de Engel de un número racional x / y ; Erdős y Shallit respondieron a esta pregunta , y demostraron que el número de términos en la expansión es O ( y ^{1/3 + ε} ) para cualquier ε> 0. ^[3]

Expansiones de Engel para algunas constantes conocidas [ editar ]

$${\ displaystyle \ pi}= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (secuencia A006784 en el OEIS )

$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (secuencia A028254 en el OEIS )

$${\ displaystyle e}= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (secuencia A028310 en el OEIS )

Y en general,

$${\ displaystyle e ^ {1 / r} -1 = \ {1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r, \ dots \}}

Más expansiones de Engel para constantes se pueden encontrar aquí .

Tasa de crecimiento de los términos de expansión [ editar ]

Los coeficientes a _i de la expansión de Engel exhiben típicamente un crecimiento exponencial ; más precisamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límite$${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} ^ {1 / n}}existe y es igual a e . Sin embargo, el subconjunto del intervalo para el cual este no es el caso es todavía lo suficientemente grande como para que su dimensión de Hausdorff sea ​​una. ^[4]

La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en expansión generados por el algoritmo codicioso para las fracciones egipcias . Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1] cuyas expansiones de Engel coinciden con sus codiciosas expansiones tiene una medida cero, y la dimensión 1/2 de Hausdorff.